基于matlab的信號(hào)合成與分解

1、為了便于進(jìn)行周期信號(hào)的分析與處理，常要把復(fù)雜的周期信號(hào)進(jìn)行分解，即將周期信號(hào)分解為正余弦等此類基本信號(hào)的線性組合，通過(guò)對(duì)這些基本信號(hào)單元在時(shí)域和頻域特性的分析來(lái)達(dá)到了解信號(hào)特性的目的。本文主要闡述了傅立葉級(jí)數(shù)的推演過(guò)程，從而得出周期信號(hào)的分解與合成的基本原理。1緒論研究信號(hào)是為了對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理和分析，信號(hào)處理是對(duì)信號(hào)進(jìn)行某些加工或變換，目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，濾除各種干擾和噪聲，或?qū)⑿盘?hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于分析和識(shí)別。信號(hào)的特性可以從時(shí)間特性和頻率特性兩方面進(jìn)行描述，并且信號(hào)可以用函數(shù)解析式表示（有時(shí)域的，頻域的及變化域的），也可用波形或頻譜表示。系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是分析系統(tǒng)對(duì)指定激勵(lì)

2、所產(chǎn)生的影響。其分析過(guò)程主要包括建立系統(tǒng)模型，根據(jù)模型建立系統(tǒng)的方程，求解出系統(tǒng)的響應(yīng)，必要時(shí)對(duì)解得的結(jié)果給出物理解釋。系統(tǒng)分析是系統(tǒng)綜合與系統(tǒng)診斷的基礎(chǔ)。任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)都是由各種不同頻率、幅度和初相的正弦波疊加而成的。對(duì)周期信號(hào)由它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式可知，各次諧波為基波頻率的整數(shù)倍。而非周期信號(hào)包括了從零到無(wú)窮大的所有頻率成分，每一個(gè)頻率成分的幅度均趨向無(wú)窮小，但其相對(duì)大小式不同的。信號(hào)的分解與合成周期信號(hào)的信號(hào)分解與合成設(shè)有周期信號(hào),，它的周期為T(mén),角頻率“-加/-T,則/的三角傅里葉級(jí)數(shù)表示的一般形式為/（。=詼+叫COSWt+QyCOSH?f+*-+COS皿+也+、-*

3、VE<（2.2-1）2jicj=其中,可以寫(xiě)成更緊湊的和式為：/(/)=£?0+>&COS印W/+2btisinflivf=S(ancosnwt+bnsinfl=式（2.2-1）中的系數(shù)4、”稱為傅里葉系數(shù)，4為/在函數(shù)COSHWf中的分量（相對(duì)大?。?；"為/在函數(shù)sin小農(nóng)中的分量，它可由式（2.1-7）求得。為簡(jiǎn)便，式（2.1-7）的積分區(qū)間（"/+）取為（一了萬(wàn)）或（°，?。??？紤]到正、余弦函數(shù)的正交條件（2.1-3）,由式（2.1-7）,可得傅立葉系數(shù)tl/COSRWY流4勉（2.2-2）周期信號(hào)也可分解為一系列余弦信號(hào)，即：

4、/（，）=%+.cos®，+.J+c2cos（2o）Z+5）+團(tuán)ff-.方波信號(hào)的分解與合成現(xiàn)以周期為T(mén)、幅值為1的方波信號(hào)為例方波信號(hào)的分解與合成1121由式（2）可得圖1周期為T(mén)的方波圖2j2JDcos(/iQrfr+yj2(l)cos(nQf)rfZ=A'sinSQf):+-sin(flQr)I考慮到吟,可得fl=0bnQt)dtcos(«Qz)TnQ-cosfwQOl?n=2,4,6,國(guó)n=1,3,5,囪4/(o=-it2一l-cos(?zjt)=4tmfTJt將它們代入（1）式，可得圖1所示的方波信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為sin(Qf)+-sin(3Qf)+

5、-sin(5Q/)+團(tuán)+sin(«Qf)+35n它只含一、三、五、等奇次諧波分量方波信號(hào)的分解仿真由周期T=1為例：圖2為周期為T(mén)=1的方波信號(hào)，經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解以后而得到的基波到七次諧波的仿真圖，左上角為基波圖，它是一個(gè)非常正規(guī)的正弦波，幅值在1到1.5之間，要高于原方波的幅值。而且它的角頻率與原方波信號(hào)相同。右上角為三次諧波圖，其也是正弦波，明顯，其幅值降到了0.5以下，但是三次諧波的頻率是基波的1.5倍。其它圖形依次為五次諧波，七次諧波。拈波三出譜波圖2周期為T(mén)=1方波信號(hào)的分解圖方波信號(hào)的合成仿真圖3為方波信號(hào)分解以后取有限次諧波的合成波形。左上方圖是單獨(dú)的基波，是正弦波，波

