連續(xù)系統(tǒng)的振動創(chuàng)新之一維波動方程之二梁的彎曲振動ppt課件

1、 實(shí)踐的振動系統(tǒng)都是延續(xù)體，它們具有延續(xù)分布的質(zhì)量實(shí)踐的振動系統(tǒng)都是延續(xù)體，它們具有延續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因此又稱延續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。與彈性，因此又稱延續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。 由于確定延續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需求無限多個坐標(biāo)，由于確定延續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需求無限多個坐標(biāo)，因此延續(xù)體是具有無限多自在度的系統(tǒng)。因此延續(xù)體是具有無限多自在度的系統(tǒng)。 延續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描畫，其運(yùn)延續(xù)體的振動要用時間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來描畫，其運(yùn)動方程不再像有限多自在度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組動方程不再像有限多自在度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。，它是偏微分方程。 在物理本質(zhì)上，延

2、續(xù)體系統(tǒng)和多自在度系統(tǒng)沒有什么差在物理本質(zhì)上，延續(xù)體系統(tǒng)和多自在度系統(tǒng)沒有什么差別，延續(xù)體振動的根本概念與分析方法與有限多自在度系別，延續(xù)體振動的根本概念與分析方法與有限多自在度系統(tǒng)是完全類似的。統(tǒng)是完全類似的。1本章討論的延續(xù)體都假定為線性彈性本章討論的延續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。2資料均勻延續(xù)；各向同性。資料均勻延續(xù)；各向同性。3振動滿足微振動的前提振動滿足微振動的前提 。延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程 動力學(xué)方程動力學(xué)方程1桿的縱向振動桿的縱向振動 討論等截面細(xì)直桿的縱向振動討論等截面細(xì)直桿的縱向振動

3、桿長桿長 l假定振動過程中各橫截面仍堅(jiān)持為平面假定振動過程中各橫截面仍堅(jiān)持為平面截面積截面積 S資料密度資料密度彈性模量彈性模量 E忽略由縱向振動引起的橫向變形忽略由縱向振動引起的橫向變形),(txplx0),(txp單位長度桿上分布的縱向作用力單位長度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：桿參數(shù)：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面在時辰處截面在時辰 t 的縱向位移的縱向位移微段分析微段分析 ),(txplx0 xdxdxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段應(yīng)變：微段應(yīng)變： xudxudxxuu)(橫截面上的內(nèi)力

4、：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達(dá)朗貝爾原理：由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面在時辰處截面在時辰 t 的縱向位移的縱向位移),(txplx0 xdx橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：xuESESF由達(dá)朗貝爾原理：由達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：代入，得： 桿的縱向強(qiáng)迫振動方程桿的縱向強(qiáng)迫振動方程 對于等直桿，對于等直桿，ES 為常數(shù)為常數(shù) ),(1222022txpSxuatu/0Ea

5、 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有：有： 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程2弦的橫向振動弦的橫向振動弦兩端固定，以張力弦兩端固定，以張力 F 拉緊拉緊在分布力作用下作橫向振動在分布力作用下作橫向振動 yxFF),(txpxdx),(txyo建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xoy),(txy弦上距原點(diǎn)弦上距原點(diǎn) x 處的橫截面在處的橫截面在 t 時辰的橫向位移時辰的橫向位移 ),(txp單位長度弦上分布的作用力單位長度弦上分布的作用力 單位長度弦的質(zhì)量單位長度弦的質(zhì)量 微段受力情況微段受力情況 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： dxtxpFdxxFtydx),(

6、)(22弦的橫向強(qiáng)迫振動方程弦的橫向強(qiáng)迫振動方程0F/a令：令：xy并思索到：并思索到：),(1222022txpxyaty得：得：彈性橫波的縱向傳播速度彈性橫波的縱向傳播速度0apdx22tydxdxxdxFF延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程3軸的改動振動軸的改動振動細(xì)長圓截面等直桿在分布細(xì)長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作改動振動扭矩作用下作改動振動 假定振動過程中各橫截面仍堅(jiān)持為平面假定振動過程中各橫截面仍堅(jiān)持為平面截面的極慣性矩截面的極慣性矩 Ip資料密度資料密度切變模量切變模量 G),(txp：單位長度桿上分布的外力偶矩：單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)：桿

