初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第23講圓與圓

1、精品文檔第二十三講圓與圓圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關(guān)系有 文檔設(shè)計(jì)者： 設(shè)計(jì)時(shí)間: 文檔類(lèi)型：文庫(kù)精品文檔，歡迎下載使用。Word精品文檔，可以編輯修改，放心下載如下三種方法：1 .通過(guò)兩圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定：2 .通過(guò)兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定：3 .通過(guò)兩圓的公切線的條數(shù)確定.為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以 及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的常用輔助線.熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】如圖，與半徑為4的。02內(nèi)切于點(diǎn)A,經(jīng)過(guò)圓心02,作002的直徑BC交。a于點(diǎn)

2、D, EF為過(guò)點(diǎn)A的公切線，若O2D=20,那么NBAF=度.思路點(diǎn)撥 直徑、公切線、的特殊位置等，隱含豐富的信息，而連0?01必過(guò)A點(diǎn)，先求出ND O2A的度數(shù).注：（1）兩圓相切或相交時(shí)，公切線或公共弦是重要的類(lèi)似于“橋梁”的輔助線，它可以使 弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通.同時(shí)，又是生成圓制定理的重要因 素.（2）涉及兩圓位置關(guān)系的計(jì)算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形, 將分散的條件集中，通過(guò)解直角三角形求解.【例2】如圖，G>Oi與。Ch外切于點(diǎn)A,兩圓的一條外公切線與。01相切于點(diǎn)B,若AB 與兩圓的另一條外公切線平行，則。01與。0?的半徑

3、之比為（）A. 2： 5 B, 1： 2 C. 1： 3 D. 2： 3思路點(diǎn)撥 添加輔助線，要探求兩半徑之間的關(guān)系，必須求出/COQ2（或NDOzOD的度數(shù),為此需尋求NCO】B、ZCOiAv NBOiA的關(guān)系.【例3】 如圖，己知。O1與。02相交于A、B兩點(diǎn)，P是OOi上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交。O?于點(diǎn)C, PA交。O?于點(diǎn)D, CD的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)N.過(guò)點(diǎn)A作AECN交。CM于點(diǎn)E,求證：PA=PE：(2)連結(jié) PN,若 PB=4, BC=2,求 PN 的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥(1)連AB,充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角，證明NPAE=NPEA； (2)PB PC=PD PA, 探尋PN、PD、PA對(duì)應(yīng)三

4、角形的聯(lián)系.【例4】如圖，兩個(gè)同心圓的圓心是O, AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)D, 連結(jié)0D并延長(zhǎng)交大圓于點(diǎn)E,連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F,已知AC=4施，大、小兩圓半徑差 為2.(1)求大圓半徑長(zhǎng)：(2)求線段BF的長(zhǎng)；(3)求證：EC與過(guò)B、F、C三點(diǎn)的圓相切.思路點(diǎn)撥(1)設(shè)大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2,建立R的方程：(2)證明EBCsECF； (3)過(guò)B、F、C三點(diǎn)的圓的圓心0,，必在BF上，連O'C,證明NO' CE=90° .注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對(duì)的圓周角為直角、切線的判定、勾股 定理、相似三角形等豐富的知識(shí).作出圓中基

5、本輔助線、運(yùn)用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵.【例5】 如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓Oi的圓心6在0A上，并與 弧AB內(nèi)切于點(diǎn)A,半圓02的圓心02在0B上，并與弧AB內(nèi)切于點(diǎn)B,半圓01與半圓 02相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為工，而積之和為y.(1)試建立以X為自變量的函數(shù))，的解析式：(2)求函數(shù)3，的最小值.思路點(diǎn)撥設(shè)兩圓半徑分別為R、r，對(duì)于，通過(guò)變形把R5岬"R+r"的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對(duì)于(2),因犬=R+r,故是在約束條件下求)，的最小值,解題的關(guān)鍵是求出R+r的取值范圍.注：如圖，半徑分別為r、R的。Oi、CO?外切于C, AB, CM

