最新離散傅里葉變換及其快速計算方法(DFT、FFT)精品ppt課件教學教材

1、離散傅里葉變換及其快速計算方法(DFT、FFT) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院2n 連續(xù)信號連續(xù)信號 xa(t)，其傅里葉變換為：，其傅里葉變換為： xa(t) 為為時域連續(xù)信號時域連續(xù)信號 Xa() 為為頻域連續(xù)信號頻域連續(xù)信號()( )jtaaXx t edt 1( )()2jtaated xX3.1 問題的提出：連續(xù)信號的傅里葉變換問題的提出：連續(xù)信號的傅里葉變換 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院 北京郵電

2、大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院63.1 問題的提出：傅里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 （2）1. 連續(xù)信號（非周期）的付氏變換連續(xù)信號（非周期）的付氏變換) (txt)(XtXtx),()(deXtxtj)(21)(dtetxXtj)()(n時域連續(xù)時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是函數(shù)造成頻域是非周期的譜非周期的譜n時域的非周期時域的非周期造成頻域是造成頻域是連續(xù)的譜連續(xù)的譜 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院7 2. 周期連續(xù)時間信號：周期連續(xù)時間信號：傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) FSn 時域連續(xù)時域連續(xù)函數(shù)函數(shù)造成頻域造成頻域是是非周期的

3、譜非周期的譜。n 頻域的離散頻域的離散對應(yīng)對應(yīng)時域是周期函數(shù)時域是周期函數(shù)。02021()( )TjntTX nx t edtT 0jnt0n -x(t)X(n)e 3.1 問題的提出：傅里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 （3）時域周期時域周期頻域離散頻域離散)(0nXT20)(txtT 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院83. 非周期離散信號：非周期離散信號：離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換 DTFTn 時域的離散化時域的離散化造成頻域的造成頻域的周期延拓周期延拓n 時域的非周期時域的非周期對應(yīng)于對應(yīng)于頻域的連續(xù)頻域的連續(xù)3.1 問題的提出：傅

4、里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 （4）T)(nTxT2)(TjeX時域離散時域離散頻域周期頻域周期()()2jTjn TTTTx nTX eed 01()()()jTjn TnnX ex nT eXT 取樣定理取樣定理 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院94. 周期離散時間信號：離散傅里葉級數(shù)周期離散時間信號：離散傅里葉級數(shù) DFSn 一個域的離散造成另一個域的周期延拓一個域的離散造成另一個域的周期延拓n 離散傅里葉級數(shù)的時域和頻域都是離散傅里葉級數(shù)的時域和頻域都是離散的離散的和和周期的周期的210()()NjnkNnXkx n e2101( )(

5、 )NjnkNkx nX k eN3.1 問題的提出：傅里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 (5)k02T 0()X k 12T TT1n周期取樣間隔1()x nT 11 T=NTTNT 0122TNT 012NT 時域周期、離散時域周期、離散頻域周期、離散頻域周期、離散 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院10n四種傅里葉變換形式的歸納總結(jié)：四種傅里葉變換形式的歸納總結(jié)：形式形式時間函數(shù)時間函數(shù)頻率函數(shù)頻率函數(shù)傅里葉傅里葉變換變換 FT連續(xù)連續(xù)非周期非周期非周期非周期連續(xù)連續(xù)傅里葉傅里葉級數(shù)級數(shù) FS連續(xù)連續(xù)周期周期(T0)非周期非周期離散離散(0=2

6、/T0)離散時間離散時間傅里葉變傅里葉變換換DTFT離散離散(T)非周期非周期周期周期(s=2/T)連續(xù)連續(xù)離散傅里離散傅里葉級數(shù)葉級數(shù)DFS離散離散(T)周期周期(T0)周期周期(s=2/T)離散離散(0=2/T0)離散時間函數(shù)的取樣間隔：離散時間函數(shù)的取樣間隔：T1，取樣頻率：，取樣頻率：112ssfT 離散頻率函數(shù)的取樣間隔：離散頻率函數(shù)的取樣間隔：F0，時間周期：，時間周期：00012TF 3.1 問題的提出：傅里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 （6）結(jié)論：結(jié)論： 時域中函數(shù)取樣時域中函數(shù)取樣(離散離散) （映射）映射）頻域中函數(shù)周期重復(fù)；頻域中函數(shù)周期重復(fù)； 頻域中

7、函數(shù)取樣頻域中函數(shù)取樣 （映射）（映射） 時時域中函數(shù)周期重復(fù)；域中函數(shù)周期重復(fù)； 取樣間隔取樣間隔 （映射）（映射） 周期（周期（2/間隔）間隔）110nN(d) DFSk0N-N)()(nTxnx1/T)()(1kXkX-N(c) FS-mXa(k1)tTm0T1-T1)(tx11mnx(n) = xa(nT)Tm0(b) DTFTm-ms-s1/T)(XTtxa(t)Tm0(a) FTm-mXa()時域中函數(shù)的取樣和頻域中函數(shù)的取樣時域中函數(shù)的取樣和頻域中函數(shù)的取樣3.1 問題的提出：傅里葉變換的四種形式問題的提出：傅里葉變換的四種形式 (7) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學

