第七章點的合成運動

1、第7章 點的合成運動7.1 點的合成運動的基本概念點的合成運動的基本概念7.2 點的速度合成定理點的速度合成定理7.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理7.4 牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理如圖所示的卷揚機(jī)小車起吊一重物如圖所示的卷揚機(jī)小車起吊一重物A時，重物通過卷揚機(jī)而時，重物通過卷揚機(jī)而產(chǎn)生向上的運動；另一方面，卷揚機(jī)小車又在天車上移產(chǎn)生向上的運動；另一方面，卷揚機(jī)小車又在天車上移動動。重物相對于地面的運動是。重物相對于地面的運動是絕對運動；重物相對于卷揚機(jī)絕對運動；重物相對于卷揚機(jī)小車的運動是相對運動；而卷小車的運

2、動是相對運動；而卷揚機(jī)小車相對于地面的運動是揚機(jī)小車相對于地面的運動是牽連運動。牽連運動。7.1 點的合成運動的基本概念點的合成運動的基本概念7.1.1 絕對運動、相對運動和牽連運動 x y A y x O O A A 由于牽連運動的存在，使物體的絕對運動和相對運動發(fā)由于牽連運動的存在，使物體的絕對運動和相對運動發(fā)生差異。物體的絕對運動可以看成是相對運動和牽連運動生差異。物體的絕對運動可以看成是相對運動和牽連運動合成的結(jié)果。合成的結(jié)果。 直線軌道滾動的車輪升空的直升機(jī)螺旋槳7.1.2 三種速度及加速度的概念 動點在絕對運動中的軌跡、速度和加速度就是絕對軌動點在絕對運動中的軌跡、速度和加速度就是

3、絕對軌跡跡 、絕對速度、絕對速度、絕對加速度、絕對加速度；動點在相對運動中的軌跡、動點在相對運動中的軌跡、速度和加速度就是相對軌跡、相對速度、相對加速度。速度和加速度就是相對軌跡、相對速度、相對加速度。 如圖所示的機(jī)構(gòu)中，把滑塊如圖所示的機(jī)構(gòu)中，把滑塊M作為動點，動系放在桿作為動點，動系放在桿AB上。點上。點M的絕對運動為水平方向直線運動，相對運動為的絕對運動為水平方向直線運動，相對運動為x 方向直線運動，方向直線運動，牽連運動牽連運動由于桿由于桿AB繞點繞點A轉(zhuǎn)動，牽連點轉(zhuǎn)動，牽連點M 的運動也是繞點的運動也是繞點A轉(zhuǎn)動，容易確定牽連速度大小為轉(zhuǎn)動，容易確定牽連速度大小為 方向垂直于方向垂直

4、于AB桿。桿。evMA7.1.3 合成運動的解析關(guān)系 M x y O O x y 以平面問題為例，定系用以平面問題為例，定系用Oxy表示，動系用表示，動系用Oxy表示，表示，如圖所示。如果動點如圖所示。如果動點M的絕對運動方程為的絕對運動方程為x=x(t)，y=y(t)；相對運動方程為相對運動方程為x=x (t)，y=y (t) ; ;而動系相對于定系的而動系相對于定系的運動可以用如下三個方程完全描述：運動可以用如下三個方程完全描述： ()OOxx t()OOyy t)(t M x y O O x y cossinsincosOOxxxyyyxy由圖可以得到動系和定系之間的關(guān)系為由圖可以得到動

5、系和定系之間的關(guān)系為 【例7-1】 用車刀切削工件的直徑端面，車刀刀尖M沿水平軸x做往復(fù)運動，如圖所示。設(shè)Oxy為定坐標(biāo)系，刀尖的運動方程為x=bsint，工件以等角速度逆時針方向轉(zhuǎn)動。求車刀在圓端面上切出的痕跡。解：根據(jù)題意，可設(shè)刀尖解：根據(jù)題意，可設(shè)刀尖M為動點，動坐標(biāo)固定在工件上，為動點，動坐標(biāo)固定在工件上，則動點則動點M 在動坐標(biāo)在動坐標(biāo)Oxy 和定坐標(biāo)和定坐標(biāo)Oxy中的坐標(biāo)關(guān)系為中的坐標(biāo)關(guān)系為cosxxtsinyxt將點將點M的絕對運動方程代入上式，可得的絕對運動方程代入上式，可得sincossin22bxbttt2sinybt 上式就是車上式就是車刀刀相對于工件的運動方程，從中消去

