第6節(jié) 實數(shù)的連續(xù)性：上確界下確界存在定理ppt課件

1、6 實數(shù)的連續(xù)性: 上確界下確界存在定理上確界下確界存在定理一、定義：一、定義：定義：定義： 設(shè)是非空有上界集合，設(shè)是非空有上界集合，滿足滿足若若 xEx，有有 xEx，使使存存在在, 0是上界是上界小一點不再是上界小一點不再是上界最小最小上界上界EEsup 的的上上確確界界，記記為為為為稱稱同樣：同樣： xEx, yEy，使使, 0最大下界最大下界EEinf的的下下確確界界，記記為為為為稱稱 1inf* N1)1 , 0sup(, 0)1 , 0inf( 1sup, 0inf,1 nnxxn EE也也可可以以確確界界可可以以例例1.1.設(shè)是非空有下界集合，設(shè)是非空有下界集合，滿滿足足若若 S

2、upremum (上確界上確界)，Infimum (下確界下確界) 上確界與最大元的關(guān)系：上確界與最大元的關(guān)系： 可以有上確界可以有上確界中無最大元中無最大元即為上確界即為上確界中有最大元中有最大元EEsupmax二、確界的一些基本性質(zhì)二、確界的一些基本性質(zhì) YyXxyxYX ,：YXYXinfinf)inf( YXYXsupsup)sup( XaXainf)inf( XaXasup)sup( )sup(supinf)inf(YXYXYX nnnnnnnnyxyxyxyxinfinfsupsup,則則對對數(shù)數(shù)列列YXyxYyYyXxXxinfinfinf,inf, , 0 YXyxYyYyXx

3、Xxinfinf 2inf,2inf,YXYXinfinf)inf( 證明：證明：YXYXinfinf)inf( YYXXsupinf,supinf 顯顯然然有有 YXYXYXYXinfsupsupinfinfinf)inf()sup(supsupYXYX nnyxsupsup 往往證證 .sup,sup,*上界上界是是nnnnnxyyyxNn )(sup,supsup最最小小上上界界是是nnnnxxyx 三、確界原理三、確界原理定理定理1 1非空有上界的數(shù)集必有上確界非空有上界的數(shù)集必有上確界. .非空有下界的數(shù)集必有下確界非空有下界的數(shù)集必有下確界. .證明：證明：的一個上界的一個上界是是

4、設(shè)設(shè)Er,11barxEx記記為為將將 x（ ）rE 設(shè)設(shè) 非空有上界：非空有上界：E:,11二等分二等分將將ba 重復進行，得區(qū)間套：重復進行，得區(qū)間套： 122112)(,limlimnnnnnnnxrabbababa且且此區(qū)間套特點：此區(qū)間套特點：.,中點中點右邊無右邊無中點，中點，中必含有中必含有每個每個EbEbannn .,2222baEbaE中中點點，取取左左區(qū)區(qū)間間為為右右邊邊區(qū)區(qū)間間沒沒有有；中中點點，取取為為右右邊邊區(qū)區(qū)間間有有由區(qū)間套定理，由區(qū)間套定理， nnnnnnbaIlimlim,1即即有有Esup 往往證證)(,lim是上界是上界必有必有 nnnbxbxEx)(,

5、0lim* nnNaaNN使使使得使得中點中點中必有中必有在在 ,NNNxEba NNaxEsup NaNbNx注：注：單單調(diào)調(diào)有有界界原原理理確確界界原原理理證明：證明： 單單調(diào)調(diào)增增，有有上上界界，設(shè)設(shè)na aaaaannn 且且有有上上確確界界則則sup aaaNN使使, 0時時Nn aaaaaaannNnnnnaaasuplim 注如果注如果E沒有上界或者下界，記沒有上界或者下界，記sup,infEE ElimEnnnxEx 假假設(shè)設(shè)集集合合 有有上上界界 ，并并存存在在一一個個子子列列，滿滿足足，則則 為為集集合合 有有上上確確界界； ElimEnnnxEx 假假設(shè)設(shè)集集合合 有有下

6、下界界 ，并并存存在在一一個個子子列列，滿滿足足，則則 為為集集合合 有有下下確確界界. .思考問題思考問題思考問題思考問題設(shè)集合設(shè)集合A，B是數(shù)軸上位于原點右方的非空有界數(shù)集，記是數(shù)軸上位于原點右方的非空有界數(shù)集，記 ,，ABxy xA yB=撾supsupsup則ABAB證明：,sup ,supsup sup， 有xA yB xA yBxyAB supsupsupABAB因此00000,1,supsupsup10,1,supsupsup1xA xAAByB yBAB 例題例題0 0supsupsupsup1supsup1sup supxyABABABAB固有固有結(jié)論得證結(jié)論得證實數(shù)的連續(xù)性進一步解釋實數(shù)的連續(xù)性進一步解釋 確界存在定理,通常稱為實數(shù)系的連續(xù)性定理. 實數(shù)的連續(xù)性指實數(shù)域中每一個點都與坐標軸上點唯一對應. 假設(shè)實數(shù)的全體不能布滿整個數(shù)軸, 而有空隙. 則空隙左邊的數(shù)集合沒有上確界, 而右邊的數(shù)集沒有下確界,與上確界下確界存在定理矛盾.1Q例例 121203,3,33Exx