機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)題目答案

1、1-1.簡述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計(jì)變量向量x=&X2LXnI使f(x).min且滿足約束條件hk(x)=0(k=1,2,Ll)gj(x)<0(j=1,2,Lm)利用可行域概念，可將數(shù)學(xué)模型的表達(dá)進(jìn)一步簡練。設(shè)同時(shí)滿足gj(x)<0(j=1,2,Lm)和hk(x)=0(k=1,2,Ll)的設(shè)計(jì)點(diǎn)集合為R,即R為優(yōu)化問題的可行域，則優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可簡練地寫成求x使minf(x)符號“w”表示“從屬于"。x三R在實(shí)際優(yōu)化問

2、題中，對目標(biāo)函數(shù)一般有兩種要求形式：目標(biāo)函數(shù)極小化f(x)Tmin或目標(biāo)函數(shù)極大化f(x)Tmax。由于求f(x)的極大化與求_f(x)的極小化等價(jià)，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)一律采用目標(biāo)函數(shù)極小化形式。1-2.簡述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本解法。(不要抄書，要?dú)w納)答：求解優(yōu)化問題可以用解析解法，也可以用數(shù)值的近似解法。解析解法就是把所研究的對象用數(shù)學(xué)方程(數(shù)學(xué)模型)描述出來，然后再用數(shù)學(xué)解析方法(如微分、變分方法等)求出有化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有時(shí)對象本身的機(jī)理無法用數(shù)學(xué)方程描述，而只能通過大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)用插值或擬合方法構(gòu)造一

3、個(gè)近似函數(shù)式，再來求其優(yōu)化解，并通過試驗(yàn)來驗(yàn)證；或直接以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，從任取一點(diǎn)出發(fā)通過少量試驗(yàn)(探索性的計(jì)算)，并根據(jù)試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的比較，逐步改進(jìn)而求得優(yōu)化解。這種方法是屬于近似的、迭代性質(zhì)的數(shù)值解法。數(shù)值解法不僅可用于求復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可以用于處理沒有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化問題。因此，它是實(shí)際問題中常用的方法，很受重視。其中具體方法較多，并且目前還在發(fā)展。但是，應(yīng)當(dāng)指出，對于復(fù)雜問題，由于不能把所有參數(shù)都完全考慮并表達(dá)出來，只能是一個(gè)近似的最后的數(shù)學(xué)描述。由于它本來就是一種近似，那么，采用近似性質(zhì)的數(shù)值方法對它們進(jìn)行解算，也就談不到對問題的精確性有什么影響了。不管是解析解法，還是數(shù)值解

4、法，都分別具有針對無約束條件和有約束條件的具體方法?？梢园凑諏瘮?shù)倒數(shù)計(jì)算的要求，把數(shù)值方法分為需要計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)和零階導(dǎo)數(shù)(即只要計(jì)算函數(shù)值而不需計(jì)算其導(dǎo)數(shù))的方法。2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義?答：二元函數(shù)f(x1,x2)在x0點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面的形式f苕|xo=fcose-互cX1xocx2cos22=xox1次2xo開令f(x0)=應(yīng)=ffT并稱它為函數(shù)f(x1,x2)在x0點(diǎn)處的梯度。開Ix1Fx2xo；2(x0)TJ即函數(shù)f(x1，x2)在x0點(diǎn)處沿某一方向d的xo假設(shè)d=cos911為d方向上的單位向量，則有3|lcosu2Fd方

5、向?qū)?shù)f等于函數(shù)在該點(diǎn)處的梯度Vf(x0)與d方向單位向量的內(nèi)積。cdxo梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度Vf(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-17f(x0)方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。22T2-2.求二兀函數(shù)f(x1,x2)=2x：+x：-2x1+x2在x0=0,0處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解；由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模|Vf(x0)。求f(x1,x2)在x0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如

