第8章材料非線性問(wèn)題的有限元法

1、第7章 非線性有限元l材料非線性問(wèn)題的求解方法材料非線性問(wèn)題的求解方法l塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系l彈塑性矩陣的表達(dá)式彈塑性矩陣的表達(dá)式l彈塑性問(wèn)題的求解方法彈塑性問(wèn)題的求解方法l彈塑性問(wèn)題的實(shí)例計(jì)算彈塑性問(wèn)題的實(shí)例計(jì)算材料非線性問(wèn)題 前面各章中，我們所討論的問(wèn)題都是線彈性力學(xué)問(wèn)題。在線彈性力學(xué)中，位移與應(yīng)變的關(guān)系（幾何方程）是線性的，應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系（本構(gòu)方程）也是線性的。但是，工程中的許多問(wèn)題的位移與應(yīng)變、應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系不滿足上述線性關(guān)系，呈非線性狀態(tài)。通常把不滿足條件 1 的稱為材料非線性，把不滿足條件2，3的稱為幾何非線性。7.1 材料非線性問(wèn)題的求解方法材料非線性問(wèn)題的求解方

2、法1 表征材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)方程是線性的；2 描述應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程是線性的；3 以變形前的狀態(tài)建立的平衡方程仍適用于變形后的體系非線性問(wèn)題經(jīng)有限元法離散后，得到如下形式的一組代數(shù)方程即剛度方程K是節(jié)點(diǎn)位移向量的函數(shù)。材料非線性問(wèn)題是由材料非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系引起的，通常表現(xiàn)為非線性彈性問(wèn)題和彈塑性問(wèn)題，此外還有與時(shí)間有關(guān)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 非線性彈性問(wèn)題和彈塑性問(wèn)題的塑性階段呈現(xiàn)非線性物理性質(zhì)。加載過(guò)程時(shí)，這兩類問(wèn)題的非線性性質(zhì)是一樣的。不同之處在于兩點(diǎn)：一是彈塑性材料有一個(gè)從彈性到塑性的折點(diǎn)，二是卸載過(guò)程兩者有完全不同的路徑。在常應(yīng)力狀態(tài)下，變形隨時(shí)間變化的特性成為粘性，變形隨時(shí)間變

3、化的現(xiàn)象稱為徐變（蠕變）。這類問(wèn)題包括粘彈性問(wèn)題、粘彈塑性問(wèn)題、徐變問(wèn)題。0)()(fK對(duì)于材料非線性問(wèn)題進(jìn)行有限元分析，由于考慮的是小變形，平衡方程和幾何關(guān)系依然成立，即B 但是物理方程是非線性的，可以寫(xiě)成如下的一般形式(7.2) 0),(f(7.3) 0)( RK必須注意，由于小變形的關(guān)系，應(yīng)力形式的平衡方程仍然是線性的，但是以結(jié)點(diǎn)位移列陣 表示的平衡方程則不再是線性的了。因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變 之間是非線性的，從而應(yīng)力與位移之間也是非線性的；于是(7.1)式可以寫(xiě)成 (7.1) dTRVB1 牛頓牛頓-拉斐遜拉斐遜（Newton-Raphson）法法任何具有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)Y(x)，在xn點(diǎn)作

4、一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，它在xn點(diǎn)的線性近似公式是 )(dd)()(nnnxxxYxYxY0)(dd)()(nnnxxxYxYxY因此，非線性方程Y(x)=0在xn附近的近似方程是線性方程 它的解是 11 )dd/()(nnnnnxxxxYxYx；這就是牛頓拉斐遜方法的迭代公式。牛頓拉斐遜方法的迭代過(guò)程如圖7.1(a)所示，它要求在每次迭代時(shí)計(jì)算 ，因此計(jì)算工作量巨大。修正的牛頓拉斐遜方法 迭代公式是xxYxYd/ )(d)( 110 )dd/()(nnnxxxxYxYx；在每次迭代時(shí)Y(x)值是不變的，迭代過(guò)程如圖7.1(b)所示。牛頓拉斐遜方法求解平衡方程的迭代過(guò)程結(jié)構(gòu)的平衡方程式為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考

5、慮單自由度系統(tǒng)。設(shè)Y()=K()R0，因?yàn)镵是的函數(shù)，即KK()。令F()K，于是 用牛頓拉斐遜方法求非線性方程Y()0的根，(7.1)式的迭代公式可以寫(xiě)成(7.4) 0)( RK111 )()dd(nnnnnnFRY；(e)0)(RFY在圖7.2中，給出了牛頓拉斐遜迭代方法。曲線FK和直線FR的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是(7.3)式的精確解。迭代開(kāi)始時(shí)按線性理論求解位移1 作為第一次近似值，即圖7.2a 中A1 點(diǎn)的橫坐標(biāo)。如果載荷R不因變形而改變它的大小和方向，則有TKFYdddd式中，KT是曲線FK的斜率，代表切線剛度。第二步，從B1點(diǎn)作曲線FK的切線交直線FR于A2點(diǎn)，取A2點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2。從圖

