結(jié)構(gòu)動力學(xué)例題復(fù)習(xí)題

1、第十六章結(jié)構(gòu)動力學(xué)例16-1】不計桿件分布質(zhì)量和軸向變形，確定圖16-6所示剛架的動力自由度。兩個自由度圖16-6【解】各剛架的自由度確定如圖中所示。這里要注意以下兩點：1在確定剛架的自由度時，引用受彎直桿上任意兩點之間的距離保持不變的假定。根據(jù)這個假定并加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)量的位置，則剛架的自由度數(shù)目即等于所加鏈桿數(shù)目。2集中質(zhì)量的質(zhì)點數(shù)并不一定等于體系的自由度數(shù)，而根據(jù)自由度的定義及問題的具體情形確定。【例16-2】試用柔度法建立圖16-7a所示單自由度體系，受均布動荷載q(t)作用的運動方程?！窘狻勘绢}特點是，動荷載不是作用在質(zhì)量上的集中荷載。對于非質(zhì)量處的集中動荷載的情

2、況，在建立運動方程時，一般采用柔度法較為方便。設(shè)圖a質(zhì)量任一時刻沿自由度方向的位移為y(向下為正)。把慣性力I、阻尼力R及動荷載P(t)，均看作是一個靜荷載，則在其作用下體系在質(zhì)量處的位移y，由疊加原理(見圖b、c、d及e),貝9y=A+A+A+6(I+R)PIDP式中，A=5/4p384Eiq(t)，5=£3越。將它們代入上式，并注意到1=-my，R=乩+£3(-my-cy)48EI(a)q(t)rTTTTTTTTT圖16-7經(jīng)整理后可得my+cy+ky二P(t)E148EI5式中，k=，p(t)二kA=-£q(t)6£3EP8P(t)稱為等效動荷載或

3、等效干擾力。其含義為：P(t)直接作用于質(zhì)量上所產(chǎn)生的位移和EE實際動荷載引起的位移相等。圖a的相當(dāng)體系如圖f所示?！纠?6-3】圖16-8a為剛性外伸梁，C處為彈性支座，其剛度系數(shù)為k，梁端點A、D處分別有m和*質(zhì)量，端點D處裝有阻尼器c，同時梁BD段受有均布動荷載q(t)作用，試建立剛性梁的運動方程。【解】因為梁是剛性的，這個體系僅有一個自由度，故它的動力響應(yīng)可由一個運動方程來表達(dá)，方程可以用直接平衡法來建立。這個單自由度體系可能產(chǎn)生的位移形式如圖b所示，可以用鉸B的運動a(t)作為基本量，而其它一切位移均可利用它來表示。圖16-8/p3/a(t)以順時針向為正。則A點有位移2a(t)和加

4、速度2&(t);D點有位移qa(t)和3p3p加速度&(t)及速度2&(t)；C點約束反力為Rck/a(t)。由YMB=0，有BIx£+Ix3P+Rx3P+Rx£+3Pq(t)x3P二012222C24將慣性力、阻尼力及約束反力代入上式，得-£moi(t)x£斗斗6i(t)x斗點ca(t)x斗-k血(t)x£+q(t)x牛=0222322224經(jīng)整理，運動方程為mii(t)+4cO(t)+ka(t)=9£q(t)小結(jié)：例16-2及例16-3討論的是單自由度的一般情況下的運動方程的建立。建立方程的思路是通過分析動

5、力平衡或考慮變形協(xié)調(diào)。一般來說，對于單自由度體系求511和k口的難易程度是相同的，因為它們互為倒數(shù)，都可用同一方法求得。對于多自由度體系，若是靜定結(jié)構(gòu)，一般情況下求柔度系數(shù)容易些，但對超靜定結(jié)構(gòu)就要根據(jù)情況而定。 剛度法和柔度法。它們都是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和所采用的阻尼理論在體系上加慣性力和阻尼力。剛度法是考慮質(zhì)量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的協(xié)調(diào)條件。 所謂結(jié)構(gòu)振動自由度是指：確定體系全部質(zhì)點位置所需的獨立位移分量的個數(shù)。在例16-3中我們選取a(t)為獨立位移分量，由此得兩質(zhì)點處的位移、加速度及慣性力的表達(dá)式。體系的振動自由度數(shù)目既和體系的質(zhì)點數(shù)目有關(guān)，又不完全取決于質(zhì)點數(shù)