7、參數(shù)：),(tx為桿上間隔原點(diǎn)為桿上間隔原點(diǎn) x 處的截面在時處的截面在時辰辰 t 的角位移的角位移截面處的扭矩為截面處的扭矩為 T微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理：pdxTdxxTTtdxIp )(22資料力學(xué)：資料力學(xué)：xGITp 即：即：),(22txpxTtIp ),()(22txpxGIxtIpp

8、 圓截面桿的改動振動強(qiáng)迫振動方程圓截面桿的改動振動強(qiáng)迫振動方程對于等直桿，抗改動剛度對于等直桿，抗改動剛度 GIp 為常數(shù)為常數(shù)),(1222022txpIxatp 有：有：Ga 0剪切彈性波的剪切彈性波的縱向傳播速度縱向傳播速度延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程小結(jié)：小結(jié)：1桿的縱向振動桿的縱向振動 ),(1222022txpSxuatu2弦的橫向振動弦的橫向振動),(1222022txpxyaty雖然它們在運(yùn)動表現(xiàn)方式上并不一樣，但它們的運(yùn)動微雖然它們在運(yùn)動表現(xiàn)方式上并不一樣，但它們的運(yùn)動微分方程是類同的，都屬于一維動搖方程分方程是類同的，都屬于一維動搖方程 。3軸

9、的改動振動軸的改動振動),(1222022txpIxatp 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維動搖方程一維動搖方程 固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動為對象以等直桿的縱向振動為對象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu縱向自在振動方程：縱向自在振動方程：222022xuatu/0Ea 假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動，即設(shè)假設(shè)桿的各點(diǎn)作同步運(yùn)動，即設(shè) ：)()(),(tqxtxuq(t) 表示運(yùn)動規(guī)律的時間函數(shù) )(x桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動振幅處的截面的縱向振動振幅 代入，得：代入，得： )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0

10、延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動)()()()( 20 xxatqtq 記：記：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：確定桿縱向振動的形狀，稱為模態(tài)確定桿縱向振動的形狀，稱為模態(tài) ,21cc由桿的邊境條件確定由桿的邊境條件確定 與有限自在度系統(tǒng)不同，延續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù)與有限自在度系統(tǒng)不同，延續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標(biāo)的延續(xù)函數(shù) ，表示各坐標(biāo)振幅的相對比值，表示各坐標(biāo)振幅的相對比值 由頻率方程確定的固有頻率由頻率方程確定的固有頻率 有無窮多個有無窮多個 i下面講述下面講述延續(xù)系統(tǒng)的振

11、動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動第第 i 階主振動：階主振動：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一對應(yīng)一一對應(yīng))2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動幾種常見邊境條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)幾種常見邊境條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù) 1兩端固定兩端固定邊境條件：邊境條件： 0)()0(), 0(tqtu0

12、)()(),(tqltlu不能恒為零不能恒為零 )(tq0)0(0)(l故：故：0201cossin)(axcaxcx代入模態(tài)函數(shù)代入模態(tài)函數(shù) 02c得：得： 0sin0al桿的縱向振動頻率方程桿的縱向振動頻率方程 無窮多個固有頻率：無窮多個固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii由于零固有頻率對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去由于零固有頻率對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 特征：兩端位移為零特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動2兩端自在兩端自在特征：自在端

13、的軸向力為零特征：自在端的軸向力為零 邊境條件邊境條件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：得：0)( llxicxiicos)(零固有頻率對應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移零固有頻率對應(yīng)的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移0201cossin)(axcaxcx頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況一樣頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況一樣), 2 , 1 , 0(i固有頻率：固有頻率：), 2 , 1 , 0(,0ilaii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：01c得出：得出：0cos0allx0延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動3一端固定，一端自在

14、一端固定，一端自在特征：固定端位移為零特征：固定端位移為零 自在端軸向力為零自在端軸向力為零 邊境條件邊境條件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：得：0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0), 0(tu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii左端自在，右端固定左端自在，右端固定特征：固定

15、端位移為零特征：固定端位移為零 自在端軸向力為零自在端軸向力為零 邊境條件邊境條件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有頻率：固有頻率：0),(tlu模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：lx0延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii邊境條件邊境條件0)(l0)0(0cos0al模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù)lx0延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 ,

16、 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧定，右端與一彈簧銜接。銜接。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0k延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動解：解：邊境條件：邊境條件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu0201cossin)(axcax