6、中看出11211)()/(TKBA212111)()(FRBA；)()(12111FRKBAT）（由于得我們來(lái)敘述牛頓拉斐遜方法求解(7.3)式的圖解表示。把上式和(e)式比較可以看出，2就是位移的第二次近似。如此不斷重復(fù)，則得迭代公式如下111 )()(nnnnnnTFRK）（；）（因此，圖7.2(a) 就是求解 (7.3) 式的圖解表示。由于KT表示結(jié)構(gòu)的切線剛度，因而牛頓拉斐遜方法也稱為切線剛度法。同樣，修正的牛頓拉斐遜方法可以用圖7.2 (b) 表示。由于每次迭代不改變它的剛度值，所以也稱為等剛度法。2 變剛度法 (1) 割線剛度法如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系能夠表示成如下形式D于是由(1.

7、2)式，上式可以寫(xiě)成)()(BDBD把上式代入(7.1)式，并利用(7.3)式，得(7.5) d)()(TVBDBRK把(7.3)式寫(xiě)成迭代公式(7.6) 1RKnn迭代步驟 如圖7.3。(2) 切線剛度法設(shè)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表示為增量形式 就可以利用切線剛度法， 是切線彈性矩陣。把公式（7.1）改寫(xiě)成d)(dTD)(TD0d)(TRVBY(7.7)dd)d)(dd)(dTTTTKVBDBVBY(7.8) d)(TTTVBDBK切線剛度矩陣考慮由于增量d引起Y的變化。因?yàn)镽與無(wú)關(guān)，則)9 . 7( d11T1nnnnnnnTRVBYK；利用牛頓拉斐遜方法，得到迭代公式3 初應(yīng)力法 設(shè)材料的物理

8、方程取為即由給定的應(yīng)變值確定相應(yīng)的應(yīng)力值。上式可用具有初應(yīng)力的線彈性物理方程所代替。式中0是初應(yīng)力列陣；D是線性彈性矩陣，就是非線性材料在0時(shí)的切線彈性矩陣。(7.10) )(f(7.11) 0 D)(0DfD引進(jìn)假想的線性彈性應(yīng)力(7.12) el0調(diào)整初應(yīng)力值0 ，使它在給定的應(yīng)變值用 (7.10) 式或 (7.11)式可以得到相同的應(yīng)力值。有那末elD把(7.11)式代入(7.1)式，有VBRVBDBdd 0TT設(shè) ，即由線彈性矩陣所定義的結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。于是上式可以寫(xiě)成VBDBKd T0(7.13) d0T0VBRK把上式寫(xiě)成如下的迭代公式)14. 7()d(elT10VBRRRKn

9、nnnn在整個(gè)迭代過(guò)程中剛度矩陣 K0 保持不變，因此也稱為等剛度法。3 初應(yīng)變法 某些問(wèn)題，例如蠕變問(wèn)題，它的應(yīng)變值是由應(yīng)力值決定。因此，物理方程可寫(xiě)成類似于初應(yīng)力法，設(shè)用具有初應(yīng)變的線彈性物理方程所代替。式中0是初應(yīng)變列陣；調(diào)整0的值，使它在給定的應(yīng)力值用(7.15)式或(7.16)式可以得到同樣的應(yīng)變值。于是有 (7.15) )(f(7.16) 0）（ D)(110DfD1elD令 ，于是 el0(7.17)把(7.16)式代入(7.1)式，有VDBRKd0T0可以把上式寫(xiě)成如下迭代公式VDBRRRKnnnd0T10(7.18)如果己知位移的第n次近似值n ，可以利用(7.2)式算出應(yīng)變

10、值n。由n以及前一次迭代所得到的初應(yīng)變n1，就可以利用(7.16)式求出應(yīng)力值式中，Rn稱為矯正載荷，它近似地等于抵消初應(yīng)變所需要的載荷。)(10nnnD迭代過(guò)程是調(diào)整初應(yīng)變的過(guò)程，現(xiàn)把它敘述于下。接著利用應(yīng)力應(yīng)變曲線，即是由(7.15)式得出對(duì)應(yīng)于n的應(yīng)變值。這樣，就能算出初應(yīng)變值nnnnnD1el0作為下次迭代之用。把上式代入(7.8)式，求解代數(shù)方程就可以求得位移的第n+1次近似值n+1。重復(fù)迭代直至收斂。7.2 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1 材料的塑性性質(zhì)簡(jiǎn)單拉伸及薄壁筒扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)所得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線是我們研究材料塑性性質(zhì)的基本資料，圖7.7(a)是低碳鋼的拉伸曲線。實(shí)驗(yàn)知，應(yīng)力增

