高一數(shù)學(xué)反三角函數(shù)1

1、6.4反三角函數(shù)(1)反正弦函數(shù)上海市交通大學(xué)附屬中學(xué) 曹建華、教學(xué)內(nèi)容分析根據(jù)反函數(shù)的概念，正弦函數(shù)y=sinx( x R)沒有反函數(shù)但是如果我們適當(dāng)選取實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集卜 ，那么函數(shù)y=sinx , x 卜 ,就存在反函數(shù)，為什么要選取2 2 2 2-,，教師要作必要性說明.我們把函數(shù)y=sinx , x -,的反函數(shù)叫做反正2 2 2 2弦函數(shù)，記作y=arcsinx , x -1 , 1，學(xué)生對符號的arcsinx的理解比較困難，前面符號 中的x必須滿足|x| < 1, arcsinx是-，上的一個(gè)角的弧度數(shù)，這個(gè)角的正弦值為x.2 2根據(jù)互為反函數(shù)間的圖像關(guān)系，函數(shù)y=arc

2、sinx ,x -1,1的圖像和函數(shù)y=sinx , x ,2的圖像應(yīng)該關(guān)于直線y=x對稱，這樣容易作出反正弦函數(shù)的圖像，根據(jù)其圖像可以得到2反正弦函數(shù)y=arcsinx , x -1 , 1是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1 .理解函數(shù)y=sinx (x R)沒有反函數(shù)；理解函數(shù) y=sinx , x -一 ,有反函數(shù);2 2理解反正弦函數(shù) y=arcsinx的概念，掌握反正弦函數(shù)的定義域是-1 , 1，值域是-,-.2 22 .知道反正弦函數(shù) y=arcsinx , x -1 , 1的圖像.3 .掌握等式 sin (arcsinx ) =x, x -1 , 1和 arcsin(-x

3、) =-arcsinx , x -1 , 1.4 .能夠熟練計(jì)算特殊值的反正弦函數(shù)值，并能用反正弦函數(shù)值表示角5 .會用數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想分析和思考問題.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解反正弦函數(shù)概念以及反正弦函數(shù)符號的本質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：反正弦函數(shù)y arcsin x,x 1,1的產(chǎn)生和從本質(zhì)上處理正弦函數(shù)y sinx x R的反函數(shù)問題四、教學(xué)用具準(zhǔn)備直尺、多媒體設(shè)備五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、 情景引入1 復(fù)習(xí)我們學(xué)習(xí)過反函數(shù)，知道，對于函數(shù)y=f (x), x D,如果對它的值域中的任意一個(gè)值y,在定義域D中都有唯一確定的值 x與它對應(yīng)，使y=f (x),這樣得到的x關(guān)于y的函數(shù)叫做

4、y=f (x)的反函數(shù).我們也明確不是任何一個(gè)函數(shù)都存在反函數(shù).函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是對應(yīng)的2 思考那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？說明因?yàn)閷τ谌我徽抑?y都有無數(shù)個(gè)角值 x與之對應(yīng).正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的故而不存在反函數(shù).3 .討論正弦函數(shù)不存在反函數(shù)但只要選取某一區(qū)間使得 y sin x在該區(qū)間上存在反函數(shù) 因變量可以確定自變量， 正弦值可以表示相應(yīng)的角值， 并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦 值表示就可以了 學(xué)生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得 y sinx存在反函數(shù)呢？這個(gè)區(qū)間的選擇依據(jù)兩個(gè)原則：（1）y sin x在所取區(qū)間上存在反函數(shù)；（2） 能取到y(tǒng)si

5、nx的一切函數(shù)值1,1 .可以選取閉區(qū)間一，一，使得y sinx在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個(gè)反函數(shù)就2 2是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù)二、學(xué)習(xí)新課1 概念辨析（1）反正弦函數(shù)的定義：函數(shù)y=sinx , x 卜一,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx , x -1 ,2 21.（2）反正弦函數(shù)的性質(zhì)： 圖像 定義域-1,1 值域-，2 2 奇偶性：奇函數(shù)，即 arcsin (-x) =-arcsinx , x -1 , 1 單調(diào)性：增函數(shù)說明互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線yX對稱，函數(shù)y=sinx , x 卜一,2 2與函數(shù)y=arcsinx , x -1 , 1的圖像關(guān)于直線y X對

6、稱.2 .例題分析例1.求下列反正弦函數(shù)的值:(1) arcsin(2) arcsinO ;(3) arcsin解:(2)因?yàn)?sin0=0，且 0 ,2，所以 arcsin0=0.2(3)因?yàn)閟in，所以 arcsin2(-T) =-3(1)因?yàn)?sin =-，且一 卜 ，所以 arcsin6 2 6 2 2例2用反正弦函數(shù)值的形式表示下列各式的x：(1) sinx=，, x -,i；1(2)sinx=-, x 卜一,；一 2(3)sinx=-3 , x -3n,0.解:(1)因?yàn)閤 -2由定義，可知x=arcs in因此(2)(3)因?yàn)閤 -2由定義，可知x=arcs in11(-)=-a

