工具變量方法原理

1、工具變量原理教學目的及要求：1、理解引入隨機解釋變量的目的及產生的影響2、理解估計量的漸進無偏性和一致性3、掌握隨機解釋變量OLS的估計特性4、應用工具變量法解決隨機解釋變量問題第一節(jié)隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題產生的原因多元(k)線性回歸模型：Y='+P1X1+PzX2i+PkXki+5(8-1)其矩陣形式為：Y=XB+U(8-2)在多元(k)線性回歸模型中，我們曾經假定，解釋變量Xj是非隨機的。如果Xj是隨機的，則與隨機擾動項Ui不相關。即：CoVXij,Ui)=0(j=1,2,k;i=1,2,'；n)(8-3)許多經濟現象中，這種假定是不符合實際的，因為許多經濟變

2、量是不能用控制的方法進行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能在重復抽樣中得到相同和確定的數值，其取值很難精確控制，也不易用實驗方法進行精確觀測，解釋變量成為隨機變量。又由于隨機項U包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量往往是同模型中相關的變量，因而就很有可能在X是隨機變量的情況下與隨機項U相關，這樣原有的古典假設就不能滿足，產生隨機解釋變量。在聯立方程模型以及模型中包含有滯后內生變量等情況下，如果擾動項是序列相關的，那么均有擾動項和解釋變量之間的相關性的出現，模型就存在隨機解釋變量問題。例如，固定資產投資與國民收入的關系滿足如下模型：It=：0,：Yt,：2',Ut其中

3、，It為t期的固定資產投資，It為t-1期的固定資產投資，Yt為t期的國民收入，因為It是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。再如，消費與收入之間的影響關系模型為Ct"）丫一：2&Ut其中，Ct為t期的消費支出，Ct,為t-1期的消費支出，Yt是t期的收入，因為Ct是隨機變量，故模型中存在隨機解釋變量。二、隨機解釋變量問題的后果模型中，在解釋變量為隨機變量并且與擾動項相關的情況下，應用普通最小二乘法估計參數可能會出現估計的不一致性，使得估計值產生很大的偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗的全面失準，F檢驗失效，t檢驗失去意義。在這種情況下，各種統(tǒng)計檢驗得到的是虛假的結果，不能作為判別估計式

4、優(yōu)劣的依據。隨機解釋變量帶來何種結果取決于它與隨機誤差項是否相關：1）隨機解釋變量與隨機誤差項不相關2）隨機解釋變量與隨機誤差項在小樣本下相關，在大樣本下漸進無關3）隨機解釋變量與隨機誤差項高度相關4）滯后被解釋變量與隨機誤差項相關第二節(jié)隨機解釋變量模型的估計特性我們討論的估計量的性質（包括無偏性、最小方差性）都是在樣本容量一定的情況下的統(tǒng)計性質，在數理統(tǒng)計上叫做小樣本性質。在某些情況下，小樣本時的估計量不具有某種統(tǒng)計性質，但是隨著樣本容量的增大，一個估計量在小樣本時不具有的性質，大樣本時就逐漸具有這種統(tǒng)計性質了，這種性質我們叫做大樣本性質或叫做估計量的漸近統(tǒng)計性質。常用的漸近統(tǒng)計性質有漸近無

5、偏性和一致性。、估計量的漸近無偏性記P(n)代表模型中參數P的估計量，其上標n表示樣本容量。一般來說，n取如下的樣本容量,ni<02<.<nk,P(n)為一隨機變量。隨著樣本容量變量)序列:件n)=g(ni),即2),伊nk),n的增大，估計量吩”構成一個估計量(隨機(8-4)所謂漸近理論就是討論當n變得很大時，以上這些序列會有怎樣的結果。序列監(jiān)如果滿足:limE(F(n)=P(8-5)n_):：則稱P(n)為P的漸近無偏估計。也就是說，當樣本容量越來越大，n趨于出時，慳的均值越來越接近參數的真值P。這里需要注意的是，有些估計量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是無偏的，即是漸

6、近無偏的。例如隨機變量X的樣本方差c21J2Sx一(Xi-X)nid容易證明(在數理統(tǒng)計中已有證明)_221£(&)=:(1)n222其中，仃為總體方差。很明顯，在小樣本下，Sx作為仃的估計量是有偏的，但隨著n的無限增大，E(S2)趨于總體的真正方差仃2,因此是漸近無偏的?？梢?，通過增加樣本容量，可以改善參數估計的精度。、估計量的一致性如果隨著樣本容量的增大，估計量即)幾乎處處趨近于P真值，我們說的)為P的一致估計量,或稱趴n)依概率收斂于P。如果樣本容量無限增大時，伊的分布收斂于P,儼2的方差趨于零,卸)就是P的一致估計量。一致估計量可以記為：pfim/n)=p=1或簡記為

