誤差理論與測量平差基礎習習題集3

1、第七章間接平差§7-1間接平差原理 在間接平差中，獨立參數(shù)的個數(shù)與什么量有關誤差方程和法方程的個數(shù)是多少 在某平差問題中，如果多余現(xiàn)測個數(shù)少于必要觀測個數(shù)，此時間接平差中的法方程和條件平差中的法方程的個數(shù)哪個少，為什么 如果某參數(shù)的近似值是根據(jù)某些現(xiàn)測值推算而得的，那么這些觀測值的誤差方程的常數(shù)項都會等于零嗎 在圖7-1所示的閉合水準網(wǎng)中，A為已知點（HA=，P1，P2為高程未知點，測得離差及水準路線長度為：h1= ,S1=2km，h2 =，S2 = 2km,h3 = - ,S3 = lkm。試用間接平差法求各髙差的平差值。 在三角形(圖7-2)中，以不等精度測得 =78º

2、23´12"，P=1; = 85º30 '06 "，Pß =2; =16º06'32"，P=1; =343º53'24", P=1； 試用間接平差法求各內角的平差值。 7. 設在單一附合水準路線(圖7-3)中已知A,B兩點高程為HA，HB，路線長為S1，S2，觀測高差為h1 h2，試用間接平差法寫出P點高程平差值的公式。 7. 在測站0點觀測了6個角度(如圖7-4所示)，得同精度獨立觀測值:L1=32º25'18", L2 =61º14'

3、;36",L3=94º09'40",L4 172010'17"L5=93º39'48", L6=155º24'20"已知A方向方位角A =21º10'15"，試按間接平差法求各方向方位角的平差值。§7-2誤差方程 在間接平差中，為什么所選參數(shù)的個數(shù)應等于必要觀測數(shù)，而且參數(shù)之間要函數(shù)獨立 能否說選取了足夠的參數(shù)，每一個觀側值都能表示成參數(shù)的函數(shù) . 10在平面控制網(wǎng)中，應如何選取參數(shù) . 11條件方程和誤差方程有何異同 誤差方程有哪些特點 . 1

4、3圖7-5中,A,B為已知點，P1 P5為待定點，P1, P5兩點間的邊長為已知，L1L6為角度觀測值，S1S6為邊長觀測值，試確定圖中獨立參數(shù)的個數(shù)。 在圖7-6中， A,B已知點，P1 P3為未知點，觀測角度L1L11，若設角度觀測值為參數(shù)獨立參數(shù)有哪些角 試列出圖7-7中各圖形的誤差方程式(常數(shù)項用字母表示) (I)A,B,C,D為已知點，P1 、P5為未知點.觀測高差h1h5，設h2，h4為參數(shù); (2)A,B為已知點，P1 P3為未知點，觀側高差h1h7，設P1點高程、高差h3，h5為參數(shù);(3) P1 P4為未知點，觀測高差h1h6，設P1 P3點的高程為參數(shù) 在直角三角形(圖7-

5、8)中，測得三邊之長為L1 L2和L3若設參數(shù)X=X1X2T=L1L3T，試列出該圖形的誤差方程式。 . 17為確定某一直線方y(tǒng)=ax+b，在Xi(i=1,2,5)處(設xi無誤差)觀側了5個觀側值yixi/cm12345yi/cm試列出確定該直線的誤差方程。 7. 2. 18。在待定點P上,向已知點A,B,C進行方向觀測。如圖7-9所示,設ZP為零方向定向角平差值, Li( i=1，2，3)為方向觀測值，A,B,C點的坐標及P點的近似坐標均列于表中，試列出全部觀側值的誤差方程。點號X/mY/m觀測值（º´"）AZP21 03 42BL125 18 38CL271

6、 28 54PL3102 22 367. 2. 19在圖7-10中,A ,B ,C為已知點，今在其間加測一點P，其近似坐標為XP0 =, YP0465. 844m. 已知起算數(shù)據(jù)和觀測值列十表中，試列出全部觀測點號坐標X/mY/mABC734. 058 角號1234觀測值79º51'20"53º35'50"66º50'10"63º00'43" 圖7-ll中，A,B,C為已知點，P為待定點，網(wǎng)中觀測了3條邊長L1L3，起算數(shù)據(jù)及觀測數(shù)據(jù)均列于表中，現(xiàn)選待定點的坐標平差值為參數(shù)，其坐標近

