第一章行列式.ppt課件

1、Ch1、行列式n階行列式的定義階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)行列式按行列展開行列式按行列展開克萊姆法那么克萊姆法那么返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1、n階行列式的定義1、全陳列與逆序數(shù)、全陳列與逆序數(shù) 將將 這這n個數(shù)恣意組合后排成的數(shù)個數(shù)恣意組合后排成的數(shù)組組 稱為一個稱為一個n階階(全全)陳列，例如陳列，例如53214即為一個五階全陳列。顯然，即為一個五階全陳列。顯然，n階陳列的總數(shù)階陳列的總數(shù)為為n!。 在陳列中任取兩個數(shù)，如前面的數(shù)大于在陳列中任取兩個數(shù)，如前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個逆序。后面的數(shù)，那么稱它們構(gòu)成一個逆序。n, 3 , 2 , 1njjj21返回

2、返回上一頁上一頁下一頁下一頁 (1) 一個陳列中一切逆序的總和稱為此陳列的逆序數(shù)，記為t； (2) 逆序數(shù)為奇(偶) 數(shù)的陳列稱為奇 (偶)陳列。參考題1、求以下陳列的逆序數(shù) (1) 312; (2) 134782695; (3) ; (4) 解：(1) t=2; (2) t=1+1+3+3+1+1=10;321) 1(nnnn) 1(123返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 (3) ; (4) t=0。2、對換 將一個陳列中的兩個數(shù)位置對調(diào)稱為對換。 定理1：對換改動陳列的奇偶性。 定理2：在一切n階陳列中，奇偶陳列各半，各為個 。2) 1(12)2() 1(nnnnt2! n返回返回上一頁上

3、一頁下一頁下一頁 證證: 設(shè)奇偶陳列分別為設(shè)奇偶陳列分別為p,q個個, 那么那么p+q=n!。 全部陳列全部陳列 全部陳列全部陳列 ，故，故p=q=n!/2 。3、二階與三階行列式、二階與三階行列式 引例：解二元線性方程組引例：解二元線性方程組 個奇?zhèn)€偶一次對換個偶個奇qpqp0,2112221122221211212111aaaabxaxabxaxa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 解：用消元法易得解：用消元法易得 稱為二階行列式。稱為二階行列式。 假設(shè)記假設(shè)記 那么方程組的解可記為那么方程組的解可記為211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaab

4、aabx2112221122211211aaaaaaaa2211112222121122211211,babaDababDaaaaD返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁稱為三階行列式。22211211221111222221121122212111,aaaababaDDxaaaaababDDx322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1212 21 253xxxx1225D 1 52 21D 1121 53 21,35D 2111 32 1123D

5、 12121,1DDxxDD 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁101211012D 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁4、n階行列式的定義階行列式的定義 稱為稱為n階行列式。階行列式。 (1) n!項之和，正負(fù)各半；項之和，正負(fù)各半；(2) 每項為不同每項為不同行不同列的行不同列的n個元素之積個元素之積 ，其符號，其符號為為 ，t為陳列為陳列 的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。 故故n階行階行列式的定義為列式的定義為 ijnnnnnnaaaaaaaaaaDdet212222111211記為1212njjnja aat) 1(njjj21 nnjjjtijaaaa2121) 1(

6、det返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁112122112212nnnnnnaaaDa aaaaa1212( 1)ntPPnPDa aa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1122( 1)tnna aa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁5、幾種常用的特殊行列式、幾種常用的特殊行列式 (1)上三角行列式上三角行列式 解：察看通項解：察看通項 知，要想知，要想使之不為零，必需使之不為零，必需 ，同理，同理 ，而，而 為為偶陳列，故偶陳列，故 。 nnnnnnnnaaaaaaaaD, 11, 122211211nnnjjnjjaaaa121121njn1211,2,1njnjjnnjjjn) 1(1221n

7、nnaaaD2211返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 (2)下三角行列式 (3)對角行列式 nnnnnaaaaaaD22112211nnnnnnnaaaaaaaaaD221121222111返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 (4)反對角行列式 解：對 ，必需 ，而 ，故得證。 11, 212)1(11, 21) 1(nnnnnnnnnaaaaaaDnnjjjaaa21211, 2, 1,121nnjjnjnj12()(1)21(1)/2nt j jjt n nn n返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁2、行列式的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即即 。