6、下：f(x0)-f2f2=5(),;X1；X2:1匕1f(X0)_|1一p1f(X°)=一52-3.試求目標(biāo)函數(shù)f（X1,X2）=3xj4x1X2+X2在點(diǎn)X0=1,0T處的最速下降方向，并求沿著該方向移動一個(gè)單位長度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)f=6X1-4x.Xi>2=-4Xi2X2則函數(shù)在X0=1,0T處的最速下降方向是這個(gè)方向上的單位向量是:-6,4T4,2T2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖）一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn)稱f（X）是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。P一(242新點(diǎn)是X1=X0e=新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值i94f(X)=-21313

7、Xi、X2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f（x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對任何的0<0t<1及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2,存在如下不等式:f1：X1-1：工）X2<：.fX1|：1-1X2對于約束優(yōu)化問題minf(x)s.t.gj(x)<0(j=1,2,川，m)若f(x)、gj(x)j=1,2,.,m都是凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖)a,b)內(nèi)答：搜索區(qū)間(a,b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(任取兩點(diǎn)a1,1) f(a1)«f2) f

8、(a1)»f3) f(a1)=fb1,a1«b1,并計(jì)算函數(shù)值f(a1),f(b1)(b1)由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間(b1),同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間(a1,b)內(nèi)(b1),這是極小點(diǎn)應(yīng)在(a1,b1)內(nèi)將有下列三種可能情形;a,bl)內(nèi)fCbl)blftbl)hlb3-2.簡述黃金分割法中0.618的來由，搜索過程及程序框圖。黃金分割法適用于匕,b區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對函數(shù)除要求“單谷”外不作其他要求，甚至可以不連續(xù)。即在搜索區(qū)間b,b內(nèi)適當(dāng)插入值近似解。黃金分割法要求插入點(diǎn)因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方

9、法,兩點(diǎn)0(1、a2,并計(jì)算其函數(shù)值。0(1、a2將區(qū)間分成三段。應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段,使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)必久2的位置相對于區(qū)間A,b兩端點(diǎn)具有對稱性，即工1=b"(ba)a2=a+兒(ba)其中，九為待定常數(shù)。除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。設(shè)原區(qū)間a,b和度為1,如圖a所示，保留下來的區(qū)間1a,0(2長度為,區(qū)間縮短率為九為了保持相同的比例分布，新插入點(diǎn)儀3應(yīng)在入(1九)位置

10、上，豆1在原區(qū)間的1一九位置應(yīng)相當(dāng)于在彳留區(qū)間的人2位置。故有取方程正數(shù)解，得5-10.6182若保留下來的區(qū)間為"，b,根據(jù)插入點(diǎn)的對稱性，也能推得同樣的九值。所謂“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值，即1: '-.:(1-)同樣算得九0.618°可見黃金分割法能使相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618,所以黃金分割法又被稱作0.618法4給定口、尻s口二aa*St.結(jié)能)圖b黃金分割法的搜索過程是：(1) 給出初始搜索區(qū)間b,b鹿收斂精度名，將九賦以0.618。(2) 按坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式0tl=b九(

11、ba)、豆2=a+九(b-a)計(jì)算s和口2，并計(jì)算其對應(yīng)的函數(shù)值f(%),f(a2)o(3) 根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，需進(jìn)行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。(4) 檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足句近，如果條件不滿足則返回到步驟(2)。(5) 如果條件滿足，則取最后兩試驗(yàn)點(diǎn)的平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。(6)黃金分割法的程序框圖如圖b所示。23-3.對函數(shù)f(a)=a+2a,當(dāng)給定搜索區(qū)間-5<a<5時(shí)，寫出用黃金分割法求極小點(diǎn)a的前三次搜索過程。(要列表)解；此時(shí)的a=-5,b=5首先插入兩點(diǎn)a1和a2。

