北師大版高中數(shù)學選修1-2階段質(zhì)量檢測(三)推理與證明

1、階段質(zhì)量檢測（三）推理與證明（時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的）1 .魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木 材，它們在功能上是類似的.因此，它們在形狀上也應該類似，“鋸子”應該是齒形的.該 過程體現(xiàn)了（）A.歸納推理B.類比推理C.沒有推理D.演繹推理答案：B2 .數(shù)列35,9,173,的一個通項公式是（）A. a=2nB.斯=2"+1C.斯=2”- 1D. %=2/1答案:B3 .在ZkABC 中，sin Asin C<cos Acos C

2、,則 AABC 一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形解析：選 C 由 sin Asin C<cosAcos C,可得cos（A+C）>0,即cos5<0,所以5為鈍角.4.下面幾種推理是合情推理的是（）由圓的性質(zhì)類比出球的有關性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180。歸納出所有三角形的內(nèi)角和 都是180°；由菱形的性質(zhì)，推出正方形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和是180。，四邊形內(nèi)角和是360。，五邊形內(nèi)角和是540。，由此得凸多邊 形內(nèi)角和是（- 2）180。.A. B. ®®C.D.解析：選C 合情推理分為類

3、比推理和歸納推理，是類比推理，是歸納推理， 是演繹推理.5 .用反證法證明：“若整系數(shù)一元二次方程。/+床+c=omwo）有有理數(shù)根，那么叫 dc中至少有一個偶數(shù)”時，下列假設正確的是（）A.假設b, c都是偶數(shù)B.假設。，b, c都不是偶數(shù)c.假設 bt c至少有一個偶數(shù)D.假設叫 bf c至多有一個偶數(shù)解析：選B “叫b,c中至少有一個偶數(shù)”的否定應為“明力，c中至多有。個偶數(shù)”， 即“叫 b, c都不是偶數(shù)”.6 .已知/(幻=尸+工，a,8WR,且+。>0,則/(。)+/(力的值一定()A.大于零B.等于零C.小于零D,正負都有可能解析：選A 因f(x)=x3+x是增函數(shù)且是奇函

4、數(shù)，由。+力>0, ,.a>bt：,f(a)+f(b)>0.7 .甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中 有2位優(yōu)秀，2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看 后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，貝)A.乙可以知道四人的成績B. 丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績解析：選D 依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績，但還 是不知道自己的成績，則乙、丙必有1住優(yōu)秀，1住良好，甲、丁必有1住優(yōu)秀，1住良好.因 此，乙知道丙的成績后，必然知道自己

5、的成績；丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績, 因此選D.8 .命題“對于任意角 9, cos% sin% = cos 26”的證明 wcos4 sin4 = (cos2 sin2)(cos2+sin2)=cos2sin2=cos 10n 過程應用 了()A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法解析：選B 從證明的過程來看，符合綜合法的證明特點.9 .觀察下列各等式：,21+ 6 =2, . - 4+* - 4=2, 7 7 J11 4=2, J"/十-z24 6434 3474 14104 24=2,依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()fl 8/IA/

6、r=4+(8-n)-4=r + 1 ( + D+5( + 1)4 +( + l)4一fl4 (/i+4)4n + 1h+5D，(/ + 1)-4+(h+5)-4=解析：選A 觀察分子中2+6=5+3=7+1 = 10+(2)=8.10 .用減函數(shù)的定義證明函數(shù)/(刈=一工3在R上是減函數(shù)的小前提可以是()A.減函數(shù)的定義B.對R上的任意X1WX2,都有/(X1)壬/次2)C.對R上的任意X1<T2,都有/(Xl)</(X2)D.對R上的任意也。2,都有/(xDRm)解析：選D 小前提可以是“對R上的任意X1<X2,都有/(X1)X2)”或“對R上的任 意不>外，都有於1

7、)的2)”11 .下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的x>0, )>o,函數(shù)/(X)滿足(X)F=/(XJ)”的 是()A.指數(shù)函數(shù)B.對數(shù)函數(shù)C. 一次函數(shù)D.余弦函數(shù)解析：選A 當函數(shù)次幻=M。>0, g#i)時，對任意的x>o, j>o,有次x)p=(/ =f(xy)r即指數(shù)函數(shù)次刈=爐(。>0, g#1)滿足f(x)F=/(盯)，可以檢驗，B, C, D選項均不 滿足要求.12 .六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體.如圖甲，在平行四邊形ABCD 中，有4。+3。2=2(4即+4。2),那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD/iBCNi中，4口 +

8、8歷+CA，+。明等于( )A. 2(AB2+AD2+AAi)B. 3(AB2+AD2+AAl)C. 4(AB2+AD2+AA?)D. 4(AB2+AD2)解析：選 C ACl+BDi-VCAl+DBl=(Aq+GH)+(3 0+O 陰)=2(AAi+AC2)+2(BBl+BD2)=AAA+2(AC1+BD2)=4AAi+4AB2+4AD2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確的答案填在題中的橫線 上)13 .用三段論證明/（x）=x3+xcosx為奇函數(shù)的大前提是.答案：若=/（工）滿足/（X）=一人*），則y=/（x）為奇函數(shù)14 .用反證法證明命題“若。，力是實數(shù)，