8、信息與通信工程學院12n由以上討論可以清楚地看到，由以上討論可以清楚地看到，時域取樣將引起頻時域取樣將引起頻域的周期延拓，頻域取樣也將引起時域的周期延域的周期延拓，頻域取樣也將引起時域的周期延拓拓。n因此可以設(shè)想，如果因此可以設(shè)想，如果同時對頻域和時域取樣同時對頻域和時域取樣，其，其結(jié)果是結(jié)果是時域和頻域的波形都變成離散、周期性的時域和頻域的波形都變成離散、周期性的波形波形，從而我們可以利用付氏級數(shù)這一工具，得，從而我們可以利用付氏級數(shù)這一工具，得到它們之間的到它們之間的離散付氏級數(shù)離散付氏級數(shù) DFS DFS 關(guān)系關(guān)系。3.2 DFS 及其性質(zhì)及其性質(zhì) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電

9、大學信息與通信工程學院132jNNWe n 基本關(guān)系式基本關(guān)系式 若若 r，m 都是整數(shù)都是整數(shù),則則:2100()Njk rmNkNrmerm 221120011011()()()()()()r m Njr mNNjk r mk r mNNNr mjr mkkNNWeeWWe 其中其中:1-00NkrkmNNkNrmWWrmDFS 定義：定義：預(yù)備知識預(yù)備知識證明證明: 對于對于r=m：不論：不論 k 取何值，顯然等式成立。取何值，顯然等式成立。 對于對于rm： 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院14n 為了推導為了推導 的關(guān)系，作下列變量代換：的關(guān)系，作下列變量代

10、換：時域：時域：頻域：頻域：n 則得：則得：n)(nx01Nk)(kX01NDFS10()()DFSx nTX k 1nTn0kk ?DFS 定義：定義：正變換正變換 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院15n 周期離散序列的周期離散序列的 Z Z 變換存在（收斂）的問題變換存在（收斂）的問題 因為周期離散序列，因為周期離散序列， 而對于周期信號，嚴格數(shù)學意義上講，其而對于周期信號，嚴格數(shù)學意義上講，其 Z 變換不收斂，變換不收斂，因為：因為： 而對于而對于 找不到衰減因子使它絕對可和（收斂）。為此，定義新函找不到衰減因子使它絕對可和（收斂）。為此，定義新函數(shù)，其數(shù)，其

11、 Z 變換：變換：()(),x nx nNmm 為為 整整 數(shù)數(shù)( )( )nnX zx n z ( )nnx nz DFS 定義：定義：正變換正變換 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院16n 其頻譜：（其頻譜：（ 是連續(xù)變量，需要對其離散化）是連續(xù)變量，需要對其離散化） 10)()()(NnnnnznxznxzX10)()(| )(NnjnjezenxeXzXj jeX20n)(nx0 1 21NDFS 定義：定義：正變換正變換（取取 的一個主周期進行的一個主周期進行 Z 變換變換） ( )x n 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院17n

12、頻域取樣頻域取樣 X(ej) 是連續(xù)變量是連續(xù)變量 的周期函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，周期為2。把。把 離散化，即在離散化，即在02區(qū)間內(nèi)等間隔取區(qū)間內(nèi)等間隔取 N 個點，取樣間隔為個點，取樣間隔為 2/N。 另一個角度看，另一個角度看， X(ej) 是是 Z 平面單位圓上的平面單位圓上的 Z 變換。連續(xù)變量變換。連續(xù)變量 的離散化也可以認為是把單位圓分的離散化也可以認為是把單位圓分 N 等分，每分為等分，每分為 2/N 。 其中：其中： 稱為稱為頻域中的取樣間隔頻域中的取樣間隔， 也稱為也稱為頻率分辨率頻率分辨率。 2N DFS 定義：定義：正變換正變換eRmI1平面ZN2kN2 北京郵電大學信

13、息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院1822() |()( )jkjNkNX eX eX k 10( ) |()( )jNjjnz enX zX ex n eDFS 定義：定義：正變換正變換21100210()( )( )( )( )NNjnknkjNnnNknNnNX kx n ex nx n We 2jNNWe 則則其中其中 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院192211200210()()()()()( )( )( )( )NNjk N njknjnNNnnNjknNnX kNx n ex n eex n eX k 211()00( )( )( )NN

14、jknknNNnnX kx n ex nWDFS：DFS 定義：定義：正變換正變換( )X k也僅有也僅有 0 0，1 1，N-1 N-1 個獨立值個獨立值, ,周期為周期為 N N。因為因為隨隨 k 周期變化，周期變化，僅有僅有 0，1，N-1 個獨立值。個獨立值。僅有僅有 0，1，N-1 個獨立值。個獨立值。所以所以 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院20n 反變換反變換IDFS IDFS 正變換兩端乘以正變換兩端乘以 ，m=0,1,N-1 然后令然后令 k=0，1，N-1 求和，得：求和，得：2jkmNe 2211100021100()() ()() ()( )