17、cx0)0( )( )klESlx 得出：得出：02c000cossinalaESalk常數(shù)klESalaltg00/)/(頻率方程頻率方程振型函數(shù)：振型函數(shù)：xacxii0sin)(延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動例：例：一均質(zhì)桿，左端固一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中定，右端與一集中質(zhì)量質(zhì)量M固結(jié)。固結(jié)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。Mlx0邊境條件：邊境條件：0), 0(tu),(),(22tlxuEStltuM本人推導(dǎo)！本人推導(dǎo)！主振型的正交性主振型的正交性只對具有簡單邊境條件的桿討論主振型的正交性只對具有簡單邊境條件的桿討論主振型的正交性 桿可以是

18、變截面或勻截面的桿可以是變截面或勻截面的 即質(zhì)量密度即質(zhì)量密度及截面積及截面積 S 等都可以是等都可以是 x 的函數(shù)的函數(shù) 桿的動力方程桿的動力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自在振動：自在振動：)(22xuESxtuS 主振動主振動 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(代入，得代入，得 ：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動SES2)(桿的簡單邊境桿的簡單邊境 ：固定端固定端0)( xx = 0 或 l 0)( xES自在端自在端x = 0 或 l 設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并

19、沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)(利用分部積分：利用分部積分： 000()()llljijiijESdxESESdx 00桿的任一端上總有桿的任一端上總有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)(得：得： ljiiljidxSdxES020延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動)(xi乘乘 并沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿桿長對并沿桿長對 x 積分：積分： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijlj

20、idxSdxES020相減：相減： ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 時時那么必有那么必有：桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji 進(jìn)而：進(jìn)而： lijljidxESdxES000)()(ji 桿的主振型關(guān)于剛度的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動0)(022ljijidxS關(guān)于質(zhì)量的正交性關(guān)于質(zhì)量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 關(guān)于剛度的正交性關(guān)于剛度的正交性 當(dāng)當(dāng)ji 時時 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 階模態(tài)主質(zhì)量階模

21、態(tài)主質(zhì)量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 階模態(tài)主剛度階模態(tài)主剛度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 階固有頻率：階固有頻率：主振型歸一化：主振型歸一化： 102 pilimdxS正那么振型正那么振型 2ipik 那么第那么第 i 階主剛度：階主剛度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合寫為：合寫為： jijiij01延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動桿的縱向強(qiáng)迫振動桿的縱向強(qiáng)迫振動 采用振型疊加法進(jìn)展求解采用振型疊加法進(jìn)展求解 ),()(22txpxuESxtuS 強(qiáng)迫

22、振動方程：強(qiáng)迫振動方程：初始條件：初始條件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i曾經(jīng)得出曾經(jīng)得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正那么坐標(biāo)正那么坐標(biāo) 代入方程：代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 兩邊乘兩邊乘j并沿桿長對并沿桿長對 x 積分積分 ： ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()( 利用正交性條件：利用正交性條件：)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(第第 j 個正那么坐標(biāo)的廣義力個正那么坐標(biāo)的廣義力 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向

23、振動),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模態(tài)初始條件的求解模態(tài)初始條件的求解 12011)0()()()0()()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿桿長對并沿桿長對 x 積分，由正交性條件，知有：積分，由正交性條件，知有： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(得：得：)(tqj求得求得 后后可得可得

24、),(txu延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0假設(shè)沿桿身作用的不是分布力，而是集中力假設(shè)沿桿身作用的不是分布力，而是集中力 可表達(dá)成分布力方式：可表達(dá)成分布力方式：)()(),( xtPtxp正那么坐標(biāo)的廣義力：正那么坐標(biāo)的廣義力： )()()()()()(0jljjtPdxxxtPtQ 前述外部鼓勵為分布力前述外部鼓勵為分布力lx0)(tP延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動

25、例：等直桿例：等直桿自在端作用有：自在端作用有： tPtPsin)(0 為常數(shù)為常數(shù)0P求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)呼應(yīng) lx0)(tP延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動解：解：一端固定，一端自在一端固定，一端自在 邊境條件：邊境條件：固有頻率：固有頻率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：代入歸一化條件： 102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(i

26、itPtQ 模態(tài)廣義力：模態(tài)廣義力：第第 i 個正那么方程個正那么方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正那么坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)正那么坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng) ：tiPctqiiisin2sin1)(022 桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動 ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振景象當(dāng)外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振景象 lx0)(tP延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向

