專題數(shù)軸穿根法

1、專題：數(shù)軸穿根法“數(shù)軸穿根法”又稱“數(shù)軸標(biāo)根法”第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進(jìn)行移項(xiàng)，使得右側(cè)為 0。(注意：定要保證 x 前的系數(shù)為正數(shù))例如：(x-2)(x-1)(x+1)0第二步：將不等號換成等號解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的根為：x1=2,x2=1,x3=-1第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標(biāo)出各根。例如：-112第三步：畫穿根線：以數(shù)軸為標(biāo)準(zhǔn)，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右跟”上去，一上一下依次穿過各根。第四步：觀察不等號，如果不等號為“”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號為“0 的解。因?yàn)椴坏忍柾啊眲t取數(shù)軸上方，穿

2、根線以內(nèi)的范圍。即：-1x2。穿根法的奇過偶不過定律：“奇穿過，偶彈回”。還有關(guān)于分式的問題：當(dāng)不等式移項(xiàng)后，可能是分式，同樣是可以用穿根法的，但是注意，解不能讓原來分式下面的式子等于 0專項(xiàng)訓(xùn)練:1、解不等式(2x1)(x1)(x3)0解析：1)一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。3)從最大根 3 的右上方開始，向左依次穿線(數(shù)軸上方有線表示數(shù)軸上方有函數(shù)圖象，數(shù)軸下方有線表示數(shù)軸下方有函數(shù)圖象,x的取值區(qū)間，為(2x1)(x1)(x3)0的解集，數(shù)軸下方曲線對應(yīng)的x的取值區(qū)間，為(2x1)(x1)(x3)0的解集，1、，c、不等式(2x1)(x1)(x3)0的解集

3、為(3,1)(3,)。在上述解題過程中，學(xué)生存在的疑問往往有：為什么各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；為什此線并不表示函數(shù)的真實(shí)圖象)4)數(shù)軸上方曲線對應(yīng)的2)因式(2x1)、(x標(biāo)出(如圖 1)。么從最大根的右上方開始穿線；為什么數(shù)軸上方曲線對應(yīng)的x的集合是大于零不等式的解集，數(shù)軸下方曲線對應(yīng)x的集合是小于零不等式的解集。1c。2、解不等式(x2)(-x1)2(x3)30解析：1)一邊是因式乘積、另一邊是零的形式，其中各因式未知數(shù)的系數(shù)為正。1.23._2)因式(x2)、(x1)，(x3)3的根分別為2、2、3,在數(shù)軸上把它們標(biāo)出(如圖 2)。3)從最大根 3 的右上方開始向左依次穿線，次數(shù)為奇數(shù)的

4、因式的根一次性穿過，次數(shù)為偶數(shù)的因式的根穿而不過。4)數(shù)軸上方曲線對應(yīng)的 x 的取值區(qū)間，為(x2)(-x19軸下萬曲線對應(yīng)的x的取值范圍，為(x2)(-x1)2(x123(x2)(2x1)2(x3)30的解集為(2,2)(2,3)數(shù)軸標(biāo)根法、分式不等式、絕對值不等式一、數(shù)軸標(biāo)根法解不等式例 1.解下列不等式1.(x-1)(x-2)(x+3)02.(x-1)(x-2)(x+3)a(a0)例 3:解下列不等式|x|0)1.2x132.1(x1)03.|x2-2x|x2.4.1(x1)0鞏固練習(xí)1.解不等式2x23x3x27x2.解不等式絲13x3.不等式 2x2x1x的解集是(2012 山東理)

5、若不等式kx42的解集為x1x3,則實(shí)數(shù)k5.6.不等式解法15種典型例題典型例題例1解不等式：(1)2x3x215x0；(x4)(x5)2(2x)30.分析：如果多項(xiàng)式f(x)可分解為n個(gè)一次式的積，則一元高次不等式f(x)0(或(1)解：原不等式等價(jià)于3x3xx2x2x2x2f(x)0)可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況.解：(1)原不等式可化為x(2x5)(x3)0把方程x(2x5)(x3)0的三個(gè)根X0,x23順次標(biāo)上數(shù)軸.(2)原不等式等價(jià)于(x4)(x5)2(x2)30 x50 x(x4)(x2)0 xxx5或5x4或x2說明：用“穿根法”解不等式時(shí)應(yīng)注意：各一次項(xiàng)中奇

6、次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”如圖.x的系數(shù)必為正；對于偶次或，但注意“奇穿偶不穿”，其法典型例題二一,一3例2解下列分式不等式：(1)-x2x24x113x27x2分析：當(dāng)分式不等式化為f(x)0(或g(x)0)時(shí)，要注意它的等價(jià)變形/0f(x)g(x)0；*0f(x)g(x)0g(x)0解法二：原不等式等價(jià)于(x2)x22即x2x4x24(x2)2-或x2x3或1x2,故原不等式的解集為x1x3.3(x2)x(x2)(x2)(x2)x25x60(x2)(x2)(x6)(x1)(x2)(x2)(x6)(x1)(x2)(x2)0(x2)(x2)0用“穿根法”，原不等式解集

