第3講對角互補模型解析版

1、中考數(shù)學幾何模型3:對角互補模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型,即四邊形或構成的幾何圖形中,相對的角互補.主要：含90°的對角互補,含120°的對角互補,兩種類型,種類不同,得出的個別結論會有所區(qū)別.解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉法和過頂點作兩垂線類型一：含90°的對角互補模型(1)如圖,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,那么有以下結論:CDCE；ODOE=2OC；12SqOCD+9=產B作法1(2)如圖,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,當/DCE的一邊與AO作法2的延長線交于點D時,那么有以下結論

2、:作法1作法2類型二：含120°的對角互補模型(1)如圖,/AOB=2/DCE=120,OC平分/AOB,那么有以下結論:CDCE；2)ODOE=OC；一；3一S二OCD+S&OCE一OC4oB作法1(2)如圖,/AOB=/DCE=90°,OC平分/AOB,當/DCE的一邊與AO作法2的延長線交于點D時,那么有以下結論：CDCE；OE-OD=2OC；12S.OCE-S.,OCD=OC2作法1作法2啟迪思維探究重點典題探究例題1.如圖,正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10,點O是正方形ABCD的中央,正方形OMNP繞O點旋轉,證實：無論正方形OMNP旋轉到何種

3、位置,這兩個正方形重疊局部的面積總是一個定值,并求這個定值.【解答】解：當OP/AD或OP經過C點,重疊局部的面積顯然為正方形的面積的,即25,當OP在如圖位置時,過O分別作CD,BC的垂線垂足分別為E、F,如圖在RtOEG與RtAOFH中,/EOG=/HOF,OE=OF=5,OEGAOFH,"S四邊形OHCG=S四邊形OECF=25,即兩個正方形重疊局部的面積為25.變式練習>>>1.角線交于點O,點E、F分別在AB、BC上AEVBE,且/EOF=90°,OE、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.(1)求證：OM=ON.2假設正方

4、形ABCD的邊長為4,E為OM的中點,求MN的長.【解答】解：1二.四邊形ABCD是正方形,£如圖,過點.作WJ-.W于點,'.,正方兆的邊長有4,"5出二后為CM的中點,OA=OB,/DAO=45°,/OBA=45°, ./OAM=ZOBN=135°, ./EOF=90°,/AOB=90°, ./AOM=/BON,OAMAOBN(ASA), .OM=ON;例題2.四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角ABD和直角CBD,其中/A和/C都是直角,另一條對角線AC的長度為2,求四邊形ABCD的面積.【解答】解：將ABC

5、繞點A旋轉90°,使B與D重合,C到C'點,那么有/CDC'=/ADC+/ADC'=ZADC+ZABC=180°所以C、D、C'在同一直線上,那么ACDC'是三角形,又由于AC=AC',所以ACC'是等腰直角三角形,在ABC和ADC'中rAB=ADZBAC=ZDAC/tAC=ACJABCAADC'(SAS),四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形ACC'的面積,所以S四邊形abcd=S"cc,=X2X2=2.變式練習>>>12,貝UBC+CD=2.如圖,在四邊形ABC

6、D中,/A=ZC=90°,AB=AD,假設這個四邊形的面積為答案：43例題3.如圖,在RtABC中,/ABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,/MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=3.如圖作MPN2AQ2x+3x=3xCABDOCBFEFXBE4PQ/BC四邊形ABCD是矩形四邊形PQBR是矩形如圖,連接AC上,連接PQ=2PR=2BQ3.如圖,在矩形ABCD故答案為3OB=OFAP=AB:BC:AC=3:4:5EFXBE,垂足為EBF的中點O,連接AB=CD=3,BC=AD=5PQ=4xBEF=/B

7、CF=90AB=3,BC=5,點E在對角線(2)互E=C7r仍然成立.證實：在Race和中,：AWA-AACD-6,-,AWC=6t)e,：.£ADF-1,在上£三和AMF卬2FAA/CAE*AC=AD>：.C£=Df*.3ECF.OE=OB=OF=OC,.B,C,F,E四點共圓,./EBF=ZECF,.tan/EBF=tanZACD,.陽=巫=2EBCD3E作兩垂線亦可】應選：B.【此題兩種方法解答,過例題4.用兩個全等且邊長為4的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合,使三角尺的60°角的頂點

8、與點A重合,兩邊分別與AB,AC重合,將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.1當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點E,F時,如圖1,通過觀察或測量BE,CF的長度,你能得出什么結論直接寫出結論,不用證實；2當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延長線相交于點E,F時如圖2,你在1中得到的結論還成立嗎說明理由；3在上述情況中,AEC的面積是否會等于273?如果能,求BE的長；如果不能,請說明理由.【解答】解：(1)BE=CF.證實：在ABE和4ACF中, .ZBAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60°,./BAE=ZCAF. AB=AC,/B=/ACF=60°,A

