拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用

1、-拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用拋物線是平面到定點(diǎn)的距離等于到定直線定點(diǎn)在定直線外的距離的點(diǎn)的軌跡，它是橢圓過(guò)渡到雙曲線的瞬間曲線，它只有一支雙曲線有兩支，只有一條對(duì)稱(chēng)軸，沒(méi)有漸近線和對(duì)稱(chēng)中心，屬于無(wú)心曲線拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)豐富多彩，此外還有定點(diǎn)、定值、定弦、最值等問(wèn)題也值得探討，拋物線的許多性質(zhì)也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這里就它的一些性質(zhì)加以歸納，說(shuō)明和證明，及其在歷年高考和模擬考試出現(xiàn)的典例一、焦半徑、焦點(diǎn)弦性質(zhì)如圖，AB是過(guò)拋物線 y22p*p0焦點(diǎn)F的弦，AD、BC是準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，M是CD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A(*1，y1)、點(diǎn)B(*2，y2)，直線AB交y軸

2、于點(diǎn)K(0，y3)，則：K(0，y3)CMDB(*2，y2)ROF( ，0)A(*1，y1)*yHG*qNQy1y2p2；*1*2；| AB |*1*2p q為AB的傾斜角；SOAB，S梯形ABCD.；AMBDFCRt；AM、BM是拋物線的切線；AM、BM分別是DAB和CBA的平分線；AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y軸三線共點(diǎn)；A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線；假設(shè)| AF |：| BF |m：n，點(diǎn)A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q ； 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.MN交拋物線于點(diǎn)Q，則，Q是MN的中點(diǎn).*

3、y1y2p2；*1*2；| AB |*1*2p q為AB的傾斜角；SOAB，S梯形ABCD.【證明】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F(，0)的AB的直線方程為*my，代入拋物線方程y22p*得y22pmyp20，因此CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF( ，0)q圖1y1y2p2，y1y22pm.另由得在RtCFD中，F(xiàn)RCD，有| RF |2| DR |·| RC |，而| DR | y1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且y1 y20y1y2p2.又點(diǎn)A、B在拋物線上，有*1，*2，因此*1*2·.，在直線AB方程*my中令*0，得y3，代入上式得【證法一】根據(jù)拋物線的

4、定義，| AF | AD |*1，| BF | BC |*2， | AB | AF | BF |*1*2p又| AB | y2y1 | 2p(1m2)當(dāng)m0時(shí)，m，有1m21k為直線AB的斜率CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOqA1B1F圖2當(dāng)m0時(shí)，q90°，1m21也滿足1m2| AB |2p(1m2) .【證法二】如圖2，過(guò)A、B引*軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，則| RF |AD|FA1| AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .【證法三】極坐標(biāo)法，設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為r，則| AF |r1 ，| B

5、F |r2.| AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |··(| y1 | y1 |)y1y2p2，則y1、y2異號(hào)，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sinq ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD(| AD | BC |)·| CD |××.【例1】2001年新課程高考文設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y22*與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則· A. B. C. 3D. 3【解】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2

6、)，則·*1*2y1y2p2，應(yīng)選B.【例2】2021年理過(guò)拋物線y22p*p0的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的長(zhǎng)為8，則p.【解】由性質(zhì)得| AB |8，p4.*【證法一】由*1*2，且| AF |*1，| BF |*2.【證法二】由| AF |r1 ，| BF |r2 .【例3】2000全國(guó)過(guò)拋物線ya*2a0的焦點(diǎn)F用一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，假設(shè)線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于 A.2a B. C.4a D.【解】由ya*2得*2y，拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由此得4a，應(yīng)選C.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF

7、ENM圖3*AMBDFCRt，先證明：AMBRt【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖3，則ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE為等腰三角形，又M是AE的中點(diǎn)，BMAE，即AMBRt【證法二】取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM為直角三角形，AB為斜邊，故AMBRt.【證法三】由得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMkAM·kBM

8、83;1BMAE，即AMBRt.【證法四】由得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRA*yOF圖41234M(*1，)，(*3，)·(*1)(*2)*1*2(*1*2)()0，故AMBRt.【證法五】由下面證得DFC90°，連結(jié)FM，則FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如圖412，同理34圖5CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF( ，0)aaabbb23×180°90°AMBRt.接著證明：DFCRt【證法一】如圖5，由于| AD| AF|，ADRF，故可設(shè)AFDADFDFRa，同理，設(shè)BFCBCFCFRb，而AFD

