第13講 插值、擬合.ppt

1、數(shù)學建模與數(shù)學實驗數(shù)學建模與數(shù)學實驗 插值、擬合插值、擬合實驗目的實驗目的實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容1了解插值、擬合的基本內(nèi)容了解插值、擬合的基本內(nèi)容2. 掌握用數(shù)學軟件求解插值、擬合問題掌握用數(shù)學軟件求解插值、擬合問題1. 插值、擬合插值、擬合問題引例及基本原理問題引例及基本原理2. 用數(shù)學用數(shù)學軟件求解插值、擬合問題軟件求解插值、擬合問題3. 應用應用實例實例. .4. 實驗實驗作業(yè)作業(yè). . 我們經(jīng)常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，我們經(jīng)常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關鍵就在于這些算法，例如而處理數(shù)據(jù)的關鍵就在于這些算法，例如數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處

2、理算法。此類問題在法。此類問題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法，這些方法都能游刃有余的用好。都能游刃有余的用好。 一、一、 在實際中，常常要處理由實驗或測量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。插值與擬合方法就是要通過這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參數(shù)或?qū)で竽硞€近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合精度。 如果要求這個近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過所已知的所有數(shù)據(jù)點，則稱此類問題為插值問題。 （不需要函數(shù)表達式）二、 如果不要求近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它能較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合。（必須有函數(shù)表達式）

3、。近似函數(shù)不一定（曲線或曲面）通過所有的數(shù)據(jù)點。 1 1、聯(lián)系、聯(lián)系都是根據(jù)實際中一組已知數(shù)據(jù)來構造一個能夠都是根據(jù)實際中一組已知數(shù)據(jù)來構造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法。反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法。2 2、區(qū)別、區(qū)別插值問題插值問題不一定得到近似函數(shù)的表達形式，僅不一定得到近似函數(shù)的表達形式，僅通過插值方法找到未知點對應的值。通過插值方法找到未知點對應的值。數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合要求得到一個具體的近似函數(shù)的表達式。要求得到一個具體的近似函數(shù)的表達式。 三、插值與三、插值與四、四、 當數(shù)據(jù)量不夠，需要補充，且認定已有數(shù)當數(shù)據(jù)量不夠，需要補充，且認定已有數(shù)據(jù)可信時據(jù)可信時, , 通常利

4、用函數(shù)插值方法。通常利用函數(shù)插值方法。 實際問題當中碰到的函數(shù)實際問題當中碰到的函數(shù) f (x) 是各種各是各種各樣的，有的表達式很復雜，有的甚至給不出數(shù)樣的，有的表達式很復雜，有的甚至給不出數(shù)學的式子，只提供了一些離散數(shù)據(jù)，警如，某學的式子，只提供了一些離散數(shù)據(jù)，警如，某些點上的函數(shù)值和導數(shù)值。些點上的函數(shù)值和導數(shù)值。 引言引言拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一 維 插 值一、插值的定義二、插值的方法三、用MATLAB解插值問題一維插值的定義已知 n+1個節(jié)點(,) (0,1, ,jjxyjn 其中jx互不相同，不妨設),10bxxxan求任一插值點)(*jxx 處的插值.*y 0 x1

5、xnx0y1y節(jié)點可視為由)(xgy 產(chǎn)生,g表達式復雜,或無封閉形式,或未知.*x*y 構造一個(相對簡單的)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點, 即()(0,1,)jjfxyjn再用)(xf計算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回 插值問題的一般提法插值問題的一般提法：已知y = f(x)（該函數(shù)未知）在互異的n+1個點x0,x1,x2,xn處的函數(shù)值y0, y1,y2, yn,構造一個過n+1個點（xk,yk） k=0,1,2,n的次數(shù)不超過n的多項式 y = Ln(x)，（稱為插值多項式） 使其滿足Ln(xk) = yk ，（稱為插值條件）然后用y = Ln(x)作為

