函數(shù)的單調(diào)性 (2)

1、天水市四中 吳天德 下圖是我市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖氣溫是關(guān)于時間t的函數(shù)，記為f(t)，觀察這個氣溫變化圖，說明氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐漸升高的或下降的？2.我們用怎樣的數(shù)學(xué)語言來刻畫上述時間段內(nèi)“隨著時間的增大氣溫逐漸升高或減小”這一特征呢？問題問題 1 . 討論問題討論問題2：觀察學(xué)生繪制的函數(shù)的圖象（如圖1、2、3，實際教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生回答定），它們的圖象有什么變化規(guī)律? 指出圖象變化的趨勢。這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?提出問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)提出問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)上升下降局部上升局部下降從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？ 從上面的觀察分析可以看出從上

2、面的觀察分析可以看出：從左向又看，函數(shù)的函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈逐漸下降的趨勢，有的在一個區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢 不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函不同的函數(shù)，其圖象的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢也不同，函數(shù)圖象的這種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映，這就是我們今種變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映，這就是我們今天所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)天所要研究的函數(shù)的一個重要性質(zhì)2單調(diào)函數(shù)的“直觀定義直觀定義” n在區(qū)間上，若函數(shù)的圖象（從左至右看）總是上升的，則稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的增區(qū)間；在區(qū)間上

3、，若函數(shù)的圖象（從左至右看）總是下降的，則稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間稱為函數(shù)的減區(qū)間函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性。n 例：下圖是定義在區(qū)間例：下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)， 根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào)根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及每一單調(diào) 區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？讓學(xué)生尋找函數(shù)yx2與函數(shù)y=x3+x的單調(diào)區(qū)間Oxy1x2xy單調(diào)函數(shù)的“描述性定義描述性定義” )x(f1能用圖象上動點能用圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標(biāo)）的橫、縱坐標(biāo)關(guān)系來說明上升關(guān)系來說明上升或下降或下降趨勢嗎趨勢嗎？Oxy1x2xy)x(f1Ox

4、y1x2xy)x(f1)x(f1Oxy1x2xy)x(f1Oxy1x)x(f12xyOxy1x)x(f12xy)x(f1Oxy1x)x(f12xy)x(f1Oxy1x)x(f12xy)x(f1Ox)x(f11xy2xy)x(f1單調(diào)函數(shù)的“描述性定義描述性定義” n函數(shù)圖象呈上升趨勢等價于函數(shù)值y隨x的增大而增大。函數(shù)圖象呈下降趨勢函數(shù)值y隨x的增大而減小函數(shù)的這種性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性問題函數(shù)的單調(diào)性問題n在區(qū)間I上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y也增大，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù)；在區(qū)間I上，若隨著自變量x增大，函數(shù)值y減少，則稱函數(shù)在區(qū)間I上是減函數(shù)因此函數(shù)yx2時，當(dāng)x0時，函數(shù)值y隨x的

5、增大而增大，在（0，+）是增函數(shù)。對區(qū)間對區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(af(x)f(a) )，則函數(shù)則函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b) )上單上單調(diào)遞增。這個說法對嗎？調(diào)遞增。這個說法對嗎？探究2： 函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間（在區(qū)間（a ,b)a ,b)上有兩個確定量上有兩個確定量x1x1、x2,x2,使得使得當(dāng)當(dāng)x1x2x1x2時，有時，有 f(f(x1)f(x2),x1)f(x2), 能不能說函數(shù)能不能說函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b) )上單調(diào)遞增呢？上單調(diào)遞增呢？探究3： 函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在

6、區(qū)間（在區(qū)間（a ,b)a ,b)上有無數(shù)個量上有無數(shù)個量x1,x2,x1,x2, ,使得使得當(dāng)當(dāng)aax1x2 x1x2 bb時，有時，有 f(f(a a) f() f(x1)f(x2)x1)f(x2)f(bf(b),), 能不能說函數(shù)能不能說函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間(a,b(a,b) )上單調(diào)遞增？上單調(diào)遞增？問題問題4 4 1f x2f x2x1x形成數(shù)學(xué)概念形成數(shù)學(xué)概念n定義：定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1,x2，當(dāng)x1x2時，都有，y1 y2,那么就說y=f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)（increasinfunction），

7、I稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間（increasing interval）n問題問題4：如何定義單調(diào)減函數(shù)呢？n定義：定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A，區(qū)間I如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，當(dāng)時，都有，那么就說y=f(x)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)（decreasingfunction），稱為的單調(diào)減區(qū)間（decreasing interval）n如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上具有單調(diào)性單調(diào)性，這個區(qū)間就叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間判斷題：（1）已知f(x)=1/x ，因為f(-1)f(2),所以函數(shù)f(x)是 增函數(shù)。（2）若

8、函數(shù)f(x)滿足f (2)f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2，3 上為增函數(shù)。（3）因為函數(shù)f(x)=1/x在區(qū)間（-，0）和（0，+） 上都是減函數(shù)，所以f(x)=1/x在（-，0）（0，+） 上是減函數(shù)。深入理解函數(shù)單調(diào)性的概念 函數(shù)單調(diào)性是針對某個函數(shù)單調(diào)性是針對某個區(qū)間區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)而言的，是一個局部性質(zhì); ; x 1, x 2 取值的取值的任意任意性性24你能分析總結(jié)一下定義中增減函數(shù)的要點嗎？你能分析總結(jié)一下定義中增減函數(shù)的要點嗎？思考討論思考討論2 2（1 1）自變量具有任意性）自變量具有任意性（3 3）自變量有大小，通常規(guī)定）自變量有大小，通常規(guī)定21xx （2 2）

9、自變量同屬于一個區(qū)間）自變量同屬于一個區(qū)間（4 4）f(xf(x) )是增（減）函數(shù)則是增（減）函數(shù)則 )()()(212121xxxxxfxf(5)(5)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)應(yīng)用概念n證明：函數(shù) 在區(qū)間0，+)上是增函數(shù)，并由此總結(jié)證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的一般步驟：n（1）在給定的區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量的值x1，x2，時規(guī)定x1x2；n（2）判定f（x1）f（x2）的符號在給定的區(qū)間內(nèi)是否不變，并由此得出f（x1）與nf（x2）的大小關(guān)系；n（3）得出f（x）在給定的區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)n讓學(xué)生利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)yx2在區(qū)間n（，0）上是減函數(shù)2xy例：證明函數(shù) 在R上

10、是增函數(shù)。xxxf3)(證明：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf則)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxxn練習(xí)：練習(xí)：證明函數(shù) 在 上是增函數(shù)21xx 021xx上是增函數(shù)。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432xxf)(2歸納解題步驟n引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步

11、驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論n通過本例向?qū)W生說明：通過本例向?qū)W生說明：n判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法：n觀察法：畫出函數(shù)圖象來觀察n定義法：嚴(yán)格按照定義進(jìn)行驗證n分解法：對函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使之變成我們所熟悉的且已知其單調(diào)性的較簡單函數(shù)的組合),(,21baxx21xx 課堂小結(jié):n1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了單調(diào)函數(shù)的概念，要求同學(xué)們掌握單調(diào)函數(shù)的定義，能利用定義判定函數(shù)的單調(diào)性，并掌握以下關(guān)系：nf（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)增函數(shù) f（x）的圖象在區(qū)間I上是上升的 在區(qū)間I自變量大函數(shù)值也大；形成增函數(shù)