7、rcsi n55在區(qū)間卜一，0 上,2由定義，可知x=arcs in 3(-)=-arcsi n3在區(qū)間卜n,-上，由誘導(dǎo)公式,2可知x=-n +arcs in，滿足3sinx=-x= arcsin 仝或 x=- n +arcsin 山33例3 化簡下列各式:(1)4arcsin (sin ) ;( 2) arcsin ( sin5* (3) arcsin(sin2007 0)解:(1)因?yàn)? -一，一，設(shè) sin = a，所以227arcsin a =一，即 arcsin (sin7-)7(2)4因?yàn)?而一 -,522，且4sin =sin，設(shè) sin =sin555a,所以 arcs in

8、(sin=arcsin (sinarcs in a =5(3)因?yàn)?sin2007 0=sin ( 5X 360°+207°) =sin207 0=sin (180°+27°) =-sin27所以 arcsin(sin2007 °) = arcsin (-sin27 °) =- arcsin(sin27°)=- 27例4.求函數(shù)f (x) =2arcsin2x的反函數(shù)f-1 (x),并指出反函數(shù)的定義域和值域解：設(shè) y=2arcsin2x，貝U = arcsin2x ,21 1因?yàn)?2x -1 , 1 , arcsin2x

9、卜 _ ,，所以 x -, , y 卜刃，刃，根據(jù)反2 2 2 2正弦函數(shù)的定義，得2x=sin , x=sin ,將x, y互換，得反函數(shù)f-1 (x) =sin ,2 2 2 2 2 11定義域是卜貝，貝，值域是卜，.223 .問題拓展例 1.證明等式：arcsin (-x ) =-arcsinx , x -1 , 1證明： x -1 , 1 , -x -1 , 1二 sinarcsin (-x ) = -x , sin (-arcsinx ) =-sin (arcsinx ) =-x又因?yàn)?arcsin (-x ) -, , -arcsinx -,，且正弦函數(shù)在-,上2 2 2 2 2

10、2單調(diào)遞增，所以arcsin (-x ) =-arcsinx ,x -1,1.說明這是證明角相等的問題，兩個(gè)角僅有同名三角比相等，不能證明這兩個(gè)角相等，教 師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生知道這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，并舉例說明31例2.設(shè)x , , sinx=，用反正弦函數(shù)值表示 x.2233 -一 ,，又 sin (n -x ) =sinx，得 sin 2 27t解：因?yàn)閤 -,，所以（n -x2 2111-x )=一，于是 n -x=arcsin , x= n - arcsin333說明對于用反正弦函數(shù)值表示區(qū)間卜，外的角，教材不作要求，但考慮到在解實(shí)2 2際問題中常要表示鈍角，因此可補(bǔ)充用反正弦函數(shù)值表示鈍角的練習(xí)以

11、上兩例教師應(yīng)根據(jù)各自學(xué)校學(xué)生的實(shí)際情形進(jìn)行教學(xué)三、鞏固練習(xí)判斷下列各式是否成立(1) arcsin 32 arcs亠;(3) arcsin1=2k ., k Z; (4)322arcsin(-)=-arcsin _ ;33(5)sin (arcsin 和2 ) = . 2 ; (6) arcsin6 2解：(1)式成立;、(4)、( 5)各式都不成立，理由是反正弦函數(shù)的定義域?yàn)?1，1 ；( 3)式僅當(dāng)k=0時(shí)成立,k取其他整數(shù)時(shí)，不成立，理由是反正弦函數(shù)的值域?yàn)?(6)式不成立，因?yàn)榕c反正弦函數(shù)的定義不符2四、課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：(1) 反正弦函數(shù)的定義；(2) 反正弦函數(shù)的性質(zhì).五、作業(yè)布置(1)書上練習(xí) 6.4(1)中的1、2、3、4(2)思考題：求函數(shù)f (x) =2 n -arcsin2x 的反函數(shù)f-1 (x)，并指出反函數(shù)的定義域和值域七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明1 關(guān)于教學(xué)內(nèi)容反正弦函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，對后繼課程的學(xué)習(xí)有著重要的作用，特別是在反三角函數(shù)中，反正弦函數(shù)有著模本的作用.而反正弦函數(shù)是反三角函數(shù)單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)課與反函數(shù)的基本概念、性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系， 通過對這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握反正弦函數(shù)的概念，又可使學(xué)生加深對反函數(shù)概念的理解，而且為學(xué)習(xí)其