8、性質(zhì)性質(zhì)2：交換兩行：交換兩行(列列)，行列式僅改動符，行列式僅改動符號。號。 推論：假設(shè)兩行推論：假設(shè)兩行(列列)一樣，那么行列式為一樣，那么行列式為零。零。 證：證： ，故，故D=0。 性質(zhì)性質(zhì)3：用數(shù)：用數(shù)k乘某行乘某行(列列)等于用等于用k乘該行乘該行列式。列式。TDDDD列交換相同的兩行返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 例如， 切記： nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka212222111211212222111211111211112121222212221212nnnnnnnnnnnnnnkakakaaaakakakaaaakDkkDkakakaa

9、aa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 性質(zhì)性質(zhì)4：假設(shè)兩行：假設(shè)兩行(列列)成比例，那么行列成比例，那么行列式為零。式為零。證：證： 性質(zhì)性質(zhì)5：把某一行：把某一行(列列)各元素乘上同一數(shù)各元素乘上同一數(shù)后加到另一行后加到另一行(列列)對應(yīng)元素，行列式不變。對應(yīng)元素，行列式不變。 性質(zhì)性質(zhì)6：0211121111211211121111211nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 性質(zhì)7: 假設(shè)A,B均為n階方陣，那么 注：計算行列式最常用的兩種方法之一是利用行列式的性質(zhì)將其化為上三角。nnnnknkknnnnnknkknnnnnk

10、nknkkkknaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211BABAAB返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 參考題參考題2、計算、計算 (1) (2) 解：解：(1)3351110243152113DbaaabaaabD 131213121534084602110211513301627D 5522521312131208460846400020020000065 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 (2)212(2)121abaaaaDabbaabbaababab21(2) 00(2)()00aaabbaab baba返回

11、返回上一頁上一頁下一頁下一頁112211312D 121323( 2)( 3)( 1)1121121120336 0116 011028014003rrrrrrD返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁122222222232222Dn返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁21( 1)12001000020002000210021002020202rrDnn返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁xaaaaxaaDaaxaaaax1xna1xna返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁11111aaaxaaDxnaaxaaax11111aaaxaaDxnaaxaaax返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1000100000aa

12、axaxnaxaaxa11nxnaxa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁121212nnnxmxxxxmxDxxxm1niixm1niixm返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁2212111nnniinxxxmxDxmxxm2212111nnniinxxxmxDxmxxm返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁211110000nnnniiiixxmxmxmmm返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁3、行列式按行列展開1、余子式和代數(shù)余子式、余子式和代數(shù)余子式 在在n階行列式中，將階行列式中，將 所在的第所在的第i行、第行、第j列劃去后余下的列劃去后余下的n1階行列式稱為階行列式稱為 的余子式，的余子式，記為記為

13、 ，而，而 稱為稱為 的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。 在在 中，中， 的余子式的余子式ijaijaijMijjiijMA) 1(ija333231232221131211aaaaaaaaa12a3331232112aaaaM返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁代數(shù)余子式 。2、行列式的展開法那么 定理3：行列式等于它的某一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 推論:行列式中某一行(列)的各元素與另一行 (列)對應(yīng)元素代數(shù)余子式的乘積之和為 1 2121212( 1)AMM 1122iiiiininDa Aa Aa Ai按第 行展開1122jjjjnjnja Aa Aa Aj按第 列展開

14、返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁零，即 。 綜合定理和推論可得： 例如，jiAaAaAajninjiji,02211行jijiDAaAaAajninjiji02211jijiDAaAaAanjnijiji0221111121312132 1212223213233313233( 1)aaaaaaaaaaaaaa 111311122 22 3222331333132( 1)( 1)aaaaaaaaaa 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 注：計算行列式最常用的兩種方法之二注：計算行列式最常用的兩種方法之二是利用展開法那么將行列式展開。是利用展開法那么將行列式展開。參考題參考題3、計算行列式、計算行

15、列式 解：解：3351110243152113D3 35111511111311 ( 1)111100105505530D 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁參考題4、證明范德蒙行列式51162620( 6) ( 5)2 ( 5)4055550 1112112222121111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxV返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1221224231141312nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁3040222207005322D 04034030030422222222222228700000070070 返回返回上