6、準確函數(shù)y = f(x)的近似值。此方法稱為插值法插值法。 定理：滿足插值條件的次數(shù)不超過n的多項式是唯一存在唯一存在的。定理定理 (插值多項式的插值多項式的存在唯一性存在唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值多項式是唯一存在的。階插值多項式是唯一存在的。niyxPii,., 0,)( 證明：證明： ( 利用利用Vandermonde 行列式行列式論證論證)nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa.101111000010這是一個關于這是一個關于a0 , a1 , an 的的n+1元線性方程組元線性方程組,其系其系數(shù)行列式數(shù)行列式:10110)(),.,(ijjininnxxxxx

7、V由于由于i j時時, xi xj ,因此因此 ,即方程組有即方程組有唯一解唯一解. . 0),.,(10nnxxxV 代數(shù)多項式具有形式簡單、計算方便、存在各階導數(shù)等良好性質(zhì)，是最常用的插值函數(shù)201( )( )nnxnP xP xaa xa xa x代數(shù)多項式構造插值原則( ),0,1,2,iiP xy in 問題：如何確定多項式的系數(shù)，以使多項式成為插值多項式？構造多次插值多項式2010( )( )nninxniiP xP xaa xa xa xa x如果以上的多項式滿足插值原則，就稱P(x)為F(x)的插值多項式。已知：對于函數(shù)y=F(x)給出在n+1個互異插值節(jié)點上的函數(shù)值，可構造一

8、個n次的多項式：確定次多項式系數(shù)由于滿足插值原則，則有20102000201 121112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xykx線性插值,n=1求解方程組得到插值多項式系數(shù)的方法很多，以拉格朗日(Lagrange)法和牛頓 (Newton)法最為常見插值多項式101( )P xaa x0010101 1yaa xyaa x010110010000101,yyyyaaya xyxxxxx直線的兩點式表達式拉格朗日線性插值拉格朗日線性插值101( )P xaa x010110010000101,yyyyaaya xyxxxxx0110101

9、10( )xxxxP xyyxxxx分別稱為節(jié)點x0和x1的一次插值基函數(shù)插值函數(shù)為基函數(shù)的線性組合，組合系數(shù)就是對應節(jié)點上的函數(shù)值01010110( ),( )xxxxL xL xxxxx直線方程的兩點式：線性插值線性插值101001011)(yxxxxyxxxxxLl0(x)l1(x) 10)(iiiyxlL1(x)二次插值多項式：拉格朗日二次插值拉格朗日二次插值2001122( )( )( )( )P xy L xy L xy L x1, ()( )0, ()iiixxL xxxx在節(jié)點上，但基函數(shù)滿足：基函數(shù)如何確定？120010220112100122021()()( )()()()

10、()( )()()()()( )()()xxxxL xxxxxxxxxL xxxxxxxxxL xxxxx拋物插值拋物插值2120210121012002010212)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxLl0(x)l1(x)l2(x) 1111211112110 1 nnninkkkikkkii knkknikikikkkkkkkni kkixxP xlx yyLagrangexxxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxiklxik 稱為插值多項式其中：而： 拉格朗日插值法求多項式模型為：拉格朗日拉格朗日n次插值次插值例1 5)(,

11、1)(, 8)(, 4, 2, 1321321xfxfxfxxx求二次插值多項式。 211635)24)(14()2)(1(1)42)(12()4)(1(8)41)(21 ()4)(2()(2xxxxxxxxxL解 : 按拉格朗日方法，有：例題例題 插值余項插值余項 /* Remainder */設節(jié)點設節(jié)點)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截斷誤差考察截斷誤差)()()(xLxfxRnn , baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,用簡單的插值函數(shù)用簡單的插值函數(shù)L n(x)代替原復雜函數(shù)代替原復雜函數(shù)f(x),其其精度取決于截斷誤差精度取決于截斷誤差,即

12、插值余項即插值余項.)()()()!1()()(210) 1(nnnxxxxxxxxnfxR即niinnxxnfxR0) 1()(! ) 1()()(,ba其中拉格朗日余項定理拉格朗日余項定理注：注： 通常不能確定通常不能確定 , 而是估計而是估計 , x (a,b) 將將 作為誤差估計上限。作為誤差估計上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1(當當 f(x) 為任一個次數(shù)為任一個次數(shù) n 的的多項式多項式時，時， , 可知可知 ，即插值多項式對于次數(shù)，即插值多項式對于次數(shù) n 的的多項多項式是式是精確精確的。的。0)()1( xfn0)( xRn例例2：已知已知233si

