混沌理論綜述

1、混沌理論綜述摘要：混沌運動是非線性動力學系統(tǒng)所產(chǎn)生的復(fù)雜的不規(guī)則行為，它普遍存在于自然界的各個領(lǐng)域中。該文介紹了混沌的產(chǎn)生、特點及混沌控制的發(fā)展以及研究思想，給出了混沌的定義及其相關(guān)概念，深入淺出地闡明了混沌運動的基本性質(zhì)和基本規(guī)律，概括介紹了混沌學及混沌控制，最后論述了混沌應(yīng)用的巨大潛力。關(guān)鍵詞：混沌混沌運動混沌控制引言混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式，具覆蓋面涉及到自然科學和社會科學的幾乎每一個分支?；煦邕\動的早期研究可以追溯到1963年美國氣象學家Lorenz對兩無限平面間的大氣湍流的模擬。在用計算機求解的過程中，Lorenz發(fā)現(xiàn)當方程中的參數(shù)取適當值時，解是非周期的

2、且具有隨機性即由確定性方程可得出隨機性的結(jié)果，這與幾百年來統(tǒng)治人們思想的拉普拉斯確定論相違背（確定性方程得出確定性結(jié)果）。隨后，Henon和Rossler等也得到類似結(jié)論。Ruelle,May,Feigenbaum等對這類隨機運動的特性進行了進一步研究，從而開創(chuàng)了混沌這一新的研究方向。近二三十年來，近似方法、非線性微分方程的數(shù)值積分法，特別是計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，為人們對混沌的深入研究提供了可能，混沌理論研究取得的可喜成果也使人們能夠更加全面透徹地認識、理解和應(yīng)用混沌。本文將介紹與混沌有關(guān)的基本概念和基本理論以及混沌應(yīng)用研究的最新進展希望能起到拋磚引玉的作用20我國著名的混沌學家、中國科學院院

3、士郝柏林指出：混沌，這個在中外文化淵源悠久的詞兒，正在成為具有嚴格定義的科學概念，成為一門新科學的名字，它正在促使整個現(xiàn)代知識體系成為新科學?！彼€指出：越來越多的人認識到，這是相對論和量子力學問世以來，對人類整個知識體系的又一次巨大沖擊。這也許是20世紀后半葉數(shù)理科學所做的意義最為深遠的貢獻?！弊鳛橐婚T新科學的混沌學(Chaology),一般認為始于李天巖和約克(Yorke)的著名論文周期3蘊含混沌”困為正是在該文中混沌"(Chao軟次被作為科學詞兒使用。該文在美國數(shù)學月刊上正式發(fā)表是1975年12月.20年來，混沌學作為一門新科學傳播速度之快，波及空間之廣，恐怕是前所未有的。李天

4、巖和約克的論文發(fā)表后大約過了10年，國際上便形成了一支可觀的混沌學專家隊伍。與此同時，許多研究中心與研究所則專門冠之以非線性動力學”、非線性科學”、非線性數(shù)學”等名稱4。目錄1混沌的基本概念02混沌運動的基本性質(zhì)13關(guān)于混沌系統(tǒng)的控制23.1 混沌控制的目標和方法33.1.1 OGY方法43.1.2 連續(xù)反饋控制法43.1.3 自適應(yīng)控制法53.1.4 智能控制法53.2 混沌控制理論的應(yīng)用53.2.1 非線性時間序列預(yù)測53.2.2 信息存儲，語音、圖像壓縮53.2.3 信號檢測、估值63.2.4 優(yōu)化64混沌的發(fā)展與前景展望6參考文獻71混沌的基本概念混沌：目前尚無通用的嚴格的定義，一般認

5、為,將不是由隨機性外因引起的，而是由確定性方程（內(nèi)因）直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)稱為混沌。相空間：在連續(xù)動力系統(tǒng)中，用一組一階微分方程描述運動，以狀態(tài)變量（或狀態(tài)向量）為坐標軸的空間構(gòu)成系統(tǒng)的相空間。系統(tǒng)的一個狀態(tài)用相空間的一個點表示，通過該點有唯一的一條積分曲線。混沌運動：是確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運動。所謂軌道高度不穩(wěn)定，是指近鄰的軌道隨時間的發(fā)展會指數(shù)地分離。由于這種不穩(wěn)定性，系統(tǒng)的長時間行為會顯示出某種混亂性。分形和分維：分形是n維空間一個點集的一種幾何性質(zhì)，該點集具有無限精細的結(jié)構(gòu)，在任何尺度下都有自相似部分和整體相似性質(zhì)，具有小于所在空間維數(shù)n的非整數(shù)維數(shù)。分