27、振動4/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均質(zhì)桿兩端固定。假一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個集定在桿上作用有兩個集中力，如下圖。中力，如下圖。試問：當(dāng)這些力忽然移去時，桿將產(chǎn)生甚么樣的試問：當(dāng)這些力忽然移去時，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動？振動？延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動邊境條件：兩端固定邊境條件：兩端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始條件：初始條件：), 2 , 1(,0ilaii模態(tài)函數(shù)模態(tài)函數(shù) ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：桿的自在振動方程：桿的自在振動方程

28、：222022xuatuEa 0固有頻率：固有頻率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtlaiBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/

29、 l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始條件：初始條件：0)()()0 ,(0ttuxfxu運(yùn)用位移初始條件：運(yùn)用位移初始條件：11sin)(iilxiBxf兩邊乘兩邊乘)(xSj并沿桿長積分，然后利用正交性條件：并沿桿長積分，然后利用正交性條件：lidxlxixflB01sin)(2運(yùn)用速度初始條件：運(yùn)用速度初始條件：02iB延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iB

30、llllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動4/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系統(tǒng)呼應(yīng)：系統(tǒng)呼應(yīng)：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動思索題：思索

31、題：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 軸運(yùn)動的桿。假設(shè)桿的中軸運(yùn)動的桿。假設(shè)桿的中點(diǎn)處忽然被卡住停頓，試求出所產(chǎn)生的自在振動點(diǎn)處忽然被卡住停頓，試求出所產(chǎn)生的自在振動表達(dá)式。表達(dá)式。在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩在此種情況下，可從桿的中點(diǎn)分開，分開的左右兩部分的振動方式一樣，因此只分析右半部分即可。部分的振動方式一樣，因此只分析右半部分即可。提示：提示：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動右半部分為一端固定、另一端自在的桿。右半部分為一端固定、另一端自在的桿。邊境條件：邊境條件：桿的自在振動方程：桿的自在振動方程：222022xuatuEa 0初始

32、條件：初始條件：0)(, 0), 0(2/lxxutuvxuxutx)(, 0)0 ,(本人推導(dǎo)！本人推導(dǎo)！延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動例：例：有一根有一根 x=0 端為自在、端為自在、x=l 端處為固定得桿，固定端端處為固定得桿，固定端接受支撐運(yùn)動接受支撐運(yùn)動tdtugsin)(d為振動的幅值為振動的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。試求桿的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。lx0)(tug延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析應(yīng)變：應(yīng)變： xuudxudxxuu

33、ugg)()(內(nèi)力：內(nèi)力：xuuESESFg)(達(dá)朗貝爾原理：達(dá)朗貝爾原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu桿上距原點(diǎn)桿上距原點(diǎn) x 處截面處截面在時辰在時辰 t 的縱向位移的縱向位移2222)(xuuEStuSg延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2設(shè)解為：設(shè)解為： 1*)()(iiitqxu)(xi為歸一化的正那么模態(tài)為歸一化的正那么模態(tài),.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，

34、得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿桿長積分：乘上式，并沿桿長積分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振

35、動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdillqqiiiisin) 1(2222/ ) 1(2 模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：tdillqiiiisin) 1(222/ ) 1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 ,

36、3 , 132/ ) 1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ ) 1(3322*延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動桿的縱向振動桿振動分析小結(jié)桿振動分析小結(jié)1. 建立動力學(xué)方程建立動力學(xué)方程2. 根據(jù)邊境條件求解固有頻率和模態(tài)根據(jù)邊境條件求解固有頻率和模態(tài)3. 變量分別變量分別4. 代入動力學(xué)方程，并利用正交性條件代入動力學(xué)方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程得到模態(tài)空間方程5. 物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間物理空間初始條件轉(zhuǎn)到模態(tài)空間6. 模態(tài)空間方程求解模態(tài)空間方程求解7. 前往物理空間，得解前往物理空間，得解)()(

37、),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空間問題物理空間問題模態(tài)空間問題模態(tài)空間問題)()(),(1tqxtxuiii 梁的彎曲振動動力學(xué)方程動力學(xué)方程思索細(xì)長梁的橫向彎曲振動思索細(xì)長梁的橫向彎曲振動 ),(txf),(txmyx0梁各截面的中心慣性軸在同一平面梁各截面的中心慣性軸在同一平面 xoy 內(nèi)內(nèi)在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動微振梁在該平面作橫向振動微