13、n,214sin,216sin 分別利用分別利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值計算插值計算 sin 50 并估計誤差。并估計誤差。 解：解：0 x1x2x185500 n = 1分別利用分別利用x0, x1 以及以及 x1, x2 計算計算4,610 xx利用利用216/4/6/214/6/4/)(1 xxxL這里這里)3,6(,sin)(,sin)()2( xxxfxxf而而)4)(6(!2)()(,23sin21)2(1 xxfxRxx00762. 0)185(01319. 01 Rsin 50 = 0.7660444)185(50sin10 L0.77614外

14、推外推 /* extrapolation */ 的實際誤差的實際誤差 0.010010.010013,421 xx利用利用sin 50 0.76008, 00660. 018500538. 01 R內(nèi)插內(nèi)插 /* interpolation */ 的實際誤差的實際誤差 0.00596 0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的要計算的 x 所在的區(qū)間的所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。端點，插值效果較好。n = 223)()(21)()(21)()()(4363463464363646342 xxxxxxxL)185(50sin20 L0.7654323cos21;)3)

15、(4)(6(!3cos)(2 xxxxxxR 00077. 018500044. 02 Rsin 50 = 0.76604442次插值的實際誤差次插值的實際誤差 0.00061 0.00061高次插值通常優(yōu)于高次插值通常優(yōu)于低次插值低次插值但絕對不是次數(shù)越但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿高就越好，嘿嘿嘿用用MatlabMatlab作作Lagrange Lagrange 插值插值MatlabMatlab中沒有現(xiàn)成中沒有現(xiàn)成的的Lagrange Lagrange 插值函數(shù)，必須編寫一個插值函數(shù)，必須編寫一個M M文件實現(xiàn)文件實現(xiàn)Lagrange Lagrange 插值。設插值。設n n1 1個節(jié)點數(shù)據(jù)

16、以數(shù)組個節(jié)點數(shù)據(jù)以數(shù)組x0, y0 x0, y0輸入，輸入，m m 個插值點以數(shù)組個插值點以數(shù)組x x 輸入，輸出數(shù)組輸入，輸出數(shù)組y y 為為m m 個插值。編寫一個名為個插值。編寫一個名為lagrange.mlagrange.m的的M M 文件：文件：function y=lagrange(x0,y0,x);function y=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0); m=length(x);n=length(x0); m=length(x);for i=1:mfor i=1:mz=x(i);z=x(i);s=0.0;s=0.0; for k=1:n for k=1

17、:n p=1.0; p=1.0;for j=1:nfor j=1:n if j=k if j=k p=p p=p* *(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end end end s=p s=p* *y0(k)+s;y0(k)+s; end end y(i)=s; y(i)=s;endendLagrange插值法的缺點 多數(shù)情況下，Lagrange插值法效果是不錯的，但隨著節(jié)點數(shù)n的增大，Lagrange多項式的次數(shù)也會升高，可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性變差，其誤差就會變大。如龍格（Runge）現(xiàn)象。 1901年龍格(Runge)

18、 給出一個例子：11, )251 (1)(2xxxf 取等矩節(jié)點取等矩節(jié)點 ，作拉格朗日插值多項式作拉格朗日插值多項式 。當當 時，函數(shù)時，函數(shù) 及插值多項式及插值多項式 的圖形如下圖的圖形如下圖所示。所示。 10n)(xfy )(10 xLy 1 2 / (0,1, , )ixi nin 龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象-11x0.51.01.5y0)(10 xL)(xf 由圖可見，在區(qū)間-0.2，0.2上 比較接近 ,但在區(qū)間-1，1兩端則誤差很大。當 n 繼續(xù)增大時，部分區(qū)間上插值多項式誤差偏大的現(xiàn)象更嚴重。這種現(xiàn)象稱“龍格現(xiàn)象”。)(10 xL)(xf龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象To MATLABlch(larg

