應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析習(xí)題解答典型相關(guān)分析.doc

1、第九章典型相關(guān)分析9.1 什么是典型相關(guān)分析？簡(jiǎn)述其基本思想。答： 典型相關(guān)分析是研究?jī)山M變量之間相關(guān)關(guān)系的一種多元統(tǒng)計(jì)方法。用于揭示兩組變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。典型相關(guān)分析的目的是識(shí)別并量化兩組變量之間的聯(lián)系。將兩組變量相關(guān)關(guān)系的分析轉(zhuǎn)化為一組變量的線性組合與另一組變量線性組合之間的相關(guān)關(guān)系?；舅枷耄? 1 )在每組變量中找出變量的線性組合，使得兩組的線性組合之間具有最大的相關(guān)系數(shù)。 即：(1) (1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)若設(shè) X (X1 ,X2 ,L , Xp ) 、 X (X1 , X2 ,L ,Xq )是兩組相互關(guān)聯(lián)的隨機(jī)變量，分別在兩組變量中選取若干有代表性的綜合變量U

2、i、 Vi ，使是原變量的線性組合。Uia1(i)X1(1)a2(i)X2(1)LaP(i)XP(1)a(i)X(1)Vib1(i)X1(2)b2(i)X2(2)Lbq(i)Xq(2)b(i)X(2)在D(aX)D(bX(2) 1的條件下，使得 (aX，bX)達(dá)到最大。(2)選取 和最初挑選的這對(duì)線性組合不相關(guān)的線性組合，使其配對(duì)，并選取相關(guān)系數(shù)最大的一對(duì)。( 3)如此繼續(xù)下去，直到兩組變量之間的相關(guān)性被提取完畢為此。9.2 什么是典型變量？它具有哪些性質(zhì)？答：在典型相關(guān)分析中，在一定條件下選取系列線性組合以反映兩組變量之間的線性關(guān)系，這被選出的線性組合配對(duì)被稱(chēng)為典型變量。具體來(lái)說(shuō)，(1) (

3、1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)X (X1 ,X2 ,L ,Xp ) 、 X (X1 ,X2 ,L , Xq )Ui a1(i) X1(1)a(2i)X2(1)La(Pi)XP(1)a(i)X(1)Vib1(i)X1(2)b2(i)X2(2)Lbq(i)Xq(2)b(i)X(2)在D(a(1)X(1) D(b(1)X(2)1 的 條件 下，使 得 (a(1)X(1),b(1)X(2) 達(dá)到最 大，則 稱(chēng)a(1) X(1)、 b(1)X(2) 是 X(1)、 X(2) 的第一對(duì)典型相關(guān)變量。典型變量性質(zhì)： 典型相關(guān)量化了兩組變量之間的聯(lián)系，反映了兩組變量的相關(guān)程度。1. D(Uk) 1,

4、 D(Vk) 1 (k 1,2,L ,r)Cov(Ui,Uj) 0,2. Cov(Ui,Vj )00Cov(Vi,Vj) 0 (i j )0 (i j,i 1,2,L ,r)(i j)(j r)9.3 試分析一組變量的典型變量與其主成分的聯(lián)系與區(qū)別。答：一組變量的典型變量和其主成分都是經(jīng)過(guò)線性變換計(jì)算矩陣特征值與特征向量得出的。主成分分析只涉及一組變量的相互依賴關(guān)系而典型相關(guān)則擴(kuò)展到兩組變量之間的相互依賴 關(guān)系之中，度量了這兩組變量之間聯(lián)系的強(qiáng)度。9.4 簡(jiǎn)述典型相關(guān)分析中載荷分析的內(nèi)容及作用。答：作用：進(jìn)行典型載荷分析有助于更好解釋分析已提取的p對(duì)典型變量。分析原始變量與典型變量之間相關(guān)性。

5、內(nèi)容:abUiM, *a* bU2V2令A(yù)BUV 一MMMMa(p)b(p)U pVpU A*X VB*X(2)U和V為p對(duì)典型變量組成的向, * * 其中A , B為p對(duì)典型變量系數(shù)向量組成的矩陣,量。則 Cov(U,X)Cov(A*X,X)A*21Corr(Ui,Xk1)Cov(Ui,Xk1)D(Ui) ,D(Xk1)這里D(Ui)RU ,XCov(Ui,X1) D(Xk1).D(Xk1)Corr (U,X)Cov(A*X V1/2 v (1)Cov(U i , kk Xk )kk2。記V111/2為對(duì)角元素是kk1/2的對(duì)角陣，所以有Cov(U,V111/2X(1)111/2X(1)A*