15、( )( )NNNjkmjk m nNNkknNNjk m nNnkX k ex n ex ne 2100() ()Njk m nNkNnmenm DFS 定義：定義：反變換反變換 用正交條件：用正交條件： 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院212100 11()( )( )(), ,NjkmNkn mX k ex n NNx m mN DFS 定義：定義：反變換反變換即即（只有（只有 m=n 時，才有值，而時，才有值，而 m 不等于不等于 n 時，為零，因此，時，為零，因此，x(n) 只取只取 x(m) ）2101()()( )NjkmNkx mX k eN 211

16、0011()( )( )( )NNjknknNNkkx nX k eX k WNN 變量變量m替換為替換為n，得，得 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院22n DFS 變換對變換對：時域周期序列與頻域周期序列間的關(guān)系時域周期序列與頻域周期序列間的關(guān)系DFS 定義：定義：反變換反變換10101()()()()NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN 2jNNWe 其中其中 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院23n 在什么條件下不產(chǎn)生混迭失真？在什么條件下不產(chǎn)生混迭失真？ 頻率取樣頻率取樣 頻率取樣：若時間信號有限長，當滿足下列條件

17、時，頻率取樣：若時間信號有限長，當滿足下列條件時，X(ej) 的樣本值的樣本值 X(k) 能不失真的恢復(fù)成原信號。能不失真的恢復(fù)成原信號。 為了避免時間上的混迭：為了避免時間上的混迭： （1）必須是時間限制（有限時寬）必須是時間限制（有限時寬） （2）取樣頻率間隔小于）取樣頻率間隔小于2( )()|jkNX kX e 00122 NNT 或或DFS 定義：定義：幾點說明幾點說明( ),01( )0,x nnNx n 其其它它 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院24n 頻率分量頻率分量 如果變量如果變量 DFS 可表示為：可表示為： 因此，因此，時域時域 n n 及頻域

18、及頻域 k k 都是有物理意義的都是有物理意義的。01,kknTn10)2(10)()(NnknNjenTxkX10)2(11)2(1)(NkknNjeNTkXNnTxDFS 定義：定義：幾點說明幾點說明（指數(shù)項（指數(shù)項 kn 不變）不變） 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院25更具體地，傅里葉系數(shù)的標號更具體地，傅里葉系數(shù)的標號 k 和頻率和頻率 f 的關(guān)系為：的關(guān)系為：所以：所以： 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系： 傅里葉系數(shù)標號傅里葉系數(shù)標號k ：0N 數(shù)字頻率數(shù)字頻率：02 模擬頻率模擬頻率 f ：0fs 01222skkfNTfNk sffkN DFS 定義：定義：幾點說

19、明幾點說明| ( )|jHe 0000222/ssNf 2ssNf k () Hz/f 變變換換系系數(shù)數(shù)標標號號（弧弧度度，數(shù)數(shù)字字頻頻率率）（，模模擬擬頻頻率率）（弧弧度度 秒秒，模模擬擬角角頻頻率率） 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院26DFS 定義：定義：幾點說明幾點說明 頻率成份頻率成份直流分量直流分量： 當當 k=0 時，時， ，此時得到的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，此時得到的傅里葉級數(shù)的系數(shù)稱為信號的直流分量（稱為信號的直流分量（DC Component），）， 是信號的平均值；是信號的平均值；交流分量交流分量：其它頻率（其它頻率（k0）稱為周期信號的諧波，此時的

20、傅里葉級數(shù)系數(shù)稱為）稱為周期信號的諧波，此時的傅里葉級數(shù)系數(shù)稱為信號的交流分量。信號的交流分量。k=1 時的頻率為信號的一次諧波，或時的頻率為信號的一次諧波，或基頻基頻，頻率大小為，頻率大小為 fs/N，時間為，時間為 NTs，等于完成一個周期所需要的時間。其它諧波為基頻的整數(shù)倍。，等于完成一個周期所需要的時間。其它諧波為基頻的整數(shù)倍。離散傅里葉級數(shù)包含了離散傅里葉級數(shù)包含了 0 到到 (N-1)fs/N 的頻率，因而的頻率，因而 N 個傅里葉級數(shù)的系個傅里葉級數(shù)的系數(shù)位于從數(shù)位于從 0 直到接近取樣頻率的頻率上。直到接近取樣頻率的頻率上。11000(0)( )( )NNnNnnXx n Wx

21、 n (0)/XN 時域時域2NsfNsfkN頻域頻域 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院27DFS 定義：定義：幾點說明幾點說明周期信號的頻譜周期信號的頻譜由傅里葉系數(shù)由傅里葉系數(shù) 可得到可得到 的幅度頻譜的幅度頻譜 和相位頻和相位頻譜譜 ，不難證明，如果，不難證明，如果 是實序列，那么是實序列，那么幅度頻譜是周期幅度頻譜是周期性偶函數(shù)性偶函數(shù)，相位頻譜是周期性奇函數(shù)相位頻譜是周期性奇函數(shù)。周期信號由離散傅里葉級數(shù)周期信號由離散傅里葉級數(shù) DFS 得到的頻譜，和非周期信號由離得到的頻譜，和非周期信號由離散時間傅里葉變換散時間傅里葉變換 DTFT 得到的頻譜之間有重要