19、1)分段插值法 圖中看到，隨著節(jié)點的增加，Lagrange插值函數(shù)次數(shù)越高，插值函數(shù)在兩端容易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，為了改進高次插值的缺陷，就產(chǎn)生了分段插值。 分段插值基本思想：將被插函數(shù)逐段多項式化。 處理過程：將區(qū)間a,b 劃分： 在每個子段 上構造低次多項式，然后將其拼接在一起作為整個區(qū)間a,b 上的插值函數(shù)，這樣構造出的插值函數(shù)稱為分段多項式，改進了多項式插值整體性太強的缺點，可以進行局部調(diào)整而不會影響整體。bxxan0,1iixx研究表明：分段低次插值多項式的誤差小于高次多項式。設f(x)是定義在a,b上的函數(shù)，在a,b上節(jié)點 a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為 y0 , y1

20、 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函數(shù)(x)滿足條件 (1) (x)在區(qū)間a , b上連續(xù); (2) (x)在每個子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次數(shù)為m的多項式; 則稱(x)是f(x)在a ,b上的分段分段m m次插值多項式。次插值多項式。 m=1稱為分段線性插值 m=2稱為分段拋物線插值分段插值法分段插值法定義：分段線性插值的構造： 由定義， (x)在每個子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項式;分段線性插值的余項：定理：設f(x)在a,b上有二階連續(xù)導數(shù)f(x) ，且| f(x)| m2,記： h = max |xi+1-xi|,就有估計

21、： |f(x)- (x) |=|R(x)| m2h2/8， xa, b。注意到h隨分段增多而減少，因此用分段法提高精度是很好的途徑.證明：由Lagrange 余項公式，當xxi, xi+1時 |f(x)- (x) |=|R(x)| = |f()(x-xi)(x- xi+1 )|/2! m2max |(x-xi)(x- xi+1 )|/ 2m2h2/8，上式右端與小區(qū)間的位置無關，證畢。11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(分段線性插值xjxj-1xj+1x0 xnTo MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回返回66,11)(2xxxg例例用分

22、段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差并觀察插值誤差.1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個點作插值個點作插值(xch11)4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個點作插值個點作插值(xch14)2.在在-6,6中平均選取中平均選取11個點作插值個點作插值(xch12)3.在在-6,6中平均選取中平均選取21個點作插值個點作插值(xch13) 三次樣條插值 在數(shù)學上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性光滑性的階次越高，則越光滑 分段線性插值函數(shù)在結點的一階導數(shù)一般不存在，光滑性不高，這就導致了樣條插值的提出。 在機械制造、航海

23、、航空工業(yè)中，經(jīng)常要解決下列問題：已知一些數(shù)據(jù)點，如何通過這些數(shù)據(jù)點做一條比較光滑（如二階導數(shù)連續(xù)）的曲線呢？繪圖員解決這一問題是首先把數(shù)據(jù)點描繪在平面上，再把一根富有彈性的細直條（稱為樣條）彎曲，使其一邊通過這些數(shù)據(jù)點，用壓鐵固定細直條的形狀，沿樣條邊沿繪出一條光滑的曲線，往往要用幾根樣條，分段完成上述工作，這時，應當讓連接點也保持光滑。對繪圖員用樣條畫出的曲線，進行數(shù)學模擬，這樣就導出了樣條函數(shù)的概念。(2)( ),( ),( ) , S x S x Sxa b都在區(qū)間上連續(xù)1(1)( ),iiS xxx在每個小區(qū)間上都是三次多項式(3)( )S x 滿足niyxfii, 1 , 0,)(