12、可得a1=b-1(b-a)=-1.18,a2=a+,(b-a)=1.18再計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值，得y1=f(a1)=-0.9676,y2=f(a2)=3.7524因?yàn)閥2>y1,所以消去區(qū)間a2,b,則新的搜索區(qū)間a,b的端點(diǎn)a=-5不變，而端點(diǎn)b=a2=1.18第一次迭代；此時(shí)插入點(diǎn)a1=b-Mba)=-2.639,a2=-1.181。相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值y1=f(a1)=1.686,y2=f(a2)=-0.967,由于y1>y2,故消去區(qū)間a,a1,新的搜索區(qū)間為-2.639,1.18,如此繼續(xù)迭代下去列出前三次迭代結(jié)果黃金分割法的搜索過程迭代序號aa1a2bY1比較Y20-5

13、-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.1811.181.686>-0.9672-2.639-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.181-0.279-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間2,6的極小點(diǎn)，寫出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn)Xi=2,x?=4,X3=6,£=104解:1234Xi244.554574.55457X244.554574.736564.72125X36664.73656y0.909297-0.756802-0.987

14、572-0.987572V2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708Xp4.554574.736564.721254.71236yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次數(shù)K=4,極小點(diǎn)為4.71236,最小值為-1y3-y1y2-y1C2-GCi=,C2=，C3=X3-X1X2XX2-X31/C1.Xp=-(X1X3-)2C3收斂的條件:G的共鈍方向。-Vf(x)。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降a應(yīng)取一維搜索的最佳步長。即有kfixk1k1kfx-aIf(x)必

15、要條k和多元復(fù)合E根據(jù)一元函數(shù)極值k1=minfx-a'f(x的數(shù)求導(dǎo)公k得；k)=min.(二)4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共輾梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降。可是在接近極小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下

16、降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共輾梯度法是共趣方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共輾的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共輾梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共輾梯度法實(shí)質(zhì)上是對最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共趣方向的一種共趣方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)f(x)=-xtGx+bTx+c的極小

17、化問題時(shí)形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造2在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次生成共趣方向4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法k1kkX=X-otVf(x)(k=0,1,2,)k、由于最速下降法是

18、以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法k為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-環(huán)(X)能獲得最大的下降值，其步長因子kf(xkTVf(xk)=0或?qū)懗蒳dk411dk=0由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)為勺函數(shù)梯假相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過程。4-3.給定初始值x0=-7,11:使用牛頓法求函數(shù)f(X1,X2)=(X12)2+(X1-2X2)2的極小值點(diǎn)和極小值。解：梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為kf(X1,X2)二2(X1-2)2(X1-2X2)IL4(為2X2)(2分)V2f(x1,X2)=l

19、|4卜4假設(shè)初始值x0=-7,11則if(x。)1-76,116x答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題，它的基本思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)選擇一個(gè)初0始點(diǎn)x,然后決定可行搜索方向d,且以適當(dāng)?shù)牟介La沿d方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1)由于整個(gè)求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲

20、得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2)若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)=x0一.,2fr-f則5(xb=j。X1滿足極值的必曩奈件，x=x1=,f(x4-4.以二元函藪f(x1海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)彳。(2分)=1,x2)為例說明單形替換法的基本原理。答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)x1,x2,x3,以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f(x1)>f(x2)>f(x3),這說明x3點(diǎn)最女f,x1點(diǎn)最差。為了尋

21、找極小點(diǎn)，一般來說。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過x1并穿過x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5使x5=x4+(x4-x1)x5稱作x1點(diǎn)相對于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f(X5,可能出現(xiàn)以下幾種情形；1) f(x5)<f(x3)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說明搜索方向正確，可以往前邁一步，也就是擴(kuò)張口2) f(x3)<f(x5)<f(x2)即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說明反射可行，一反射點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3) f(x2)<f(x5)<f(x1),即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說明x5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。4)f(x5)>f(x1),反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說明收縮應(yīng)該多一些。落新點(diǎn)收縮在x1x4之間5)f(x)>f(x1),說明x1x4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。行計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解口約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義口3)要求可行域?yàn)橛薪?/p>