6、分別為兩圓的公切線，OQ? 與AB交于P點(diǎn)，則：(1)AB=2v/7 ；(2) ZACB=ZOiMO2=90° ；(3)PC2=PA PB；R (4)sinP=；/? +，(5)設(shè)C到AB的距離為d,則，+，=三. r R d學(xué)力訓(xùn)練1 .已知：。0】和。Ch交于A、B兩點(diǎn)，且001經(jīng)過(guò)點(diǎn)02,若NA0B=9(T ,則NAChB的 度數(shù)是.2 .矩形ABCD中，AB=5, BC=12,如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點(diǎn)D在圓C內(nèi), 點(diǎn)B在圓C外，那么圓A的半徑1的取值范圍.(2003年上海市中考題)3 .如圖：OOi . 002相交于點(diǎn)A、B,現(xiàn)給出4個(gè)命題：(1)若AC是。Ch的

7、切線且交。Oi于點(diǎn)C, AD是。01的切線且交。2于點(diǎn)D,則AB2=BC BD；（2）連結(jié) AB、OQ2，若 OA=15cm, O2A=20cnK AB=24cm» 則 OQ2=25cm：（3）若CA是。01的直徑，DA是。02的一條非直徑的弦，且點(diǎn)D、B不重合，則C、B、 D三點(diǎn)不在同一條直線上，（4）若過(guò)點(diǎn)A作。0i的切線交。02于點(diǎn)D,直線DB交。O1于點(diǎn)C,直線CA交。0?于點(diǎn) E,連結(jié)DE,則DE2=DBDC,則正確命題的序號(hào)是（寫(xiě)出所有正確命題 的序號(hào)）.（第3題）AMOB（第4題）4 .如圖，半圓0的直徑AB=4,與半圓0內(nèi)切的動(dòng)圓Oi與AB切于點(diǎn)M,設(shè)。Oi的半徑 為

8、y, AM的長(zhǎng)為工，則），與x的函數(shù)關(guān)系是,自變量x的取值范圍是.（第5題）5 .如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其 最高點(diǎn)到地而的距離是（）a gd I 6廠 1 +石 n. 6A. 2B. 1 + C. D. 1 + 一2226 .如圖，已知。Oi、。2相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Oi在。2上，過(guò)A作。04的切線AC 交B Ch的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交。Ch于點(diǎn)C, BP交。01于點(diǎn)D,若PD=1, PA=",貝ijAC 的長(zhǎng)為（）A. J5 B. 2y/5 C. 2+M D. 3757 .如圖，OOi和。Ch外切于A, PA是內(nèi)公切線，BC是外公切

9、線，B、C是切點(diǎn)PB=AB： （2）ZPBA=ZPAB；PABsoaB；PB PC=O,A 02A.上述結(jié)論，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48 .兩圓的半徑分別是和r （R>r）,圓心距為d,若關(guān)于x的方程6-2次+ （/?-d）2 =0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是（）A. 一定內(nèi)切 B. 一定外切 C.相交 D.內(nèi)切或外切9 .如圖，和。02內(nèi)切于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P的直線交。于點(diǎn)D,交。02于點(diǎn)E, DA與。02相切，切點(diǎn)為C.求（1） 求證：PC 平分 NAPD；/（2）求證：PD PA=PC2+AC - DC；便若 PE=3, PA=6,求 PC 的

10、長(zhǎng)./10 .如圖，己知。OI和。外切于A, BC是。0和。O2的公切線，切點(diǎn)為B、C,連結(jié) BA并延長(zhǎng)交。Oi于D,過(guò)D點(diǎn)作CB的平行線交。Ch于E、F,求證：（1）CD是。Oi的 直徑：（2）試判斷線段BC、BE、BF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.11 .如圖，已知A是。0卜002的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)M是0Q2的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線BC垂 直于MA,分別交。0卜。02于B、C.求證：AB=AC；（2）若Oi A切切O2于點(diǎn)A,弦AB、AC的弦心距分別為&、d2,求證：di+d2=OiO2;（3）在（2）的條件下,若d&=l,設(shè)。Ob002的半徑分別為R、r,求證：R2+r2=R

