第二章 導熱基本定律與導熱微分方程

1、一、付立葉導熱定律一、付立葉導熱定律熱導率（導熱系數(shù)）熱導率（導熱系數(shù)）（Thermal conductivity）2 -grad WmqtW (mC):導熱基本定律：導熱基本定律：垂直導過等溫面的熱流密度，正比于該處垂直導過等溫面的熱流密度，正比于該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反。的溫度梯度，方向與溫度梯度相反。直角坐標系中：直角坐標系中： xyztttqq iq jq kijkxyz ; ; xyztttqqqxyz 一維導熱：一維導熱：注：注：傅里葉定律只適用于傅里葉定律只適用于各向同性材料各向同性材料各向同性材料：各向同性材料：熱導率在各個方向是相同的熱導率在各個方向是相同的各向異性

2、材料中：各向異性材料中：xxxxyxzyyxyyyzzzxzyzztttqxyztttqxyztttqxyz 有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、疊層金屬板，其導熱系數(shù)隨方向而變化塑料板、疊層金屬板，其導熱系數(shù)隨方向而變化 各向異性材料各向異性材料二、導熱系數(shù)二、導熱系數(shù) 物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)2.2.影響熱導率的因素：影響熱導率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等。濕度、壓力、密度等。 -grad qt; 金屬非金屬固相液相氣相W (mC)1.1.熱導率的數(shù)值：熱導率的數(shù)值：就

3、是物體中單位溫度梯度、單位時間、就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過單位面積的導熱量，表征物質(zhì)導熱能力大小。通過單位面積的導熱量，表征物質(zhì)導熱能力大小。（實驗（實驗測定）測定）3.3.溫度的影響：溫度的影響：)KmW()t(o111式中：式中： 為溫度為為溫度為tt的導熱系數(shù)；的導熱系數(shù)；o為溫度為為溫度為00的導熱系數(shù)；的導熱系數(shù)； 為材料為材料導熱系數(shù)導熱系數(shù)的溫度系數(shù)，為實驗值。的溫度系數(shù)，為實驗值。 4.4.保溫材料：保溫材料： 國家標準規(guī)定，溫度低于國家標準規(guī)定，溫度低于350350度時熱導率小于度時熱導率小于0.12W/(0.12W/(m mK)K) 的材料（絕熱材料）。的材料（

4、絕熱材料）。1.1.氣體氣體導熱導熱氣體分子不規(guī)則熱運動導致相互碰撞的結(jié)果氣體分子不規(guī)則熱運動導致相互碰撞的結(jié)果三、導熱的物理本質(zhì)三、導熱的物理本質(zhì)氣體的熱導率：氣體的熱導率：0.0060.6W (m C)氣體0: 0.0244W (m C) ;C空氣20: 0.026W (m C) C空氣氣體分子運動理論：常溫常壓下氣體熱導率可表示為：氣體分子運動理論：常溫常壓下氣體熱導率可表示為：n氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由行程減氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。小、而兩者的乘積保持不變。：氣體分子運動的均方根速度：氣體分子運動的均方根速度：氣體分子

5、在兩次碰撞間平均自由行程：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；：氣體的密度；：氣體的定容比熱：氣體的定容比熱13vulculvcn除非壓力很低或很高，在除非壓力很低或很高，在2.672.67* *1010-3-3MPaMPa2.02.0* *10103 3MPaMPa范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，氣體的熱導率基本不隨壓力變化。氣體的熱導率基本不隨壓力變化。n氣體的溫度升高時：氣體的溫度升高時：氣體分子運動速度和定容比熱隨氣體分子運動速度和定容比熱隨T T 升高而增大。升高而增大。氣體的熱導率隨溫度升高而增大。氣體的熱導率隨溫度升高而增大。n分子質(zhì)量小的氣體（分子質(zhì)量小的氣體（H H2 2、H He

6、 e）熱導率較大）熱導率較大 分子運分子運動速度高動速度高。（。（如下圖如下圖）2.2.導熱導熱自由電子運動、碰撞的結(jié)果（與氣體類似）自由電子運動、碰撞的結(jié)果（與氣體類似）（1 1）純金屬純金屬的導熱：的導熱：依靠自由電子的遷移依靠自由電子的遷移和和晶格的振動晶格的振動( (主主要依靠要依靠前者前者）n金屬導熱與導電機理一致；良導電體為良導熱體：金屬導熱與導電機理一致；良導電體為良導熱體：n 晶格振動的加強干擾自由電子運動晶格振動的加強干擾自由電子運動12418W (m C)金屬銀銅鋁金TCuCu10K:12000W (m C)15K :7000W (m C)（2 2）合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)