9、DFRBFCCFR180°2(ab)180°，即ab90°，故DFC90°CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖6GHD1【證法二】取CD的中點(diǎn)M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90°.【證法三】(p，y1)，(p，y2)，·p2y1y20，故DFC90°.【證法四】由于| RF |2p2y1y2| DR |·| RC |，即，且DRFFRC90°DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90°DFRRFC90°N1NM*yO

10、F圖7M1lDFC90°【例4】2021年文如圖7，過(guò)拋物線y22p*P0的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1，求證：FM1FN1CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖8D1*AM、BM是拋物線的切線【證法一】kAM，AM的直線方程為yy1(*)與拋物線方程y22p*聯(lián)立消去*得yy1()，整理得y22y1y0可見(jiàn)(2y1)240，故直線AM與拋物線y22p*相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y22p*，兩邊對(duì)*求導(dǎo)，得2y·2p，故拋物線y22p*在點(diǎn)A(*1，y1)處的切線的斜率為k

11、切|yy1.又kAM，k切kAM，即AM是拋物線在點(diǎn)A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】過(guò)點(diǎn)A(*1，y1)的切線方程為y1yp(*1)，把M(，)代入左邊y1·p*1，右邊p(*1)p*1，左邊右邊，可見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)A的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，即AM是拋物線的切線，同理BM也是拋物線的切線.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFENM圖9*AM、BM分別是DAB和CBA的平分線【證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖9，則ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角a是直線AM的傾斜

12、角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.*AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，BM、CF、y軸三線共點(diǎn)【證法一】如圖10，設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)G1，由以上證明知| AD| AF|，AM平分DAF，故AG1也是DF邊上的中線，G1是DF的中點(diǎn).CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖10GHD1設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)D1，DF與y軸相交于點(diǎn)G2，易知，| DD1| OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2|，則G2也是DF的中點(diǎn).G1與G2重合設(shè)為點(diǎn)G，則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同

13、理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn).【證法二】AM的直線方程為yy1(*)，令*0得AM與y軸交于點(diǎn)G1(0，)，又DF的直線方程為y(*)，令*0得DF與y軸交于點(diǎn)G2(0，)AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn)G(0，)，則AM、DF、y軸三線共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線共點(diǎn)H由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF圖11*A、O、C三點(diǎn)共線，B、O、D三點(diǎn)共線【證法一】如圖11，kOA，kOCkOAkOC，則A、O、C三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法二】設(shè)AC與*軸交于點(diǎn)O¢，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | B

14、F |，| RO¢ | O¢F|，則O¢與O重合，即C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法三】設(shè)AC與*軸交于點(diǎn)O¢，RFBC，| O¢F|【見(jiàn)證】O¢與O重合，則即C、O、A三點(diǎn)共線，同理D、O、B三點(diǎn)也共線.【證法四】(，y2)，(*1，y1)，·y1*1 y2·y1y20，且都以O(shè)為端點(diǎn)A、O、C三點(diǎn)共線，同理B、O、D三點(diǎn)共線.【推廣】過(guò)定點(diǎn)P(m，0)的直線與拋物線y22p*p0相交于點(diǎn)A、B，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l：*m的垂線，垂足分別為M、N，則A、O、N三點(diǎn)共線，B、O、M三點(diǎn)也共線

15、，如下列圖：【例5】2001年高考設(shè)拋物線y22p*p0的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC*軸. 證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.CB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF圖12【證法一】因?yàn)閽佄锞€y22p*p0的焦點(diǎn)為F(，0)，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為*my；代入拋物線方程得y22pmyp20設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，y1y2p2因?yàn)锽C*軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線*上，故C(，y2)，CDB(*2，y2)EA(*1，y1)*yOF圖13N直線CO的斜率為 kOCkOA.直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.【證法二】如圖13，過(guò)

16、A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，則，由拋物線的定義可知：|AF|AD|，|BF|BC|EN| NF |.即N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.* 假設(shè)| AF |：| BF |m：n，點(diǎn)A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q；【證明】如圖14，過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，C，過(guò)B作BEAD于E，設(shè)| AF |mt，| AF |nt，則CDBRA*yOqEF圖14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】

17、設(shè)經(jīng)過(guò)拋物線y22p*的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，且| AF |：| BF |3：1，則直線AB的傾斜角的大小為.【答案】60°或120°.* 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.【說(shuō)明】如圖15，設(shè)E是AF的中點(diǎn)，CDBRA*yOF圖15lMNE則E的坐標(biāo)為(，)，則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說(shuō)明】如圖15，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，作MN準(zhǔn)線l于N，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |圖16則圓心M到l的距離