6、維就是用非整數(shù)維一一分數(shù)維來定量地描述分形的基本性質(zhì)。不動點：又稱平衡點、定態(tài)。不動點是系統(tǒng)狀態(tài)變量所取的一組值，對于這些值系統(tǒng)不隨時間變化。在連續(xù)動力學系統(tǒng)中，相空間中有一個點x0,若滿足當t-00時，軌跡x（t）-x（ffl稱x0為不動點。吸引子：指相空間的這樣的一個點集s（或一個子空間），對s鄰域的幾乎任意一點，當t-呻寸所有軌跡線均趨于s,吸引子是穩(wěn)定的不動點。奇異吸引子：又稱混沌吸引子，指相空間中具有分數(shù)維的吸引子的集合。該吸引集由永不重復(fù)自身的一系列點組成，并且無論如何也不表現(xiàn)出任何周期性。混沌軌道就運行在該吸引集中。分叉和分叉點：又稱分岔或分支。指在某個參數(shù)或某組參數(shù)發(fā)生變化時，

7、長時間動力學運動的類型也發(fā)生變化。這個參數(shù)值（或這組參數(shù)值）稱為分叉點，在分叉點處參數(shù)的微小變化會產(chǎn)生不同性質(zhì)的動力學特性，故系統(tǒng)在分叉點處是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。周期解：對于系統(tǒng)xn+1=f（xn）,當n-00時,若存在N=xn+i=xn,則稱該系統(tǒng)有周期i解N。不動點可以看做是周期1解，因為它滿足xn+1=xn5。2混沌運動的基本性質(zhì)Logistic映射9是非線性方程中出現(xiàn)的一個能成功地進行實驗數(shù)學研究的不尋常的實例，它雖然簡單卻能體現(xiàn)出所有非線性現(xiàn)象的本質(zhì)。以Logistic映射這只小麻雀”為例來說明混沌運動的基本性質(zhì)。Logistic映射如式(1)，最初用來描述昆蟲數(shù)目的世代變化規(guī)律：xn+1

8、=f(L,xn)=Lxn(1-xn)n=0,1,2,(1)其中L為控制參量；有限差分方程(1)可以看做是一個動力學系統(tǒng)。L值確定后，由任意初值x00,1,可迭代出一個確定的時間序列x1,x2,x3,3對于不同的L值，系統(tǒng)(1)將呈現(xiàn)不同的特性，如圖1所示。圖1(a)如下繪制：縱坐標為變量x,所屬區(qū)間為0,1,橫坐標為控制參量L,所屬區(qū)間為1,4。把參量空間分成500步，對每個固定的參量值L,變量x從某一個初值(統(tǒng)一用x0=0.123)開始迭代，舍去最初暫態(tài)過程的300個迭代值，再把后繼400個軌道點都畫到所選參量的縱方向上，這樣掃過全部的參量范圍。圖1(b)為圖1(a)中小矩形區(qū)域的放大圖。由

9、圖1(a),當1&L<L1=3.0時，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解為不動點，即周期1解;當L=L1=3.0時，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期1變?yōu)橹芷?,這是一個一分為二的分叉過程；當L=L2=3.449489時，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期2分叉為周期4;當L=L3=3.544090時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解由周期4分叉為周期8;；當L達到極限值Loo=3.569945時,系統(tǒng)(1)的穩(wěn)態(tài)解是周期2Ml軋即系統(tǒng)(1)進入混沌狀態(tài)。從以上分析可知，隨著參數(shù)L的增加，系統(tǒng)(1)不斷地經(jīng)歷倍周期分叉，最終達到混沌。稱當L=4時由系統(tǒng)(1)產(chǎn)生的序列xn為混沌變量，混沌變量xn的運動形式有如下特征：a.隨機性

10、。當L=4時,Logistic映射在有限區(qū)間0,1內(nèi)不穩(wěn)定運動，其長時間的動態(tài)行為將顯示隨機性質(zhì)，圖2為當x0=0.1時的運動軌跡，迭代次數(shù)為100。從圖2可以明顯地觀察到其隨機性，事實上當x0取其他初值時，系統(tǒng)(1)一般都能體現(xiàn)這樣的隨機性。圖2隨機性Fig.2 Thestochasticpropertyb.規(guī)律性。盡管xn體現(xiàn)出隨機性質(zhì)，但它是由確定方程(1)導(dǎo)出的，初值確定后xn便已確定，即其隨機性是內(nèi)在的，這就是混沌運動的規(guī)律性。c.遍歷性?；煦邕\動的遍歷性是指混沌變量能在一定范圍內(nèi)按其自身規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)，如圖3所示。該圖分別以x10=0.165432和x20=0.23456