22、區(qū)別。得到的頻譜之間有重要區(qū)別。 DTFT 產(chǎn)生連續(xù)頻譜產(chǎn)生連續(xù)頻譜，這意味著頻譜在所有的頻率處都有值，因而非，這意味著頻譜在所有的頻率處都有值，因而非周期信號的幅度和相位頻譜是光滑無間斷的曲線。周期信號的幅度和相位頻譜是光滑無間斷的曲線。 與之相反，與之相反，DFS 僅有僅有 N 點的頻譜，僅包含有限個頻率，因而周期信點的頻譜，僅包含有限個頻率，因而周期信號的幅度和相位頻譜是號的幅度和相位頻譜是線譜線譜，即相等間隔的豎線，當頻譜的橫坐標，即相等間隔的豎線，當頻譜的橫坐標變量用實際頻率變量用實際頻率 f 代替代替 k 時，譜線間隔為時，譜線間隔為 fs/N。并不是所有的周期信并不是所有的周期信

23、號都含有全部諧波號都含有全部諧波，例如有些頻譜只有奇次諧波，比如三角波，偶，例如有些頻譜只有奇次諧波，比如三角波，偶次諧波為次諧波為0，而有些頻譜僅在一些諧波處的值為，而有些頻譜僅在一些諧波處的值為0。( )X k ( )X karg( )X kx(n) x(n) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院28DFS 的的 Matlab 的實現(xiàn)的實現(xiàn)由由 DFS 的定義可以看出它是一種可進行數(shù)值計算表示式，的定義可以看出它是一種可進行數(shù)值計算表示式，它可由多種方式實現(xiàn)。它可由多種方式實現(xiàn)。（1）利用循環(huán)語句 for.end 實現(xiàn) 為了計算每個樣本為了計算每個樣本 ，可用，可用

24、 for . end 語句實現(xiàn)求和。語句實現(xiàn)求和。 為了計算所有的為了計算所有的 DFS 系數(shù)，需要另外一個系數(shù)，需要另外一個for.end 循循環(huán)，這將導致運行嵌套的兩個環(huán)，這將導致運行嵌套的兩個for .end 循環(huán)。顯然，這種循環(huán)。顯然，這種方法的效率較低。方法的效率較低。 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院29設(shè)設(shè) 和和 代表序列代表序列 x(n) 和和 X(k) 主周期的列向量，主周期的列向量，則則 DFS 的正反變換表達式由下式給出：的正反變換表達式由下式給出： 其中矩陣其中矩陣 WN 由下式給出：由下式給出： )(kx)(kXXNxxXWWNN1*WWW

25、WNNNNNNNNnk WWnkknNN2) 1(1111,011111矩陣矩陣 WN 為方陣，叫做為方陣，叫做 DFS 矩陣矩陣. . （2）利用矩陣）利用矩陣矢量乘法矢量乘法 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院30function Xk = dfs(xn,N)n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . nk

26、; % DFS matrixXk = xn * WNnk; % row vector for DFS coefficients function xn = idfs(Xk,N)n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . (-nk); % IDFS matrixxn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for ID

27、FS valuesDFS 的的 Matlab 的實現(xiàn)的實現(xiàn)31例例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 .3 , 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0.,)(nx解解：上述序列的基本周期為 N=4，因而 W4 = e-j2/4 = -j， 304)()(nnkWnxkX)22()()() 3(2)()()2()22(320)()() 1 (6) 3()2() 1 ()0()()()0(3033034302302430304303004jjnxWnxXjnxWnxXjjjjnxWnxXxxxxnxWnxXnnnnnnnnnnnnnnn324( )(

28、 ), ( )8( )( )x nR nx nNx nx nDFS ：已已知知序序列列將將以以為為周周期期 進進行行周周期期延延拓拓成成，求求的的例例。 解法一：數(shù)值解1780038022223888( )( )( )1NnknkNnnnknjkjkjkX kx n Wx n WWeee (1)121(3)12(0)4(2)0(1(5)121(7)1214)0(6)0XXXXXjXjXjXj 33 221780022243440488838( )11sin2sin8NjknjknNnnjkjkjkjkjknjkjkjkjknjkX kDFS x nx n ex n eeeeeeeeeekek

29、解解法法二二：公公式式解解34例例: 下面給出一周期下面給出一周期“方波方波”序列：序列： 其中，其中， m=0, 1, 2,，N 是基本周期，是基本周期， L/N 是占空比。是占空比。(a)確定一種用確定一種用 L 與與 N 描述的描述的 的表達式。的表達式。(b)分別畫出當分別畫出當 L =5, N = 20；L=5，N=40；L=5，N=60；L=7，N=60 時時 表達式。表達式。(c)對所得結(jié)果進行討論。對所得結(jié)果進行討論。1, ( )0,(1)1 mNnmNL1x n mNLnmN ()X k ()X k 35解：解：(a) 由由 DFS 定義可得定義可得12220002211(