6、身較為平滑，波峰和波谷尖銳。右上方是基波和三次諧波疊加而成的波，大體仍是正弦的形式，但是波身已經(jīng)比單獨(dú)的基波較為陡峭，波峰和波谷出現(xiàn)波動(dòng)，已經(jīng)趨向方波，有了方波的雛形。以下依次疊加起五次諧波，七次諧波的波形。圖3周期為T(mén)=1方波信號(hào)的合成圖圖4偶次諧波與奇次諧波的對(duì)比由圖4可以看出，由于原方波信號(hào)經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解后，偶次諧波不存在,所以在圖中只能觀察到奇次諧波。方波信號(hào)的頻譜圖圖5方波信號(hào)的頻譜圖圖5為周期信號(hào)的頻譜圖，在頻譜圖中，0）=1時(shí)，信號(hào)的幅值在1.2至U1.4之間，。）=2時(shí)，信號(hào)的幅值為0,。）=3時(shí)，幅值在0.2至I0.4之間，=4、5、6、7、時(shí)，幅值有起伏，但總體趨勢(shì)是呈下

7、降趨勢(shì)。方波信號(hào)的誤差分析方波信號(hào)的誤差分析表3-1方波信號(hào)前七項(xiàng)合成的誤差分析前N之和基波基波十三次諧波基波十三次諧波十五次諧波基波十三次諧波十五次諧波+七次諧波en(t)0.99800.99600.99400.9920由圖6和表3-1知道，在信號(hào)合成時(shí)，其疊加的諧波次數(shù)越多，將產(chǎn)生的誤差值將越小，說(shuō)明，合成波形越加的向原三角波形靠近。三角波信號(hào)的分解與合成現(xiàn)以周期為T(mén)、幅值為1的三角波信號(hào)如圖7進(jìn)行信號(hào)分解與合成仿真為例三角波的分解與合成1以周期T=2U的三角波為例：三祝諧波王枇諧波圖10三角信號(hào)與分解的前次諧波分解的對(duì)比圖圖10為三角信號(hào)的分解圖，左上角是分解后基波的圖形，它的幅值接近0

8、.5,而周期和原三角波的周期一樣，是1。右上角是分解后的三次諧波的圖形，具幅值接近于0.05,周期也減小，在0.3至I0.4之間。后兩幅分別為五次諧波和七次諧波分解出來(lái)的圖形，明顯它們的幅值依次減小，周期也依次減小。3.2.3三角信號(hào)的合成仿真圖11為三角波形分解合成的圖形，左上角是單獨(dú)基波的圖形，明顯，它是一個(gè)余弦波，周期是2JI,波峰和波谷比較平滑，右上角是基波與三次諧波疊加以后的波形，這時(shí)已經(jīng)有了三角波的雛形，波峰和波谷已經(jīng)明顯的尖銳了。圖12分別為基波到五次諧波的疊加和基波到七次諧波的疊加，它們已經(jīng)逐漸形成了三角波形，波峰和波谷更加尖銳。圖13分別為三角波奇次諧波與偶次諧波合成波形?？?/p>

9、以看出，由于三角波信號(hào)經(jīng)傅立葉級(jí)數(shù)分解后，偶次諧波不存在，所以在圖中只能觀察到奇次諧波。圖11周期三角信號(hào)的合成圖直流分量短波圖12周期三角信號(hào)與前七次諧波疊加的對(duì)比圖3.2.4o.«o.<口若0.3Q250.2D15EM0050三角信號(hào)的頻譜圖14三角信號(hào)的頻譜圖圖14為周期三角信號(hào)的頻譜圖，在頻譜圖中，0)=1時(shí)，信號(hào)的幅值在0.4到0.45之間，=2時(shí)，信號(hào)的幅值為0,0)=3時(shí)，幅值在0.05到0.1之間，0)=4、5、6、7、時(shí)，幅值有起伏，但總體趨勢(shì)是呈下降趨勢(shì)3.3結(jié)論一、周期信號(hào)的頻譜圖有以下特點(diǎn)：(1)離散性。頻譜圖中的變量為由于n只能是整數(shù)(單邊頻譜中是正整數(shù))，因而譜線是離散的而非連續(xù)的，譜線的間隔是1,所以周期信號(hào)的頻譜是離散頻譜。(2)諧波性。由于n只取整數(shù)，因而譜線在頻譜軸上的位置是基頻9的整數(shù)倍。(3)收斂性。幅度譜中各譜線的高度盡管不一定歲隨諧波次數(shù)的增高作單調(diào)的減小，中間有可能有起伏，但總的趨勢(shì)是隨n的增高而減小的，當(dāng)n為X時(shí)，高度趨于零。二、任何周期信號(hào)都可以由一系列的正弦(或余弦)波組成，隨著諧波次數(shù)的增大，諧波的幅值越來(lái)越小，頻率越來(lái)越大