7、Plim那n)=P。式中Plim表示概率極限。n,nj二二n,為簡單起見，可略去上標n，記作Plim?=P概率極限有下列運算法則：Plim(cX)=cPlim(X)c為常數Plim(qX1+qX2)=GPlimX1PlimX2c1,c2為常數Plim(X1X2)=Plim(X1)Plim(X2)Plim(X1)=Plim(Xl),Plim(X2)=0X2Plim(X2)Plim(X,)-Plim(X)產這里需要弄清楚一點是，無偏性與一致性是兩個截然不同的概念，無偏性可以對任何樣本容量成立，而一致性則是對大樣本而言的，是一種漸近性質。在大樣本的條件下，一致估計量具有很高的精度，但在小樣本時一致性

8、不起作用?？梢宰C明，/°為的一致估計量，當且僅當limE(3(n)=Plimvar(區(qū)(n)=0(8-6)n)二n):：時成立。此充分必要條件說明，印是漸近無偏的，且當樣本容量無限增大時留的方差趨于零。上面的討論是對隨機變量而言的，對于隨機向量同樣有類似的結論。三、隨機解釋變量模型OLS估計特性計量經濟模型中一旦出現了隨機解釋變量，如果仍用最小二乘法估計模型參數，不同性質的隨機解釋變量會出現不同的結果。為了簡單起見，我們用一元線性回歸模型進行說明。給定一元線性回歸模型：Yi=久+雙+5(i=1,2,n)(8-7)假設X為一隨機變量，模型滿足其他古典假設條件。對式(8-7),其離差形式

9、為：丫1=01為+5(8-8)其中，yi.Yi-Y，Ui-Ui-U應用普通最小二乘法，則有(8-9)“Xyi把(8-8)中的yi代入(8-9),則可以得到:XiyiXj(2、Xi、Xi2-Ui)-、XiUi=r-1、:2'Xi(8-10)E(烏)=E(二XX1U1普III二XXnUn=E(XiXi幻E(U1)E(X2V,Xi2)E(U2)E(Xi2)E(Un)(8-11)卜面分三種情況討論：1. X和U是獨立的E(P1)=R+E«因Xj和Ui相互獨立，并且E(u)=0E(a)=0Xi故有E(?)=2. Xi與Ui小樣本下相關，大樣本下漸近無關小樣本：E(XiUi)0所以E(P

10、1)?1,最小二乘法估計是有偏的。_1一、一大樣本：Plim(XiUi)=0nr：n對式(8-10)兩邊取概率極限可有Plim(?1)=：1PlimXiUi'、Xi2XiUi(8-12)12、因此，在假定Plim(-ZXi)#0的情況下，有nPlim(?='說明最小二乘估計式也具有一致性特性。3.為與Ui高度相關(8-13)1Plim(KUi)=0n"：n討論一般情況下回歸模型(8-8)式y(tǒng)i-iXiUi(i=12n)(8-14)22假設：丫2(4)=<，Var(ui)=cu,Xi和Ui之間的相關系數是P,如果采用普通最小二乘法估計上式，可以得到:xiuPlim

11、(甘)=P1+Plim2“xi1Plim-%xiui_-：n11一2Plimxin因為：cov(x,u)=P=二Cov(x,u)Var(x)v(Xi-X)(Ui-U)(8-15)/(Xi-X)2x(Ui-U)2x；u；q代入上式即可?？梢?，如果p很高，只有當是很小的情況下,、-x(8-15)式的漸近誤差才是可以忽略的。否則，最小二乘估計式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機解釋變量模型的處理如果模型中存在隨機解釋變量問題，則一般的隨機解釋變量與隨機誤差項之間是相關的，最小乘估計量有偏且不一致，需要利用其他估計方法對模型參數進行估計。一、工具變量法工具變量(InstrumentVariable,IV)

