2015年高考重慶理科數(shù)學試題及答案解析版

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)-、選擇題：本大題共(1)【2015年重慶，理(A)A=B【答案】D【解析】：A=1,2,2,數(shù)學(理科)10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1】已知集合A=1,2,3,B=2,3,則()(C)AuB(D)B=2,3-BAMB=A=(2)【2015年重慶，(A)-1【答案】B【解析】利用a2+a6(3)【2015年重慶，2】在等差數(shù)列Q中,若(B)0BcA,豐a2=4,故選D.a4=2,則a6=()(C)(D)=2a可求得a6=0,故選B.理3】重慶市2013年各月的平均氣溫(數(shù)據(jù)的莖葉圖如右,則這組數(shù)

2、據(jù)的中位數(shù)是()(A)19(B)20【答案】B(C)21.5(D)23【解析】這組數(shù)據(jù)是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32.中位數(shù)是(4)【2015年重慶，理4】“x>1”是“10gl(x+2)<0”的(20+20二20,2)故選B.(A)充要條件2(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件9+5&033工(D)既不充分也不必要條件【答案】B【解析】10gl(x+2)<0=xA-1,故選B.2(5)【2015年重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示,1(A).二31(C)一2二3正視圖左祖圖則該幾何體的體積為，、2(D)23【答案】A【解析

3、】該立體圖形是由一個三棱錐和一個半圓柱拼接而成的，其體積為兩部分體積之和:1121132，2-，9二二十叫故選A.(6)【2015年重慶，理6】若非零向量TT2-2一,一4一十Ta,b滿足|a尸|b|,且(a-b)_L(3a+2b),則a與b的夾角為(3(B)(C)(D)ntt.，,人T2,2r【解析】(ab)_L(3a+2b)n(ab)(3a+2b)=0,結合|a|=22|b|,3.cos：a,b=可得aLb=-|b|,3(7)【2015年重慶，理是()3(A)sM4【答案】C二七,K二二=,<a,bx0,n=xa,b=一，故選|a|b|247】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值為，

4、、11(C)s-128,則判斷框圖可填入的條件(D)s/241口.11111口，s=0,k=0是=k=2,s=一是,=k=4,s=一+一是,=k=6,s=+一+一是22424611s+,一24*圓C:=k=8,$=1+3+1否，判斷框內(nèi)應該填2468(8)【2015年重慶，理8】已知直線l：x+ay_1=0(+二',故選C.61222:x+y4x2y+1=0的對稱軸，過點A(B,a作圓C的一條切線，切點為(A)2【答案】C【解析】C:(x-2)+(y-1)=4,直徑所在直線，它過圓心B,則|AB|=(B)472(C)(D)2月其圓心坐標為C(2,1),半徑r=2.由題意可知直線l:x+

5、ay_1=0(aWR)是圓的C(2,1),所以2+ax11=0=a=A(4,_1)=AC=2炳.由幾何圖形可知，AB=JAC2_r2=聞=4=6,故選C.(9)【2015年重慶，理9】若tana=2tanm，5(A) 1【答案】C(B) 2cos(1-3-)則10-=(nsin(-)5(C) 3(D) 4【解析】tan=2tansin、工=52sin5cos二jicos53二cos(二.-)10sin(:.)cos(二一)-52sin(:.).，工sin(二)5sin(二JIsin:coscos二sincosn冗sin:coscos二sincoscos(二將®式帶入上式可得：10)-

6、=3,故選C.sin(二-)22(10)【2015年重慶，理10】設雙曲線與J=1(aA0,bA0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線abD.若D到直線BC的距離小于與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC,AB的垂線交于點a+Ja2+b2,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(A)-1,0IJ0,1【答案】A(B)(3,-1伙1*)(C)(rG,0)U(0,近)(D)(g,-72)U(V2,")【解析】由題意可得b2b2:A(a,0),F(c,0),B(c,).AF=c-a,BF=一在RtMBD中，由射影定理有：DFa(b)22(ca)(c-a).即點D到直線BC的距離為2

