工具變量方法原理

1、工具變量原理教學(xué)目的及要求：1、理解引入隨機(jī)解釋變量的目的及產(chǎn)生的影響2、理解估計(jì)量的漸進(jìn)無偏性和一致性3、掌握隨機(jī)解釋變量OLS的估計(jì)特性4、應(yīng)用工具變量法解決隨機(jī)解釋變量問題第一節(jié)隨機(jī)解釋變量問題一、隨機(jī)解釋變量問題產(chǎn)生的原因多元(k)線性回歸模型：Y='+P1X1+PzX2i+PkXki+5(8-1)其矩陣形式為：Y=XB+U(8-2)在多元(k)線性回歸模型中，我們?cè)?jīng)假定，解釋變量Xj是非隨機(jī)的。如果Xj是隨機(jī)的，則與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)Ui不相關(guān)。即：CoVXij,Ui)=0(j=1,2,k;i=1,2,'；n)(8-3)許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，這種假定是不符合實(shí)際的，因?yàn)樵S多經(jīng)濟(jì)變

2、量是不能用控制的方法進(jìn)行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能在重復(fù)抽樣中得到相同和確定的數(shù)值，其取值很難精確控制，也不易用實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行精確觀測，解釋變量成為隨機(jī)變量。又由于隨機(jī)項(xiàng)U包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量往往是同模型中相關(guān)的變量，因而就很有可能在X是隨機(jī)變量的情況下與隨機(jī)項(xiàng)U相關(guān)，這樣原有的古典假設(shè)就不能滿足，產(chǎn)生隨機(jī)解釋變量。在聯(lián)立方程模型以及模型中包含有滯后內(nèi)生變量等情況下，如果擾動(dòng)項(xiàng)是序列相關(guān)的，那么均有擾動(dòng)項(xiàng)和解釋變量之間的相關(guān)性的出現(xiàn)，模型就存在隨機(jī)解釋變量問題。例如，固定資產(chǎn)投資與國民收入的關(guān)系滿足如下模型：It=：0,：Yt,：2',Ut其中

3、，It為t期的固定資產(chǎn)投資，It為t-1期的固定資產(chǎn)投資，Yt為t期的國民收入，因?yàn)镮t是隨機(jī)變量，故模型中存在隨機(jī)解釋變量。再如，消費(fèi)與收入之間的影響關(guān)系模型為Ct"）丫一：2&Ut其中，Ct為t期的消費(fèi)支出，Ct,為t-1期的消費(fèi)支出，Yt是t期的收入，因?yàn)镃t是隨機(jī)變量，故模型中存在隨機(jī)解釋變量。二、隨機(jī)解釋變量問題的后果模型中，在解釋變量為隨機(jī)變量并且與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的情況下，應(yīng)用普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)估計(jì)的不一致性，使得估計(jì)值產(chǎn)生很大的偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗(yàn)的全面失準(zhǔn)，F(xiàn)檢驗(yàn)失效，t檢驗(yàn)失去意義。在這種情況下，各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得到的是虛假的結(jié)果，不能作為判別估計(jì)式

4、優(yōu)劣的依據(jù)。隨機(jī)解釋變量帶來何種結(jié)果取決于它與隨機(jī)誤差項(xiàng)是否相關(guān)：1）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)2）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)在小樣本下相關(guān)，在大樣本下漸進(jìn)無關(guān)3）隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)高度相關(guān)4）滯后被解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)第二節(jié)隨機(jī)解釋變量模型的估計(jì)特性我們討論的估計(jì)量的性質(zhì)（包括無偏性、最小方差性）都是在樣本容量一定的情況下的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)上叫做小樣本性質(zhì)。在某些情況下，小樣本時(shí)的估計(jì)量不具有某種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但是隨著樣本容量的增大，一個(gè)估計(jì)量在小樣本時(shí)不具有的性質(zhì)，大樣本時(shí)就逐漸具有這種統(tǒng)計(jì)性質(zhì)了，這種性質(zhì)我們叫做大樣本性質(zhì)或叫做估計(jì)量的漸近統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。常用的漸近統(tǒng)計(jì)性質(zhì)有漸近無

