全國中學(xué)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第 一 試 時間：10月16日一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、設(shè)銳角使關(guān)于x的方程有重根，則的弧度數(shù)為（ ）A. B. C. D. 2、已知。若對所有，則b的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 3、不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 4、設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比為（ ）A. 2B. C. 3D. 5、設(shè)三位數(shù)，若以a，b，c為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三位數(shù)n有（ ）A. 45個B. 81個C. 165個D. 216個6、頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的

2、點(diǎn)，O為底面圓的圓心，垂足為B，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時，OB的長是（ ）A. B. C. D. 二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，函數(shù)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成的封閉圖形的面積是_。8、設(shè)函數(shù)，且對任意，則=_。9、如圖、正方體中，二面角的度數(shù)是_。10、設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)，正整數(shù)k使得也是一個正整數(shù)，則k=_。11、已知數(shù)列滿足關(guān)系式，則的值是_。12、在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點(diǎn)M（1，2）和N（1，4），點(diǎn)P在X軸上移動，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為_。三、解答題（本題滿分60

3、分，每小題20分）13、一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過關(guān)。問：（）某人在這項(xiàng)游戲中最多能過幾關(guān)？（）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點(diǎn)數(shù)的均勻正方體。拋擲骰子落地靜止后，向上一面的點(diǎn)數(shù)為出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。）14、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)。（）求點(diǎn)P的軌跡方程；（）若直線L經(jīng)過的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。15、已知是方程的兩個不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)椤＃ǎ┣?；（）證明：對于，若 。

4、二四年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1、評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其他中間檔次。2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時可參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次。一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1、解：因方程有重根，故 得，于是。 故選B。2、解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部。故選A。3、解：原不等式等價于設(shè)解得。即。故選C。4、解：如圖，設(shè)D，E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，則由（1

5、）（2）得，即共線，且， 故選C。解法2 如圖建立坐標(biāo)系，分別設(shè)，則 由得， 故選C5、解：a，b，c要能構(gòu)成三角形的邊長，顯然均不為0。即（1）若構(gòu)成等邊三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為，由于三位數(shù)中三個數(shù)碼都相同，所以，。（2）若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三位數(shù)的個數(shù)為，由于三位數(shù)中只有2個不同數(shù)碼。設(shè)為a、b，注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組（a，b）共有。但當(dāng)大數(shù)為底時，設(shè)a>b，必須滿足。此時，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共20種情況。同時，每個數(shù)碼組（a，b）中的二個數(shù)碼填上三個數(shù)位，有

6、種情況。故。綜上，。6、解：。C是PA中點(diǎn)，最大，也即最大。此時，故選D。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7、解：，它的最小正周期為，振幅為。由的圖像與的圖像圍成的封閉圖形的對稱性，可將這圖形割補(bǔ)成長為、寬為的長方形，故它的面積是。8、解：=即。9、解：連結(jié)，垂足為E，延長CE交于F，則，連結(jié)AE，由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)AC，設(shè)AB=1，則中，在的補(bǔ)角，。10、解：設(shè)，從而是平方數(shù)，設(shè)為。（負(fù)值舍去）11、解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。12、解：經(jīng)過M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設(shè)圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的

7、圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過M，N，P三點(diǎn)的圓S必與X軸相切于點(diǎn)P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應(yīng)的切點(diǎn)分別為，而過點(diǎn)M，N，的圓的半徑大于過點(diǎn)M，N，P的圓的半徑，所以，故點(diǎn)P（1，0）為所求，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1。三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、解：由于骰子是均勻的正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的。（）因骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為6，而，因此，當(dāng)時，n次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于已不可能。即這是一個不可能事件，過關(guān)的概率為0。所以最多只能連過4關(guān)。.5分（）設(shè)事件為“第n關(guān)過關(guān)失敗”，則對立事件為“第n關(guān)過關(guān)成功”。第

8、n關(guān)游戲中，基本事件總數(shù)為個。第1關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為2（即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為1和2這兩種情況），過此關(guān)的概率為：。第2關(guān)：事件所含基本事件數(shù)為方程當(dāng)a分別取2，3，4時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個）。過此關(guān)的概率為：。 .10分第3關(guān)：事件所含基本事件為方程當(dāng)a分別取3，4，5，6，7，8時的正整數(shù)解組數(shù)之和。即有（個）。過此關(guān)的概率為：。.15分故連過前三關(guān)的概率為：。.20分（說明：第2，3關(guān)的基本事件數(shù)也可以列舉出來）14、解：（）直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè)，即，化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為圓S：.5分（）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分圓S： 與雙曲線

9、T：因?yàn)锽（1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由，解得，且知它在圓S上。直線L經(jīng)過D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為（i）當(dāng)k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個公共點(diǎn)。.10分（ii）當(dāng)時，L與圓S有兩個不同的交點(diǎn)。這時，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個公共點(diǎn)只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時L的斜率，直線L的方程為。代入方程得，解得。表明直線BD與曲線

10、T有2個交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個交點(diǎn)C、F。故當(dāng)時，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個公共點(diǎn)。.15分情況2：直線L不經(jīng)過點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長與S有兩個不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡得該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是或解方程得，解方程得。綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。.20分15、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。.5分.10分（）證：.15分，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，.20分.2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試卷考生注意：1、本試卷共三大題，全卷滿分150分2、卷面的第1頁、第3頁、第5頁印有試題，第2頁、第4頁、第6頁是空白頁，留作答題用3、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答4、解題書寫不要超出裝訂線一（本題滿分50分）在銳角三角形中，上的高與上的高相交于點(diǎn)，