11、1為初值迭代1000次將到2個混沌序列x1n和x2n,圖中小圓圈表示空間中的一點，其坐標為(x1j,x2j)。圖3遍歷性Fig.3 Theergodicityd.對初值的敏感性。初值x0的微小變化將導(dǎo)致序列xn遠期行為的巨大差異，如圖4所示。圖4是令x10=0.123456,x20=0.123457以x10和x20為初值迭代100次得到序列x1n和x2n?？梢钥闯?，雖然初值相差1.0e-6,但迭代10多次后兩個序列便完全不一樣了。對初值的敏感性是混沌的一個十分鮮明的特征，Lorenz曾十分形象地稱其為蝴蝶效應(yīng)：儀僅是蝴蝶翅膀的一次小小扇動，就有可能改變一個月以后的天氣情況圖4對初值的敏感性Fi

12、g.4 Thepropertyofsensitivetoinitialvaluee.具有分形的性質(zhì)。如圖1(b)所示，混沌的奇異吸引子在微小尺度上具有與整體自相似的幾何結(jié)構(gòu)，對它的空間描述只能采用分數(shù)維。f.普適性。是指混沌系統(tǒng)中存在著一些普遍適用的常數(shù)。如在Logistic映射的倍周期分叉點Lm有如下一個普適常數(shù)：被稱為Feigenbaum數(shù)。Feigenbaum數(shù)是如同圓周率一樣的常數(shù)，對于許多由分叉導(dǎo)致混沌的系統(tǒng)，具值不變。如果在某次實驗中，當參數(shù)1在時出現(xiàn)一分為二的分叉，在2時出現(xiàn)2分叉為4,若Feigenbaum數(shù)起作用，則參數(shù)大約再改變21的13%左右，可預(yù)期發(fā)生混沌。6。3關(guān)于混

13、沌系統(tǒng)的控制混沌系統(tǒng)的特征表明，無法精確預(yù)測混沌系統(tǒng)的長時間的行為。但是新近研究表明：混沌系統(tǒng)是可以控制的，可以利用的?；煦缫驯挥脕碓鰪娂す馄鞯墓β?；調(diào)整電子線路的輸出，使之同步才空制化學反應(yīng)的波動；穩(wěn)定動物心臟的異常心律編碼電子信息以保證通訊安全。我們知道，混沌系統(tǒng)的行為是許多有序行為的集合。若以適當?shù)姆绞礁蓴_一個混沌系統(tǒng)，就能促使該系統(tǒng)的某種有序行為起主導(dǎo)作用，從而使其不同行為之間進行轉(zhuǎn)換4。另一方面,混沌系統(tǒng)長遠行為不可預(yù)測，但它是確定的。如果兩個極為相似的混沌系統(tǒng)受到同一信號驅(qū)動，可以產(chǎn)生相同的輸出。這是實驗已證實的，它可以產(chǎn)生新的通訊技術(shù)。用數(shù)學描述的混沌系統(tǒng)中有狀態(tài)變量和參數(shù)。狀態(tài)

14、變量組成狀態(tài)空間，狀態(tài)空間中的一個點代表系統(tǒng)在某一時刻的一個狀態(tài)，當系統(tǒng)發(fā)生變化時，它就在狀態(tài)空間中的各點之間發(fā)生移動，定義出一條軌線。混沌系統(tǒng)在狀態(tài)空間的軌線十分復(fù)雜，但并非隨心所欲，可以讓其通過某些區(qū)域而避開一些區(qū)域，例如把它拉向混沌吸引區(qū)，吸引區(qū)總是保持不變的。因此，只要搞清混沌吸引區(qū)，就可以設(shè)法將混沌系統(tǒng)控制到混沌吸引區(qū)12?？刂苹煦缦到y(tǒng)的關(guān)鍵之一在于認識到混沌吸引區(qū)是一個不穩(wěn)定的周期行為的無窮集合，或者說是一些不穩(wěn)定周期軌道的集合。當混沌系統(tǒng)的參數(shù)被改變時，混沌吸引區(qū)也要發(fā)生遷移。因此可以通過控制參數(shù)產(chǎn)生所需要的吸引區(qū)，這個過程很像在馬鞍上平衡一個玻璃球。如果這顆玻璃球一開始是置于馬

