幾何模型：一線三等角模型

1、一線三等角模型一. 一線三等角概念三垂直”，“弦圖”等，以下稱為“一線三等角”?！耙痪€三等角”是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對此有不同的稱呼，“K形圖”二. 一線三等角的分類全等篇同側(cè)相似篇銳角異側(cè)PPP異側(cè)三、“一線三等角”的性質(zhì)1. 一般情況下，如圖3-1，由Z1=Z2=Z3,易得AECsBDE.2. 當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，則兩個三角形全等.如圖3-1,若CE=ED，則AECBDE.圖3-13.中點型“一線三等角如圖3-2，當(dāng)Z1=Z2=Z3，且D是BC中點時，BDEsCFDsDFE.4.“中點型一線

2、三等角“的變式（了解）如圖3-3，當(dāng)Z1=Z2且ZBOC=90。+fZBAC時，點0是AABC的內(nèi)心.可以考慮構(gòu)造“一線三等角”.圖3-4*J如圖3-4“中點型一線三等角”通常與三角形的內(nèi)心或旁心相關(guān)，ZBOC=90。+fZBAC這是內(nèi)心的性質(zhì)，反之未必是內(nèi)心.在圖3-4（右圖）中，如果延長BE與CF,交于點P,則點D是APEF的旁心.5“一線三等角”的各種變式（圖3-5，以等腰三角形為例進行說明）其實這個第4圖，延長DC反而好理解相當(dāng)于兩側(cè)型的，不延長理解，以為是一種新型的，同側(cè)穿越型？不管怎么變，都是由三等角確定相似三角形來進行解題四、“一線三等角”的應(yīng)用1“一線三等角”應(yīng)用的三種情況.a

3、. 圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；b. 圖形中存在“一線二等角”，不上“一等角”構(gòu)造模型解題；C圖形中只有直線上一個角，不上“二等角”構(gòu)造模型解題.體會：感覺最后一種情況出現(xiàn)比較多，尤其是壓軸題中，經(jīng)常會有一個特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時，我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角”來解題.2在定邊對定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標(biāo)系中的張角問題，在x軸或y軸（也可以是平行于x軸或y軸的直線）上構(gòu)造一線三等角解決問題更是重要的手段.3構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似在DC的延檢銭上截班CE=jCD的延長線上截取DF-jinatarntaiZAEPt=nZPFB=ta

4、wi*則£AEP二ZPFB=21APB所以APAE®ABPF在CP上童職CE二>在DP截職DF=2LanatanaMJ曲/呂EO國上EPD=t辺uiRIJZAEC-ZBFD=aZaPBIAPaE«ABPF如圖3-6,線上有一特殊角，就考慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導(dǎo)線段的關(guān)系，過C、D兩點作直線l的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。上面就是作輔助線的一般程序，看起來線條比較多，很多老師都認(rèn)為一下子不容易掌握.解題示范例1如圖所示，一次函數(shù)y=-X+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，點P是線段AB上

5、一個動點（不包括A、B兩端點），C是線段OB上一點，ZOPC=45°，若2OPC是等腰三角形，求點P的坐標(biāo).例2如圖所示，四邊形ABCD中，NC=90°,NABD=NDBC=225°,AE丄BC于E，ZADE=675°,AB=6,MCE=例3如圖，四邊形ABCD中,ZABC=ZBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5求BC的長.例4如圖，AABC中,ZBAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的長.一線三等角，補形最重要，內(nèi)構(gòu)勤思考，外構(gòu)更精妙找出相似形,比例不能少巧設(shè)未知數(shù)，妙解方程好還是可以縱橫斜

6、三個方向構(gòu)造，坐標(biāo)系中一般考慮縱橫兩個方向構(gòu)造例5如圖，在厶ABC中，ZBAC=135°,AC=v'2AB,AD丄AC交BC于點D,若AD=V2,求AABC的面積當(dāng)然有45°或135°等特殊角，據(jù)此也可以構(gòu)造不同的一線三等角一線三等角所有的構(gòu)造都是把分居定角兩側(cè)的數(shù)據(jù)集中在一起，是相似集中條件的一種.大練身手：】.如圖，AABC中，tanZCD=pZ5=90Q,D_2,IiC=A.求月£的長.2如圖，AABC中，N號90a,ZC4D=45°,AB=3tCD5r求HD的長.3*如圖，在四邊形ABCD'I'tZBAD=ZAC