7、似值為XP0=57 , YP0=70 998. 26m，試列出各觀測邊長的誤差方程式點號坐標X/mY/mABC58 51 74 300. 08673 編號L1L2L3觀測值/m有邊角網(wǎng)如圖7-12所示，A，B，C為已知點，P1P2為待定點，角度觀測值為點號近似坐標X0/mY0/mP1P2L1L7，邊長觀測值為S，已知點坐標和觀測數(shù)據(jù)均列于表中，若設待定點坐標為參數(shù)，試列出全部誤差方程。點號坐標X/mY/mABC角號觀測值角號觀測值L133º24´10"L534º04´45"L270º44´46"L664&

8、#186;30´22"L332º23´52"L731º49´18"L436º09´48" 有一中心在原點的橢圓，為了確定其方程，觀測了10組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，10)，已知xi無誤差、試列出該橢圓的誤差方程。為確定某一拋物線方程y2 =ax，觀測了6組數(shù)據(jù)(xi，yi) (i=1,2,.，6)，已知xi無誤差，yi為互相獨立的等精度觀測值，試列出該拋物線的誤差方程。 某一平差問題列有以下條件方程:V1-V2+V3 +5=0,V3-V4-V5 -2=0,V5-V6-V7 +3

9、=0,V1+V4+V7 +4=0, 試將其改寫成誤差方程。 某一平差問題列有以下誤差方程:V1 =-X1+3，V1 =-X2-1，V1 =-X1+2，V1 =-X2+1，V1 =-X1+ X2-5， 試將其改寫成條件方程。§7-3精度評定 對控制網(wǎng)進行間接平差，可否在觀側前根據(jù)布設的網(wǎng)形和擬定的觀測方案來估算網(wǎng)中待定點的精度，為什么 在間談平差中，計算VTPV有哪幾種途徑簡述其推導過程。 為什么要求參數(shù)函數(shù)的協(xié)因數(shù)Q 如何求Q 7. 3. 29已知某平差問題的誤差方程為V1 =-x1,V2 =-x1+2,V3 =x2-1,V4 =-x2,V5 =-x1+x2-3,觀測值的權陣為： ，

10、 試求參數(shù)及協(xié)因數(shù)陣。 7. 已知某平差問題的誤差方程為:V1 =x1+2,V2 =-x1+x2-3,V3 =x2 - 1,V4 =-x1 + 6,V5 =-x2 + 5, 觀測值的權陣為單位陣，試根據(jù)誤差方程求單位權中誤差估值。 如圖7-13所示的水準網(wǎng)中，A,B為已知點P1 P3為待定點，觀測高差h1 h5，相應的路線長度分別為4km,2km,2km,2km,4km，若已知平差后每千米觀測高差中誤差的估值認km =3mm.試P2點平差后高程的中誤差。對某水準網(wǎng)列出如下誤差方程x,已知QLL =I,試按間接平差法求:(1)未知參數(shù)X的協(xié)因數(shù)陣;(2)未知數(shù)函數(shù)=X1-X2的權設由同精度獨立觀

11、測值列出的誤差方程為試按間接平差法求QX ，QLX， QLV， QL。 . 34在間接平差中，X與L、L與V是否相關試證明之。 如圖所示的水準網(wǎng)中，A為已知水準點，B,C,D為待定高程點，觀測了6段高差h1h6,線路長度S1 =S2 =S3 =S4=1km, S5 =S6=2km，如果在平差中舍去第6段線路的高差h,，問平差后D點高程的權較平差時不舍去h6時所得的權縮小了百分之幾 7. 如圖7-15所示的水準網(wǎng)中，A，B為已知點，P1P3為待定點，獨立觀測了8段路線的高差h1h8，路線長度S1 =S2 =S3 =S4=S5 =S6 =S7 =1km,S8=2km,試問平差后哪一點高程精度最高，

12、相對于精度最低的點的精度之比是多少 在圖7-16所示的三角形中，A,B為已知點，C為待定點。A,B點的已知坐標,C點的近似坐標及AC和BC邊的近似邊長列于圖中(均以km為單位)，試按間接平整法求C點坐標的權倒數(shù)和相關權倒數(shù)(設"=2x105,參數(shù)以m為單位)。某一平差問題按間接平差法求解，已列出法方程為8x12x2+=0，-2x1+7x2-=0， 試計算函數(shù)的=-x1+x2權。XDx1 在三角網(wǎng)(如圖所示)中，A,B,C為已知點，D為待定點，觀測了6個角度L1 L6,設D點坐標為X=XDXDT參數(shù)，已列出其至已知點同的方位角誤差方程:DA= - 4. 22xD+ 1. 04yD,DB