15、鞍中央，它趨于向兩側(cè)滾動。為了讓其不動，就需迅速擺動馬鞍.混沌吸引區(qū)遷移的道理是類似的。控制混沌系統(tǒng)并不容易，但實驗證明可以在一個相當簡單的系統(tǒng)中成功地控制混沌?；煦缈刂频氖醉椉夹g(shù)是在生物系統(tǒng)中實現(xiàn)的。先是在一只兔子心臟上試驗，并取得了成功。有人預(yù)測，在不久的將來，有可能研制成采用混沌控制技術(shù)的心臟整律器和去纖維顫動器4。3.1 混沌控制的目標和方法混沌控制的方法有兩種，一是通過合適的策略、方法及途徑，有效地抑制混沌行為，使李雅普諾夫指數(shù)下降進而消除混沌。二是選擇某一具有期望行為的軌道作為控制目標一般情況下，在混沌吸引子中的無窮多不穩(wěn)定的周期軌道常被作為首選目標，其目的就是將系統(tǒng)的混沌運動軌跡

16、轉(zhuǎn)換到期望的周期軌道上。不同的控制策略必須遵循這樣的原則：控制律的設(shè)計須最小限度的改變原系統(tǒng)，從而對原系統(tǒng)的影響最小7。3.1.1 OGY方法綜觀混沌發(fā)展的歷史,起初人們認為混沌是不可控的，直到1990年OGY方法的提出才徹底改變了這種觀點。OGY控制法是一種參數(shù)微擾控制方法，利用混沌運動對很小參數(shù)擾動的敏感性，選擇一個易調(diào)節(jié)的參數(shù)進行微小擾動，將混沌吸引子中無窮多個不穩(wěn)定周期軌道中所需要的周期軌道穩(wěn)定住，使系統(tǒng)進人需要的周期狀態(tài)，達到控制混沌的目的。由于在雙曲不動點附近存在局部穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定流形，可以將當前狀態(tài)與目標的偏差及參數(shù)的攝動看成微小量，將下一步狀態(tài)與目標的偏差按以上兩個微小量做線

17、性化展開，并使得下一步狀態(tài)和目標的偏差矢量與不穩(wěn)定流形方向垂直，即可得到當前參數(shù)的調(diào)節(jié)值。這類控制不需要知道混沌系統(tǒng)的確切動力學行為，只需要使用微小的控制信號，從而降低控制代價，把系統(tǒng)的混沌狀態(tài)控制在任意周期軌道上，基本不受噪聲的影響，不改變系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。但這種方法必須有一個確定的目標函數(shù)或給定軌道，只適用于離散動力學系統(tǒng)及可用龐加萊映射表征的連續(xù)動力學系統(tǒng)，通常只能控制低周期軌道。例含控制參數(shù)的n維映射描述的有限動力系統(tǒng)：并且利用OGY方法可以實現(xiàn)混沌軌道的同步化，其控制參量的擾動大小與系統(tǒng)狀態(tài)輸出量成正比，從控制理論角度來說屬于線性反饋方法6。3.1.2 連續(xù)反饋控制法盡管OGY方法及其

18、改進法對混沌的有效控制使其廣泛地應(yīng)用于力學、光學和環(huán)境科學等領(lǐng)域中，但由于它必須獲得龐加萊截面，并且需要確定所需的不穩(wěn)定周期軌道及不動點的特征值和特征向量，這使它的應(yīng)用受到一定的限制。在OGY控制方法的基礎(chǔ)上，德國科學家K.Pyragas在1993年提出了外力反饋控制法和延遲反饋控制法。這兩種方法都可以實現(xiàn)對混沌吸引子的連續(xù)控制，使不穩(wěn)定周期趨于穩(wěn)定13。3.1.3 自適應(yīng)控制法基于OGY方法存在的不足及實際問題需要，很多學者嘗試用傳統(tǒng)的控制手段實現(xiàn)混沌控制，自適應(yīng)控制混沌運動是根據(jù)自適應(yīng)原理發(fā)展而來，由赫伯曼等人提出的一種方法。在控制系統(tǒng)運動過程中，系統(tǒng)自身來識別被控的狀態(tài)、性能或參量，將系

