-曲線曲面積分(習(xí)習(xí)題及解答)

1、第十章 曲線曲面積分§101對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、選擇題1. 設(shè)曲線弧段為，則曲線積分有關(guān)系( ).； ； ； 答.2. 設(shè)有物質(zhì)曲線其線密度為,它的質(zhì)量( ).; ; . 答.3.設(shè)是從到的直線段,則與曲線積分不相等的積分是( ).; ; ; 答.4 .設(shè)是從到的直線段,則曲線積分( ).; ; . 答.5. 設(shè)為拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧,則曲線積分( ).; ; . 答.6. 設(shè)是從到的直線段,則曲線積分( ).; ; ; . 答.二、填空題1. 設(shè)是圓周,則與的大小關(guān)系是 答: 2. 設(shè)是連接與兩點(diǎn)的直線段, 則 答：.3. 設(shè)則 答：.4. 設(shè)則 答：.5. 設(shè)是圓周,則答：.

2、6. 設(shè),上相應(yīng)于從變到的這段弧,則曲線積分 答: .7. 設(shè)為曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的弧段, 則 答：.三、解答題1.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：(1) 其中為由直線與拋物線所圍區(qū)域的整個(gè)邊界. 答： .(2) 其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界.答： (3) ，其中為折線，這里依次為點(diǎn)、.答：.(4) 其中為擺線一拱.答： (5) 其中為曲線.答： §102對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、選擇題1. 設(shè)為由到的直線段,則( ).; ; ; . 答.2. 設(shè)表示橢圓,其方向?yàn)槟鏁r(shí)針,則 ( ).; ; ; . 答.3. 設(shè)為由到的直線段,則( ). ； ; . 答.4. 設(shè)曲線的方程

3、為,則( ) ； ; .答.5. 設(shè)連續(xù)可導(dǎo),為以原點(diǎn)為心的單位圓,則必有( ). ；; .答.6. 設(shè)是從沿折線到到的折線段,則( ) ; ; ; . 答.二、填空題1. 為平面內(nèi)直線上的一段,則 答：. 2. 設(shè)為上從到的一段弧,則 答：.3. 設(shè)為上從到的一段弧,則 答：.4為圓弧上從原點(diǎn)到的一段弧,則 答：.5設(shè)為圓周及軸所圍成的在第一象限的區(qū)域的整個(gè)邊界(按逆時(shí)針方向繞行),則 答：.6設(shè),其中為平面上簡(jiǎn)單閉曲線,方向?yàn)槟鏁r(shí)針.則所圍成的平面區(qū)域的面積等于答：.三、解答題1計(jì)算,其中為: (1) 拋物線上從到的一段弧;(2) 從點(diǎn)到點(diǎn)的一直線段; (3) 先沿直線從點(diǎn)到點(diǎn),然后再沿直

4、線到點(diǎn)的折線; (4) 曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧. 答案：2計(jì)算其中為圓周上對(duì)應(yīng)從0到的一段弧. 答：0. 3計(jì)算,其中為圓周(方向按逆時(shí)針). 答：.4計(jì)算其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段. 答：13. 5. 計(jì)算,其中是上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.答：.§103 格林公式一、選擇題1. 設(shè)是圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向,則用格林公式計(jì)算可化為( ).； ; . 答.2. 設(shè)是圓周,方向?yàn)樨?fù)向,則= ( ). ; ; ; . 答.3. 設(shè)是從沿折線到到的折線段,則( ); ; ; . 答.4. 設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是在內(nèi)恒有( ).; ; ; . 答.5. 設(shè)為

5、一條不過原點(diǎn),不含原點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線,則( ). ; ; ; . 答.6. 設(shè)為一條包含原點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線,則( ). 因?yàn)?所以; 因?yàn)椴贿B續(xù),所以不存在; 因?yàn)?所以沿不同的,的值不同. 答.7. 表達(dá)式為某函數(shù)的全微分的充分心要條件是( ).; ; ; . 答.8. 已知為某函數(shù)的全微分,則( ). ; ; ; . 答.9. 設(shè)是從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段,則( ). ; ; . 答.10*. 設(shè)連續(xù)可導(dǎo),且,曲線積分與路徑無關(guān),則( ). ; ; ; . 答.二、填空題1. 設(shè)區(qū)域的邊界為,方向?yàn)檎? 的面積為.則. 答: .2. 設(shè)在上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 是的邊界正向,則.答: .3.