16、一頁上一頁下一頁下一頁13040222207001111D 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁3 21340( 1)( 7)22228111D 1414243444 14 24 34 4414243444142434411( 1)11 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)DAAAAMMMMMMMM 。返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1414214342393092141414001000214321622762423942774147730923012231212276276220214777211721112122560560 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁10100100114211

17、1411114 01156056016010014 11014061 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁0000000abbbbabbbDabba 1 11110( 1)00000nabbbabbAaaba 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁11( 1)0000nnbbbbabbbAbbab 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1100000( 1)00000nnbabaAbaaba 12( 1)()nnb ba 112122( 1)()( 1)()nnnnnnDa abb baab ba 。返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁4、克萊姆法那么1、伴隨矩陣、伴隨矩陣 定義：對方陣定義：對方陣A，由其行列式

18、，由其行列式 各元素的各元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的方陣代數(shù)余子式構(gòu)成的方陣稱為的伴隨矩陣，記為稱為的伴隨矩陣，記為 。DnnnnnnAAAAAAAAA212221212111*A返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 例如， ， 。 定理4：對恣意方陣A， 證：343122321A222563462*AEAAAAA*mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211*AAAAAAAAAAAAnnnnnn212221212111返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 ，同理 ，即 。 定義：對方陣A，當(dāng) 時，稱之為奇特陣， 時，稱之為非奇特陣。 定理5：A非奇特(即 ) 可逆，且 。 證：(必要性)由定

19、理4， 因A非奇特即 ，故 EAEAAA*EAAAAA*0A0A0AA*11AAAEAAAAA*0AEAAAAAA*11返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 由定義知，A可逆，且 。 (充分性)因A可逆，即有 ，使故 ，得 ，即A非奇特。 推論：假設(shè) 或 ，那么A,B互逆。 證： ， ，得 ， ，即A,B均可逆，且互為逆矩陣。參考題5、 ，求 ，其中 。*11AAA1AEAA11,11AAEAA0AEAB EBA EAB 1EBAAB0A0B abAcd1A0adbc返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 解：解： ，即，即A可逆，又可逆，又 故故 參考題參考題6、求、求 的逆陣。的逆陣。0bcadAa

20、cbdAAAAA22122111*acbdbcadA11343122321A返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 解：解： ，即，即A可逆，可逆， 故故 2、克萊姆法那么、克萊姆法那么 定理定理6：假設(shè)：假設(shè)n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組02 A222563462*A222563462211Annnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁的系數(shù)行列式那么此方程組有獨一解 其中Di是將D中的第i列元素用右端項替代后所得的行列式，即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaDniDDxii,

21、 2 , 1,nnninninniiiaabaaaabaaD11111111111返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁 注：假設(shè)注：假設(shè)D=0，那么此方程組無解或有，那么此方程組無解或有無窮多組解。無窮多組解。 推論：對齊次線性方程組推論：對齊次線性方程組其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式D=0。000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁123123132 31,4254, 3,xxxxxxxx2132111 14254213021101100D 111381381425112527

22、112301001D 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁221325151445481381131100D3111215154244281828303100D1231239, 1, 6DDDxxxDDD 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1231231230,0,0 xxxxxxxxx。1111111111(2)11(2) 0101111001D返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁2(2)(1)2(2)(1)02(2)(1)0返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁123452221127312451112243150D 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁414243444541424344452227,222

23、0AAAAAAAAAA。41424344459,18AAAAA 1122,()0,()ijijinjnD ija Aa Aa Aij返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁nD返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁0000000000000nD返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁110000000000( 1)0000000nnnD 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁1000000( 1)()0000000n nn11nnD 111nnnDD 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁于是12112212212212221nnnnnnnnnnDDDDnnn 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁12322221231111123

24、1111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁123222212311111231111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx1232221122331212121122331111000nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁按最后一列展開，得123122221122331113232323211223311121212121122331111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxx xxx xxx xxx xVxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x 12311222212112312222123111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx 返回返回上一頁上一頁下一頁下一頁123122221211231222212311111nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx1211nnnnnxxxxxxV112112111nnnninnininiiixx Vxxxx V11231211jjnnjijijijijiij nxx Vxxxx