第八節(jié)無窮小的比較ppt課件

1、 無窮小的比較無窮小的比較 等價無窮小代換原理等價無窮小代換原理第八節(jié)第八節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較一、一、 無窮小的比較無窮小的比較 無窮小量是極限為無窮小量是極限為0的函數(shù)的函數(shù), 但不同但不同的函數(shù)趨于的函數(shù)趨于0的的“速度卻不一定相同速度卻不一定相同. 2 0 , ,2 , ,xxx x當當時時都都是是無無窮窮小小量量y=2xy=x2 20 ,xx但但的的速速度度比比“慢慢” 為了反映在自變量的為了反映在自變量的 同一變化過程中同一變化過程中, 兩個無窮小的趨兩個無窮小的趨近快慢近快慢, 我們用這兩個無窮小量商的極限來描述我們用這兩個無窮小量商的極限來描述, 即稱為階即稱為階.20

2、.xx的的速速度度比比 “快快”y=x2oxy例如例如例如例如,20lim0,3xxx xxxsinlim02201sinlimxxxx2210,3 ,sin ,sin.xx xx xx當當時時都都是是無無窮窮小小上例說明上例說明, 在自變量的在自變量的 同一變化過程中同一變化過程中, 兩個無窮小量兩個無窮小量商的極限不同商的極限不同, 可以反映了兩個無窮小量趨向于零的可以反映了兩個無窮小量趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限型型）（00(1)l)im

3、0(,o 如如果果，就就說說是是比比高高階階的的無無記記窮窮小小作作；定義定義1 1,0. 設(shè)設(shè)是是兩兩同同一一過過程程中中的的個個無無窮窮小小 且且(3)lim0,;C 如如果果就就說說與與同同階階的的無無窮窮小小是是lim1,; 等等價價的的無無窮窮小小特特殊殊地地， 如如果果則則稱稱與與是是記記作作( )lim 如如果果，就就低低階階的的說說是是比比無無窮窮小小(4)lim00,.,kCkk 如如果果就就說說是是階階的的無無窮窮小小的的，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高階的無窮小高階的無窮小是比是比時，時，當當xxx 是是等等價價無無窮窮小小與與時時，當當xxx

4、sin0例如，例如，2(3 )(0).xoxx 即即sin(0).xx x 即即解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx 例例2.1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有時時則則當當uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx時時，即即，當當201cos1(1) lim2xxx 因因為為所以所以, 當當x0時時, 與與 是同階無窮小是同階無窮小. 1cos x 2x所以當所以當 x0時時, ln(1+x) x.0ln(1)(2) limxxx 因因為為 10lim ln(1)ln

5、1xxxe 當當 x0 時下列函數(shù)哪個是其他三個的高階無窮小時下列函數(shù)哪個是其他三個的高階無窮小?22 ; 1cos; ; ln(1).A xBxCxtanxDx 222200011tansin1coslimlimlim022cosxxxxxxxxxxx 因因為為C二二. . 等價無窮小代換原理等價無窮小代換原理證證 必要性必要性設(shè)設(shè), 則則limlim(1)lim10 因而因而( ),( )oo 即即充分性充分性 ( ),o 設(shè)設(shè)則則( )( )limlimlim(1)1oo 即即 (1).o 與與是是等等價價無無窮窮小小的的的的充充要要條條件件為為定定理理意義：用等價無窮小可給出函數(shù)的近似

6、表達式意義：用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0時時當當 xxycos1 221yx .21cos1,sin2xxxx 于是于是limlim 那么那么定理定理2 (等價代換原理等價代換原理)設(shè)設(shè) 為同一極限過程中為同一極限過程中, , , lim 無窮小量且無窮小量且 , ,假設(shè)假設(shè) 存在存在, 證證根據(jù)極限運算法則根據(jù)極限運算法則limlim limlimlimlim 注注1 由此定理可知由此定理可知,求兩個無窮小量商的極限時求兩個無窮小量商的極限時, 如果分子如果分子, 來代換原來的分子和來代換原來的分子和 分母分母, 使得

7、計算簡化使得計算簡化. 分母的等價無窮小量存在分母的等價無窮小量存在, 則就可用它們各自的等價無窮小則就可用它們各自的等價無窮小量量常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax1 ln xaxa 1 (1)1 naaxxn 32011lim1cosxxx 223211(), 1 cos32xxxx 32011lim1 cosxxx 解解2203lim2xxx 那么那么0, x 因因為為當當時時23 例例3求下列函數(shù)的極限：求下列函數(shù)的極限：0sin 5(1) lim;tan

8、 3xxx0, x 因因為為當當時時解解0sin5limtan3xxx所所以以 sin5,tan 33xxxx 05lim3xxx 53 0cos1(2) lim;1xxxe 解解 0, x 因因為為當當時時21cos, 12xxxex 0cos1lim1xxxe 所以所以202limxxx 0lim()02xx 20cos12(3) lim;1xxxe 解解運用等價無窮小的代換運用等價無窮小的代換, 有有20cos12 lim1xxxe 220()22 limxxx 2201 lim()8xxx18 332 lim(52)xxxx 求求極極限限解法一解法一23252525lim( 11)li

9、m33xxxxxxxx 原原式式解法二解法二3323321322323352)lim(52)(52)xxxxxxxx xx 原原式式221322323352lim(52)(52)xxxxxx xx 551 1 13 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x231x221x0limx原式32 若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積, 則可對其則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換, 而不會而不會改變原式的極限改變原式的極限例例4 4

10、2260(1cos ) sinlim.xxxx 求求解解22210, 1cos,sin2xxxxx 當當時時222601()12lim4xxxx 原原式式0(1)sinlim.arcsinxxxx 1 1. .求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx時時當當xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx20112. lim.ln(1)xxxx 求求解解220, 11 .xxxxx 當當時時201()12lim.2xxxx 原原式式0lncos3.limln(1)xxxx 求求0ln(1cos1) limln(1)xxxx 解解 原原式式212200cos11limlim.(

11、)2xxxxxxx1121324.limarctan(1)xxxx 1,xt 解解 設(shè)設(shè)則則003216=limlimarctan3ttxxtxtx 原式原式ln601lim3xxxex 0ln6limln6.3xxxx 20(32sin )35.limtanxxxxx 解解xxxxx20tan3)sin23(lim 23201)sin1(3limxxxxx 2)sin1ln(01lim32xexxx 2320)sin1ln(limxxxx 32sinlim320 xxx3312cos6.limsin()xxx ,3ux 作作變變換換ux 3 則則0,3,ux時時當當并并且且 解解)3cos(

12、21cos21ux 又又)sin3sincos3(cos21uu uusin3cos1 所以所以30312cos1cos3sinlimlimsin()sinuxxuuxu 01coslim3sinuuu 21202lim33uuu 例例5 5.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 注注 只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，不能濫用等價只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，不能濫用等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換. .0limxxxabx 解解0011limlim()xxxxxxababxxx 0011limlimxxxxabxx 00lnlnlimlimxxa xb