18、| MN | AB |，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.*MN交拋物線于點(diǎn)Q，則Q是MN的中點(diǎn).【證明】設(shè)A(，y1)，B(，y1)，則C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，設(shè)MN的中點(diǎn)為Q¢，則Q¢ (，)點(diǎn)Q¢ 在拋物線y22p*上，即Q是MN的中點(diǎn).二、定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題共9個(gè)結(jié)論*平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的光線，被拋物面反射后會(huì)聚焦于拋物線的焦點(diǎn)，如圖17.圖17FAB*OTl【證明】如圖17，設(shè)拋物線方程為y22p*p0，直線AB*軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(*0，y0)，則過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y0yp(*0)，直線l的斜率為k0，設(shè)直線AB到l的角為a，則t

19、ana，設(shè)直線AF的斜率為k1，則k1 ，設(shè)直線l到AF的角為b，則tanb.tanatanb，又a、b0，p)，則ab，也就是說(shuō)平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的光線，被拋物面反射后會(huì)聚焦于拋物線的焦點(diǎn).圖18FPM*OQNyM¢【例7】2004年省質(zhì)檢如圖18，從點(diǎn)M(*0，2)發(fā)出的光線沿平行于拋物線y24*的軸的方向射向拋物線的點(diǎn)P，反射后經(jīng)焦點(diǎn)F又射向直線l：*2y70上的點(diǎn)N，再反射后又設(shè)回點(diǎn)M，則*0.【解】PM* 軸，點(diǎn)P在拋物線上，得P的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)過(guò)F(1，0)點(diǎn)后反射在Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)Q反射后點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)，設(shè)M關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M¢，

20、依題意，Q、N、M ¢共線.故可設(shè)M ¢(*1，2)，由此得 ，解得*06.【另解】假設(shè)設(shè)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q¢，設(shè)Q¢ (a，b)，由于Q、Q¢關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，由此得，解得則Q¢的坐標(biāo)為(，)，又M、N、Q¢三點(diǎn)共線，kMNkNQ¢，即，*06.*yOA(，s)圖19B(，t)C(*0，y0)*假設(shè)C(*0，y0)是拋物線y22p*p0上的任一點(diǎn)，過(guò)C引兩條互相垂直的直線交拋物線于A、B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p*0，y0).【證明】設(shè)A(，s)、B(，t)s，t，y0互不相等則，由ACBC得kAC·

21、kBC· ·14p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0又直線AB的方程為，整理得，y把代入得 yy0(*2p*0)y0令*2p*00，即*2p*0，得yy0.故直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p*0，y0).特別地，當(dāng)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2p，0).【拓展】C(*0，y0)是拋物線y22p*p0上的一定點(diǎn)，直線AB與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)都異于C，假設(shè)直線CA、CB的斜率kCA、kCB的乘積為定值m，則，直線AB過(guò)定點(diǎn)(*0，y0).*yOA(*A，yA)圖20B(*B，yB)MP【例8】2000京皖春季高考如圖20，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y24p*p0上原點(diǎn)以外的兩

22、個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OAOB，OMAB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線【解法一】點(diǎn)A，B在拋物線y24p*上，設(shè)A(，yA)，B(，yB)，OA、OB的斜率分別為kOA、kOBkOA，kOA，kAB.由OAOB，得kOA·kOB1直線AB方程為，yyA(*)，即(yAyB)(yyA)4p(*) 由OMAB，得直線OM方程y設(shè)點(diǎn)M(*，y)，則*，y滿足、兩式，將式兩邊同時(shí)乘以，并利用式整理得，yA2yyA(*2y2)0圖21*yOA(*A，yA)B(*B，yB)MP由、兩式得yByA(*2y2)0，由式知，yAyB16p2，所以*2y24p*0因?yàn)锳、B是原點(diǎn)以外的兩點(diǎn)，所以*0所以點(diǎn)M

23、的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【解法二】由性質(zhì)(2)易知AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4p，0)，由于OMAB，則，M的軌跡以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)其軌跡方程為*2y24p*0*0.*拋物線y22p*p0的弦AB的中點(diǎn)D恰好在定直線l：*mm0上，則線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)M(mp，0).圖22【證明】如圖22，設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，D(m，y0)，則得2p(*1*2)直線AB的斜率kAB直線DM的斜率kDMDM的直線方程為yy0(*m)令y0，得*mp直線AB的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)(mp，0).【例9】2021理科高考假設(shè)A、B是拋