30、)( )11nNjnkjnkNjkNNNnnnjLkNLjkNX kx nL , k0, N, 2N,. , otherseeeee 2(1)2sin()1sin()1LLkLkLkjkjjjLkNNNNjNkkkkjjjjNNNNkLNkNeeeeeeeee 而：而： 的幅值可表示為：的幅值可表示為： ( )X k ( )sin(/)sin(/)L , k0, N, 2N,.X kkL N , othersk N 36b. Matlab 程序如下：程序如下：% Chapter 3: Example 3.03L = 5; N = 20;(改變參數(shù)）改變參數(shù)）x = ones(1,L), zer

31、os(1,N-L);xn = x * ones(1,3);xn = (xn(:);n = -N:1:2*N-1;subplot(1,1,1);subplot(2,1,2);stem(n,xn); xlabel(n);ylabel(xtilde(n)title(Three periods of xtilde(n)axis(-N,2*N-1,-0.5,1.5) -20-100102030-0.500.511.5nxtilde(n)Three periods of xtilde(n)1 2 3 , , x 123x 1111(1,3)2 1,1,12223333xnx one 1231(:)2312

32、3xn (:)123123123xn 37% Part (b)L = 5; N = 20;(改變參數(shù)）改變參數(shù)）xn = ones(1,L), zeros(1,N-L);Xk = dfs(xn,N);magXk = abs(Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1);k = -N/2:N/2;subplot(2,2,1); stem(k,magXk); axis(-N/2,N/2,-0.5,5.5)xlabel(k); ylabel(Xtilde(k)title(DFS of SQ. wave: L=5, N=20)38-10010012345kXtilde(k)DFS of SQ. wa

33、ve: L=5, N=20-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=40-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=60-200200246kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=7, N=605個峰值個峰值5個峰值個峰值5個峰值個峰值7個峰值個峰值n 注意： 是周期信號，圖中只畫出了從 N/2 到 N/2 的部分。n c. 從圖中可以看到，方波的 DFS 系數(shù)的包絡(luò)像“ Sinc ”函數(shù)， K=0 時的幅度等于 L； 同時函數(shù)的零點位于 N/L（占空比的倒數(shù)）的整數(shù)倍處； L=

34、5 不變，N變大（即填0，但有效信息沒有增加），則形狀不變，只是更平滑，即獲得了一個高密度譜； N=60 不變，L 變大（即增加了原始數(shù)據(jù)長度），則變換后得形狀發(fā)生了變化，獲得了更多的信息，即高分辨率譜。( )X k 39例例 ： 設(shè)設(shè) 當當 N=5、10、20、50 時，分別對其時，分別對其 Z 變換在單位圓變換在單位圓上取樣，研究不同的上取樣，研究不同的 N 對時域的影響。對時域的影響。( )(0.7)( )nx nu n 11( )0.710.70.7zX z , zzz 可用可用 Matlab 來實現(xiàn)取樣運算：來實現(xiàn)取樣運算：22/2/( )( )| .0.7kjNjk Njk Nz

35、eeX kX z , k0, 1, e 用用 IDFS 計算，確定相應(yīng)的時域序列。計算，確定相應(yīng)的時域序列。解：可得解：可得 x(n) 的的 Z 變換為：變換為：40% Frequency-domain sampling% x(n)=(0.7)n * u(n)% X(z)=z/(z-0.7); |z|0.7 subplot(1,1,1)N = 5; (改變參數(shù)）改變參數(shù)）k = 0:1:N-1;wk = 2*pi*k/N;zk = exp(j*wk);Xk = (zk)./(zk-0.7);xn = real(idfs(Xk,N);%只取實部，去掉產(chǎn)生的虛部誤差只取實部，去掉產(chǎn)生的虛部誤差xt

36、ilde = xn* ones(1,8); % 畫出畫出8個周期個周期 xtilde = (xtilde(:);subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde);axis(0,40,-0.1,1.5);xlabel(n);ylabel(xtilde(n); title(N=5)410204000.511.5nxtilde(n)N=50204000.511.5nxtilde(n)N=100204000.511.5nxtilde(n)N=200204000.511.5nxtilde(n)N=40n 從圖中清楚地表明在時域中出現(xiàn)的混疊，尤其是當從圖中清楚地表明在時域中出現(xiàn)的混疊，尤其

37、是當 N=5 與與 N=10 時。時。對于大的對于大的 N 值，其值，其 x(n) 的尾部足夠小，實際上不會導致明顯的混迭。的尾部足夠小，實際上不會導致明顯的混迭。這對于變換前，有效截取無限序列，是非常有效的。這對于變換前，有效截取無限序列，是非常有效的。1.20201.02911.00081.0000 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院42n 線性線性11( )( )XkDFS x n 22( )( )XkDFS x n 且：且：1212( )( )( )( )DFS ax nbx naX kbX k 則則 a,b為任意常數(shù)為任意常數(shù)12 x(n) x (n) N若