6、時間相對于工件的運動方程，從中消去時間t ,得到得到刀尖的相對運動軌跡為刀尖的相對運動軌跡為222( )()24bbxy即切出的即切出的痕跡為一個圓。7.2 點的速度合成定理點的速度合成定理 牽連運動：在牽連運動：在t t 過程中，過程中，MM1相對運動：在相對運動：在t t 過程中，過程中，M1M絕對運動：在絕對運動：在t t 過程中，過程中，MM 由于由于 ，故有故有11MMMMM M 11000limlimlimtttMMMMM Mttt aervvv 點的合成運動的速度合成定理：動點的絕對速度矢量等點的合成運動的速度合成定理：動點的絕對速度矢量等于其相對速度與牽連速度的矢量之和。于其相

7、對速度與牽連速度的矢量之和。 avevrv 速度合成定理是一個矢量等式，實際計算時可以采用速速度合成定理是一個矢量等式，實際計算時可以采用速度矢量圖計算，對于每一個矢量都有大小方向兩個因素，速度矢量圖計算，對于每一個矢量都有大小方向兩個因素，速度合成定理的矢量等式中一共有六個因素，所以只要知道了度合成定理的矢量等式中一共有六個因素，所以只要知道了其中四個因素，就可以用兩個標(biāo)量等式求出其余兩個。其中四個因素，就可以用兩個標(biāo)量等式求出其余兩個。 ev 0v A av rv B 【例【例7-27-2】如圖所示是半徑為】如圖所示是半徑為R的半圓形凸輪，以等速度的半圓形凸輪，以等速度v0 0沿水平軌道向

8、左運動，它推動桿沿水平軌道向左運動，它推動桿AB沿鉛垂導(dǎo)軌上下滑沿鉛垂導(dǎo)軌上下滑動，在圖示位置時，動，在圖示位置時， 求該瞬時頂桿求該瞬時頂桿AB的速度。的速度。 60解：選擇頂桿解：選擇頂桿AB上的點上的點A為動點，凸輪為動系，由為動點，凸輪為動系，由aervvv畫出動點畫出動點A的速度合成圖如圖所示。的速度合成圖如圖所示。由圖可知頂桿由圖可知頂桿AB的速度為的速度為ae003ctgctg3vvvv方向鉛直向上。方向鉛直向上。 ev 0v A av rv B 【例【例7-37-3】如圖所示為刨床的擺動導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。已知曲柄】如圖所示為刨床的擺動導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。已知曲柄OM長為長為20cm，以轉(zhuǎn)速，以轉(zhuǎn)

9、速n=30r/min作逆時針轉(zhuǎn)動。曲柄轉(zhuǎn)動軸與作逆時針轉(zhuǎn)動。曲柄轉(zhuǎn)動軸與導(dǎo)桿轉(zhuǎn)軸之間的距離導(dǎo)桿轉(zhuǎn)軸之間的距離OA=30cm，當(dāng)曲柄與，當(dāng)曲柄與OA相垂直且在右相垂直且在右側(cè)時，求導(dǎo)桿側(cè)時，求導(dǎo)桿AB的角速度的角速度AB。 O B M A ev rv av AB 解：選擇滑塊解：選擇滑塊M為動點，導(dǎo)桿為動點，導(dǎo)桿AB為動系，由為動系，由 畫出畫出動點動點M的速度合成圖如圖所示。的速度合成圖如圖所示。由圖可知由圖可知aervvveasinsinOMvv O B M A ev rv av AB 導(dǎo)桿導(dǎo)桿AB的轉(zhuǎn)動角速度的轉(zhuǎn)動角速度AB為為2esinsinsinABOMAMOM /v23040040

10、967rad s60130013./ B A ev C 0 O av rv 【例【例7-47-4】 如圖所示的機(jī)構(gòu)中，已知桿如圖所示的機(jī)構(gòu)中，已知桿OA繞繞 O 以勻角速度以勻角速度0=2rad/s逆時針方向轉(zhuǎn)動，桿逆時針方向轉(zhuǎn)動，桿BC通過套筒通過套筒B套于桿套于桿OA上，上，桿桿OA轉(zhuǎn)動時帶動桿轉(zhuǎn)動時帶動桿BC上下運動，已知上下運動，已知OC0.5m，試求圖，試求圖示位置示位置=30o時桿時桿BC的運動速度。的運動速度。解：選擇套筒解：選擇套筒B為動點，桿為動點，桿OA為動系，由為動系，由 畫出動點畫出動點B的速度合成圖如的速度合成圖如圖所示。由圖可知：圖所示。由圖可知：aervvve0a