24、niyxSii, 1 , 0,)(上的三次樣條插值函數(shù)在為則稱,)()(baxfxS三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)的一個分割為區(qū)間,10babxxxan:,)(上滿足條件在區(qū)間如果函數(shù)baxSniyxSii, 1 , 0,)(0)(0),1,2,1iiS xS xin(0)(0),1,2,1iiS xS xin(0)(0),1,2,1iiSxSxin三次樣條插值原理三次樣條插值原理在在n個小區(qū)間構造個小區(qū)間構造S(x)，共有，共有n個三次多項式，需確定個三次多項式，需確定4n個參數(shù)個參數(shù)在所有節(jié)點上在所有節(jié)點上n+1個方程個方程在除端點外的節(jié)點上在除端點外的節(jié)點上3(n-1)個個方程方程邊界

25、邊界條件條件1. 已知已知S(x0)，S(xn)2. 已知已知S”(x0)，S”(xn) ，S”(x0)=S”(xn)=0，自然邊界，自然邊界條件條件3. 已知已知S(x0)=S(xn)2個方程個方程可以證明：滿足上述滿足上述4n個線性方程組有唯一解個線性方程組有唯一解。 總結 拉格朗日插值：其插值函數(shù)在整個區(qū)間上是一個解析表達式；曲線光滑；收斂性不能保證，用于理論分析，實際意義不大。 分段線性插值和三次樣條插值：曲線不光滑（三次樣條已有很大改進）；收斂性有保證；簡單實用，應用廣泛。二維插值二維插值一、一、二維插值定義二維插值定義二、網(wǎng)格節(jié)點插值法二、網(wǎng)格節(jié)點插值法三、用三、用MATLAB解插

26、值問題解插值問題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性插值雙線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值二維插值 二維插值是基于一維插值同樣的思想，但是它是對兩個變量的函數(shù)Z=f(x,y)進行插值。 求解二維插值的基本思路：構造一個二元函數(shù)Z=f(x,y)，通過全部已知結點，即f(xi,yi)=zi,(i=0,1,n),再利用f(x,y)插值，即Z*=f(x*,y*)。 二維插值常見可分為兩種：網(wǎng)格結點插值和散亂數(shù)據(jù)插值。 網(wǎng)格結點插值適用于數(shù)據(jù)點比較規(guī)范，即在所給數(shù)據(jù)點范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)點要落在由一些平行的直線組成的矩形網(wǎng)格的每個頂點上，散亂數(shù)據(jù)插值適用于一

27、般的數(shù)據(jù)點，多用于數(shù)據(jù)點不太規(guī)范的情況。 xyO O第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點）： 已知已知 m n個節(jié)點個節(jié)點 ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設互不相同，不妨設bxxxam 21dyyycn 21 構造一個二元函數(shù)構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 注意：注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。x y(x1, y1)(x1, y2)(

28、x2, y1)(x2, y2)O O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。網(wǎng)格節(jié)點插值法網(wǎng)格節(jié)點插值法最鄰近插最鄰近插值值 將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為： xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4網(wǎng)格節(jié)點插值法網(wǎng)格節(jié)點插值法分片線性插值分片線性插值插值函數(shù)為：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片

29、(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函數(shù)為：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141注意注意：(x, y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達式如下：第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成。雙線性插值函數(shù)的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 網(wǎng)格節(jié)點

30、插值法網(wǎng)格節(jié)點插值法雙線性插值雙線性插值 yx0 0第二種（散亂節(jié)點）：第二種（散亂節(jié)點）：已知已知n個節(jié)點個節(jié)點),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構造一個二元函數(shù)構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 散亂數(shù)據(jù)插值法 在T=a,b c,d上散亂分布n個點。一般采用反距離加權平均法。 基本思想：在非給定數(shù)據(jù)的點處，定義其函數(shù)值由已知數(shù)據(jù)按與該點距離的遠近作加權平均決定，記 則二元函數(shù)（曲面）定義為：22)()