5、偏性和一致性。、估計(jì)量的漸近無偏性記P(n)代表模型中參數(shù)P的估計(jì)量，其上標(biāo)n表示樣本容量。一般來說，n取如下的樣本容量,ni<02<.<nk,P(n)為一隨機(jī)變量。隨著樣本容量變量)序列:件n)=g(ni),即2),伊nk),n的增大，估計(jì)量吩”構(gòu)成一個(gè)估計(jì)量(隨機(jī)(8-4)所謂漸近理論就是討論當(dāng)n變得很大時(shí)，以上這些序列會(huì)有怎樣的結(jié)果。序列監(jiān)如果滿足:limE(F(n)=P(8-5)n_):：則稱P(n)為P的漸近無偏估計(jì)。也就是說，當(dāng)樣本容量越來越大，n趨于出時(shí)，慳的均值越來越接近參數(shù)的真值P。這里需要注意的是，有些估計(jì)量在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是無偏的，即是漸

6、近無偏的。例如隨機(jī)變量X的樣本方差c21J2Sx一(Xi-X)nid容易證明(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中已有證明)_221£(&)=:(1)n222其中，仃為總體方差。很明顯，在小樣本下，Sx作為仃的估計(jì)量是有偏的，但隨著n的無限增大，E(S2)趨于總體的真正方差仃2,因此是漸近無偏的?？梢?，通過增加樣本容量，可以改善參數(shù)估計(jì)的精度。、估計(jì)量的一致性如果隨著樣本容量的增大，估計(jì)量即)幾乎處處趨近于P真值，我們說的)為P的一致估計(jì)量,或稱趴n)依概率收斂于P。如果樣本容量無限增大時(shí)，伊的分布收斂于P,儼2的方差趨于零,卸)就是P的一致估計(jì)量。一致估計(jì)量可以記為：pfim/n)=p=1或簡記為

7、Plim那n)=P。式中Plim表示概率極限。n,nj二二n,為簡單起見，可略去上標(biāo)n，記作Plim?=P概率極限有下列運(yùn)算法則：Plim(cX)=cPlim(X)c為常數(shù)Plim(qX1+qX2)=GPlimX1PlimX2c1,c2為常數(shù)Plim(X1X2)=Plim(X1)Plim(X2)Plim(X1)=Plim(Xl),Plim(X2)=0X2Plim(X2)Plim(X,)-Plim(X)產(chǎn)這里需要弄清楚一點(diǎn)是，無偏性與一致性是兩個(gè)截然不同的概念，無偏性可以對(duì)任何樣本容量成立，而一致性則是對(duì)大樣本而言的，是一種漸近性質(zhì)。在大樣本的條件下，一致估計(jì)量具有很高的精度，但在小樣本時(shí)一致性

8、不起作用?？梢宰C明，/°為的一致估計(jì)量，當(dāng)且僅當(dāng)limE(3(n)=Plimvar(區(qū)(n)=0(8-6)n)二n):：時(shí)成立。此充分必要條件說明，印是漸近無偏的，且當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)留的方差趨于零。上面的討論是對(duì)隨機(jī)變量而言的，對(duì)于隨機(jī)向量同樣有類似的結(jié)論。三、隨機(jī)解釋變量模型OLS估計(jì)特性計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中一旦出現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量，如果仍用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果。為了簡單起見，我們用一元線性回歸模型進(jìn)行說明。給定一元線性回歸模型：Yi=久+雙+5(i=1,2,n)(8-7)假設(shè)X為一隨機(jī)變量，模型滿足其他古典假設(shè)條件。對(duì)式(8-7),其離差形式

9、為：丫1=01為+5(8-8)其中，yi.Yi-Y，Ui-Ui-U應(yīng)用普通最小二乘法，則有(8-9)“Xyi把(8-8)中的yi代入(8-9),則可以得到:XiyiXj(2、Xi、Xi2-Ui)-、XiUi=r-1、:2'Xi(8-10)E(烏)=E(二XX1U1普III二XXnUn=E(XiXi幻E(U1)E(X2V,Xi2)E(U2)E(Xi2)E(Un)(8-11)卜面分三種情況討論：1. X和U是獨(dú)立的E(P1)=R+E«因Xj和Ui相互獨(dú)立，并且E(u)=0E(a)=0Xi故有E(?)=2. Xi與Ui小樣本下相關(guān)，大樣本下漸近無關(guān)小樣本：E(XiUi)0所以E(P