11、4m scoscos3vOBv/ 這就是桿這就是桿BC的運動速度的大的運動速度的大小，方向垂直向上。小，方向垂直向上?？偨Y(jié)以上幾個實例的解題步驟如下：總結(jié)以上幾個實例的解題步驟如下： (1) (1) 選取動點、動參考系和定參考系。所選的參考系應(yīng)選取動點、動參考系和定參考系。所選的參考系應(yīng)能將動點的運動分解成為相對運動和牽連運動。因此動點和能將動點的運動分解成為相對運動和牽連運動。因此動點和動參考系不能選在同一個物體上；一般應(yīng)使相對軌跡已知。動參考系不能選在同一個物體上；一般應(yīng)使相對軌跡已知。 (2) (2) 分析三種運動與三種速度。分析三種運動與三種速度。 (3) (3) 應(yīng)用速度合成定理，畫

12、出速度矢量圖。應(yīng)用速度合成定理，畫出速度矢量圖。 (4) (4) 由速度平行四邊形或三角形的幾何關(guān)系求出未知數(shù)。由速度平行四邊形或三角形的幾何關(guān)系求出未知數(shù)。7.3 牽連運動為平動時點的加速度合成定理牽連運動為平動時點的加速度合成定理 如圖所示，設(shè)動坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)動坐標(biāo)系Oxy z 相對于定坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系Oxyz做做平動，同時動點平動，同時動點M又沿著動參考系中的曲線做相對運動又沿著動參考系中的曲線做相對運動。 如動點如動點M相對于動參考系的相對坐標(biāo)為相對于動參考系的相對坐標(biāo)為x、y、z，而，而i、j、k為動坐標(biāo)軸的單位矢量，則點為動坐標(biāo)軸的單位矢量，則點M的相對速度和相對加的相對速

13、度和相對加速度為速度為ddddddrxyztttvijk222r222ddddddxyztttaijk由由 式，式，可可得得 O x y z M x ra aa ea O y z k j i O x y z M x ra aa ea O y z k j i 由由 式，式，可可得得aerddddddtttvvv左端為動點相對于定參考系的絕對加速度，即左端為動點相對于定參考系的絕對加速度，即 aaddtva由由 式，可得式，可得aervvv 由于動參考系為平動，動參考系上各點的速度或加速由于動參考系為平動，動參考系上各點的速度或加速度在任一瞬時都是相同的，因而動參考系原點度在任一瞬時都是相同的，因

14、而動參考系原點O 的速度的速度vO 和加速度和加速度aO，就等于牽連速度，就等于牽連速度ve和牽連加速度和牽連加速度ae，有，有eddddeOOttvvaaeeddtva即即由于動參考系平動時由于動參考系平動時i 、j、k 的大小和方向都不改變，的大小和方向都不改變，因而因而有有222rr222ddddddddxyzttttvijkaaeraaa牽連運動為平動時點的加速度合成定理：當(dāng)牽連運動為牽連運動為平動時點的加速度合成定理：當(dāng)牽連運動為平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。加速度與相對加速度的矢量和。

15、通過以上分析可知通過以上分析可知 【例【例7-57-5】如圖所示為曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，已知曲柄長】如圖所示為曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，已知曲柄長OA=r，某瞬時它和鉛直線間的夾角為某瞬時它和鉛直線間的夾角為 ，曲柄轉(zhuǎn)動的角速度為，曲柄轉(zhuǎn)動的角速度為，轉(zhuǎn)動的角加速度為轉(zhuǎn)動的角加速度為，求此瞬時導(dǎo)桿的加速度。，求此瞬時導(dǎo)桿的加速度。解：選擇滑塊解：選擇滑塊A為動點，導(dǎo)桿為動點，導(dǎo)桿BCD為動系，由為動系，由 畫出動點畫出動點A的加速度合成圖如圖所示。的加速度合成圖如圖所示。ernaaaaaa列列 方向的投影方程，有方向的投影方程，有eacossinnaaeaaa B A O C D ea aa naa ra B A