7、B=ZACD=4tAC=4.求玖R的周長.A4璉電用角形曲G£30".Z5=30nJC-4,D為川C的中點若為I卜角形，求CF的氐5,如圖，（LRtABC'V,ZAC30a,DM十分ZCAB.若ZCDS=60ufCA-4侖求血的長.氏如虱社等股亶角綢瞻佃匸中，ZBJCO",為AB.-.,連接CD,F為CZJ.I'ZSPD=45a,若CP=6,AACD的直積為1S,則線段DB的長為交比邊打亡科EF二廳,則M的長為.負(fù)如圖.征平面直垢坐標(biāo)慕中.點A（4t0），點（0,2）.點?在第象限內(nèi)，若磁沖警邊三角丿2則口C的坐標(biāo)為.10.矩ABCD在直角坐標(biāo)系的

8、桂豎如圖所示*點J（2715h0）點C05）,反比例函數(shù)$=£的圖爍交他上反BC于IX衛(wèi)兩點且DOE=45s則*=X如圏，宜踐y加一4龍坐標(biāo)抽打厶占兩點*交趙曲y=-J-C.115=8+點P在山CX的和測的珊何線1ZPBO4511+則心卩的坐標(biāo).12匸Hi??；中屈=2運上好，以吐知'角頂點作等蹩亞箱zlDEdtD在眈上：點t：-ACf；?j'rCE-J5.則CD的悵為,G如圖，直角45CP，ZC=90ntAC=6.BC=Z?是斜邊的中點，丑為BC上動點衛(wèi)F丄HE卜點連接。民若bD£F足等腰fl箱一箱形求DE的艮度”14.在厶<5<7中，Z3=45

9、",ZC=30g,點D呈上一點，連接Q，過點廈作2G丄仞,在AG±取點F,連接DF延長血至吊使AE=AF.連接圧GrDG且GE=DF.(1) 若AB2>/2AB=2.求亦的畏：(2) tmSL當(dāng)點G在上時*求證BD=-CGi2dD(孫如團2,當(dāng)點G在/C的垂克平分線上時，直接寫出竺的值.例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，D是線段AB上一點,CD交y軸于E，且S®=2S“ob(1) 求直線AB的解析式；(2) 求點D的坐標(biāo)，猜想線段CE與線段AB的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3) 若F為射線CD上一點，且ZDBF=

10、45°,求點F的坐標(biāo).例8：如圖，直線y=x+2與y軸交于點C，與拋物線y=ax2交于A>B兩點(A在B的左側(cè)),BC=2AC，點P是拋物線上一點.(1) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2) 若點P在直線AB的下方，求點P到直線AB的距離的最大值；(3) 若點P在直線AB的上方，且ZBPC=45°，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).練1：.如圖，拋物線的頂點為C(-1,1),且經(jīng)過點人、點B和坐標(biāo)原點0,點B的橫坐標(biāo)為3(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點D為拋物線上的一點，且BOD的面積等于B0C的面積，請直接寫出點D的坐標(biāo)；(3) 若點E的坐標(biāo)為(0,2),點P是線段BC上

11、的一個動點，是否存在點P,使得ZOPE=45°?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.課后作業(yè)：如圖，點A(0,-1),B(3,0),P為直線y=-x+5上一點，若ZAPB=45。，求點P的坐標(biāo)在四邊形ABCD中，ZABC=NBAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=4求AC的長.如圖，正方形ABCD中，點E,F,G分別在AB,BC,CD上,AEFG為等邊三角形，求證:BE+GC=、3BCfi如圖，AABCDBA，且AC=J2BC，求證:CD=2AB.如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5真，

12、求BD的長如圖，點A是反比例（X>0）圖形上一點，點B是X軸正半軸上一點，點C的坐標(biāo)為（0,2），點厶ABC是等邊三角形時，求點A的坐標(biāo).拋物線y=r-4x+3Ij坐標(biāo)軸交TA.乩C二冷止P圧拋物線上.PE丄BCT.£PE=2CE.求尸點坐標(biāo)+如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于人、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,17直線/：y=-2xm經(jīng)過點A,與拋物線交于另一點D(5,一2)，點P是直線l上方的拋物線上的動點，連接PC、PD.(1) 求拋物線的解析式；(2) 當(dāng)APCD為直角三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3) 設(shè)APCD的面積為S,請你探究：使S的值為整數(shù)的點P共有幾個，說明理由.4221.如圖1,已知直線y=kx與拋物線二27X2+3交于點A（3，6）.（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM,交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N.試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值，如果不是，說明理由；（3）如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上（與點0、A不重合），點D（m,0