可測函數(shù)列常見的幾種收斂

1、可測函數(shù)列常見的幾種收斂摘要：本文介紹了可測函數(shù)列常見的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等以及它們之間的關(guān)系.關(guān)鍵字：可測函數(shù)列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測度收斂前言在數(shù)學(xué)分析中我們知道一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，比如它能保證函數(shù)列的極限過程和(R)積分過程可交換次序等.可是一般而言函數(shù)列的一致收斂性是不方便證明的，而且有些函數(shù)列在其收斂域內(nèi)也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2函數(shù)f(x)在收斂域0,1內(nèi)不一致收斂，但對于一個6>0當(dāng)6T0時在0,6內(nèi)一致收斂，這不見說明了一致收斂的特殊性，也驗(yàn)證了我們平時常說的“矛盾的同一性和矛盾的斗爭性是

2、相聯(lián)系的、相輔相成的"11可測函數(shù)列幾種收斂的定義1.1 一致收斂網(wǎng)設(shè)f(x),fi(x),f2(x)，fk(x)，是定義在點(diǎn)集E上的實(shí)值函數(shù).若對于V6A0,存在KWN+使得對于Vk>K,Vx=E者B有fk(x)-f(x)：二；則稱fk(x)在E上一致收斂到f(x).記作：fkJf(其中u表示一致uniform).1.2 點(diǎn)點(diǎn)收斂若函數(shù)列f(x),fi(x),f2(x)，fk(x)，在點(diǎn)集due上每一點(diǎn)都收斂，則稱它在D上點(diǎn)點(diǎn)收斂.1例1定義在E=0,1上的函數(shù)列fk(x)=，則fk(x)在E上點(diǎn)點(diǎn)收斂到函數(shù)1kx1,x=0,f(x)=0,0<x<1.而且還能看出

3、fk(x)在b,1】上不一致收斂到f(x),但對于va0,fk(x)在儲1上一致收斂到f(x).1.3幾乎一致收斂3設(shè)E是可測集，若yd>0,3E5cE,使得m(EE©<6,在E上有fk-%f則稱fk(x)在E上幾乎一致收斂與f(x),并記作fk一2tf.(其中a.u.表示幾乎一致almostuniform).例2定義在E=D,1上的函數(shù)fk(x)=xk在10,11上收斂卻不一致收斂.但是只要從0,1的右端點(diǎn)去掉任一小的一段使之成為10,1-6(6a0,6t0網(wǎng)ijfk(x)在此區(qū)間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以稱之為在E=10,1上幾乎一致收斂與0.1.4 幾乎處

4、處收斂3設(shè)f(x),f1(x),f2(x)，fk(x)，是定義在點(diǎn)集E二Rn上的廣義實(shí)值函數(shù).若存在E中點(diǎn)集Z,有m(Z)=0,及對于每一個元素xWEZ,有l(wèi)im.fk(x)-f(x)x則稱fk(x)在E上幾乎處處收斂與f(x),并簡記為fkTf,a.eE或fk-±eTf.若上文的例1也可以稱之為在b,1】上幾乎處處收斂與f(x).1.5 依測度收斂例3在0,1)上構(gòu)造函數(shù)列fk(x)如下：對于kwN+，存在唯一的自然數(shù)i和j,使得k=2+j,其中0MjM2、令fk(x)=,jj1、(x),k=1,2,x0,1).jj1任意給定的0,1)，對于每一個自然數(shù)i,有且僅有一個j,使得飛/

5、,/).數(shù)列f(x0)中有無窮多項(xiàng)為1,有無窮多項(xiàng)為0.由此可知，函數(shù)列fk(x)在0,1)上點(diǎn)點(diǎn)不收斂.因此僅考慮點(diǎn)收斂將得不到任何信息.然而仔細(xì)觀察數(shù)列fk(x0)雖然有無窮多個1出現(xiàn)，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現(xiàn).這一事實(shí)可以用點(diǎn)集測度語言來刻畫.只要k足夠大，對于0<名W1,點(diǎn)集xe0,1)|fk(x)-0之名=x0,1)fk(x)=1二ji-l)2i，2i的測度非常小.事實(shí)上,、1m(xW0,1)fk(x)-0>s).2這樣對于任給的6a0,總可以取到k0,也就是取到i0,使得當(dāng)k>k0時，有m(xw0,1)|fk(x)-0<s)>1-6其中24

6、<6.這個不等式說明，對于充分大的h,出現(xiàn)0的“頻率”接近1.我們將把這樣一種現(xiàn)象稱為函數(shù)列fk(x)在區(qū)間0,1)上依測度收斂到零函數(shù)，并將抽象出以下定義3:設(shè)f(x),f1(x),f2(x)，fk(x)，是可測集E上幾乎處處有限的可測函數(shù).若對于任意給定的名下0,有l(wèi)jmcm(E(fk-f|>®)=0,則稱fk(x)在E上依測度收斂到函數(shù)f(x),記為fk-f.2可測函數(shù)列幾種收斂的關(guān)系2.1 點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂的關(guān)系由上述定義我們可以知道fk-Jf,必有fk(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x).如例1.反之則不一定成立，如例2,而且還可以得到若fk(x)是可測集E上的可測函數(shù)列

7、，則f(x)也是可測函數(shù).2.2 幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系由定義可知有一致收斂必幾乎處處收斂(fkf=fk-'f).反之則不(R)然，如例2.而且還可以得到若fk(x)是可測集E上的可測函數(shù)列，則極限函數(shù)f(x)也是可測函數(shù).應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對于求極限運(yùn)算和積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序.2.3 幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EropoB)定理5:設(shè)m(E)<s,fn是E上一列a.e.收斂于一個a.e.有限的函數(shù)f的可測函數(shù)，則對于任意的0>0,存在子集E盧E,使fn在E上一致收斂，且m(EEJ.注定理中“m(E)<