38、若 ： 兩兩 個個 周周 期期 序序 列列和和， 周周 期期 均均 為為 DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：線性線性 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院432 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k 11011(0)111 ()() () ( ) ( )( )( )( )NnkNnNmNmk i mmkkiNNNi mi mNNmkNmkiNi NkimkkikiNNNNNimmi mmkNNiDFS x nmx nm Wx i WWx i WWx i WWx i Wx i WWx i Wnmx iiW 令令10( )NkimkNiWX k n序列的周期

39、移位（時域）序列的周期移位（時域） 若若 是周期序列，其周期為是周期序列，其周期為N，移位后仍為周期序列，且：，移位后仍為周期序列，且：DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：序列的周期移位序列的周期移位證明：證明：( )x n 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院44n調(diào)制特性（頻域周期移位）調(diào)制特性（頻域周期移位）( )()nlNDFS Wx nX kl 101()0( )( )( )()NlnlnnkNNNnNl k nNnDFS Wx nWx n Wx n WX kl nm22NX (k)X(km) x (n)Wx(n) 若若：則則有有：DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：調(diào)制特性調(diào)制特性

40、證明：證明： 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院45n 周期卷積（時域）周期卷積（時域）12 x (n) x (n) N, 設(shè)設(shè)：兩兩 個個 周周 期期 序序 列列和和， 周周 期期 均均 為為則則 周周 期期 卷卷 積積11( )( )DFS x nX k若若1212( )( )*( )( )( )( )IDFSy nxnxnY kXkXk 則則22( )( )DFS x nXk 頻域相乘頻域相乘 時域卷積時域卷積周期卷積周期卷積：兩個周期序列在一個周期上的線性卷積，是一種兩個周期序列在一個周期上的線性卷積，是一種特殊的特殊的卷積計算形式。卷積計算形式。DFS 的性

41、質(zhì)：的性質(zhì)：周期卷積周期卷積 （1）1211122100( )( )*( )()()()()NNmmy nx nxnx m xnmxm x nm 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院461211201201101112011002111()( )( )( )( )( )( )()()()()NNn m kNNknNkNknNmkNmkkNmNmy nIDFS X kXkX k Xk WNXk WNx mx mxWm xNnmXk W DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：周期卷積周期卷積 （2）證明：證明： 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院47DFS 的性

42、質(zhì)：的性質(zhì)：周期卷積周期卷積 （3）0N-Nm1( )x m0N-Nm2( )x m0N-Nm220()()xmxm 0N-Nm21 ()xm （1）x1(n)和和x2(n)是周期的。是周期的。 （2）求和范圍為）求和范圍為一個周期一個周期（3）周期序列周）周期序列周期卷積后，序期卷積后，序列的長度仍然列的長度仍然是周期的；是周期的；位置保持位置保持不變不變 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院48n序列的線性卷積與周期卷積的幾點區(qū)別：序列的線性卷積與周期卷積的幾點區(qū)別：線性卷積的求和對參與卷積的兩個序列無任何線性卷積的求和對參與卷積的兩個序列無任何 要求，要求，而周期

43、卷積要求兩個序列是周期相同的周期序列。而周期卷積要求兩個序列是周期相同的周期序列。線性卷積的求和范圍由兩個序列的長度線性卷積的求和范圍由兩個序列的長度 和所在的區(qū)和所在的區(qū)間決定，間決定，而周期卷積的求和范圍是一個周期而周期卷積的求和范圍是一個周期 N。線性卷積所得序列的長度線性卷積所得序列的長度 (M+N-1) 由參與卷積的兩由參與卷積的兩個序列的長度確定，個序列的長度確定，而周期卷積的結(jié)果仍是周期序而周期卷積的結(jié)果仍是周期序列列 ，且周期與原來的兩個序列周期相同。，且周期與原來的兩個序列周期相同。周期卷積等同于兩個周期序列在一個周期上的線性卷周期卷積等同于兩個周期序列在一個周期上的線性卷積

44、計算。積計算。 DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：周期卷積周期卷積 （4）4915121200( )()()()()Nmmy nx m x nmx m x nm 解：解：例：例： 已知序列已知序列 x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n+1)R5(n)，分別將序列以周期為分別將序列以周期為 N=6 拓展成周期序列，求拓展成周期序列，求兩個周期序列的周期卷積和。兩個周期序列的周期卷積和。50154512 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院51n 頻域周期卷積頻域周期卷積 利用利用 DFS DFS 的對偶性有：的對偶性有： 12( )( )( )y nxn xn 若若101120

45、1210( ) ( )( )1( )()1( )()NnkNnNlNlY kDFS y ny n WX l XklNXl X klN 則則時域相乘時域相乘 頻域卷積頻域卷積DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：周期卷積周期卷積 (5)注 意 頻 域 卷注 意 頻 域 卷積 的 求 和 號積 的 求 和 號前面有前面有 1/N。 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院52DFS 的性質(zhì)：的性質(zhì)：共軛對稱性共軛對稱性n 由任一周期性序列由任一周期性序列 ，定義如下兩個序列：，定義如下兩個序列： 共軛偶對稱周期性序列共軛偶對稱周期性序列 共軛奇對稱周期性序列共軛奇對稱周期性序列 ( )exn