19、統(tǒng)當前的運行指標與期望的指標加以比較，改變控制器的結(jié)構(gòu)、參量或控制作用，使系統(tǒng)運行在其所期望的指標下的最優(yōu)或次優(yōu)狀態(tài)。這種方法是通過參量的調(diào)整來控制系統(tǒng)，使其達到所需要的運動狀態(tài)，調(diào)節(jié)是依靠目標輸出與實際輸出之間的差信號來實現(xiàn)的。例如連續(xù)時間混沌系統(tǒng)的參數(shù)自適應(yīng)控制；離散混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)軌道控制1。3.1.4 智能控制法混沌系統(tǒng)以及控制的復(fù)雜性，使人們自然考慮智能方法引入到混沌控制中，采用模糊邏輯控制器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對混沌系統(tǒng)進行建模和控制已做了一些探索研究。3.2 混沌控制理論的應(yīng)用3.2.1 非線性時間序列預(yù)測本征混沌具有正的李亞普諾夫指數(shù)，使其不能進行長期預(yù)測。但許多混沌時間序列預(yù)測的研究顯

20、示了其短期預(yù)測的可靠性，利用電力負荷的時間序列，不直接考慮與負荷相關(guān)的隨機因素，而對負荷的歷史數(shù)據(jù)進行分析，建立數(shù)學模型，并進行預(yù)測與傳統(tǒng)的預(yù)測方法相比，其收斂性和適應(yīng)性均有不同程度的提高，且精度高,通用性強。3.2.2 信息存儲，語音、圖像壓縮許多語音、圖像信號中存在著混沌和分形特征，Kumar等通過對語音信號的吸引子重構(gòu)，求得元音和爆破音的關(guān)聯(lián)維數(shù)小于3,摩擦音的關(guān)聯(lián)維數(shù)略大于5,揭示了語音信號的混沌本質(zhì)。語音信號的低維吸引子意味著我們可以用少數(shù)幾個獨立變量來重構(gòu)聲道模型。其預(yù)測誤差比線性預(yù)測編碼小一個數(shù)量級?；煦缋碚撎峁┝艘粋€簡單、有效的描述語音信號的數(shù)學方法，在語音存儲和傳輸數(shù)據(jù)壓縮領(lǐng)

21、域有很好的應(yīng)用前景。3.2.3 信號檢測、估值現(xiàn)有的信號檢測理論多數(shù)以線性理論為基礎(chǔ)，線性理論所強調(diào)的是穩(wěn)定、平衡和均勻性，而利用混沌軌跡對初始條件的敏感性，可使系統(tǒng)識別出只有微小差別的不同模式，且混沌控制理論的非線性觀點從不穩(wěn)定、非平衡的狀態(tài)中來提取信息、處理信息，從而顯示它特有的優(yōu)點?；煦缧盘枡z測具有極高的靈敏度和分辨率，而且還具有極強的適應(yīng)能力。3.2.4 優(yōu)化利用混沌變量的隨機性、遍歷性、規(guī)律性可以進行優(yōu)化搜索?；煦鐑?yōu)化方法一般分為兩個階段進行：首先，在整個空間內(nèi)按照混沌變量的變化規(guī)律依次考察經(jīng)過的各點，接受較好點作為當前最優(yōu)點；其次,一定步數(shù)以后，認為當前最優(yōu)點已在系統(tǒng)固有的最優(yōu)點附

22、近，然后以當前最優(yōu)點為中心，附加一混沌小擾動，進行細搜索尋找最優(yōu)點?；煦鐑?yōu)化與遺傳算法、模擬退火算法等優(yōu)化方法的結(jié)合，可以減少計算量，提高求得全局最優(yōu)解的計算效率，克服了標準遺傳算法、模擬退火算法中的早熟”現(xiàn)象，并具有更快的收斂速度?？捎糜跈C電系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識、參數(shù)優(yōu)化設(shè)計等方面6,8。4混沌的發(fā)展與前景展望人們已經(jīng)對混沌學進行了大量的研究，并已取得了許多結(jié)果，但是混沌學仍是一個全新的科學前沿，很多系統(tǒng)的理論和有效的方法尚待發(fā)展。混沌學作為一門科學畢竟只有20余年，因此遠未成為一門成熟的科學。人們記得，19世紀末凱萊曾致力于研究復(fù)的牛頓迭代法，1930年左右朱莉亞（Julia）和法都研究了復(fù)多項式和有理函數(shù)的迭代并發(fā)明了朱莉亞。但是，直到1980年并沒有什么進展，這一年曼德爾布諾特（Mandlbrot）用計算機繪出了第一張曼氏集的圖像。今天，這個集成了混沌學的公認的標志，混沌圖像也成為極精致的工藝品，并一度風靡全世界。可以斷言，混沌的應(yīng)用前景無限廣闊5。混沌學畢竟是年