6、 21V111/2類(lèi)似可得:RV,XB*%2 V221/2RU,X(2) A*U2 V221/2RV,X(1)B&21V11"2對(duì)于經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后得到的典型變量有:*RU,Z AZR11；RV,Z BZ R22 RU ,Z A Z R12 ； RV,Z BZR21對(duì)于樣本典型相關(guān)分析，上述結(jié)果中的數(shù)量關(guān)系同樣成立。9.5 簡(jiǎn)述典型相關(guān)分析中冗余分析的內(nèi)容及作用。答：典型冗余分析的作用即分析每組變量提取出的典型變量所能解釋的該組樣本總方差的比例，從而定量測(cè)度典型變量所包含的原始信息量。第一組變量樣本的總方差為 tr(Rn) p ,第二組變量樣本的總方差為tr(R22) q。(

7、1)Az和?z是樣本典型相關(guān)系數(shù)矩陣，典型系數(shù)向量是矩陣的行向量，? AzZ(),V ?z(2)。前r對(duì)典型變量對(duì)樣本總方差的貢獻(xiàn)為25 u? zk ,Ui1 k 1q2rzK2) ,v?k 1tr(?Z1)?1)?Z2)?lL 猾史)tr譚?Z1)?L £)?)r P2rz U?i則第一組樣本方差由前r個(gè)典型變量解釋的比例為Rd(1)? pr q2rzk2) ,V?第二組樣本方差由前r個(gè)典型變量解釋的比例為Rd(2)1V?z |q9.6設(shè)X和Y分別是p維和q維隨機(jī)向量，且存在二階距，設(shè)pwq。它們的第i對(duì)典型變量分別為aX、b(i)Y ,典型相關(guān)系數(shù)為 一。1,L,p)。令X CX

8、 l,Y DY m,其中C、D分別為p p,q q階非奇異陣，l、m分別為p維、q維隨機(jī)向量，試證明 X*、Y*的第i對(duì)典型變量為C 1aX*、D 1bY*。C 1a(i) X*與D 1bY*的典型相關(guān)系數(shù)為9.7對(duì)140名學(xué)生進(jìn)行了閱讀速度X1、閱讀能力所得成績(jī)的相關(guān)系數(shù)陣為10.030.031R =0.24 0.060.59 0.07X2、運(yùn)算速度y1和運(yùn)算能力y2的四種測(cè)驗(yàn),0.24 0.590.06 0.0710.240.241試對(duì)閱讀本領(lǐng)與運(yùn)算本領(lǐng)之間進(jìn)行典型相關(guān)分析。 解：根據(jù)已知可得_ f0,24 O.S9 _ ftf11 - lfj.06 Ogi 皿1/0031-0.0009

9、-1溫)33 = 1-Q.fl576 -1一二一二 二二二一=/0.50S2455 0.07279841X0.0875555 0 01334270=-=的冷比 Q；*遇胃- - -計(jì)算得時(shí)二幻St*,的特征值為 年=0.517878705 /=0.000709502提取第一典型變量為.一.一一/ = -0.512185911H -。制8874餌其中4以二分別為原始變量 屈，x標(biāo)準(zhǔn)化后的結(jié)果。按照常識(shí)，不應(yīng)該有負(fù)數(shù)系數(shù)??？不知道怎么回事。9.8 某年級(jí)學(xué)生的期末考試中，有的課程閉卷考試，有的課程開(kāi)卷考試。44名學(xué)生的成 績(jī)?nèi)缦卤恚洪]卷開(kāi)卷閉卷開(kāi)卷力學(xué)物理代數(shù)分析統(tǒng)計(jì)力學(xué)物理代數(shù)分析統(tǒng)計(jì)XiX2X

10、3X4X5X1X2X3X4X5778267678163788070817573716681557263706863636570635361726473516765656859706862566260586270647260624552646063545567596244505064556365635856373155605776606456544044695353534269615545624661574531496263624461526245494161496412586163674953496247544956475354534659444456556136184450578146526

11、5503532454957643069505245464953593740275461613142485468365951455156405654546565749324542555640426054493340635354252355595344484849513741634946344652534140試對(duì)閉卷（Xi, X2）和開(kāi)卷（X3, X4, X5）兩組變量進(jìn)行典型相關(guān)分析。9.9 鄧訥姆（Dunham）在研究職業(yè)滿意度與職業(yè)特性的相關(guān)程度時(shí)，對(duì)從一大型零售 公司各分公司挑出的 784位行政人員測(cè)量了 5個(gè)職業(yè)特性變量：用戶反饋、任務(wù)重要性、任 務(wù)多樣性、任務(wù)特性及自主性，7個(gè)職業(yè)滿意度變量：主管滿意度、事業(yè)前景滿意度、財(cái)政滿意度、工作強(qiáng)度滿意度、公司地位滿意度、工種滿意度及總體滿意度。兩組變量的樣本相關(guān)矩陣為：1.000.491.00R?110.530.571.000.490.460.481.000.510.530.570.57 1.001.000.43 1.001.000.28 1.000.30 0.35 1.000.27 0.59 0.31 1.000.27R?220.240.340.370.400.33 1.000.26 0.250.54 0.460.32 0.290.58 0.45R?1