10、1)?1,最小二乘法估計(jì)是有偏的。_1一、一大樣本：Plim(XiUi)=0nr：n對(duì)式(8-10)兩邊取概率極限可有Plim(?1)=：1PlimXiUi'、Xi2XiUi(8-12)12、因此，在假定Plim(-ZXi)#0的情況下，有nPlim(?='說明最小二乘估計(jì)式也具有一致性特性。3.為與Ui高度相關(guān)(8-13)1Plim(KUi)=0n"：n討論一般情況下回歸模型(8-8)式y(tǒng)i-iXiUi(i=12n)(8-14)22假設(shè)：丫2(4)=<，Var(ui)=cu,Xi和Ui之間的相關(guān)系數(shù)是P,如果采用普通最小二乘法估計(jì)上式，可以得到:xiuPlim

11、(甘)=P1+Plim2“xi1Plim-%xiui_-：n11一2Plimxin因?yàn)椋篶ov(x,u)=P=二Cov(x,u)Var(x)v(Xi-X)(Ui-U)(8-15)/(Xi-X)2x(Ui-U)2x；u；q代入上式即可?？梢?，如果p很高，只有當(dāng)是很小的情況下,、-x(8-15)式的漸近誤差才是可以忽略的。否則，最小二乘估計(jì)式將存在著很大的偏誤。第三節(jié)隨機(jī)解釋變量模型的處理如果模型中存在隨機(jī)解釋變量問題，則一般的隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)之間是相關(guān)的，最小乘估計(jì)量有偏且不一致，需要利用其他估計(jì)方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。一、工具變量法工具變量(InstrumentVariable,IV)

12、法就是當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，尋找一個(gè)與隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)，但與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量，用該變量替代模型中的隨機(jī)解釋變量，進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)。我們稱這一替代隨機(jī)解釋變量的變量為工具變量。（一）選擇工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個(gè)條件：第一，工具變量必須是有明確經(jīng)濟(jì)含義的外生變量；第二，工具變量與其替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)，而又與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)；第三，工具變量與模型中的其他解釋變量也不相關(guān)，以免出現(xiàn)多重共線性；第四，模型中的多個(gè)工具變量之間不相關(guān)。（二）工具變量的應(yīng)用工具變量對(duì)隨機(jī)解釋變量的替代并不是“完全的”替代，即不是用工具變量代換模型中對(duì)應(yīng)的隨機(jī)解釋變量，而是在

13、最小二乘法的正規(guī)方程組中用工具變量對(duì)隨機(jī)解釋變量進(jìn)行部分替代。對(duì)于一元線性回歸模型（8-7）和（8-8）yi=P1Xi+Ui若X與U不相關(guān)，U滿足所有的統(tǒng)計(jì)假定。應(yīng)用OLS法，利用微分求極值的辦法求出正規(guī)方程：一一2產(chǎn)xiyi二0乙xi仁（8-16）Y=禽+§Xi現(xiàn)采用另一種方法來導(dǎo)出OLS正規(guī)方程。我們以xi（i=1,2,；n）同乘以yi=P1xi+ui兩邊，得n個(gè)式子，求和得：£xy=以£xi2+£xiui（8-17）因?yàn)閤與U不相關(guān)，從而可以略去£xiui=0,就可以得OLS正規(guī)方程。如果x與u相關(guān)，則£xui#0,不能用OLS

14、法來估計(jì)參數(shù)?，F(xiàn)在，我們要尋找一個(gè)變量Z,Z與X高度相關(guān)而與U無關(guān)，用zi的離差乘以yi=01xi+ui的兩邊，然后求和得到一個(gè)類似于OLS正規(guī)方程的方程。在這里，Z就是工具變量。£zyi=%£zx+£ziui（8-18）由于z與U無關(guān)，所以Plim-ZZiUi=0nf：np得:(8-19)(8-20)Zzyi=。1ZZx上式稱為擬正規(guī)方程，從而求得%zy_Z(Zi-Z)(Yi-Y)iqZZXiZ(Zi-Z)(Xi-X)虱=Y-l?X因此，工具變量法的基本原理在于：用工具變量代替隨機(jī)解釋變量X,從而利用cov(Z,U)=0克服cov(X,U)#0產(chǎn)生的對(duì)模型參數(shù)估