38、振 這時梁的主要變形是彎曲變形這時梁的主要變形是彎曲變形伯努利歐拉梁伯努利歐拉梁Bernoulli-Euler Beam f(x,t): 單位長度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：梁參數(shù)：I 截面對中性軸的慣性積 單位體積梁的質(zhì)量單位體積梁的質(zhì)量S 梁橫截面積E 彈性模量外部力：外部力：假設(shè)：假設(shè)：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動動力學(xué)方程動力學(xué)方程),(txf),(txmyx0f(x,t):單位長度梁上分布的外力 m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原點(diǎn)x處的截面在t時辰 的橫向位移

39、 ),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和彎矩截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力微段的慣性力 :22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力 :),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程 ：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 即即 ：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：以右截面上任一點(diǎn)為矩心

40、，力矩平衡： 0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高階小量：略去高階小量：),(txmxMFs資料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：資料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力學(xué)方程：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力學(xué)方程：等截面梁的動力學(xué)方程：等截面梁的動力學(xué)方

41、程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動固有頻率和模態(tài)函數(shù)固有頻率和模態(tài)函數(shù)),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 變截面梁的動力學(xué)方程：變截面梁的動力學(xué)方程：討論梁的自在振動討論梁的自在振動 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx自在振動方程：自在振動方程： 根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設(shè)為：根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設(shè)為： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入自在振動方程：代入自在振動方程：0)(2 SEI對于等截面梁：對于等截面梁：

42、0)()(4)4(xx2024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41( iCi和和應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊境條件確定應(yīng)滿足的頻率方程由梁的邊境條件確定 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁的自在振動方程：等截面梁的自在振動方程： 梁的主振動：梁的主振動： )sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 階主振動：階主振動： )(xii無窮多個無

43、窮多個)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系統(tǒng)的初始條件確定由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加：系統(tǒng)的自在振動是無窮多個主振動的疊加： 1)sin()(),(iiiiitxatxy延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動常見的約束情況與邊境條件常見的約束情況與邊境條件 0),(xtxy0)(x0)( xlx 0 或1固定端固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零撓度和截面轉(zhuǎn)角為零0),(txy2簡支端簡支端撓度和彎矩為零撓度和彎矩為零0),(22xtxyEIM0),(txy0)( x0)(xlx 0 或3自在端自在端彎矩和剪力為零彎矩和剪力為零

44、0),(22xtxyEIM0 xMFs0)( x0)( xlx 0 或)()(),(tqxtxy延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)函數(shù)x0y解：解：一端固定，一端自在一端固定，一端自在邊境條件邊境條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自在端：彎矩和截面剪力為零自在端：彎矩和截面剪力為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：4231,CCCC 以及：以及： 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(

45、cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll21CC、非零解條件：非零解條件：2024aSEIa20延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll簡化后，得：簡化后，得：01coshcos ll頻率方程頻率方程當(dāng)當(dāng) i=1,2,3時時解得：解得：), 4 , 3(,212 iili875. 11 l694. 42 l855. 73 l3 i當(dāng)當(dāng) 時時各階固有頻率：各階固有頻率：2024aSEIa20), 2 , 1(,)(42 iSlEI

46、lii對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcos illlliiiii延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動鉛垂梁的前三階模態(tài)外形鉛垂梁的前三階模態(tài)外形第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)數(shù)解：解：一端圓柱固定鉸一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動

47、鉸另一端圓柱滑動鉸0)0( 0)0( 固定鉸：撓度和截面彎矩為零固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零0)( l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 得：得：031 CC以及：以及： 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l頻率方程：頻率方程：), 2 , 1(, iili固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(,)(2 iSEIlii延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0sin l頻率方程：頻率方程：固有頻率：固有頻率：), 2 , 1(

48、,)(2 iSEIlii0431 CCC模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(,sin)( ixlixi), 2 , 1(, iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一階模態(tài)第一階模態(tài)第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)外形模態(tài)外形節(jié)點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)位置yx0無節(jié)點(diǎn)無節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)一個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)兩個節(jié)點(diǎn)三個節(jié)點(diǎn)三個節(jié)點(diǎn)延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：兩端自在梁的固有頻率和模態(tài)例：兩端自在梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行背景：導(dǎo)彈飛行yx0系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈

