史上最全的數(shù)列通項公式的求法15種

1、最全的數(shù)列通項公式的求法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。例1. 根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，說出數(shù)列的通項公式：1、1.3.7.15.312、1,2,5,8,123、4、1,-1,1,-15、1、0、1、0二、公式法利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式求解.(注意：求完后一定要考慮合并通項)例2已知數(shù)列的前項和滿足求數(shù)列的通項公式.已知數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列

2、的通項公式. 已知等比數(shù)列的首項，公比，設(shè)數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。解析：由題意，又是等比數(shù)列，公比為，故數(shù)列是等比數(shù)列， 三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。例3.（2002年北京春季高考）已知點的序列，其中，是線段的中點，是線段的中點，是線段的中點，（1） 寫出與之間的關(guān)系式（）。（2） 設(shè)，計算，由此推測的通項公式，并加以證明。（3） 略解析：（1） 是線段的中點， （2），=，=，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時，顯然成立； 假設(shè)n=k時命題成

3、立，即 則n=k+1時，= = 當(dāng)n=k+1時命題也成立， 命題對任意都成立。變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且方程x2anxan0有一根為Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通項公式 四、累加（乘）法對于形如型或形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例4. 若在數(shù)列中，求通項。解析：由得，所以，將以上各式相加得：，又所以 =例5. 在數(shù)列中，（），求通項。解析：由已知，又，所以=五、取倒（對）數(shù)法a、這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定

4、系數(shù)法求解b、數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出c、解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例6.設(shè)數(shù)列滿足求解：原條件變形為兩邊同乘以得.例7 、 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列，.， 變式:1.已知數(shù)列an滿足：a1，且an（1） 求數(shù)列an的通項公式；（2） 證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1·a2·an<2·n！2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式。3、已知數(shù)列滿足時，求通項公式。4、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。5、若數(shù)列a中，a=1，a= nN，

5、求通項a 六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算.例8、（2003·高考·廣東）設(shè)a 0為常數(shù)，且a n3 n -12 a n -1（n為正整數(shù)）證明對任意n1 ，      a n 3 n（1）n -1· 2 n （1）n · 2 n a 0 證明：        a n3 n -12 a n -13 n -12（3 n -22 a n -2）     &

6、#160;    3 n -12· 3 n -22 2（3 n -32 a n -3）          3 n -12 ·3 n -22 2 ·3 n -32 3（3 n -42 a n -4）                    &#

7、160;           3 n -12·3 n -22 2·3 n 3 （1）n -1·2 n -1（1）n ·2 n a 0（1）n ·2 n a 0 前面的n項組成首項為3 n -1，公比為的等比數(shù)列，這n項的和為： 3 n（1）n -1·2 n   a n 3 n（1）n -1· 2 n （1）n · 2 n a 0七、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關(guān)系求通項公式，

8、觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。例9、數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數(shù)列 a2是以為公比，1為首項的等比數(shù)列a2=（） a=2（）說明：

9、通過對常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列 a2，從而達(dá)到解決問題的目的。練習(xí)、1數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項公式。解：由得設(shè)a，比較系數(shù)得解得是以為公比，以為首項的等比數(shù)列 2、已知數(shù)列滿足，且，求解：設(shè)，則，是以為首項,以3為公比的等比數(shù)列點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型2、遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型、例10已知數(shù)列滿足， ，求解：將兩邊同除，得設(shè)，則令條件可化成，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列因,3、形如解法：這種類型

10、一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例11:設(shè)數(shù)列：，求.解：令化簡得：所以解得 ，所以又因為，所以數(shù)列是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列。從而可得變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求數(shù)列4、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,z.從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例12:設(shè)數(shù)列：，求.5. 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)

11、列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例13:已知數(shù)列中，,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列 2.已知數(shù)列中，,，求3.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。八：特征根法。1、設(shè)已知數(shù)列的項滿足,其中求這個數(shù)列的通項公式。作出一個方程則當(dāng)時，為常數(shù)列，即，其中是以為公

12、比的等比數(shù)列，即.2.對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例14：（1）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法：這種方法一般不用于解答題）：數(shù)列：， 的特征方程是：。 ,。又由，于是 故(2)已知數(shù)列滿足：求解：作方程 當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是九：不動點法，形如解法：如

13、果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例15：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式. 例：已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？變式:（2005，重慶,文,22,本小題滿分12分）數(shù)列記（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和十：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，

14、代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例18. 已知數(shù)列滿足，求 。解析：設(shè)， ， ，總之，求數(shù)列的通項公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項公式求其通項。十一。雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時，,，求,.解：因所以即（1）又因為所以.即（2）由（1）、（2）得：， 十二、周期型 解法：由遞推式計算出前幾項，尋找周期。例20：若數(shù)列滿足，若，則的值為_。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則=（ ）A0BCD十三、分解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an.例21.已知數(shù)列滿足（n），且有條件2）.解：由得：對n，再由待定系數(shù)法得：十四、循環(huán)法數(shù)列有形如的關(guān)系，如果復(fù)合數(shù)列構(gòu)不成等差、等比數(shù)列，有時可考慮構(gòu)成循環(huán)關(guān)系而求出例22.在數(shù)列中，解：由條件即即每間隔6項循環(huán)一次.1998=6×333，十五、開方法對有