7、(ca)(ca)2(ca)(c-a)<a+Ja2+b2=a+c=0<b<1,而雙曲線的漸近線斜率abk=土一,ku(1,0)U(0,1),故選A.a二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡的相應位置.(11)【2015年重慶，理11】設復數(shù)a+bi(a,bWR)的模為43,則(a+bija-bi)=.【答案】3【解析】復數(shù)abi(a,bR)的模為J3n"a2+b2=43=a2+b2=3.二(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.(12)【2015年重慶，理12】+-1的展開式中2,xx8的系數(shù)是(用數(shù)字作答).【答案】52

8、1571【解析】：T.=C；(x3)"(工)r=C；Jx/.152五2Zr=8.r=2.故(x3+J)5的展開式中x8的系數(shù)為22.x05=5.22(13)2015年重慶，理13】在MB0中，B=120°,AB=J2,PABC的角平分線AD=，3，則AC=【答案】6【解析】由正弦定理可得：-AD=一AB一=sinZADB=史=ZADB=45口=ZBAD=15,NNBAC=3°,sinBsinZADB2,-.ZC=30'，再由正弦定理可得：-A0-=-AB-nAC=76.sinBsinC考生注意：(14)、(15)、(16)三題為選做題，請從中任選兩題作答，

9、若三題全做，則按前兩題給分.(14)【2015年重慶，理14如圖，圓O的弦AB,CD相交于點E,過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,貝UBE=.【答案2【解析】由切割線定理可得：PA2=PCPD=PD=12=CD=9=CE=6,ED=3.再由相交弦定理可得：AEBE=CE，DE=BE=2.x-1t(15)【2015年重慶，理15】已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極廣y=1t點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為P2cos2=4(P>0<6<),則直線44l與曲線C的交點的極坐標為.【答

10、案】2,二【解析】直線l的直角坐標方程為y=x+2.；'口%0$2日=4二290$2日一$所2日)=4二*2-丫2=4.由y=x，222/x-y=4xx-2aa3-5口<:.P=Jx+y=2.由y=Psin日=0及一<9<一=日=兀.y=044故直線l與曲線C的交點的極坐標為(2,n).(16)【2015年重慶，理16若函數(shù)f(x)=x+11xa的最小值為5,則實數(shù)a=【答案】4或-6【解析】分情況討論：(1)當aE-1時，利用零點分段討論法分段討論并結合函數(shù)圖像可知：f(x)在a處取得最小值5,所以|a十1|=5=a=-6;(2)當a>1時，利用零點分段討論法

11、分段討論并結合函數(shù)圖像可知：f(x)在a處取得最小值5,|a+1|=5=a=4,綜上，可得實數(shù)a=-6或4.三、解答題：本大題共6題，共75分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.(17)【2015年重慶，理17】(本小題滿分13分，(I)小問5分，(II)小問8分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個.(I)求三種粽子各取到1個的概率；(II)設X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.cJcJc11解：(I)令A表示事件“三種粽子各取到一個“，則P(A)=c2C3C=-C104(n)X

12、所有可能取值為0,1,2,且P(X=0)=與=/，P(X=1)=0208=,P(X=2)=0208=,G。15C1015C1015故分布列見表：X012P771151515口7713且EX；=012=-1515155(18)【2015年重慶，理18】(本小題滿分13分，(I)小問7分，(n)小問6分)設f(x)=sin'三xIsinx-3cos2x.2(I)求f(x)的最小正周期和最大值;(n)討論f(x衽至上的單調(diào)性6,3解:21.c3c.c(I)由題fx=cosxsinx;3cosx=-sin2x1cos2x=sin!2x_22二353一故f(x)的最小正周期T,最大值為三叵.2(