6、目，自由度還和體系的可能位移狀態(tài)有關(guān)（如例題16-3），因此要根據(jù)具體問題，按自由度定義分析確定。另一方面，自由度是確定質(zhì)點空間位置的獨立坐標(biāo)（位移分量）個數(shù)，它和結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)或獨立位移個數(shù)沒有關(guān)系。任何單自由度的振動問題，本質(zhì)上都可抽象為質(zhì)點、彈簧、阻尼器體系。從實際結(jié)構(gòu)到抽象模型的關(guān)鍵是求m和k（或5）?！纠?6-4】試寫出圖16-9a質(zhì)點m的運動微分方程，并計算各系數(shù)。17陌圖圖圖16-9解】(1)列位移方程,y=5id-my)+dPP(t)+dQQ(t)（2）計算系數(shù)項（圖b）5iiEIJ24a33EI計算自由項（圖c,d）A1P1(11ncxPax2axEIJ222+xPax2ax

7、a/2x26a丿11Pa312EI同理，A1Q11Qa312EI4a311a311a3將系數(shù)代入位移方程，才+y二彷P+禹°3EI1111或my+y=P（t）+Q（t）4a31616【例16-5】試按剛度法列出圖16-10a所示剛架在給定荷載作用下的動力平衡方程。圖16-10解】(1)考慮質(zhì)點m平衡(圖b)有(2)確定彈性力恢復(fù)力S,彈性力恢復(fù)力S可以認(rèn)為由兩部分疊加而成。第一部分為使m產(chǎn)生位移施加的力R11；第部分為m不動在荷載作用下產(chǎn)生的反力R1P,即S=R+R111PR11=ky=113EI1Pql3sin0t8aG+a)(3)代回動力平衡方程得，3EIql3sin0tmy+a

8、2(l+a)y=8a(l+a)【例16-6】圖16-lla所示梁不計自重，求自振頻率«。(a)(b)/4p=1M圖圖16-11【解】由M圖（圖b）,求得柔度為:5=513/192EI。I1'所以，3匕r二企19EIg/5Wl3m5mg5【例16-7】圖16-12a所示單跨梁不計自重，桿無彎曲變形，彈座剛度為k，求自振頻率3。圖16-12【解】在W處加P=1,A=1/(2k吃=1/(4k)I叩r3二:二grGkg/W)。m5mg51111【例16-8】圖16-13a所示梁不計自重,W=200kN,EI二2x104kN-m2,振圓頻率?！窘狻坑捎趯ΨQ跨中無轉(zhuǎn)角，求剛度k。k二竿1

9、二耳二3EI/21l323k二2k二6x104kN/m®二1200匹二叵二國=I6x104kN/m=54.2s一1mmgW圖16-13【例16-9】試求圖16-14a所示結(jié)構(gòu)的自振頻率。略去桿件自重及阻尼影響。圖16-14【解】圖a為一次超靜定結(jié)構(gòu)，用力矩分配法作出單位彎矩圖（圖b）。計算質(zhì)點處的柔度系數(shù)511（即位移計算），由圖b（或圖c）與圖d（虛擬狀態(tài)），得511(1311121IXEI148EI2423213<13丿EI148512丿23131536ei=0.04219土EI則，1.'1536EIEI阿=莎麗二8.172y而。【例16-10】作圖16-15a所示

10、結(jié)構(gòu)的動力彎矩幅值圖。已知質(zhì)點重W=2.1kN，擾力幅值P=0.75kN，擾力頻率0二177s-1，梁的抗彎剛度EI=4490kNm2?！窘狻坑蓤Db列幅方程31P圖16-15，即A=5m02A+5P,111PA(15me2)=5P，因為11A=(i51P：e2)=111325P=卩5P,1P1P1p=1-e232由圖c求柔度系數(shù)511114m3=3E廠0.00O279mZ由圖d求柔度系數(shù)5ip，即51P11m3=0.000408m/kN6EI32=-=7856s1,m511e13=88.63s1,=2,p=,33A=1x0.000408x0.75=0.000102m,3me2A=1.37kN將