11、65;.0（第11題）12 .已知半徑分別為1和2的兩個(gè)圓外切于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到兩圓外公切線的距離為（第12題）（第13期）13 .如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r,則捆扎這7根筷子一周的繩子的長(zhǎng)度為.14 .如圖，和內(nèi)切于點(diǎn)P，。2的弦AB經(jīng)過(guò)。O|的圓心0,交于C、D, 若AC： CD： DB=3： 4： 2,則。Oi與。Ch的直徑之比為（）A. 2： 7 B. 2： 5 C. 2： 3 D. 1： 315 .如圖，）0與。相交，P是。01上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是（）A. 1, 2B. 1, 3C. 1, 2, 3D. 1, 2, 3, 4（第14 «）

12、（第15題）（第16題）16 .如圖，相等兩圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B任作一直線交兩圓于M、N,過(guò)M、N各引所在 圓的切線相交于C,則四邊形AMCN有下而關(guān)系成立（）A.有內(nèi)切圓無(wú)外接圓 B有外接圓無(wú)內(nèi)切圓C.既有內(nèi)切圓，也有外接圓D.以上情況都不對(duì)17 .已知：如圖，。與相交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在。O上，。的弦AC切。P于點(diǎn)A, CP及其延長(zhǎng)線交。PP于點(diǎn)D, E,過(guò)點(diǎn)E作EF_LCE交CB的延長(zhǎng)線于F.（1）求證：BC是G）P的切線；若CD=2, CB=2V2 ,求EF的長(zhǎng)：（第 18 0）（3）若k=PE： CE,是否存在實(shí)數(shù)k,使4PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值：若 不存在，請(qǐng)

13、說(shuō)明理由.（第 17®）18 .如圖，0A和。B是外離兩圓，0A的半徑長(zhǎng)為2, 0B的半徑長(zhǎng)為1, AB=4, P為連 接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切。A于點(diǎn)C, PD切。B于點(diǎn)D.（1）若PC=PD,求PB的長(zhǎng)：（2）試問(wèn)線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使PC2+PD2=47,如果存在，問(wèn)這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)? 并求出PB的值：如果不存在，說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC_LPD時(shí)，就有AAPCs4PED.請(qǐng)問(wèn)：除上述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處（說(shuō)明PB的長(zhǎng)為多少，或PC、PD 具有何種關(guān)系）時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相似：并判斷此時(shí)直線CP與OB的位置關(guān)系，證明你 的

14、結(jié)論.19 .如圖，D、E是AABC邊BC上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZDAE=ZCAF.（1）判斷AABD的外接圓與AAEC的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論：（2）若4ABD的外接圓半徑是AAEC的外接圓半徑的2倍，BC=6, AB=4,求BE的長(zhǎng).20.問(wèn)題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個(gè)圓柱的兩個(gè)底而和一個(gè)圓錐的底而.圖甲圖乙操作：方案一：在圖中卬，過(guò)11一個(gè)僅圓錐底川地大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案（要求，畫(huà)示意圖）.方案二：在圖乙中，設(shè)計(jì)一個(gè)使圓柱兩個(gè)底而最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案（要求：畫(huà)示意圖）；，探究：（1）求方案一中圓錐底面的半徑；（2）求方案

15、二中圓錐底面及圓柱底面的半徑；（3）設(shè)方案二中半圓圓心為0,圓柱兩個(gè)底面的圓心為O、02,圓錐底面的圓心為。3, 試判斷以6、02、03、0為頂點(diǎn)的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明.參考答會(huì)國(guó)IB與BI【例題求解】例1 67.5連O,a必過(guò)A點(diǎn).連AD.解得NQAD=45例 2 選C 連 OiC.aOi.OtD.OiB.ilO.作 GEjQD 于 E,由 ABCDCG _LCD,得 CQ二 NCQB=/CQA, 又由對(duì)稱性知/01凡=/5。4=/八。5=120:故/010止=120-90=30例 3 (1) S AB則NABC-ZE./人8Ch/ADC.；AECN/A8C-/ADC=NE