24、物線y24*上的不同兩點(diǎn)，弦AB不平行于y軸的垂直平分線與*軸相交于點(diǎn)P，則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦.當(dāng)*2時(shí)，點(diǎn)P(*，0)存在無(wú)窮多條“相關(guān)弦給定*02證明：點(diǎn)P(*0，0)的所有“相關(guān)弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)一樣；略【說(shuō)明】應(yīng)用性質(zhì)，由得p2，由定點(diǎn)P(*0，0)得mp*0，故m*02“相關(guān)弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為*02.*設(shè)直線l與拋物線y22p*p0相交于點(diǎn)A(*1，y1)、B(*2，y2)，則假設(shè)直線l過(guò)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的定點(diǎn)M(a，0)，則y1y22ap，*1*2a2；反之假設(shè)y1y2k定值，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)N (，0).假設(shè)直線l與y軸相交于點(diǎn)(0，y3)，則.【證明】設(shè)過(guò)點(diǎn)M(a，0)的直

25、線方程為*mya，代入拋物線方程y22p*得*yOA(*1，y1)圖23B(*2，y2)y22pmy2pa0，因此y1y22ap，*1*2·a2.設(shè)直線l方程為*myb，代入拋物線方程y22p*得y22pmy2pb0，即方程的根y1、y2是P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1y22pb，又y1y2k.2pbk，即b，則直線l方程為*my令y0，得*，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)N(，0).由l的方程*mya中，令*0得y3，y1y22pm.N(*2，y2)M(*1，y1)*yOa圖24b【例10】2005年春季高考理科如圖24，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在*軸和y軸上的截距分別為a和ba0，b0，且交拋物線y22p

26、*p0于M(*1，y1)、N(*2，y2)兩點(diǎn).寫(xiě)出直線l的截距式方程；證明：.【解】直線l的截距式方程為1.由上面性質(zhì)證明可得.*過(guò)拋物線y22p*p0的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，設(shè)l，m，則lm0.B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖25M【證法一】設(shè)過(guò)點(diǎn)F(，0)的直線方程為*my，代入拋物線方程y22p*得y22pmyp20，因此y1y2p2，y1y22pm令*，得yM由l得(*1，y1)l (*1，y1)y1l y1，l1，同理，m1lm222220.B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖26MA1B1【證法二】由l，m，得l·m0則

27、過(guò)點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：由得，即lm0.Oy*11lF圖27【例11】2007年理科高考如圖27，點(diǎn)F(1，0)，直線l：*1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且··求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，l1，l2，求l1l2的值；【略解】動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：y24*；l1l20.*定長(zhǎng)為l的弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y22p*上，M是AB的中點(diǎn)，M到y(tǒng)軸的距離為d，則，M的軌跡方程為：4(y2p2)(2p*y2)p2l2，且B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖28M(*0，y0

28、)當(dāng)0l2p時(shí)，d的最小值為，此時(shí)，ABy軸；當(dāng)l2p時(shí)，d的最小值為，此時(shí)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F.【解】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(*0，y0)，AB的直線方程為*myb，代入拋物線方程y22p*得y22pmy2pb0.y1y22pm，y1y22pb.又AB的中點(diǎn)為M(*0，y0)，且點(diǎn)M在直線AB上，y0pm，*0my0b，m，b*0my0*0.| AB |2l2(*1*2)2(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48pb(1)48p(*0)整理得，4(p2)(2p*0)p2l2. 故中

29、點(diǎn)M的軌跡方程為：4(y2p2)(2p*y2)p2l2.由上可知d*，令ty2p2p2，即y2tp2，則d*tp2.令，得t.當(dāng)0l2p時(shí)，p2，d在tp2，)上是增函數(shù)，當(dāng)tp2，即y0時(shí)，dmin，此時(shí)，m0，即ABy軸.當(dāng)l2p時(shí)，p2，d2. 當(dāng)且僅當(dāng)，即tp2時(shí)取等號(hào)，故d的最小值為.BA*yOF圖29MA¢M¢B¢【證法二】當(dāng)l2p時(shí)，過(guò)A、B、M作準(zhǔn)線*的垂線，垂足為A¢、B¢、M¢，則| MM¢|d(| AA¢| BB¢|)(| AF | BF |)| AB |l.上式當(dāng)且僅當(dāng)| AF |