6、 設(shè)是圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針,則.答: .4. 設(shè)為閉曲線方向?yàn)槟鏁r(shí)針,為常數(shù),則=.答: .5. 設(shè)為以點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形逆時(shí)針方向一周,則=.答: .6. 設(shè)為圓周上從到再到的曲線段,則.答: .7. .答: .8. 設(shè)為直線從到的一段,則.答: .9*. 設(shè)為拋物線上一段弧,試將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,其中在上連續(xù). 答: .10*. 設(shè)連續(xù)可導(dǎo),且,曲線積分與路徑無關(guān),則= .答: .三、解答題1. 計(jì)算，其中為圓周的正向. 答:.2. 計(jì)算，其中是頂點(diǎn)分別為、和的三角形正向邊界. 答:.3. 計(jì)算,其中為拋物線上由點(diǎn)到的一段弧. 答:.4. 計(jì)算，其中是圓周上由到的一段弧.答:.5. 證

7、明下列曲線積分與路徑無關(guān),并計(jì)算積分值:(1) .答:.(2) .答: 5.6. 驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某函數(shù)的全微分,并求函數(shù).(1) .(2) .(3) . 答: (1) ; (2) ; (3).7. 用格林公式計(jì)算，其中是圓周上由到的一段弧. 答:.8. 用格林公式計(jì)算，其中是圓周上由到的一段弧. 答:.§104 對(duì)面積的曲面積分一、選擇題1. 設(shè)是平面上的一個(gè)有界閉區(qū)域,則曲面積分與二重積分的關(guān)系是 ( ).=;=;. 答.2. 設(shè)是拋物面,則下列各式正確的是( ).=;=;. 答.3.設(shè),是在第一卦限中的部分,則有( ).; ; . 答.4. 設(shè)是錐面,則( ).; ;.

8、答.5. 設(shè)為平面在第一卦限內(nèi)的部分,則( ).; ; ;. 答.6. 設(shè)為曲面在平面上方的部分,則( ).; ; . 答.7. 設(shè)為球面,則下列等式錯(cuò)誤的是( ).; ; . 答.二、填空題1. 設(shè),則. 答: .2. 設(shè)為球面,則. 答: .3. 設(shè)為上半球面,則. 答: .4. 設(shè)為下半球面,則. 答: .5 設(shè)為球面,則.答: 2.6. 設(shè)為上半球面,則. 答: .7. 設(shè)為平面在第一卦限部分,則. 答: .8. 設(shè)為平面在第一卦限部分,則. 答: .9. 設(shè)為平面在第一卦限部分,則. 答: .三、解答題1. 計(jì)算曲面積分,其中為拋物面在面上方部分,分別如下:(1) ; (2) ; (

9、3) .答: (1) ; (2) ; (3) .2. 計(jì)算,其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面.答: .3. 計(jì)算,其中是錐面被平面和所截得的部分.答: .4. 計(jì)算,其中為平面在第一卦限中的部分.答: .5. 計(jì)算,其中為球面上的部分.答: .§105 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、選擇題1. 設(shè)是球面外側(cè),則下列結(jié)論正確的是( ). ;2;0; 都不對(duì). 答.2. 設(shè)為柱面被平面及所截得的部分外側(cè),則( ). ; ;0; . 答.3. 設(shè)為柱面被平面及所截得的部分外側(cè)在第一卦限內(nèi)的部分,則( ). ; ; . 答.4. 設(shè),取外側(cè), 取上側(cè).下列結(jié)論正確的是( ). ; ; . 答