7、將破壞晶格的完整性，）合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性， 干擾自由電子的運動干擾自由電子的運動合 金純 金 屬如常溫下：如常溫下：0398w/m. c純銅0109w/m. c黃銅黃銅：黃銅：70%Cu, 30%Zn70%Cu, 30%Znn金屬的加工過程也會金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷造成晶格的缺陷n合金的導熱：依靠自由電子的遷移和合金的導熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動晶格的振動；n 主要依靠主要依靠后者后者n溫度升高溫度升高晶格振動加強晶格振動加強導熱增強導熱增強T與純金屬相反與純金屬相反n非金屬的導熱：非金屬的導熱：依靠晶格的振動依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小傳遞熱量；比

8、較小n建筑隔熱保溫材料：建筑隔熱保溫材料：3.3.非金屬固體非金屬固體導熱導熱晶格振動、碰撞的結(jié)果晶格振動、碰撞的結(jié)果n大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)n多孔材料的熱導率與多孔材料的熱導率與密度密度和和濕度濕度有關(guān)有關(guān)0.0253W (m C)T 、濕度與合金相似與合金相似4.4.液體液體導熱導熱氣體導熱機制非導電固體導電機制。氣體導熱機制非導電固體導電機制。液體的導熱：主要液體的導熱：主要依靠晶格的振動依靠晶格的振動（1 1）大多數(shù)液體（分子量）大多數(shù)液體（分子量M M不變）：不變）：（2 2）液體的熱導率隨壓力）液體的熱導率隨壓力p p的

9、升高而增大的升高而增大0.070.7 W (m C)液體20: 0.6 W (m C)C水Tp 水和甘油等強締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度水和甘油等強締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度下，熱導率隨溫度的變化規(guī)律不一樣。下，熱導率隨溫度的變化規(guī)律不一樣。一、一、 導熱微分方程的推導導熱微分方程的推導傅里葉定律傅里葉定律 + + 熱力學第一定律熱力學第一定律(1) (1) 所研究的物體是所研究的物體是各向同性各向同性的連續(xù)介質(zhì)。的連續(xù)介質(zhì)。 (2) (2) 熱導率、比熱容和密度均為已知。熱導率、比熱容和密度均為已知。 (3) (3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源：內(nèi)熱源均勻分布

10、；物體內(nèi)具有內(nèi)熱源：內(nèi)熱源均勻分布；q qv v表表示單位體積的導熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量示單位體積的導熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量W/mW/m3 3 。dydxdztdxdzdytdydzdxtdydxdqdxdzdqdydzdqQQQzyxzyx導入總熱量; ; xyztttqqqxyz 據(jù)付立葉定律：據(jù)付立葉定律：qAdQ 沿沿x x 軸方向、軸方向、x+dxx+dx的熱流密度：的熱流密度：xxdxxqqqdxx同理，沿同理，沿y y、z z 軸方向的熱流密度：軸方向的熱流密度：dyyqqqyydyydzzqqqzzdzzdydxdztdxdzdytdydzdxtdydxddzzqqdx

11、dzddyyqqdydzddxxqqdydxdqdxdzdqdydzdqQQQzzyyxxdzzdyydxxdzzdyydxx導出總熱量dxdydzdztdxdydzdytdxdydzdxt222內(nèi)熱源發(fā)熱量內(nèi)熱源發(fā)熱量 dxdydzdqvvqvqvq式中，式中， 內(nèi)熱源發(fā)熱率（內(nèi)熱源發(fā)熱率（w/w/），表示每單位體積微元體單位），表示每單位體積微元體單位時間發(fā)出的熱量，如為吸熱時間發(fā)出的熱量，如為吸熱, , 則則 0， 可以是坐標、時間的可以是坐標、時間的函數(shù)。函數(shù)。熱蓄集熱蓄集dxdydzdtCn微元體熱焓的變化（質(zhì)量為微元體熱焓的變化（質(zhì)量為mkgmkg）：）：(d )tmc tdxdy

12、dzcdnd d 時間內(nèi)微元體中熱力學能的增量。時間內(nèi)微元體中熱力學能的增量。2 m sac 熱擴散率（導溫系數(shù)）2 拉 普 拉 斯 算 子Cqztytxtatv222222導熱微分方程導熱微分方程 2222222() ; o r vvqqtt t ttaatx y z cc 二、導溫系數(shù)（熱擴散率）二、導溫系數(shù)（熱擴散率）(1)(1)物理意義物理意義綜合反映綜合反映導熱能力導熱能力和和蓄熱能力蓄熱能力。a a大則導熱能大則導熱能力強而蓄熱能力弱，溫度變化傳播快，整個材料的溫度趨于均力強而蓄熱能力弱，溫度變化傳播快，整個材料的溫度趨于均勻化；反之則反。勻化；反之則反。(2)a(2)a與與的比較