11、動荷載P和慣性力me2A加于結(jié)構(gòu)上，得動力彎矩幅值圖如圖e所示?！纠?6-11】圖16-16a所示體系中，電機重W=10kN置于剛性橫梁上，電機轉(zhuǎn)速n=500r/min，水平方向強迫力為P(t)=2kN-sin(et)，已知柱頂側(cè)移剛度k=1.02x104kN/m，自振頻率3=100s-1。求穩(wěn)態(tài)振動的振幅及最大動力彎矩圖。圖16-16【解】只有水平振動。干擾力頻率6=52.36s-l動力系數(shù)卩=1.37&靜位移ystP_2kNk1.02x104kN/m=1.9610-4m振幅A二py=1.387x1.9610-4m=0.27mmst動力彎矩圖(圖c)M=pPM=1.378x2xM=2

12、.756M。D【例16-12】圖16-17a所示體系各柱EI=常數(shù)，柱高均為l0(18EI/(ml3)。求最大動力彎矩。圖16-177c12EI36EI亠.亠k'36EI【解】由圖b可知，k=3x=，則自振頻率=1313YmMml3動力系數(shù)卩=2,1上32最大動力彎矩M=PM(見圖c、d)。D(max)例16-13】求圖16-18a所示體系的自振頻率和主振型，并作出振型圖。已知：m=2m,m=m12EI=常數(shù)。圖16-182m2mlmlmlm【解】用柔度法作。1.為求柔度系數(shù)，首先繪出單位彎矩圖（圖b和c）。由位移計算公式，得5=1.3333.EI5=51112212求頻率將它們代入頻

13、率方程，即只15m-11132-05EI，s=0.5833EI22sm2115m2121m22232展開上式并令-1-八得325-52mm11221212X2-(5m+Smk+1112228m+8m入=_122_21,22土”4(8m+8m111222(58+88nm1122122112兩個根為九=2.883m;EI，九=0.366m;EI從而可得兩個自振頻率為3二丄=0.5889.J麗m,1"1二1.653<EIm零，值，3求主振型下面確定相應(yīng)的兩個主振型。求第一振型時，將3=3代入上式，由于系數(shù)行列式為所以兩個方程線性相關(guān)，比如由第一式可得P1188mA(1)321112=

14、18m122同理可求得第二振型為只有一個是獨立的，可由其中任何一式求得與A?的比0.58892EIA(2)c2x1.3333mEI一0.5m二0.4338EI188m32111乙A(2)1=4.6012兩振型的規(guī)準(zhǔn)化矩陣表達(dá)式為11188m1"，A(2)=188m321111一0.433832111C8m28m1221228m1224.6012如圖d、e所示?！纠?6-14】求圖16-19所示體系的頻率方程。圖16-19【解】本題為兩個動力自由度（圖b）。另外注意的是，水平向的振動的質(zhì)點是2m。于是由圖b列幅值方程：52mo2x+5mo2y=x111252mo2x+5mo2y=yJ2

15、1222mo251ii2mo25215mo2125mo21ii由圖c、d求柔度系數(shù)，其結(jié)果如下。511l3l33EI'1221一2EI'22例16-15】求圖16-20a所示兩個4l33EI自由度體系的自振頻率，12EIK=l311F,"2比1J圖16-20【解】用柔度法解。首先根據(jù)圖c、d計算柔度系數(shù)，其位移計算公式為8=11MM8=Jijdx乙RcjEI，這里c=支座反力7為彈支座處位移。k82211.lx21+112lx21+A323l31+=6EI4k9l348EI812=821將它們代入頻率方程，備!m丄e=£l3149l3+EI4k48EIl31