13、=xPyDDA xD + yD,試寫出角BDC平差后的權函數(shù)式。 7. 有水準網(wǎng)如圖7-18所示，A,B,C,D為已知點，P1、P2為未知點，觀測高差h1- h5，路線長度為S1 =S2 =S5 =6km,S3 =8km,S4 =4km，若要求平差后網(wǎng)中最弱點平差后高程中誤差5mm，試估算該網(wǎng)每千米觀測高差中誤差應為多少。 在圖7-19的大地四邊形中，A,B為已知點，C,D為未知點，L1L8為角度觀測值，若設未知點的坐標為參數(shù)，試寫出求CD邊長平差值中誤差的權函數(shù)式。§7-4水準網(wǎng)平差示例7. 4. 42 在水準網(wǎng)平差中，定權式為Pi=CSi，Si以km為單位，當令c=2時，經(jīng)平差計

14、算求得的單位權中誤差0代表什么量的中誤差在令c=1和c=2兩種情況下，經(jīng)平差分別求得的V, L，0以及PVV相同嗎” 在圖7-20所示的水準網(wǎng)中，A,B為已知點HA=10. 210m,HB=,觀測各點間的高差為: h1 =, h2=, h3=0. 235m, h4=-2. 311 m, h5=0. 150m, h6 =,h7 = ,h8 =-2. 166m 設觀測值的權陣為單位陣(各路線長度相同)，試按間接平差法求待定點C,D,E最或是高程及其中誤差。 7. 4. 44水準網(wǎng)(如圖7-21所示)中，A,B為已知點，HA =, HB = ,觀測高差和各路線長度為:h1 =1. 157m, S1

15、=2km,h2=, S2 =2km,h3 =, S3 =2km,h4=0. 663m, S4 =2km,h5 =, S5 =4km, 試按間接平差法求 (1)待定點C,D最或是高程;(2)平差后C,D間高差的協(xié)因數(shù)Q 及中誤差 (3)在令c=2和c=4兩種情況下，經(jīng)平差分別求得的Q，是否相同為什么 有水準網(wǎng)如圖7-22所示，A,B為已知點，HA=21. 400m，HB =23. 810m，各路線觀側離差為： h1 =, h2 = , h3=0. 446m, h4 = -3, 668m, h5=1. 250m, h6= h7 = 設觀測高差為等權獨立觀測值.試按間接平差法求P1 P2 P3等待定

16、點平差后的高程及中誤差。在圖7-22所示的水準網(wǎng)中，加測了兩條水準路線8,9（如圖7-23所示),h8 =,h9=，其余觀測高差見題。設觀側高差的權為單位陣， (1)增加了兩條水準路線后，單位權中誤差是否有所變化 (2)增加了兩條水準路線后，待定點P1 P2 P3平差后高差的權較之未增加兩條水準路線時有何變化§7-5間接平差特例直接平差有附合水準路線(圖7-24),P為待定點，A,B為已知點其高程為HA HB ，觀測高差為h1， h2，相應的路線長度為S1 km, S2 km，試求P點平差后高程的權PX。 7. 5. 48在如圖7-25所示的水準網(wǎng)中已知高程HA =53 m, HB

17、= m,測得高差(設每條線路長度相等) h1 = mh2 = mh3= mh4 = m 試求: (I)P點高程的平差值; (2)P點平差后高程的權倒數(shù)。 在如圖7-26所示的水準網(wǎng)中，A,B,C為已知點，P為待定高程點，已知HA =, HB = 22. 870 m, HC = ，觀測高差及相應的路線長度為: h1 = h2 =, h3= , S1 =2km, S2 =6km, S3 =3km, 試求;(1)P點的最或是高程; (2)P點平差后高程的權(當c=1時) 按不同的測回數(shù)觀測某角，其結果如下:觀測值測回數(shù)78º18´05"5095088147156103設