16、 O C D ea aa naa ra 式中，式中， ， ，解得導(dǎo)桿的加速度為，解得導(dǎo)桿的加速度為2naaraar 2cossincossinneaaaaarr【例例7-6】如圖所示為曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。已知如圖所示為曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。已知O1A=O2B=10cm，又又O1O2=AB，曲柄，曲柄O1A以角速度以角速度=2rad/s做勻速轉(zhuǎn)動。在做勻速轉(zhuǎn)動。在圖示瞬時，圖示瞬時， ，求該瞬時桿，求該瞬時桿CD的速度和加速度的速度和加速度。60 B A O1 C O2 av rv ev Av D Bv 由于曲柄作勻速轉(zhuǎn)動，牽由于曲柄作勻速轉(zhuǎn)動，牽連加速度只有法向加速度，即連加速度只有法向加速度，即n2e1a

17、O A由加速度合成圖可知，桿由加速度合成圖可知，桿CD的加速度為的加速度為2210 346naeaa sinO Asin.m / s B A O1 C O2 Bv D aa ra nea 解：選擇滑塊解：選擇滑塊C為動點，導(dǎo)桿為動點，導(dǎo)桿AB為動系，由為動系，由 畫畫出動點出動點C的速度合成圖如圖所示。由圖可知的速度合成圖如圖所示。由圖可知aervvvae1coscos0 1m svvO A./7.4 牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理 O A B x y z M x r r y z O i k j k i j e e 如圖所示，設(shè)動系的角速度為如圖所示，設(shè)動系的角速度為e，角加速度為，角加速

18、度為e，相，相對于定系對于定系Oxyz的軸的軸z轉(zhuǎn)動，動點轉(zhuǎn)動，動點M相對于動系相對于動系Oxyz 運動。運動。動點動點M的相對運動軌跡為的相對運動軌跡為AB。x y z rijkrddddddxyztttvijk222r222ddddddxyztttaijk O A B x y z M x r r y z O i k j k i j e e eevreeee arv動點動點M的牽連速度和牽連加速度分別為的牽連速度和牽連加速度分別為aereddddddxyztttrvvvijk由速度合成定理，有由速度合成定理，有這樣，絕對加速度可寫為這樣，絕對加速度可寫為222aae222dddddddddd

19、ddddddddddddxyzxyz()tttttttttttvijkarijk222ee222ddddddddddddddddddddxyzxyztttttttttt rijkrijk222eeer222ddddddddddddddddddxyzxyz()ttttttttt ijkrvvijkererddddddddddddxyzttttttijkaav 這樣，可得當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理這樣，可得當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理aerkaaaa其中：其中：2kerav 稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。其大小稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度。其大小為為 ，方向垂直于由，方向

20、垂直于由 和和 組成的平面，組成的平面，且符合右手螺法則。且符合右手螺法則。2kerav sinerv 這就是牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理，它表示當(dāng)這就是牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理，它表示當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時動系為定軸轉(zhuǎn)動時,動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的相對加速度與牽連加速度及科氏加速度的矢量和。它的相對加速度與牽連加速度及科氏加速度的矢量和。 eddtiieddtjjeddtkk而而 M O A x y Mx My M O A rv ev A M O av ka O nra nea A M 【例【例7-7】點】點M在在OA上按規(guī)律上按規(guī)律

21、x=2+3t 2 運動，同時桿運動，同時桿OA繞軸繞軸O以等角速度以等角速度=2rad/s轉(zhuǎn)動，如圖所示。求當(dāng)轉(zhuǎn)動，如圖所示。求當(dāng)t=1s時，時，點點M的絕對加速度。的絕對加速度。解：解：(1) (1) 按點的運動學(xué)求解。取直角坐標(biāo)系按點的運動學(xué)求解。取直角坐標(biāo)系Oxy，如圖，如圖所示，于是可寫出任一瞬時所示，于是可寫出任一瞬時M點的運動方程：點的運動方程： ttOMyttOMxMM2sin)32(sin2cos)32(cos22求二次導(dǎo)數(shù)可得加速度：求二次導(dǎo)數(shù)可得加速度：ttttyattttxaMyMx2sin)61 (22cos242cos)61 (22sin2422 當(dāng)當(dāng)t=1s 時，有