16、13l3+=6EI4k48EI。解得:亙ml3°例16-16】求圖16-21a所示體系的自振頻率、振型及廣義質(zhì)量。圖16-21I?eisr|rN0.953.亙，“3.0541ml32解】由圖b幅值方程為：m3213-k（A-A）=0m32A+=01211整理后得，令上的系數(shù)行列為零，得頻率方程，由該方程的兩頻率如下212mA振型1：1A2A振型2：1A2-G/5+1)2見圖c。廣義質(zhì)量為：眄=45-12>=1.38m1<一2f=3.62m1例16-17】求圖16-22a示桁架2m幣2m幣2m十2m圖16-22【解】將振動分為豎向、水平分量，求N，N128二27/2EA,8

17、二4/EA,8二8/3EA,112212；九=1/®2=m141973.303t/EA,；9件=1/j兀1=0.26,'(EA/m),巴二1/J兀2=0550詁(EA/m),【例16-18】試求圖16-23a所示剛架的自振頻率和主振型。EI=常數(shù)。221IJ-反對稱正對稱X1J-(el(f)TI第一振型第二振噩圖16-23【解】圖a在不計軸向變形情況下，則與圖b的振動是相同的。因此圖a可分成反對稱（圖c）和正對稱（圖d）的振動。第一頻率由單自由度頻率計算公式«=可知，則為反對稱情況。由單跨梁的位m移計算公式，得柔度系數(shù)為511713768EI則第一頻率為預(yù)頁二I。/

18、?亙ml3同理第二頻率為1：192EI=13.86.：-m5ml3ml322振型：第一振為反對稱振動，如圖e所示；第二振為對稱振動，如圖f所示；【例16-19】圖16-24所示梁的質(zhì)量重G二20kN，振動力最大值P二4.8kN，干擾頻率0=301S，已知梁的E二210GPa，I二1.6x10-4m4。試求兩質(zhì)點處的最大豎向位移。梁自重不計。解】用柔度法解。由圖b、c、d計算系數(shù)及自由項如下：1122EI121451P175P3EI1P8EI2P24EI0=30，穩(wěn)態(tài)振動位移幅值方程備Im-1ea二-1a02并乘以EI有-25.1009A+9.514A+0.034=0129.514A-25.10

19、09A+0.03889=012解得A=2.268x10-3m，A=2.409x10-3m圖16-242m一3m丄lm丄2m.TT【例16-20】圖16-25a所示剛架各橫梁剛度無窮大，試求各橫梁處的位移幅值和柱端彎矩幅值。已知m=1001，El=5x105kN.m2。I=5m；簡諧荷載幅值P=30kN，每分鐘振動240次。一根柱的圖解】用剛度法解。穩(wěn)態(tài)振動位移幅值方程e2m氐=同-2-124El=24x5x105-1l353=96x103kN/m。62=64兀2。m=1001.5（單位t,即103kg）代入穩(wěn)態(tài)振動位移幅值方程，有103449.669-192-192193.252-96y1&l

20、t;、0<y=<30>2y30V丿0-9632.835#解得y=-0.0756x10-3m，y=-0.1771x10-3m，y=-0.5178x10-3m123慣性力幅值為b=mb2y，即Io121o>2Io3200150100-0.0756x103-9.55x64兀220.1771x103=v-0.5178x103-16.78kN-32.71本題橫梁剛度為無窮大，每層只有兩根柱且截面及高度相等，故每根柱的彎矩為QhMi4Q為該層的總剪力，等于該層以上水平外力(包括慣性力)的代數(shù)和；h為該層柱高。于i是各層柱端彎矩為32.71x5=40.8875kN.m4=(3271+

21、1678-30)x5=24.3625kN.m頂層：中層：4(32.71+16.78-30+9.55)x5=久=36.3kN.m。如圖b所示。對于橫梁的桿端4彎矩可由剛結(jié)點力矩平衡推求。第層：例16-21】解】已知用振型分解法重作例16-20。=19.401s,篤=41.27振型為：A（1）=12.6084.29。,A=111.226-1.584,A（3）=I1-0.8340.294T。2-1'0、IM=m1.5，同=<Psin0t>10_得廣義質(zhì)量廣義荷載=A）丄ImL1）L30.607m=b（2）!ma（2）L6.7637m=A（3）Im山（3）L3.1298mP=A（2）2=2.608Psin0t=1.226Psin0t圖16-26271P12.608Psin0