46、 *1( )( )()2exnx nxn 0( )xn *01( )( )()2xnx nxn( )x n( )( )( )( )( )( )eoeox nx nx nx nx nx n顯顯然然，、和和具具有有相相同同的的周周期期，則則可可表表示示為為與與之之和和( )( )( )eox nxnxn 且具有如下關(guān)系：且具有如下關(guān)系： *()( )()( )eoeoxnxnxnxn 其它對稱性其它對稱性質(zhì)見教科書質(zhì)見教科書 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院53DFS 定義和性質(zhì)：定義和性質(zhì)：小結(jié)小結(jié)n 時域周期序列與頻域周期序列的關(guān)系 DFSn DFS 的性質(zhì) 重點：

47、周期移位 調(diào)制特性 周期卷積10101( )( )( )( )NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN 2()()()jm km kNNDFS x nmWXkeXk 1120( )()()Nmy nxm xnm ( )()nlNDFS Wx nX kl 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院54n 對于一段有限長信號（連續(xù)），分析頻譜問題是對于一段有限長信號（連續(xù)），分析頻譜問題是付氏積付氏積分分問題，進行時域周期重復(fù)和取樣兩過程，就可把廣義問題，進行時域周期重復(fù)和取樣兩過程，就可把廣義積分問題變成積分問題變成有限項求和有限項求和，即由，即由CTFTDFS。

48、n DFS 變換：周期離散時間函數(shù)與一周期離散頻率函數(shù)的變換：周期離散時間函數(shù)與一周期離散頻率函數(shù)的組合，它們是有限求和（而不是積分），組合，它們是有限求和（而不是積分），常用常用 DFS 來逼來逼近連續(xù)時間過程的傅氏變換近連續(xù)時間過程的傅氏變換。 也即要用數(shù)字運算能完全計算出付氏積分，必須對時間函數(shù)和頻也即要用數(shù)字運算能完全計算出付氏積分，必須對時間函數(shù)和頻率函數(shù)取樣（即率函數(shù)取樣（即DFS），選擇時間有限和頻率有限的信號。），選擇時間有限和頻率有限的信號。 時間取樣：取樣頻率大于信號最高頻率兩倍；時間取樣：取樣頻率大于信號最高頻率兩倍； 頻率取樣：取樣間隔足夠小，使時間函數(shù)的周期（頻率取樣

49、：取樣間隔足夠小，使時間函數(shù)的周期（單位圓上單位圓上等分（取樣）的點數(shù)等分（取樣）的點數(shù)）大于信號的時域長度。）大于信號的時域長度。 結(jié)果：頻域和時域中均不出現(xiàn)混迭現(xiàn)象。結(jié)果：頻域和時域中均不出現(xiàn)混迭現(xiàn)象。3.3 有限離散傅里葉變換及其性質(zhì)有限離散傅里葉變換及其性質(zhì) (1) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院55n 離散傅氏級數(shù)提供了一種對離散時間傅氏變換作數(shù)值計離散傅氏級數(shù)提供了一種對離散時間傅氏變換作數(shù)值計算的技巧，它在時域和頻域都是周期的，算的技巧，它在時域和頻域都是周期的，但在實際中大但在實際中大多數(shù)信號不具有周期性，它們很可能具有有限持續(xù)時間。多數(shù)信號不具有

50、周期性，它們很可能具有有限持續(xù)時間。n 對這些信號，怎樣探討一種可數(shù)值計算的傅氏表達式？對這些信號，怎樣探討一種可數(shù)值計算的傅氏表達式？理論上，可通過理論上，可通過構(gòu)造一周期信號構(gòu)造一周期信號，其基本形狀為有限，其基本形狀為有限持續(xù)時間信號，然后計算此周期信號的持續(xù)時間信號，然后計算此周期信號的 DFS。實際上，這也就是定義了一種新的變換，稱為離散傅實際上，這也就是定義了一種新的變換，稱為離散傅氏變換（氏變換（DFT），它是），它是 DFS 的主周期。的主周期。DFT 是對任意有限持續(xù)時間序列可數(shù)值計算的傅氏變是對任意有限持續(xù)時間序列可數(shù)值計算的傅氏變換。換。3.3 有限離散傅里葉變換及其性質(zhì)

51、有限離散傅里葉變換及其性質(zhì) (2) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院56( )()( )Nrx nx nrNx n( )( )( ) Nx nx n Rn( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同樣：同樣：X(k)也是一個也是一個N點的有限長序列點的有限長序列( )( )Nx nNx n長度為的有限長序列周期為的周期序列( ) x n的主值序列（加窗處理）( ) x n 的周期延拓關(guān)系關(guān)系 ?( )NnnN模其中其中:DFT 定義：表達式定義：表達式 (1)n 周期序列的表示周期序列的表示 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工