15、計(jì)的不利影響，形成有效正規(guī)方程組并最終獲得模型參數(shù)的估計(jì)量。從這一原理理解，OLS法也可以看作是一種工具變量法，即利用模型中的各解釋變量作為他們自身的工具變量。容易證明，參數(shù)工具變量估計(jì)量是有偏的、一致的估計(jì)量。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)分析中，對(duì)于工具變量的選擇，一般的做法是：對(duì)于時(shí)間序列資料，如果被解釋變量Yi、隨機(jī)解釋變量Xi、隨機(jī)誤差項(xiàng)U三者之間的關(guān)系有cov(Xi,Ui)#0,但cov(X-,Ui)=0,cov(Yq,Ui)=0,則可用X-或Y-作為Xi的工具變量。(三)多元線性回歸模型對(duì)于k元線性回歸模型：Yi=Po+0人+Xzi+PkXki+5(8-21)其矩陣形式為：Y=XB+U(8-22)假

16、設(shè)X1i和Xki為隨機(jī)解釋變量，且與隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui高度相關(guān)，Ui滿足最小二乘法的其他假定條件，解釋變量之間無多重共線性。(1)尋找工具變量Zi和Zk。工具變量滿足以下條件：他們是有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的變量；與其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)解釋變量(乙i對(duì)應(yīng)Xi,Xki對(duì)應(yīng)Zki)高度相關(guān)；與隨機(jī)誤差項(xiàng)Ui不相關(guān)；工具變量乙i和Zki之間不相關(guān)；與k元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)。(2)寫出工具變量矩陣。除了Xit和Xkt之外，k元線性回歸模型的工具變量矩陣為:'1X11X21.Xk111X12X22.Xk2X=1XmX2n.Xkn_(8-23)將X矩陣中的Xii和Xki替換為Zii和Zki,其他外生變量和

17、常數(shù)項(xiàng)均由其自身做工具變量，得Z矩陣:一1乙1Z21.Z1乙2Z22.Z.-1.乙n.Z2n.Zk2knk1(3)求出工具變量估計(jì)量所以有1一plimZU=0nBiv=(ZX)ZYB?IV是B的一致估計(jì)量。(8-24)BIV,沿上述思路，用Z'同乘Y=XB+U兩邊，由于Z和U無關(guān),(8-25)在EViews軟件中，工具變量法是含在二階段最小二乘法中，所以必須選擇二階段最小二乘法,在“工具變量”的提示后面，輸入所有的工具變量名，即可實(shí)現(xiàn)工具變量法估計(jì)。(四)工具變量法的缺陷從理論上分析，工具變量法可以得到漸近無偏、漸近有效的參數(shù)估計(jì)量，在解釋變量為隨機(jī)變量并與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的情況下，參數(shù)估計(jì)值達(dá)到了漸近一致。但這種方法在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到一定困難，主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：(1)在解釋變量X與隨機(jī)誤差項(xiàng)u相關(guān)的情況下，要找尋一個(gè)既與X高度相關(guān)，又與u不相關(guān)的工作變量Z十分困難。再加上工具變量Z要具有明確的經(jīng)濟(jì)含義，這就更不容易。(2)在能找到符合要求的工具變量條件下，所選擇的工具變量不同，模型參數(shù)估計(jì)值也不會(huì)一致，使參數(shù)估計(jì)出現(xiàn)隨意性。工具變量選擇得當(dāng)，參數(shù)估計(jì)值的質(zhì)量會(huì)高一點(diǎn)；如果工具變量選擇不得當(dāng)，參數(shù)估計(jì)值就會(huì)出現(xiàn)較大偏誤。(3)由于使用了工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標(biāo)準(zhǔn)差，不能保證參數(shù)