49、飛行導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行導(dǎo)彈飛行2延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0頻率方程：頻率方程：1coshcos ll模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：2024aSEIa20其中：其中：), 2 , 1(),sinh(sincoshcos)( ixxxxxiiiiii), 2 , 1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii當(dāng)當(dāng) i=1,2,3時時解得：解得：730. 41 l853. 72 l996.103 l3 i當(dāng)當(dāng) 時時), 4 , 3(,)21( iili自在端：彎矩和截面剪力為零自在端：彎矩和截面剪力為零0)0( 0)0

50、( 0)( l0)( l0 i當(dāng)當(dāng) 時時00 l對應(yīng)剛體模態(tài)對應(yīng)剛體模態(tài)延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第二階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)第五階模態(tài)自在梁的模態(tài)外形自在梁的模態(tài)外形延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。度曲線。延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲

51、振動梁的彎曲振動yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁的自在振動方程：梁的自在振動方程： 邊境條件邊境條件0), 0(ty0), 0(ty固定端：固定端：自在端：自在端：0)0( 0)0( 0),(tly0), 0( ty0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模態(tài)函數(shù)：模態(tài)函數(shù)：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l0)0( 0)0( 0)(l0)( lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0( 031CC13CC0)0( 042CC24CC0)(

52、l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)( l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解條件：非零解條件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC頻率方程：頻率方程：0sincoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069. 7,927. 34321llll對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：), 2 , 1(),si

53、nh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：), 2 , 1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動yx0l第一階模態(tài)：第一階模態(tài)：), 2 , 1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560069. 7927. 321ll例：懸臂梁例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐一端固定，另一端有彈性支撐邊境條件邊境條件0)0( 0)0( 固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等

54、彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：彎矩平衡條件：),(),(222tlykxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡條件：剪力平衡條件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos121

55、1 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0( 0)0( 固定端：固定端：彈性支撐端：彈性支撐端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端條件解得：由固定端條件解得：4231,CCCC 由彈性支撐固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動或或21CC、非零解條件導(dǎo)出頻率方程：非零解條件導(dǎo)出頻率方程：0)cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos

56、1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll1假設(shè)假設(shè)k1、k2 同時為零，那么退化為懸臂梁

57、的情同時為零，那么退化為懸臂梁的情形形延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動2kx0y1kl討論：討論：01coshcosllx0y)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll2假設(shè)假設(shè)k10、k2 無窮大，那么退化為一端固定另一端簡支無窮大，那么退化為一端固定另一端簡支的情形的情形延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動2kx0y1kl討論：討論：0coshsinsinhcosllllx0yl例：懸臂梁自在端附有質(zhì)量例：懸臂梁自在端附

58、有質(zhì)量yx0l0m求頻率方程求頻率方程解：解：0)0( 0)0( 固定端：固定端：自在端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡自在端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡0)( lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例一樣的方法，得頻率方程：利用同上述算例一樣的方法，得頻率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比Slm 為梁質(zhì)量為梁質(zhì)量延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動思索剪切變形使得梁的剛度降低，思索轉(zhuǎn)動慣量使得梁的慣思索剪切變形使得梁的剛度降低，思索轉(zhuǎn)動慣量使得梁的慣性添加，這兩個

59、要素都會使梁的固有頻率降低性添加，這兩個要素都會使梁的固有頻率降低延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動模態(tài)函數(shù)的正交性模態(tài)函數(shù)的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI梁假設(shè)為等截面，那么：梁假設(shè)為等截面，那么： 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx變截面梁的自在振動方程：變截面梁的自在振動方程：主振動：主振動： )sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：代入，得：0)(2 SEI設(shè)：設(shè)：)(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(有：有：延續(xù)系統(tǒng)的振動延續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動梁的彎曲振動0)(2 SEI j

60、jjiiiSEISEI22)()(12j(1)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長對并沿梁長對 x 積分：積分：利用分部積分利用分部積分 ： lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(在梁的簡單邊境上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的在梁的簡單邊境上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零一個同時為零 lljiijdxEIdxEI00)(得得 ： lljiijidxSdxEI002 ljiilijdxSdxEI020)(3)代入代入3式，有式，有 ：i(2)式兩邊乘式兩邊乘 并沿梁長積分可得：并沿梁長積分可得：同理，同理， lljijjidxSdxEI002l