9、BEAACF(ASA).BE=CF;(3)能._ AEC的CE邊上的高為簽邊ABC的高,為275,.AEC的面積等于2盛j,底邊CE=2,BE=6或2.變式練習>>>4.我們規(guī)定：橫、縱坐標相等的點叫做“完美點(1)假設點A(x,y)是“完美點,且滿足x+y=4,求點A的坐標；(2)如圖1,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是正方形,點A坐標為(0,4),連接OB,E點從O向B運動,速度為2個單位/秒,到B點時運動停止,設運動時間為t.不管t為何值,E點總是“完美點；如圖2,連接AE,過E點作PQx軸分別交AB、OC于P、Q兩點,過點E作£5,人£交【解答

10、】解(1)二.點A(x,y)是“完美點x=yx+y=4,x=2,y=2二.A點坐標(2,2)(2)二四邊形OABC是正方形,點A坐標為(0,4),AO=AB=BC=4B(4,4)設直線OB解析式y(tǒng)=kx過B點.4=4kk=1直線OB解析式y(tǒng)=x設點E坐標(x,y)點E在直線OB上移動x=y不管t為何值,E點總是“完美點例題5.,點P是/MON的平分線上的一動點,射線PA交射線OM于點A,將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B,且使/APB+ZMON=180°.(1)利用圖1,求證：PA=PB;(2)如圖2,假設點C是AB與OP的交點,當Sapob=3Sapcb時,求PB與PC的比

11、值；(3)假設/MON=60°,OB=2,射線AP交ON于點D,且滿足且/PBD=/ABO,請借助圖3補全圖形,并求OP的長.軸于點F,問：當E點運動時,四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化假設不改變,求出面積的值；假設改變,請說明理由.X點總是"完美點.,.£0=00ZBAO-ZAOC-9Q"jPQ,上軸,四邊形4Q2P是矩形/.AP=OQfAO-PQ4AP=EQWiZlZF乙FEQ=9Y,/EAF-乙iEP=9."/ZKty-Z2L4P"AP-EQfFEQ-AEAPf妝F=9Q"：.44P豈叁8EFQ：.PE-FQ二3三事心

12、曲工.(AP+FQ0,二2(PE-EO)=2X=82.,當X息運動時四邊形XFQP的面積不變,面積為8圖1BnOB圖圖3【解答】解：(1)作PEXOM,PFXON,垂足為E、F.四邊形OEPF中,/OEP=/OFP=90°,./EPF+/MON=180°,/APB+/MON=180°,./EPF=/APB,即/EPA+ZAPF=ZAPF+ZFPB,./EPA=ZFPB,由角平分線的性質,得PE=PF,EPAAFPB,即PA=PB;(2)Sapob=3S>apcb,.PO=3PC,由(1)可知PAB為等腰三角形,那么(180°-/APB)="

13、;k/MON=/BOP2ZPBC=2又BPC=ZOPB(公共角),.PBCAPOB,上一POFB'作垂足為a,=褒'工,-4上二1二.,：,由取二陽,(1S3"ZAPS)=302又：/PED二乙i承,/尹初一/尸的-44BO=lgO*；,/川用.二Usoc-和°)-7S°,2那么上.呼二=105",在<?班中,£與£2?=30",ZBA7=45",在RTG038中,河=工.8=».口=五2在Nt&PBK中；P衽二B聾二1；：-OP=OH-PH=4l.PC即PB2=PO?PC=

14、3PC2,領悟提升強化落實達標檢測1 .如圖,在等腰RtABC中,/C=90°,AC=8,F是AB邊上的中點,點D、E分別在ACBC邊上運動,且保持AD=CE連結DE、DF、EF,在此運動變化的過程中,以下結論：ADEF是等腰直角三角形；四邊形CDF4可能為正方形；四邊形CDFE的面積保持不變；DE長度的最小值為4;CDE面積的最大值為8,其中正確的結論是.fB答案：2 .如圖,在四邊形ABCD中,AB=BCZABC=ZCDA=90°,BEXAD于點E,且四邊形ABCD的面積為8,求BE的長.答案：223 .如圖,正方形ABCD的邊長為6,點O是對角線AC,BD的交點,點E