12、法就是當隨機解釋變量與隨機誤差項相關時，尋找一個與隨機解釋變量高度相關，但與隨機誤差項不相關的變量，用該變量替代模型中的隨機解釋變量，進行模型的參數估計。我們稱這一替代隨機解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個條件：第一，工具變量必須是有明確經濟含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機解釋變量高度相關，而又與隨機誤差項不相關；第三，工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關，以免出現多重共線性；第四，模型中的多個工具變量之間不相關。（二）工具變量的應用工具變量對隨機解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對應的隨機解釋變量，而是在

13、最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對隨機解釋變量進行部分替代。對于一元線性回歸模型（8-7）和（8-8）yi=P1Xi+Ui若X與U不相關，U滿足所有的統(tǒng)計假定。應用OLS法，利用微分求極值的辦法求出正規(guī)方程：一一2產xiyi二0乙xi仁（8-16）Y=禽+§Xi現采用另一種方法來導出OLS正規(guī)方程。我們以xi（i=1,2,；n）同乘以yi=P1xi+ui兩邊，得n個式子，求和得：£xy=以£xi2+£xiui（8-17）因為x與U不相關，從而可以略去£xiui=0,就可以得OLS正規(guī)方程。如果x與u相關，則£xui#0,不能用OLS

14、法來估計參數。現在，我們要尋找一個變量Z,Z與X高度相關而與U無關，用zi的離差乘以yi=01xi+ui的兩邊，然后求和得到一個類似于OLS正規(guī)方程的方程。在這里，Z就是工具變量。£zyi=%£zx+£ziui（8-18）由于z與U無關，所以Plim-ZZiUi=0nf：np得:(8-19)(8-20)Zzyi=。1ZZx上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得%zy_Z(Zi-Z)(Yi-Y)iqZZXiZ(Zi-Z)(Xi-X)虱=Y-l?X因此，工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機解釋變量X,從而利用cov(Z,U)=0克服cov(X,U)#0產生的對模型參數估

15、計的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數的估計量。從這一原理理解，OLS法也可以看作是一種工具變量法，即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具變量。容易證明，參數工具變量估計量是有偏的、一致的估計量。在實際經濟分析中，對于工具變量的選擇，一般的做法是：對于時間序列資料，如果被解釋變量Yi、隨機解釋變量Xi、隨機誤差項U三者之間的關系有cov(Xi,Ui)#0,但cov(X-,Ui)=0,cov(Yq,Ui)=0,則可用X-或Y-作為Xi的工具變量。(三)多元線性回歸模型對于k元線性回歸模型：Yi=Po+0人+Xzi+PkXki+5(8-21)其矩陣形式為：Y=XB+U(8-22)假

16、設X1i和Xki為隨機解釋變量，且與隨機誤差項Ui高度相關，Ui滿足最小二乘法的其他假定條件，解釋變量之間無多重共線性。(1)尋找工具變量Zi和Zk。工具變量滿足以下條件：他們是有實際經濟意義的變量；與其對應的隨機解釋變量(乙i對應Xi,Xki對應Zki)高度相關；與隨機誤差項Ui不相關；工具變量乙i和Zki之間不相關；與k元線性回歸模型中其他解釋變量不相關。(2)寫出工具變量矩陣。除了Xit和Xkt之外，k元線性回歸模型的工具變量矩陣為:'1X11X21.Xk111X12X22.Xk2X=1XmX2n.Xkn_(8-23)將X矩陣中的Xii和Xki替換為Zii和Zki,其他外生變量和

17、常數項均由其自身做工具變量，得Z矩陣:一1乙1Z21.Z1乙2Z22.Z.-1.乙n.Z2n.Zk2knk1(3)求出工具變量估計量所以有1一plimZU=0nBiv=(ZX)ZYB?IV是B的一致估計量。(8-24)BIV,沿上述思路，用Z'同乘Y=XB+U兩邊，由于Z和U無關,(8-25)在EViews軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法,在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實現工具變量法估計。(四)工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數估計量，在解釋變量為隨機變量并與隨機誤差項相關的情況下，參數估計值達到了漸近一致。但這種方法在實際應用中會遇到一定困難，主要表現在三個方面：(1)在解釋變量X與隨機誤差項u相關的情況下，要找尋一個既與X高度相關，又與u不相關的工作變量Z十分困難。再加上工具變量Z要具有明確的經濟含義，這就更不容易。(2)在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數估計值也不會一致，使參數估計出現隨意性。工具變量選擇得當，參數估計值的質量會高一點；如果工具變量選擇不得當，參數估計值就會出現較大偏誤。(3)由于使用了工具變量，有可能產生較高的標準差，不能保證參數