30、 BF | AB |，即弦AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)M時(shí)取等號(hào)，則d的最小值為l.【說(shuō)明】經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的最短弦是通經(jīng)2p，因此當(dāng)弦AB的長(zhǎng)l2p時(shí)，不能用證法二證明d的最小值為.BA*yO圖30CF【例12】長(zhǎng)度為a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線*22pya2p0上運(yùn)動(dòng)，以AB的中點(diǎn)C為圓心作圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求圓C的最小半徑.【解】依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定長(zhǎng)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上，弦的中點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離的最值問(wèn)題，由上面的性質(zhì)可知當(dāng)弦AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為最小值. 如圖30.圓C的最小半徑為r.*過(guò)拋物線y22p*p0的對(duì)稱(chēng)軸上的定點(diǎn)M(m，0)m0，作直線AB與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)

31、N是定直線l：*m上的任一點(diǎn)，則直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.ABNM(m，0)(m，n)*mO*y圖31【證明】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，N(m，n)，由性質(zhì)有y1y22pm，則直線AN、BN的斜率為kAN，kBNkANkBN又直線MN的斜率為kMN.kANkBN2kMN直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.*拋物線的一組平行弦的中點(diǎn)共線，且所在直線平行于對(duì)稱(chēng)軸或與對(duì)稱(chēng)軸重合. AiBiMi*yO圖33【證明】設(shè)斜率為kk為常數(shù)的一組平行線與拋物線y22p*p0交于點(diǎn)Ai、Bii1，2，弦AiBi的中點(diǎn)為Mi，即M1，M2，Mn，且AiBi的直線方程為yk*bibi為直線

32、AiBi在y軸上的截距，Ai(*1，y1)，Bi(*2，y2)，Mi(*i，yi).聯(lián)立方程組，消去*得y2ybi0y1y2，又Mi是AiBi的中點(diǎn)yi，則M1，M2，Mn在平行于*軸的直線y上.當(dāng)直線AiBi與*軸垂直即直線AiBi的斜率不存在時(shí)，易知M1，M2，Mn在*軸上.*Ay112MNBO圖34【例13】2021年卷理20文21拋物線C：y2*2，直線yk*2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)M作*軸的垂線交C于點(diǎn)N證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；【證明】如圖34，設(shè)A(*1，2)，B(*1，2)，把yk*2代入y2*2得2*2k*20，由韋達(dá)定理得*1*2，*1*21

33、，*N*M，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為ym(*)，將y2*2代入上式得2*2m*0，直線l與拋物線C相切，Dm28()0，解得mk，即lAB.【說(shuō)明】其實(shí)，也就是與AB平行的弦，它們的中點(diǎn)在過(guò)AB中點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸*軸平行的直線上，它與C的交點(diǎn)N，此時(shí)的切點(diǎn)就是這些弦的縮點(diǎn)，故過(guò)N點(diǎn)的拋物線C的切線與AB平行.*過(guò)定點(diǎn)P(*0，y0)作任一直線l與拋物線y22p*p0相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1、l2，設(shè)l1，l2相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q在定直線p*y0yp*00上.PABQO*y圖35【證明】設(shè)A(*1，y1)、B(*2，y2)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P與*軸平行的直線

34、與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線AB與*軸不平行，故可設(shè)AB的方程為*0m(yy0).聯(lián)立方程組，消去*得y2mymy0*00y1y22p(my0*0)又過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線的切線方程為y1yp(*1)和y2yp(*2)，聯(lián)立方程組解得*Qmy0*0 yQp·pm由得m 代入得*Q y0*0，點(diǎn)Q在直線p*y0yp*00上.AnA2A1BnB1B2FO*y圖36【例14】2007年文科高考題如圖36，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，An(*n，yn)是拋物線*24y上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線FAn交拋物線于另一點(diǎn)Bn(sn，tn).試證：*nsn4n1；取*n2n，并記為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩

35、條切線的交點(diǎn).試證：| FC1 | FC2 | F|2n2n11.【說(shuō)明】此題第小題就是拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)y1y2=p2.第小題兩條切線的交點(diǎn)就是上面拋物線的性質(zhì)，即點(diǎn)必在直線y1上.y*BAOM2p圖37【例15】2021年理科高考如圖，設(shè)拋物線方程為*22pyp0，M為直線y2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；略.【證明】由題意設(shè)A(*1，)，B(*2，)，*1*2，M(*0，2p)由*22py得y，y¢所以，kMA，kMB，因此直線MA的方程為y2p(*0)，直線MB的方程為y2p(*0)，所以，2p(*1*0)，2p(*2*0)，得，*1*2*0，即2*0*1*2所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.*過(guò)拋物線y22p*p0的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交*軸于點(diǎn)M，則2.【證明】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F(，0)的直線AB的方程為*mym0，且A(*1，y1)、B(*2