15、在CD上,且DE=2CE,連接BE.過點C作CFLBE,垂足為點F,連接OF.求：(1) CF的長；(2)OF的長.【解答】解：(1)如圖,在BE上截取BG=CF,連接OG, RTABCE中,CFXBE, ./EBC=ZECF, ./OBC=ZOCD=45°, ./OBG=ZOCF,在OBG與OCF中,rOB=OC、Z0BG=Z0CF, .OBGQOCF(SAS),.OG=OF,/BOG=ZCOF, OGXOF,在RTABCE中,BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,在等腰直角.丘尸中2FL,5 -BE=正+2之=2A, BC2=BF?BE,貝U62=BF?27T5解得：BF=Jb

16、01,5EF=BE-BF=, CF2=BF?EF,.cf=JZl；54.如圖,/QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處,/QPN=",將/QPN繞點P旋轉,旋轉過程中/QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F(點F與點C,D不重(1)如圖,當a=90°時,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關系是(2)如圖,將圖中的正方形ABCD改為/ADC=120°的菱形,DE+DF=AD;其他條件不變,當“=60°時,(1)中的結論變?yōu)镈E+DF=請給出證實;,/PAM=30°,./MPD=60°(3)在(2)的條件下,假

17、設旋轉過程中/QPN的邊PQ與射線AD交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關系,直接寫出結論,不用加以證實.【解答】解：(1)正方形ABCD的對角線AC,BD交于點P,PA=PD,ZPAE=ZPDF=45°, .ZAPE+ZEPD=ZDPF+ZEPD=90°, ./APE=ZDPF,在APE和DPF中'NAPE=/DPF卜A±PD卜/PAE=/PDFAPEADPF(ASA),AE=DF,DE+DF=AD;(2)如圖,取AD的中點M,連接PM,.四邊形ABCD為/ADC=120°的菱形,BD=AD,/DA

18、P=30°,ZADP=ZCDP=60°, .MDP是等邊三角形,PM=PD,ZPME=ZPDF=60°,(3)如圖,在整個運動變化過程中?當點E落在dD上時,DEDF=4D當點后常在功的延長線上時,df-deXad.2(如圖L取名卬點連接PAf,證實即)./QPN=60°,./MPE=/FPD,在MPE和DPF中,NPME0DF,PM=PDKmpe=ZffdMPEADPF(ASA)ME=DF,DE+DF=AaD;25.“如圖1,在RtABC中,/ACB=90°,CDLAB于點D.這里,根據(jù)已學的相似三角形的知識,易證:里:整在圖1這個根本圖形的

19、根底上,繼續(xù)添加條件“如圖BDBC2,點E是直線AC上一動點,連接DE,過點D作FD,ED,交直線BC于點F,m(1)探究發(fā)現(xiàn)：如圖,假設m=n,點E在線段AC上,那么迦=DF(2)數(shù)學思考：如圖3,假設點E在線段AC上,那么祟=(用含m,n的代數(shù)式表示)；Drm當點E在直線AC上運動時,中的結論是否仍然成立請僅就圖4的情形給出證實;(3)拓展應用：假設AC=d虧,BC=2/E,DF=4T,請直接寫出CE的長.【解答】解：(1)當m=n時,即：BC=AC, ./ACB=90°,.A+ZABC=90°, .CDXAB, ./DCB+ZABC=90°, ./A=ZDC

20、B, ./FDE=ZADC=90°, /FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即/ADE=ZCDF,ADEACDF,-DFDC./A=/DCB,ZADC=ZBDC=90°,ADCACDB,DCBC£故答案為1.(2)./ACB=90°,.A+ZABC=90°, .CDXAB, ./DCB+ZABC=90°, ./A=ZDCB, ./FDE=ZADC=90°, /FDE-/CDE=/ADC-/CDE,即/ADE=/CDF,ADEACDF,里=里,DFDC ./A=/DCB,/ADC=/BDC=90°,ADCACDB,

21、如一KCn.比_門DC,BCmDFm'故答案為衛(wèi)m成立.如圖,/Z.4CB-90",心=90.又二8L電ADCB-ABC90d./.Za-ZDCB,；2FDE=/HDC=9.,二Z.FDEZC£>£=ZADC+Z.CDE?即/3E=/CDF,DFDCZa=ZDCB,ZADC=ZDC=90.MCs/kcOE.-AD-ACn*DEnft-='n'*DCBCmDFm(3)由(2)有,ADEACDF,當F在/匚延長線上E寸,在RtACJTF中,CF=2AE=2=2的十根據(jù)勾股定理得,»CF：二國,:,7臥2力CE/二40,C£；=-f或CZ=-2赤舍5如圖4一1,當點萬在d延K線上時,CF=2A£=2C£AC=2C£-根據(jù)勾股定理得,CFCF-=EF-f二CE-灰F=助：,CE=2或,或CE二一組E舍5艮口士CE-245.CF=2AE,在R