9、且歷- 11=0,則0=力=1”時，應作 的假設是解析：結論“。=力=1"的含義是G=1且8=1,故其否定應為“。工1或8r1” .答案：假設。工1或力W115 .在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1 : 2,則它們的面積比為1 : 4.類似地，在 空間中，若兩個正四面體的枝長比為1 : 2,則它們的體積比為.解析：類比“面積比等于邊長比的平方”可得正四面體的體積比等于橫長比的立方， 即 1 ： 8.答案：1 ： 816 .如圖，在等腰直角三角形43c中，斜邊8c=26.過點A作3c的垂線，垂足為 Ai ；過點Ai作AC的垂線，垂足為42;過點A2作AC的垂線，垂足為/h ;，依此

10、類推.設 A4=i , AAi=a2 ,4也=。3 ,，4546=«7 ,則 “7=.解析：法一：直接遞推歸納：等腰直角三角形A3C中，斜邊BC=2小,所以A3=AC="1=2, AAi=ai=y2, AiA2=«3=1,，AsA6=ai=aiX法二：求通項：等腰直角三角形A5C中，斜邊8c=26，所以A3=AC=0i=2, AAi44江,A；1TA=%+i=sin了%=1半%=2X_1 =丁答案：j三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算 步驟）17 .（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列“的公差為d,前項和為S”，詼有如下性質(zhì)

11、: （?，p, q£N+）通項的=%,+（一旭必若 m+=p+q,則。盟+。=即+%；若旭+=20，則 aln+an=2ap；S“，S2nS", S加一S2”構成等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列5中，寫出相類似的性質(zhì).解：在等比數(shù)列瓦中,公比為42*0）,前項和為SJ , 0有如下性質(zhì)："* n9P, «£N+)通項b產(chǎn)bwD若/w+=p+q,則 bwbn=bpbq；若加+=20，則瓦|也=毋;SJ , SV -SJ , S3-Sin1 (S 1 WO)構成等比數(shù)列.18 .(本小題滿分12分)設數(shù)列的的前項和為S，且滿足服=2S“(

12、3;N+).求即，。3,。4的值并寫出其通項公式；根據(jù)的結論用三段論證明數(shù)列斯是等比數(shù)列.解：由斯= 2-S”，得 01 = 1； 02=3；。3=； «4=|,猜想所=G>-|(WN+).(2)對于數(shù)列,若等 =p, p是非零常數(shù),則所是等比數(shù)列，大前提t(yī)tn因為數(shù)列m的通項公式?！?&r,且誓M，卜前提所以通項公式為的數(shù)列為是等比數(shù)列.結論19 .(本小題滿分12分)如圖，在四面體A3CD中，CB=CD, AD1BD9 E,尸分別是ABf 3。的中點.求證：(1)直線E尸平面ACO；(2)平面EFCJL平面BCD.證明：(1)因為£,尸分別是A5, 80的

13、中點，所以E尸是ZkABO的中位線，所以E尸A。，又屈F平面AC。，AD 平面AC0,所以直線EF平面ACD.(2)因為 AD«L3。，EF/AD,所以 EFLBD,因為CB=CD, F是BD的中點、,所以CFJL3。，又E產(chǎn)nCF=尸，所以BD工平面EFC.因為BD平面5CO,所以平面EFC，平面BCD.20 .(本小題滿分12分)已知/MBC的三邊，b, c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用綜合 法和分析法證明8為銳角.證明：法一(分析法)：要證明8為銳角，因為8為三角形的內(nèi)角，則只需證cos8>0.n a2-c2b2又c°s8= 一說一，工只需證明。2+。2一爐>

14、0.，即證。2 +。2爐.9a2c22ac, 只需證明 2nc爐.即 2«c=%（g+c）,只需證明"。+0爐，即證+c成立，在ABC中，最后一個不等式顯然成立.2 一力b(a+c)=2aob2( a+ob).C J v02+c2一爐 2acb2；c°sB= / »方亡°，又丁 =。0§1在(0, 7T)上單調(diào)遞減，A0Bj,即3為銳角.21 .(本小題滿分12分)在同一平面內(nèi)，若P, A, 8三點共線，則對于平面上任意一點。,有OP =入OA 0B 且)+=1.對這個命題證明如下：證明：因為P, A, 3三點共線，所以萬="

15、;萬，即/一07=m(/一位)，整理得夢=(1m) OA +w/ OB ,因為(1次)+旭=1,所以2+=L請把上述結論和證明過程類比到空間向量.解：類比到空間向量所得結論為：在空間中，若尸，A, B, C四點共面，則對于空間 中任意一點O,有蘇 =x/+j而+z/，且x+y+z=l.對這個命題證明如下：證明：因為P, A, B, C四點共面，所以AP =a AB +/ AC ,即8一3=2( OB /)+(左一畝)，整理得蘇 =(1 一幺一)/+幺而+左，因為(1 -2)+上+ =1,所以x+z=L22 .(本小題滿分12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同 一個常數(shù)：

16、® sin213°+cos217°sin 13°cos 17°； sin215c+cos2i50sin 150cos 15°； sin218c+cos2i2。一sin 18°cos 12°；sin2(-18o)+cosW-sin(-18°)cos480；sin2(25°)+cos255°sin(25°)cos 55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論.解：（1）選擇式，計算如下:sW

17、150+cos215fin 15os 15<>=l-fsiii 300=l-=1法一：三角恒等式為 sin2a+cos2(30°a)sin acos(30°-a)=. 4證明如下:sin2a+cos2( 30°«)-sin «cos(30°a)=sin2«+(cos 30°cos a+sin 300sin «)2sin a-(cos 30° cos a+sin 30°sin a)=sin2a4-cos2a+sin acos a+/ii？a一半sin a-cos a|sin2a="in2a+；cos2a=法二