7、為(，2)1,26,。,2x23x1(2)解法一：原不等式等價(jià)于二一二03x27x2_22_(2x3x1)(3x7x2)0_2_2_2x3x10_2x3x10或_2_2_1,、1,、x一或一x1或x2,原不等式解集為(32113)(萬1)(2,)。儲用001-1)(3x1)(x2)用“穿根法”，原不等式解集為(113)(2，1)(2,32例 3 解不等式x24x2分析：解此題的關(guān)鍵是去絕對值符號,而去絕對值符號有兩種方法:是根據(jù)絕對值的意義a(a0)a；二是根據(jù)絕對值的性質(zhì):a(a0)因此本題有如下兩種解法.解法一：原不等式xaaxa,x.axa或xa,2_2_x40.x40口口或，即x24x

8、24x2x20例 4 解不等式-一6x50.124xx2典型例題四分析：這是一個(gè)分式不等式，其左邊是兩個(gè)關(guān)于x 二次式的商，由商的符號法則，它等價(jià)于卜列兩個(gè)不等式組:2cLe2x6x50.x或一2一6x504x,所以，原不等式的解集是上面0兩個(gè)不等式級的解集的并集.也可用數(shù)軸標(biāo)根法求解.解法一：原不等式等價(jià)下面兩個(gè)不等式級的并集：x26x50,3x26x50,124xx20124xx20(x1)(x5)0,(x1)(x5)0,或(x2)(x6)0;(x2)(x6)0;1x5,;或,2x6x1,或x5,2,或x61x5,或x2或x6.，原不等式解集是xx2,或1x5,或x6.解法二：原不等式化為

9、(x1)(x5)0.畫數(shù)軸，找因式根，分區(qū)間，定符號.2)(x6)+：-I4：-：+以I$丘(x(x1)(x5)符號(x2)(x6)、，原不等式解集是xx2,或1x5,或x6.說明：解法一要注意求兩個(gè)等價(jià)不等式組的解集是求每組兩個(gè)不等式的交集，再求兩組的解的并集，否則會產(chǎn)生誤解.解法二中，“定符號”是關(guān)鍵.當(dāng)每個(gè)因式 x 的系數(shù)為正值時(shí)，最右邊區(qū)間一定是正值，其他各區(qū)間正負(fù)相間；也可以先決定含 0 的區(qū)間符號，其他各區(qū)間正負(fù)相間.在解題時(shí)要正確運(yùn)用.典型例題五2例5解不等式x一2x-4x.32xx2分析：不等式左右兩邊都是含有x的代數(shù)式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為 0 再解.解：移項(xiàng)整理

10、，將原不等式化為2(x2)(x2x1)0(x3)(x1),由x2x10恒成立，知原不等式等價(jià)于一(x20.(x3)(x1)解之，得原不等式的解集為x1x2或x3.說明：此題易出現(xiàn)去分母得x22x2x(32xx2)的錯(cuò)誤解法.避免誤解的方法是移項(xiàng)使一邊為 0 再解.另外，在解題過程中，對出現(xiàn)的二項(xiàng)式要注意其是否有實(shí)根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學(xué)合理.典型例題六例 6 設(shè)mR,解關(guān)于x的不等式m2x22mx30.分析：進(jìn)行分類討論求解.解：當(dāng)m0時(shí)，因30一定成立，故原不等式的解集為R.當(dāng)m0時(shí)，原不等式化為（mx3）（mx1）0;31_-1一x一；右m0時(shí)，斛仔一xmmm綜上：當(dāng)

11、m0時(shí)，原不等式的解集為.一13當(dāng)m0時(shí)，原不等式的解集為x-x-mm說明：解不等式時(shí)，由于mR,因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因?yàn)楫?dāng)m0時(shí)，原不等式化為30,此時(shí)不等式的解集為R,所以解題時(shí)應(yīng)分m0與m0兩種情況來討論.31一，31、一一,x2后，認(rèn)為一一，這也是易出現(xiàn)的mmmm-31.31m0時(shí)，；當(dāng)m0時(shí)，.mmmm典型例題七x（a0）.分析：先按無理不等式的解法化為兩個(gè)不等式組，然后分類討論求解.ax,2ax-.x1,(2)2,x22(a1)xa210;x1.由判別式4(a1)24(a21)8a0,故不等式x22(a1)xa210的解是a1V2axa1J2a.當(dāng)0a2時(shí)，-a

12、1岳1,a1宿1,不等式組(1)的解是2a1J2ax1,不等式組（2）的解是x1.當(dāng)a2時(shí)，不等式組（1）無解，（2）的解是若m0時(shí)，解得在解出m2x22mx30的兩根為x1錯(cuò)誤之處.這時(shí)也應(yīng)分情況來討論：當(dāng)例 7 解關(guān)于x的不等式J2axa21解：原不等式2axa2(1)1x0,22axa0,(x)2；_22xa20,1x0.綜上可知，當(dāng)0a2時(shí)，原不等式的解集是a1而,式的解集是a2說明：本題分類討論標(biāo)準(zhǔn)“0a2,a2”是依據(jù)“已知a0及(1)中x-,x1,2(2)中xa,x1確定的.解含有參數(shù)的不等式是不等式問題中的難點(diǎn)，也是近幾年2高考的熱點(diǎn).一般地，分類討論標(biāo)準(zhǔn)(解不等式)大多數(shù)情況