13、的比較(3)a(3)a只在只在非穩(wěn)態(tài)傳熱非穩(wěn)態(tài)傳熱過程中起作用。對穩(wěn)態(tài)傳熱：過程中起作用。對穩(wěn)態(tài)傳熱：0t0222222Cqztytxtav0222222vqztytxt三、導熱微分方程的簡化三、導熱微分方程的簡化無內(nèi)熱源：無內(nèi)熱源： taztytxtat2222222付立葉方程付立葉方程穩(wěn)態(tài)導熱：穩(wěn)態(tài)導熱： 02/qtv泊松方程泊松方程 穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱& &無內(nèi)無熱源：無內(nèi)無熱源：02222222ztytxtt拉普拉斯方程拉普拉斯方程 穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱& &無內(nèi)無熱源無內(nèi)無熱源& &二維：二維：02222ytxt穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱& &

14、amp;無內(nèi)無熱源無內(nèi)無熱源& &一維：一維：022xtd四、非直角坐標系的導熱微分方程四、非直角坐標系的導熱微分方程 （1 1）圓柱坐標系）圓柱坐標系（r, r, , z, z）zzryrx ;sin ;cos1rztqrtqrtqz Cqzttrrrrratv222221)(1（2 2）球坐標系）球坐標系（r, r, ， ）11sinrtqrtqrtqr sincos ; sinsin ; cosxryrzrCqtrtrrtrrratv222222sin1)(sinsin1)(1導熱微分方程式的導熱微分方程式的不適應(yīng)不適應(yīng)范圍范圍: : 非傅里葉導熱過程非傅里葉導熱過程n極

15、短時間產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如激光極短時間產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如激光加工過程。加工過程。n極低溫度極低溫度( (接近于接近于0 K)0 K)時的導熱問題。時的導熱問題。五、導熱微分方程的定解條件五、導熱微分方程的定解條件 （1 1）定解條件的定義）定解條件的定義使微分方程得到特定解的附加條件使微分方程得到特定解的附加條件( (數(shù)學稱謂數(shù)學稱謂) )。（2 2）定解條件的分類）定解條件的分類A.A.幾何條件幾何條件幾何形狀，如：平壁或圓筒壁；厚度、幾何形狀，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等（常為已知）。直徑等（常為已知）。B.B.物理條件物理條件說明導熱體的物理特征，如：

16、物性參數(shù)說明導熱體的物理特征，如：物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性（常為已知）。小和分布；是否各向同性（常為已知）。C.C.初始條件初始條件初始時刻的溫度分布；初始時刻的溫度分布；思考穩(wěn)態(tài)導熱有思考穩(wěn)態(tài)導熱有無初始條件無初始條件 n穩(wěn)態(tài)導熱過程不需要時間條件穩(wěn)態(tài)導熱過程不需要時間條件 與時間無關(guān)與時間無關(guān)n對非穩(wěn)態(tài)導熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導熱體內(nèi)對非穩(wěn)態(tài)導熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導熱體內(nèi)的溫度分布：的溫度分布：0()tfrD.D.邊界條件邊界條件邊界上的溫度或換熱情況，邊界上的溫度或換熱情況，說明導熱

17、體說明導熱體邊界上過程進行的特點反映過程與周圍環(huán)境相互作用的邊界上過程進行的特點反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件。條件。第一類第一類邊界條件邊界條件給定邊界上的給定邊界上的溫度值溫度值。如：。如：wstts s 邊界面邊界面; ; t tw w = f = f ( (x,y,zx,y,z) ) 邊界面上的溫度邊界面上的溫度例：例：120, , wwxttxttoxtw1tw2穩(wěn)態(tài)導熱：穩(wěn)態(tài)導熱： t tw w = = constconst非穩(wěn)態(tài)導熱：非穩(wěn)態(tài)導熱： t tw w = f = f ( ( ) )b.b.第二類第二類邊界條件邊界條件給定邊界上的給定邊界上的熱流密度熱流密度。( ,)wsqqfrqw根據(jù)傅里葉定律：根據(jù)傅里葉定律：()wntqn ()wnqtn第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界面法向的第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值溫度梯度值。穩(wěn)態(tài)導熱：穩(wěn)態(tài)導熱：非穩(wěn)態(tài)導熱：非穩(wěn)態(tài)導熱：wqconst()wqf特例：絕熱邊界面特例：絕熱邊界面0 0wwwttqnnc.c.第