8、;8"不可去掉如：例4定義在E=(0,+2)的函數(shù)列(m=1,2;).工1,x(0,mfm(x);0,x(m,二)則fm在(0,+g)上處處收斂于1，但對于任何正數(shù)6及任何可測集Ed，當(dāng)時m(EE)m6時，fm在E臺上不一致收斂于1.這是因?yàn)?，?dāng)時m(EEp*時，E6不能全部含于(0,m中，必有Xm=EdA(m-He),于是有著(4)=0.SUp|fm(x)-1引fm(Xm)1|=1xEc.所以fm(x)在E上不一致收斂與1,也即定理中“m(E)<s"不可去掉4.由定義我們知道一致收斂必是幾乎處處收斂的，反之則不成立.但它們又有密切的關(guān)系，即使上述定理告訴我們幾乎處處

9、收斂“基本上”是一致收斂的(在除去一個測度為任意小集合的子集上).應(yīng)用由上述定理我們還可以得到“魯津定理”：設(shè)f(x)是E上a.e.有限的可測函數(shù)，則對于任意的6A0,存在閉子集F5aE,使f(x)在F6上是連續(xù)函數(shù)，且m(EF/<6.也就是說：在E上ae有限的可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個測度為任意小集合的子集上).也即我們可以用連續(xù)函數(shù)來逼近a.e.有限的可測函數(shù).2.4 幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系例5取E=(0,1,將E等分，定義兩個函數(shù)：1，f1(x);0,1x(0,-2,x(1,1210,x(0,-f2(x)=12.1,x(-,12然后將(0,1四等分、八等分等等.

10、一般的，對于每個n,作2n個函數(shù):1,fj(x)=0,xWj=1,2，2n.我們把fj(x),j=1,2，,2n,先n按后按j的順序逐個的排成一列：f1(x),f2(1)(x),f1(x),f2(n)(x),f2n(n)(x),(1)fj(n)(x)在這個序列中是第N=2n-2+j個函數(shù).可以證明這個函數(shù)列是依測度收斂于零的.這是因?yàn)閷τ谌魏蔚呢晗?,E.fj(n)-Qa或是空集(當(dāng)仃1),或是(方1,/(當(dāng)0仃M1),所以m(Efj(n)-0'*)E?(當(dāng)時仃1時，左端為0).由于當(dāng)N=2n2+j(j=1,2，2n.)趨于年時n-»g,由此可見(Nimcm(Efj-0之仃)

11、=0,也即fj(n)(x)J0.但是函數(shù)列(1)在上的任何一點(diǎn)都不收斂.事實(shí)上，對于任何點(diǎn)x0w(0,1,無論n多么大,總存在j'使選寧/因而心()=1，然而或。尸0,換言之，對于任何xow(0,1,在f儀。)中必有兩子列，一個包為1,另一個包為0.所以序列(1)在(0,1上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.這也就說明依測度收斂的函數(shù)列不一定處處收斂，也就是說依測度收斂不能包含幾乎處處收斂，但仍有：黎斯(F.Riesz)5設(shè)在E±培測度收斂于f,則存在子列fj在E上a.e收斂于f.例6如例4,當(dāng)fm(x)T1(nT*當(dāng)xwE.但是當(dāng)0仃1時，E|fm-1之。=(m,+s)且m(m,+8)=箋

12、.這說明fn不依測度收斂于1.這個例子又說明了幾乎處處收斂也不包含依測度收斂，但是有下述關(guān)系：勒貝格(Lebesgue)5設(shè)mE電，fn是E上a.e.有限的可測函數(shù)列，fn在E上a.e.收斂于a.e.有限白函數(shù)f,則fn(x)Jf(X).此定理中的“mE®"不可去掉，原因參看例1,定理也說明在的在的條件mE下，依測度收斂弱于幾乎處處收斂.有以上定理黎斯又給出了一個用幾乎處處收斂來判斷依測度收斂的充要條件：設(shè)mER,儲是E上的可測函數(shù)列，那么fn依測度U斂于f的充要條件是：fn的任何子列fnk中必可找到一個幾乎處處收斂于f的子序列.證明(必要性)由于fn依測度U斂于f,由定義

13、知道這時fn的的任何子序列fnk必也依測度收斂于f,由黎斯定理可知fnk中必存在幾乎處處收斂于f的子序列.(充分性)如果fn不依測度收斂于f,即存在一個仃0,使得m(E|f|士。)不趨于0.因此必有子序列3,使得nkJ_：二)=a.0.這樣fnj就不可能再有子序列幾乎處處收斂于f了，否則由勒貝格定理知將有九limm(E(fnk-f遼)=0.kJack這與上式矛盾，所以fn依測度U斂于f.應(yīng)用依測度收斂在概率統(tǒng)計(jì)中有重要的意義，如例3；它也是證明中心極限定理的重要依據(jù)，由中心極限定理我們可以知道用一個正態(tài)分布來模擬一個樣本容量較大的樣本的概率分布，從而簡化了大樣本概率分布的處理和計(jì)算口.結(jié)束語：上述定義中的各種收斂的極限函數(shù)都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂是最強(qiáng)的收斂，它蘊(yùn)含了點(diǎn)點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等上述幾種收斂.各種收斂都有不同的意義，在各種實(shí)踐中作用也各不同.參考文獻(xiàn)：1馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組.馬克思主義基本原理概論M.高等教育出版社，2009,72華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)