22、時，有24sin214cos224cos214sin2xyaa 22222241427.78cm sMxyaaa/(2) (2) 按點的合成運動求解。按點的合成運動求解。選選M為動點，為動點，OA桿為動系。因為動系作定軸轉(zhuǎn)動，所以根桿為動系。因為動系作定軸轉(zhuǎn)動，所以根據(jù)據(jù) 和和 分別作分別作M點的速度和加速度點的速度和加速度合成圖。合成圖。aerkaaaaaervvv由加速度合成圖，有由加速度合成圖，有22()narekaaaa其中：其中：22r2d6cm sdxa/tn2e20cm s2ax/kr224cm s2av/，代入后可得動點M的絕對加速度為 222(620)2427.78/aacm

23、 s由速度分析由速度分析r16(/ )tdxvcm sdt 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30 e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2naa 1nea C D 2ea 【例【例7-87-8】一牛頭刨床機(jī)構(gòu)如圖所示。已知】一牛頭刨床機(jī)構(gòu)如圖所示。已知O1A=20cm， ，桿，桿O1A的角速度的角速度1= 2= 2rad/s，求圖示位置時滑枕求圖示位置時滑枕CD的速度和加速度。的速度和加速度。2130 3cm3O B 解：先研究動點解：先研究動點A，動系固連于，動系固連于O2B上。由上。由 和和 作點作點A

24、的速度和加速度合成圖。的速度和加速度合成圖。由速度合成圖知由速度合成圖知a1e1r1vvv11111naeerkaaaaa e1r1a1a1cos3020 3cm/ssin3020cm/svvvv，故桿故桿O2B角速度為角速度為e120 5rad sv./O A 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30 e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2naa 1nea C D 2ea 根據(jù)根據(jù)A點的加速度合成圖，向點的加速度合成圖，向x，y 軸投影得軸投影得 a1e1e1r1k1sin30cos30sin30cos30

25、naaaaa1nee1r1k10cos30sin30cos30sin30aaaa 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30 e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2naa 1nea C D 2ea 22a11180cm saO A/n22e1210cm saO A/2e1240 cm saO A/2k1r1220 3cm sav/2rad/s23 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30 e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2

26、naa 1nea C D 2ea 其中：其中：代入上式解得代入上式解得O O2 2B B桿的角加速度為桿的角加速度為 再研究動點再研究動點B，動系固連于，動系固連于滑枕滑枕上。由上。由 和和 作點作點B的速度和加速度合成圖。由速度合的速度和加速度合成圖。由速度合成圖知成圖知222aervvv2222naaeraaaae22a=cos30 = 32.5cm/sCDvvv根據(jù)點根據(jù)點B的加速度合成圖，向的加速度合成圖，向x軸投影得軸投影得2n22cos30sin30aaeaaa ， 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30

27、e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2naa 1nea C D 2ea 其中：其中： ， ，代，代入上式解得入上式解得CD桿的加速度為桿的加速度為22265cm/saaO B22n2218 8cm/saaO B.， 265 7cm/s2CDeaa. 1rv A 1 1ev 2ev 2rv 1av 2av B 1O 30 O2 C D 1 k1a 1O O2 30 e1a A 1ra 1aa B 2ra 2aa 2naa 1nea C D 2ea B M C A rv av ev O 【例【例7-97-9】如圖所示，直角曲桿】如圖所示，直角曲桿OBC繞繞O軸轉(zhuǎn)動，使套在其軸轉(zhuǎn)動，使套

28、在其上的小環(huán)上的小環(huán)M沿固定直桿沿固定直桿OA滑動。已知：滑動。已知：OB = 0.1m，OB與與BC垂直，曲桿的角速度為垂直，曲桿的角速度為=0.5rad/s，角加速度為零，圖，角加速度為零，圖示瞬時示瞬時 。求該瞬時小環(huán)。求該瞬時小環(huán)M的速度和加速度。的速度和加速度。 60 B M C A rv av ev O 解：選小環(huán)解：選小環(huán)M為動點為動點，曲柄，曲柄OBC為動系。由為動系。由 和和 作點作點M的速度和加速度合成圖。由速的速度和加速度合成圖。由速度合成圖知度合成圖知aervvvnaerkaaaaaetantan0 20 5tan600 173m svvOM./recoscos02 05 cos6002m svv /OM/. /./根據(jù)點根據(jù)點M 的加速度合成圖，向的加速度合成圖，向 ak 方向投影得方向投影得ncoscosaekaaa 代入上式解得代入上式解得小環(huán)小環(huán)M桿的加速度為桿的加速度為n222e0 2 0 50 05m saOM./2kr22 0 5 0 20 2m sav./20 35m saa./ ka B M C A O aa ra nea 其中：其中： O O1 30 A av M ev rv ka M