52、程學院57DFT 定義：表達式定義：表達式 (2)n 若若 n=n1+n2N 成立，且成立，且 n1 滿足滿足 0n1N-1，則把，則把 n1 稱做稱做 n 對對N的模數(shù)的模數(shù)，用符號，用符號 (n)N 表示，即：表示，即：n 模模 N=(n)N=n1，也就是也就是 n 對對 N 取余數(shù)。取余數(shù)。例例: 是周期為是周期為 N=6 的序列，求的序列，求 n=19及及 n= -2 兩數(shù)對兩數(shù)對N的的余數(shù)。余數(shù)。解：解： n=19=1+36 ， (19)6=1n=-2=(-1)6+4 ，(-2)6=4即：即：( )x n 6(19)(19)(1)xxx 6( 2)( 2)(4)xxx 0 1 2 3

53、5421 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院58n 在無混迭的情況下，我們看如何把在無混迭的情況下，我們看如何把 DFS 變成變成 DFT ?1010( )( )1( )( )NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN DFS:DFT 定義：表達式定義：表達式 (3)2jNNWe n 因無混迭，則時域中一個周期長的主值序列對應(yīng)于頻域因無混迭，則時域中一個周期長的主值序列對應(yīng)于頻域中一個周期長的主值序列。從中一個周期長的主值序列。從DFS的時域和頻域中各取的時域和頻域中各取出一個周期，即出一個周期，即得到有限長度離散序列的時域和頻域傅得到有限長度離散序列的時

54、域和頻域傅氏變換。氏變換。 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院59n 有限長序列的有限長序列的 DFT 正變換和反變換：正變換和反變換：1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN 2jNNWe其中：其中：1010( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )NnkNNNnNnkNNNkX kx n WRkX k Rkx nX k WRnx n RnN DFTDFT 定義：表達式定義：表達式 (4)或或注意：注意：從工程角度看，從工程角度看，DF

55、S 和和 DFT 的表達式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別。的表達式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別。 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院60 0 01 0(1) 00 11 1(1) 10 (1)1 (1)(1) (1)(0), (1), (1)(0),(1),(1)TTNNNNNNNNNNNNNNNxxxx NXXXX NWWWWWWWWWW n DFT的矩陣表示形式的矩陣表示形式若令：若令：*111TXW xWxxWXWXNN 則：則：DFT 定義：定義：表達式表達式 (5) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院61DFT 定義：定義：表達式表達式 (6) DFT圖形解釋圖形解

56、釋 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院62n 不僅濃縮了不僅濃縮了 的全部內(nèi)容，同時也濃縮了的全部內(nèi)容，同時也濃縮了 的全部內(nèi)容。的全部內(nèi)容。n 能夠如實、全面地表示能夠如實、全面地表示 的頻域特征，所以的頻域特征，所以 DFT DFT 具備明確的物理含義。具備明確的物理含義。 ( )X k1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN ()jX e( )X k( )x n( )X kDFT 定義：定義：表達式表達式 （7）n DFT 意義意義 北京郵電大學信息與

57、通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院63n 由上面的討論可知，由上面的討論可知，在在 0nN-1 上，上，DFS 和和 DFT 相同相同。n 因此，可用類似的方法實現(xiàn)因此，可用類似的方法實現(xiàn) DFT。把原先名為把原先名為 dfs 和和 idfs 的的 Matlab 函數(shù)改名為函數(shù)改名為 dft 和和 idft 函數(shù)，函數(shù)，即可實現(xiàn)離散傅即可實現(xiàn)離散傅氏變換氏變換 DFT。n 實際中，我們用的更多的是實際中，我們用的更多的是 DFT 的快速算法的快速算法 FFT，見后，見后續(xù)內(nèi)容。續(xù)內(nèi)容。DFT 定義：定義：Matlab 實現(xiàn)實現(xiàn) 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學

58、院64例：例： x(n) 是一個是一個 4 點序列：點序列： （1）計算離散時間傅氏變換）計算離散時間傅氏變換 X(ejw)，并畫出它的幅度和相位。，并畫出它的幅度和相位。（2）計算）計算 x(n) 的的 4 點點 DFT。1,()0, 0n3x n others DFT 定義：定義：舉例舉例 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院65解解：（：（1） 離散時間傅氏變換為：離散時間傅氏變換為：323043/2()( )11sin21sin/2jj njjjjjjX ex n eeeeeee 3,02sin(/2)()3,02sin(/2)jsin(2) Xsin(2) e

59、 因而因而sin2()sin/2jX e DFT 定義：定義：舉例舉例 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院6600.511.5201234frequency in pi units|X|Magnitude of the DTFT00.511.52-200-1000100200frequency in pi unitsDegreesAngle of the DTFTDFT 定義：定義：舉例舉例 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院67(2)(2)用用 X4(k) 表示表示 4 點點 DFT:3440( )( );nknj2/44Xkx n k0,

60、1,2,3; WejW DFT 定義：定義：舉例舉例% b) 4-point DFTN = 4; w1 = 2*pi/N; k = 0:N-1;X = dft(x,N);magX = abs(X), phaX = angle(X)*180/pisubplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,-); axis(-0.1,4.1,-1,5); hold onstem(k,magX); 北京郵電大學信息與通信工程學院北京郵電大學信息與通信工程學院68k00.511.522.533.54-1012345k|X(k)|Magnitude of the DFT: N=400.511