13、n)由xW,且I知0M2x工Mn,從而當0M2x-二即=MxM電時，f(x)單調(diào)遞增；當163332612-<2x-<Hgp<x<f(x)單調(diào)遞減.因此，f(x)在國電1單調(diào)遞增，在|包，至I單2一3一12一一3612|J23調(diào)遞減.(19)【2015年重慶，理19】(本小題滿分13分，(I)小問4分，(II)小問9分)如圖，三棱錐PABC中，PC_L平面ABC,PC=3,/ACB=三，D,E分別為線段AB,BC上的點，且CD=DE=J2,CE=2EB=2.2(I)證明：DE_L平面PCD;(n)求二面角A-PD-C的余弦值.解：(I)因PC_L平面ABC,DEU平面A

14、BC，故PC_LDE.又CD=DE=72,CE=2,故ACDE為等腰直角三角形，且CD_LDE.因PCP|CD=C,PCu平面PCD,CDu平面PCD,所以DE_L平面PCD.(n)如圖，取CE的中點F,連DF.由(I)知ACDE為等腰直角三角形，故DF_LCE,DFFB2DF=CF=FE=1.又ZACB=一，故DF/AC,因此=一,從而T_2ACCB3以C為原點，CA,CB,CP的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0,0),a,|,0,0l1,E(0,2,0),D(1,1,0),P(0,0,3),故DA：AC=一DP=(7,-1,3),DE二(T,1,0).

15、設n1=(x1,y1,z1)為平面APD的法向量，則T廬D故DE即為平面PCD的法取W=1得n=(2,1,1).由(I)知DE_L平面PCD,向量.因cosf1；E=4''=e，故所求二面角A-PD-C的余弦值為叵.'1nl|DE|66(20)【2015年重慶，理20】(本小題滿分12分，(I)小問7分，(II)小問5分)設函數(shù)f卜)=里8Wr).y=f(x/點(1,f(1)處的切線方程;(I)若f(x昨x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線(n)若f(x施13,口)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.解：(I)由題f'(x)=6xaexT3x2axex-3x246

16、-axa,因f(x)在x=0處取得極值,故f'(0)=0,得a=0.因此f(x)=3x2ef'(x)=(6x3x2卜.從而f(1)=3,f'(1)=3,所以曲線y=f(x)在ee點(1,f(1)處的切線方程為y_3=3(x1)即3x-ey=0.ee3(x1)對x3恒成立.顯然(n)由題知f'(x)0對x之3恒成立，故_43x2+(6-a)x+a>0IPa>-3-x-1P,Q兩點，且a的取值范圍為7分)如圖，橢圓g(x)=-3(x-1好b,-)單調(diào)遞減，故gmax(x)=g(3)=-x-122(21)【2015年重慶，理21(本題滿分12分，(I)小問

17、5分，(II)小問2卜1ab>0)的左右焦點分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于PQ_LPF1.(I)若|PFi|=2+T2,|PF2|=2&求橢圓的標準方程;(n)若|pFiRPQ|,求橢圓的離心率e.解：(I)由題2a4PFiI+|PF21=4,故a=2.又4c24PFi|2十|PF2|2=12,故c2=3,因此b22而橢圓方程為+y2=1.4(n)連FiQ,由題4aFiP|十|PQI+IQFR2+，2)|FP|故IFF|=2(2夜)a,從而|F2P|=2a|FF|-2=2(拒-1a,因此4c2=1PFiI2十IPF2I2=4(96亞)a2,所以e=96&娓顯)，得e=v6-V3.(22)【2015年重慶，理22(本題滿分12分，(I)小問4分，(n)小問8分)在數(shù)列Q中，a=3,2an-+an*/.an+*Ran=0(n匚N+).(I)若九=0,R=-2,求數(shù)列Q的通項公式；1.一11(n)右九=一(k0uN,k0之2),N=1,證明：2+ca<書<2+-k03k012koi解：(I)由九=0,N=2得ann=2an2.因a=3>0,故an>0,得an卅=2an.因此an是首項為3公比為2的等比數(shù)列，從而an=3-2nA.(n)