16、0NPA£,故 PA=PE.(2)旌 AN.則NABC-/PNA-/人DC-/PDN,又/DPN=N，NPA.:PDNs4PNA.：. PN' = PD PA 乂 P3 PC=PD PA.PN=，PB；PC= /4(4 - 2),24.例 4 <l)R*3i(2)連 SC.Xfe-民,/人CE-/EBC,又N8EC=NCEF.AEBCsZECF.EC" = E8 EF.RtACDE 中,DC-十人C=2K，DE=2,EC= /Dr +由-26,連結(jié) E.AE-EC-25/3.ZAEB=-90BE=-一U *2 0七尸=3£-85工(26)'=

17、2«(2病-8尸.解得 BF=i(3)設(shè)過(guò)B.F.C三點(diǎn)所作圓的IB心為O'期©。的直徑為5F,連。C則OCOF，NOFC = NCTCF.Ei£/ECF=/CBF,而/(yFC+NCBF=90'.NOCF+NECF=go，即NEOr = 9(r OCEC.故 EC是的切統(tǒng).例5 設(shè)。的半徑為R.9Q的半程為，”?肥+/)=(/?十，)'-2R0,連0Q.喇(R+,戶="-/?)，+(一，7即R+，+R,= l"尸>(月十工一2】一(/?+了)-辛/+2-2)(2)7 R+，>2 g.： 卑: 2/?r.RN

18、 17R+尸).I. (R+r)r + 4(J?+r)-4>O.V R+ ，>0,1R+，2(a-D,即12(乃一】)，故函數(shù)y品(M+2l2)當(dāng)尸(一1) 時(shí),yY(3-2Gr【學(xué)力訓(xùn)練】1135或 45*2, 1VY8 或 18VY253.4. y=»-yr2 + (0<r<4)5. D 6 B 7. B 8, D 91)過(guò)P作網(wǎng)K的公切坡PTiC2)AC* DC« PC CF.PU+AO DCPCPC CF= PCI PC+ CF>« PC PF,即曼證 PC PEPD PA,由 PDCsPFA 可得， 由PCAsPEC,得第&

19、lt;器,即PC5-PA PE,圖PC-3".10 . (D過(guò)點(diǎn)A作用圈內(nèi)公切妓交8(：于G.連AC.GA-GBGC.AB±AC.(2> 注結(jié) AE.由/BDE-zJ3EA,/EBD公共可證明BAEsABED".黑工軼.即 8F=BA-BD.又 BCC=BA de HuBD.：. BE=BC.tkBE=BFBC11 .(1)分別作 OiDAB 于。a£j_AC 于 E.A8=2AD2AE=AC,(2)0iD+0,E-2AM=OiQ ,即 4 +& =0,。, R&J1A» Rt&A。E,笑然靜5 t /It Ui

20、AAD AE=4 .】4=3，出£.k + 產(chǎn)=0>。，(4+4/=0；丫 故 R?+/=R*/.了zK rIX 413 2(ir+6)r14. D 15. C 16. Du1%(1)略I(2)8ct,CD C£.CE一號(hào)=4,DE-C£-CD=2.PB-1.由 RtEFCooRtABPC 得 EF=.若：=怎存在實(shí)敷人使P8。為等邊三角形.NCPB=60,C8為。P切絳NBCP=30°,PB-/PC.PB = PE '：PC= 2PE.CE- PC+ PE； CE= PE , W A " 空=.LC v1«.POdPA

21、'-ACSFD'-PBz-BDLtft P8=h.PAn47,則 3 1“ （4-”產(chǎn)2解得尸竽,1<¥<2.即PB的長(zhǎng)為號(hào)（PA長(zhǎng)為竽）2八（2）假定存在一點(diǎn) P,使 PC5+PO=4,設(shè)尸B-h,則 P3 = - 1.PU = （4 一2 4一”）2 2-= 4解得 士-2土冬 ?在黃圓網(wǎng)的圓外部分，J1VPBV2.即IV才V2.故演足條件的P點(diǎn)只有一個(gè)，這時(shí)PB = 2孝.當(dāng)PC - PD-2 ' 1或PB=g時(shí),PCAs"DB.這時(shí)備=牛之舒（或笫），NC=NDh90，；. PC AsPDB，/BPD - / APC= Z BPE（ E 在 CP 的延長(zhǎng)線上） 8點(diǎn)在NDPE的角平分餞上，8到PD與PE的距亶相等.與P。相切，也與CP的及長(zhǎng)統(tǒng)P