10、.5. 已知為平面在第一卦限內(nèi)的下側(cè),則( ). ; ; ; . 答.6. 曲面積分在數(shù)值上等于( ). 向量穿過曲面的流量;密度為的曲面的質(zhì)量;向量穿過曲面的流量;向量穿過曲面的流量. 答.二、填空題1. 設(shè)是平面上的閉區(qū)域的上側(cè),則答: 0.2. 設(shè)是平面上的閉區(qū)域的上側(cè),則答: 1. 3. 設(shè)為球面取外側(cè), 則.答: 0.4. 設(shè)為球面取外側(cè), 則.答: .5. 設(shè)為球面取外側(cè), 則曲面積分.答: .6. 設(shè)為球面取外側(cè), 則答: 0.三、解答題1. 計(jì)算,其中是球面的下半部分的下側(cè).答: .2. 計(jì)算,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè). 答: .3. 計(jì)算,其中是平面

11、,及所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 答: .4*. 把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成對(duì)面積的曲面積分,其中:(1) 是平面在第一卦限部分的上側(cè).(2) 是拋物面在面上方部分的上側(cè).答: (1) ; (2) .§106 高斯公式一、選擇題1. 設(shè)空間閉區(qū)域的邊界是分片光滑的閉曲面圍成, 取外側(cè)，則的體積( ). ; ; .答.2.設(shè)是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè),則( ). ; ; ; . 答.3. 在高斯定理的條件下,下列等式不成立的是( ). ; ;.答.4. 若是空間區(qū)域的外表面,下述計(jì)算用高斯公式正確的是( ). ; ; ; . 答.二、填空題1. 設(shè)是球面外側(cè), 則答: .2. 設(shè)是

12、球面外側(cè), 則 答: .3. 設(shè)是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè),則. 答: .4. 設(shè)是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè),則.答: .5. 向量穿過圓柱全表面流向外側(cè)的通量. 答: .6.向量穿過球面流向外側(cè)的通量. 答: .三、解答題1. 計(jì)算,其中為平面,及,所圍成的立體的表面外側(cè). 答: .2. 計(jì)算,其中為球面外側(cè). 答: .3. 計(jì)算,其中為上半球體,的表面外側(cè). 答: .4. 計(jì)算,其中是界于和之間的圓柱體的整個(gè)表面外側(cè). 答: .5. 計(jì)算,其中是平面,與平面,所圍成的立方體的全表面外側(cè). 答: .6. 計(jì)算,其中為曲面與平面所圍成的立體的表面外側(cè). 答: .7. 計(jì)算曲面積分 ,其中為曲面與球

13、面所圍成的立體的表面外側(cè). 答: .8. 計(jì)算曲面積分 ,其中為由曲面與平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界表面外側(cè). 答: .9*.用Gauss公式計(jì)算曲面積分,其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間部分的下側(cè). 答: .§107 斯托克斯公式一、選擇題1. 在斯托克斯定理的條件下,下列等式不成立的是( ). ; ;. 答.2. 設(shè)是從點(diǎn)到點(diǎn)再到最后回到的三角形邊界(),則( ). ; ; ; . 答.3. 設(shè)為圓周,若從軸正向看去, 為逆時(shí)針方向.則( ). ; ; ; 0. 答.二、填空題1. 設(shè)為圓周,若從軸正向看去, 為逆時(shí)針方向. 答: . 2. 設(shè), 則(1) .答: (2) .答: .(3) .答: .3. 設(shè)向量場(chǎng),則.答: .4. 設(shè)向量場(chǎng),則. 答: .三、解答題1. 計(jì)算,其中為圓周,若從軸正向看去, 為逆時(shí)針方向. 答: .2