31、(kkkyyxxrnkkkknkkkkkrryxWzyxWrzyxF1221/11),(,),(0,),(其中否則 如此定義的曲面是全局相關的，對曲面的任一點作數(shù)據(jù)計算都要涉及到全體數(shù)據(jù)，這在大量數(shù)據(jù)中是很慢的，但因為這種做法思想簡單，人們對它進行了種種改進。 引言引言 對于情況較復雜的實際問題（因素不易化簡，作用機理不詳）可直接使用數(shù)據(jù)組建模，尋找簡單的因果變量之間的數(shù)量關系， 從而對未知的情形作預報。這樣組建的模型為擬合模型。 擬合模型的組建主要是處理好觀測數(shù)據(jù)的誤差，使用數(shù)學表達式從數(shù)量上近似因果變量之間的關系。擬合模型的組建是通過對有關變量的觀測數(shù)據(jù)的觀察、分析和選擇恰當?shù)臄?shù)學表達方式

32、得到的。 五、五、 擬合模型的分類擬合模型的分類 1 1 直線擬合直線擬合2 2 曲線擬合曲線擬合3 3 觀察數(shù)據(jù)修勻觀察數(shù)據(jù)修勻 對于已給一批實測數(shù)據(jù)，由于實測方法、實驗環(huán)境等一些外界因素的影響，不可避免地會產(chǎn)生隨機干擾和誤差。我們自然希望根據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢去剔除觀察數(shù)據(jù)中的偶然誤差，這就是所謂的數(shù)據(jù)修勻（或稱數(shù)據(jù)平滑）問題。 直直 線線 擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 1 1溫度溫度t(C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻電阻R( ) 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求求6060C C時的電阻時的電阻R R204060

33、8010070080090010001100 設設 R=at+ba,b為待定系數(shù)為待定系數(shù)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 2 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c ( g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).在直角坐標系下作圖如下在直角坐標系下作圖如下(plot)0( )e,ktc tcc k為待定系數(shù)MATLA

34、B(aa1)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準則下與所有在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點為點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數(shù)先選定一組函數(shù) r1(x), r2

35、(x), ,rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, ,am 為待定系數(shù)為待定系數(shù) 第二步: 確定確定a1,a2, ,am 的準則（最小二乘準則）：的準則（最小二乘準則）：使使n個點個點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離 i 的平方和最小的平方和最小 記記 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問題歸結為，求問題歸結為，求 a1,a2, ,am 使使 J (a1,a2, ,am) 最小最小線性最小二乘法的求解：預備知識線性最小二乘法的求解：

36、預備知識超定方程組超定方程組：方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的方程組：方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的方程組)( 221111212111mnyarararyarararnmnmnnmm即即 Ra=ynmnmnnmyyyaaarrrrrrR112111211,其中其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。超定方程一般是不存在解的矛盾方程組。 如果有向量如果有向量a使得使得 達到最小，達到最小，則稱則稱a為上述為上述超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解。 212211)(imniimiiyararar線性最小二乘法的求解線性最小二乘法的求解 定理：定理：當當R RT TR R可逆時，超定方程組（可逆時，超定方

37、程組（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即為方程組且即為方程組 R RT TRa=RRa=RT Ty y的解：的解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y 所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。nmnmnmyyyaaaxrxrxrxrR111111,)()()()(其中其中Ra=y （3）線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中中函數(shù)函數(shù)rr1 1(x), (x), r rm m(x)(x)的選取的選取 1. 1. 通過機理分析建立數(shù)學模型來確定通過機理分析建立數(shù)學模型來確定 f

38、(x) f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：用用MATLAB作插值計算作插值計算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點被插值點插值節(jié)點插值節(jié)點xi處的處的插值結果插值結果nearest 最鄰近插值；最鄰近插值；linear 線性插值；線性插值；spline 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic 立方插值；立方插值； 缺省時缺省時

39、分段線性插值分段線性插值 注意：所有的插值方法注意：所有的插值方法都要求都要求x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍的范圍 例：從例：從1 1點點1212點點的的1111小時內(nèi)，每隔小時內(nèi)，每隔1 1小時測量一小時測量一次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424試估計每隔試估計每隔1/101/10小時的溫度值小時的溫度值To MATLAB (temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy機翼下輪廓線例例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變每改變0.1時的時的y值值To MATLAB(plane)返回返回 要求要求x0, ,y0單調(diào)；單調(diào)；x，y可取為矩陣，或可取為矩陣，或x取行向量，取行向量，y取為列向量