13、下依“不等式組中的各不等式的解所對應(yīng)的區(qū)間的端點(diǎn)”去確定.本題易誤把原不等式等價(jià)于不等式2axa2(1x),糾正錯(cuò)誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本類型的解法.典型例題八例 8 解不等式4x210 x33.分析：先去掉絕對值號，再找它的等價(jià)組并求各不等式的解，然后取它們的交集即可.解答：去掉絕對值號得34x210 x33,，原不等式等價(jià)于不等式組2一,4x10 x024x210 x602x(2x5)02(x3)(2x1)0原不等式的解集為價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解.典型例題九例 9 解關(guān)于x的不等式x2(aa2)xa30.分析：不等式中含有字母a,故需分類討論.但解題思路與一般的一元二

14、次不等式的解法完全一樣：求出方程x2(aa2)xa30的根，然后寫出不等式的解，但由于方程的根含有字母a,故需比較兩根的大小，從而引出討論.解：原不等式可化為(xa)(xa2)0.(1)當(dāng)aa2(即a1或a0)時(shí)，不等式的解集為：xxa或xa2；(2)當(dāng)aa2(即0a1)時(shí)，不等式的解集為:34x210 x324x210 x33;當(dāng)a2時(shí)，原不等3.說明：解含絕對值的不等式,關(guān)鍵是要把它化為不含絕對值的不等式,然后把不等式等a2或xa（3）當(dāng)aa45（即a0或 1）時(shí)，不等式的解集為:說明：對參數(shù)進(jìn)行的討論，是根據(jù)解題的需要而自然引出的，并非一開始就對參數(shù)加以4，(x-)(x分類、討論.比如本

15、題，為求不等式的解，需先求出方程的根Xi式的解就是x小于小根或x大于大根.但a與a2兩根的大小不能確定,因此需要討論aa2,2二a三種情況.典型例題十2cxbxa0的解集.的兩根即可解之.c。2一.又axa1、八一，、1）0的解集為2I12。兩邊同除以x2得a（一）2x人1令t一,該方程即為x解：（解法1）由題可判斷出是方程ax2bxc0的兩根,0,0,2cxbx1)(0,x2(1-)x1()(0,即(x1-)(x（解法 2）由題意可判斷出是方程ax2bxc0的兩根,cp2一.又axabxc0的解集是x例 10 已知不等式ax2bxc。的解集是x0）.求不等式分析：按照一元二次不等式的一般解法

16、,先確定系數(shù)c的正負(fù)，然后求出方程cx2bxa0bxc。的解集是對方程cx2bxaat2btc0,它的兩根為說明：解有關(guān)一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號，結(jié)合韋達(dá)定理來解.典型例題十三例 13 不等式的解集為x1x2,求a與b的值.分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為x1x2,不等式ax6bx20需滿足條件a0,0,ax2bx20的兩根為為1,x22.解法一：設(shè)ax2bx20的兩根為x1，x2,由韋達(dá)定理得:bx1x2a解法二：構(gòu)造解集為x|1x2的一元二次不等式：(x1)(x2)0,即x2x20,2一一ab2.此不等式與原不等式axbx20應(yīng)為同解不等式，故需滿足

17、：一一a1,6xx2一a11，XiX211、一211x1,x2一，方程cxbxa0的兩根為一，一-.10，工1.不等式cx2bxa0的解集是x1x工說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),求出相應(yīng)的方程的根;(2)結(jié)合使用韋達(dá)定理，本題中只有不等式系數(shù)a,b,c的關(guān)系也用是已知量，故所求不等式解集也用，表示,表示出來；(3)注意解法 2 中用“變換”的方法求方程的根.典型例題十二例 12分析:解：,若不等式 jax2x1不等式本身比較復(fù)雜，212-x2x1(x)22xb1的解為(-)(1,)，求a、b的值.x2x13要先對不等式進(jìn)行同解變形，3c212-0,x2x1(x

18、-)42再根據(jù)解集列出關(guān)于b式子.0,，原不等式化為(2ab)x2(ab)xab0,依題意2abab2abab2ab01343由題意:ba2aa1,b1,此時(shí)滿足a0,b24a(2)0.112b1.說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系，同時(shí)還考查逆向思維的能力.對有關(guān)字母抽象問題，同學(xué)往往掌握得不好.典型例題十四例 14 解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式解法，因?yàn)楹凶帜赶禂?shù)，所以還考查分類思想.-1x11)010,，不等式的解為x1或x-.a0.，一，111,此時(shí)的解為1x一.當(dāng)a1時(shí)，一1,aa關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來說有三級分0a00a10a0a1a1a的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏.另外，解本題還要注意在討論a0時(shí)，解一