11、加到屈服極限時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線上出現(xiàn)屈服階段。過(guò)了屈服階段以后，大多數(shù)材料要使繼續(xù)增加變形，必須使應(yīng)力進(jìn)一步增加，即d/d0; 這所謂強(qiáng)化現(xiàn)象或稱加工硬化。加果屈服階段很長(zhǎng)，我們可以簡(jiǎn)化為如圖7.7 (b) 所示的曲線d/d=0；稱為理想塑性或完全塑性。 式中，1、2、3為主應(yīng)力，T是單向拉伸時(shí)的屈服極限。(7.19) 2/ )()()(213232221T)(6)()()(222/ )()()(222222213232221zxyzxyxzzyyx等效應(yīng)力為1 米賽斯屈服準(zhǔn)則米賽斯屈服準(zhǔn)則認(rèn)為；材科在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能達(dá)到了單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能，材料開(kāi)始屈服。于是得到米賽斯屈服條

12、件是 應(yīng)力偏量 為：(7.21)zxzxcpzzyzyzcpyyxyxycpxx式中，cp(x+y+z)3稱為平均應(yīng)力。等效應(yīng)力可以用應(yīng)力偏量表示為)(223222222zxyzxyzyxTzxyzxyzyx222 23T若記：則等效應(yīng)力：則米賽斯屈服條件是(7.20) T現(xiàn)在討論材料的應(yīng)變強(qiáng)化規(guī)律。假設(shè)材料進(jìn)入塑性之后，載荷按微小增量方式逐步加載，應(yīng)力和應(yīng)變也在原來(lái)水平上增加d和d。應(yīng)變?cè)隽縟可以分成二部分其中，d為全應(yīng)變?cè)隽?，de為彈性應(yīng)變?cè)隽?，dp為塑性應(yīng)變?cè)隽?。?duì)應(yīng)于等效應(yīng)力，定義等效應(yīng)變 peddd)(23)()()(122222222zxyzxyxzzyyx）（對(duì)于單向拉伸x=，y

13、=z=，xy=yz=zx=0，等效應(yīng)變恰等于。定義塑性應(yīng)變?cè)隽康牡刃?yīng)變?yōu)樗苄缘刃?yīng)變?cè)隽?。因?yàn)樗苄宰冃尾划a(chǎn)生體積改變，故取1/2。于是有 pd)ddd(23)dd()dd()dd(32d222222zxpyzpxypxpzpzpypypxpp引進(jìn)應(yīng)變偏量(7.23)zxzxcpzzyzyzcpyyxyxycpxx式中，cp(x+y+z)3 稱為平均應(yīng)變。注意到塑性變形中的體積應(yīng)變等于零，即xp+yp+zp0，因此對(duì)于塑性應(yīng)變，偏量就是它本身。于是有),( dd ),( ddzyxjizyxiijpijpipip，；，利用上式等效塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢员硎緸?ddd(21ddd32d222222z

14、xpyzpxypzpypxppTzxpyzpxypzpypxpp2d2d2ddddd*若記則等效塑性應(yīng)變?cè)隽?可以改寫(xiě)成pd)d()d(32d*T*ppp(7.24)現(xiàn)在回顧一下單向拉伸實(shí)驗(yàn)，如果應(yīng)力超過(guò)屈服極限，卸載是彈性的。如圖 7.6中所示，從A點(diǎn)起以原點(diǎn)斜率相同的斜直線為卸載路徑。若卸載后繼續(xù)加載，它幾乎按原卸裁路徑回復(fù)到 A 點(diǎn)。這樣，就可以認(rèn)為材料經(jīng)過(guò)卸載再加載可以提高屈服極限，而且新的屈服應(yīng)力和卸載前的塑性應(yīng)變p有關(guān)系。推廣到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)則有如下的塑性強(qiáng)化規(guī)律：在進(jìn)入屈服后，進(jìn)行卸載或部分卸裁然后再加載，新的屈服應(yīng)力值僅與卸載前的等效塑性應(yīng)變總量有關(guān)。這就是說(shuō)，新的屈服只有當(dāng)?shù)刃?yīng)力