18、以5測回為單位權觀測試求(1) 該角的最或是值及其中誤差(2)一測回的中誤差§7-6三角網(wǎng)坐標平差 在圖7-27所示的測角網(wǎng)中，,C為已知點，P點為待定點。已知點坐標和P點的近似坐標為: XA =4 728. 008 m,YA=227. 880 m; XB =4 m, YB=; XC =4 750. 191 m, YC=;XP0=4 881. 27m, YP0=346. 86m。 角度同精度觀測值:L1= 94º29'32", L2=44º20'36. 3", L3=47º19'43. 3",L, =

19、85º59'51. 6", 設P點的坐標平差值為未知參數(shù), X=XPYPT，試按間接平差法， (1)列出誤差方程及法方程; (2)計算P點坐標平差值及協(xié)因數(shù)陣QX， 在三角形ABC中(如圖7-28所示)A,B為已知點， C點為待定點，已知點坐標為: XA=1km, YA=1km, XB=1km, YB=6km, C點的近似坐標為: XC0=, YC0=., 近似邊長：SAC0=，SBC0=5. 0km L1，L2，L3，是同精度角度觀測值。試按間接平差法求C點坐標的權倒數(shù)及相關權倒數(shù)。 在圖7-29所示的三角網(wǎng)中A,B為已知點， P1 ，P2為待定點，已知點坐標為X

20、A=867. 156m, XA=252. 080m,X8 =638. 267m,Y, =,待定點近似坐標為:XP10=，YP10=，XP20=，YP10=，同精度角度觀測值為:L2=94º15'21", L2=43º22'42", L2=38º26'00",L2=102º35'52", L2=38º58'01", L2=42º21'43"設P1 ，P2點坐標平差值為參數(shù)=XP1YP1XP2YP2T，試按坐標平差法求 (1 ) P

21、1 ，P2點坐標平差值及點位中誤差;(2)觀測值的平差值L . 54在圖7-30所示的測角網(wǎng)中，A,B,C為已知點，P1 ，P2為待定點，L1L10為角度觀測值已，知點坐標與待定點 近似坐標為點號坐標X/mY/mABC近似坐標/mX0/mY0/m點號編號觀測值（º ´ "）155 28 297 41 393 02 444 03 550 42 659 57 769 19 899 56 929 05 1050 57 29.同精度角度觀側值為 試按坐標平差法求 (1)誤差方程及法方程; (2)待定點最或是坐標及點位中誤差; (3)觀測值改正數(shù)及平差值。 有三角網(wǎng)如圖7-

22、31所示，已知BH邊的方位角為BH= 284º57'29. 5",A , B為已知點，其坐標為;XA=97 689. 562mYA=31 970. 853mXB =102 344. 255 m,YB=34 194. 167 m,C,D,E點為待定點、觀測角值為角號觀測值角號觀測值角號觀測值160º05´"466º40´"765º23´"256º30´"549º21´"860º34´"363

23、º24´"663º57´"954º02´"1054º14´"試求:(1)待定點坐標平差值:(2)CE邊的相對中誤差。§7-7測邊網(wǎng)坐標平差 在圖7-32所示的直角三角形ABC中，邊長觀測值L1= 278. 61 m, L2=431. 52m, L1=,0L=I,若選AB及AC距離為未知參數(shù)X1，X2。并令X10= L3 ，X20= L1，試按間接平差法: (1)列出誤差方程; (2)求改正數(shù)V及邊長平差值L (3)列出BC邊邊長平差值的未知數(shù)函教式，并計算其權。 在

24、圖7-33所示的側邊網(wǎng)中A,B,C為已知點，P為待定點，已知點坐標為: XA=8 879. 256m，YA=2 mXB=8 597. 934m，YB=2 XC=8 ,YC=2 540. 460 mP點近似坐標為:XP0=, YP0= 332. 800 m同精度測得邊長觀測值為:S1= m, S1=168. 415 m, S1=試按坐標平差法求:(1)誤差方程;(2)法方程;(3)坐標平差值及協(xié)因數(shù)陣。補(4)觀側值的改正數(shù)X及平差值幾在圖7-34所示的測邊網(wǎng)中，A,B,C為已知點，P1，P2為待定點，觀測了7條邊長，觀測精度為Si=Si(cm) (Si的單位為m)，設100m長度的觀測精度為單

25、位權中誤差，觀測值及各觀測值的權為:編號邊觀測值/m1234567已知坐標和近似坐標為點號已知坐標/mX/mY/mABC點號近似坐標/mX/mY/mP1P2 設待定點坐標平差值為參數(shù)，試(1)列出誤差方程及法方程試2)求出待定點坐標平差值及點位中誤差;(3)求觀測值改正數(shù)及平差值。7. 8. 59如圖7-35所示的單一附合導線,A,B為已知點P1 ，P2 ，P3為待定點，觀測角中 誤差=3",觀測邊中誤差為。Si=52+(5×Si(km)×10-6)2（mm） 已知數(shù)據(jù)和觀測值為:點號已知坐標已知方位角X/ mY/m A6 556. 9474 49º30

26、'"B8 748. 1556 角號觀測角邊號觀測邊/mº ´ "1291 45 27. 8S11 2275 16 S21 3I28 49 32. 3S31 4274 57 S41 511. 1855289 10 點號角度邊長/mº ´ " B(1)230 32 372180 00 423I70 39 22C(4)236 48 37按間接平差法計算PPP,點的坐標平差值。在圖7-36的單一附合導線上觀翻了4個角度和3條邊長。已知數(shù)據(jù)為XB=203 020. 348m, YB=59 049. 801m,XC=203 05

27、9. 503 m., YC=59 .AB=226º44'59",CD =324º46'03",觀側值為：已知測角中誤差=5"，測邊中誤差Si=Si (mm)，試按間接平差法求: (1)導線點2、3點的坐標平差值; (2)觀測值的改正數(shù)和平差值。 7. 8. 61有一個節(jié)點的導線網(wǎng)如圖7-37所示，A,B,C為已知點，P1 ，P2，P3，P4為待定點，觀測了9個角度和6條邊長。已知測角中誤差。 =10",測邊中誤差Si=Si (mm) (i= 1,2, , Si以m為單位)，已知起算數(shù)據(jù)和待定點近似坐標為已知坐標/m至點

28、已知方位角點近似坐標/mABCXYP1 P2 P3XYDEF202 42 313 57 29. 2130 57 20. 1觀測值為編號角觀測值º ´ "編號邊觀測值/m1128 07 02. 112233 13 23100 09 34212 00 45138 15 56110 30 46. 36 7210 04 8226 08 9149 19 設待定點坐標為參數(shù)，試按間接平差法求: (l誤差方程; (2)單位權方差; (3)待定點坐標平差值、協(xié)因數(shù)陣及點位中誤差。 7. 有導線網(wǎng)如圖7-38所示，A,B,C,D為已知點，P1P6為待定點，觀測了14個角度和9條邊長

29、。已知測角中誤差，=10",測邊中誤差Si=Si (mm)(i= 1,2, .,9), Si 以m為單位，已知點數(shù)據(jù)和待定點近似坐標為： 圖 7-38點號坐標點號近似坐標 X/m Y/mP X/m Y/mABCD871.1893632.2173840.9400 123456825.810740.107(2) 觀測數(shù)據(jù)為：編號角度觀測值 ° 編號角度觀測值 ° 編號 邊長觀測值/m1234567 301 36 203 22 94 41 224 17 95 05 318 16 53 51 891011121314 145 58 125 09 118 35 131 18

30、 68 22 146 19 139 09 123456789102設待定點坐標為參數(shù)，試按間接平差法求：（1） 誤差方程；（2） 待定點坐標平差值及點位中誤差。§7-9 GPS 網(wǎng)平差 圖7-39為一個GPS網(wǎng)，G01、G02為已知點，G03、G04為待定點，已知點的三維坐標為： /m/m/m12-2 411 0-2 411 4-4 733 7-4 733 53 519 03 518 7待定點的三維坐標為： /m /m/m34-2 486 5-2 418 6-4 731 5-4 732 3 518 63 515 8用GPS接收機測得5條基線，每一條基線向量中3個坐標差觀測值相關，各基線向量互相獨立，觀測數(shù)據(jù)為：基線號 /m /m /m 基線方差陣1 2 3 4 5 設待定點坐標平差值參數(shù),= 。 試按間接平差的法求：（1） 誤差方程及法方程；（2） 參數(shù)改正數(shù)；（3） 待定點坐標平差值及精度。§7-10 綜合練習題現(xiàn)觀測高差h1 h8，相應的路線長度為：S1= S2 =S3=S4=S5= S6=2km，S7=S8=1km，若設2km觀測高差為單位權觀測值，經(jīng)平差計算后的=(mm),試計算網(wǎng)中3個待定點平差后高程的中誤差。 有大地四邊形如圖7-41所示，,為已知點，、為待定點