拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用

1、-拋物線性質(zhì)歸納、證明和應(yīng)用拋物線是平面到定點的距離等于到定直線定點在定直線外的距離的點的軌跡，它是橢圓過渡到雙曲線的瞬間曲線，它只有一支雙曲線有兩支，只有一條對稱軸，沒有漸近線和對稱中心，屬于無心曲線拋物線的焦半徑、焦點弦性質(zhì)豐富多彩，此外還有定點、定值、定弦、最值等問題也值得探討，拋物線的許多性質(zhì)也是歷年高考的重點和熱點，這里就它的一些性質(zhì)加以歸納，說明和證明，及其在歷年高考和模擬考試出現(xiàn)的典例一、焦半徑、焦點弦性質(zhì)如圖，AB是過拋物線 y22p*p0焦點F的弦，AD、BC是準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，M是CD的中點，N是AB的中點設(shè)點A(*1，y1)、點B(*2，y2)，直線AB交y軸

2、于點K(0，y3)，則：K(0，y3)CMDB(*2，y2)ROF( ，0)A(*1，y1)*yHG*qNQy1y2p2；*1*2；| AB |*1*2p q為AB的傾斜角；SOAB，S梯形ABCD.；AMBDFCRt；AM、BM是拋物線的切線；AM、BM分別是DAB和CBA的平分線；AM、DF、y軸三線共點，BM、CF、y軸三線共點；A、O、C三點共線，B、O、D三點共線；假設(shè)| AF |：| BF |m：n，點A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q ； 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.MN交拋物線于點Q，則，Q是MN的中點.*

3、y1y2p2；*1*2；| AB |*1*2p q為AB的傾斜角；SOAB，S梯形ABCD.【證明】設(shè)過焦點F(，0)的AB的直線方程為*my，代入拋物線方程y22p*得y22pmyp20，因此CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF( ，0)q圖1y1y2p2，y1y22pm.另由得在RtCFD中，F(xiàn)RCD，有| RF |2| DR |·| RC |，而| DR | y1 |，| RC | y2 |，| RF |p，且y1 y20y1y2p2.又點A、B在拋物線上，有*1，*2，因此*1*2·.，在直線AB方程*my中令*0，得y3，代入上式得【證法一】根據(jù)拋物線的

4、定義，| AF | AD |*1，| BF | BC |*2， | AB | AF | BF |*1*2p又| AB | y2y1 | 2p(1m2)當(dāng)m0時，m，有1m21k為直線AB的斜率CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOqA1B1F圖2當(dāng)m0時，q90°，1m21也滿足1m2| AB |2p(1m2) .【證法二】如圖2，過A、B引*軸的垂線AA1、BB1，垂足為A1、B1，則| RF |AD|FA1| AF | AF |cosq，| AF |同理，| BF | AB | AF | BF | .【證法三】極坐標(biāo)法，設(shè)拋物線的極坐標(biāo)方程為r，則| AF |r1 ，| B

5、F |r2.| AB | AF | BF | .SOABSOAFSOBF| OF | y1 | OF | y1 |··(| y1 | y1 |)y1y2p2，則y1、y2異號，因此，| y1 | y1 | y1y2 |SOAB| y1y2 | .又| CD | AB |sinq ，| AD | BC | AB |.S梯形ABCD(| AD | BC |)·| CD |××.【例1】2001年新課程高考文設(shè)坐標(biāo)原點為O，拋物線y22*與過焦點的直線交于A、B兩點，則· A. B. C. 3D. 3【解】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2

6、)，則·*1*2y1y2p2，應(yīng)選B.【例2】2021年理過拋物線y22p*p0的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，假設(shè)線段AB的長為8，則p.【解】由性質(zhì)得| AB |8，p4.*【證法一】由*1*2，且| AF |*1，| BF |*2.【證法二】由| AF |r1 ，| BF |r2 .【例3】2000全國過拋物線ya*2a0的焦點F用一直線交拋物線于P、Q兩點，假設(shè)線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于 A.2a B. C.4a D.【解】由ya*2得*2y，拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為，由此得4a，應(yīng)選C.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF

7、ENM圖3*AMBDFCRt，先證明：AMBRt【證法一】延長AM交BC的延長線于E，如圖3，則ADMECM，| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | BC | AD | | BF | AF | AB |ABE為等腰三角形，又M是AE的中點，BMAE，即AMBRt【證法二】取AB的中點N，連結(jié)MN，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |，| MN | AN | BN |ABM為直角三角形，AB為斜邊，故AMBRt.【證法三】由得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).kAM，同理kBMkAM·kBM

8、83;1BMAE，即AMBRt.【證法四】由得C(，y2)、D(，y1)，由此得M(，).CDBRA*yOF圖41234M(*1，)，(*3，)·(*1)(*2)*1*2(*1*2)()0，故AMBRt.【證法五】由下面證得DFC90°，連結(jié)FM，則FMDM.又ADAF，故ADMAFM，如圖412，同理34圖5CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF( ，0)aaabbb23×180°90°AMBRt.接著證明：DFCRt【證法一】如圖5，由于| AD| AF|，ADRF，故可設(shè)AFDADFDFRa，同理，設(shè)BFCBCFCFRb，而AFD

9、DFRBFCCFR180°2(ab)180°，即ab90°，故DFC90°CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖6GHD1【證法二】取CD的中點M，即M(，)由前知kAM，kCFkAMkCF，AMCF，同理，BMDFDFCAMB90°.【證法三】(p，y1)，(p，y2)，·p2y1y20，故DFC90°.【證法四】由于| RF |2p2y1y2| DR |·| RC |，即，且DRFFRC90°DRFFRCDFRRCF，而RCFRFC90°DFRRFC90°N1NM*yO

10、F圖7M1lDFC90°【例4】2021年文如圖7，過拋物線y22p*P0的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1，求證：FM1FN1CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖8D1*AM、BM是拋物線的切線【證法一】kAM，AM的直線方程為yy1(*)與拋物線方程y22p*聯(lián)立消去*得yy1()，整理得y22y1y0可見(2y1)240，故直線AM與拋物線y22p*相切，同理BM也是拋物線的切線，如圖8.【證法二】由拋物線方程y22p*，兩邊對*求導(dǎo)，得2y·2p，故拋物線y22p*在點A(*1，y1)處的切線的斜率為k

11、切|yy1.又kAM，k切kAM，即AM是拋物線在點A處的切線，同理BM也是拋物線的切線.【證法三】過點A(*1，y1)的切線方程為y1yp(*1)，把M(，)代入左邊y1·p*1，右邊p(*1)p*1，左邊右邊，可見，過點A的切線經(jīng)過點M，即AM是拋物線的切線，同理BM也是拋物線的切線.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFENM圖9*AM、BM分別是DAB和CBA的平分線【證法一】延長AM交BC的延長線于E，如圖9，則ADMECM，有ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.【證法二】由圖9可知只須證明直線AB的傾斜角a是直線AM的傾斜

12、角b的2倍即可，即a2b. 且M(，)tanakAB.tanbkAM.tan 2btanaa2b，即AM平分DAB，同理BM平分CBA.*AM、DF、y軸三線共點，BM、CF、y軸三線共點【證法一】如圖10，設(shè)AM與DF相交于點G1，由以上證明知| AD| AF|，AM平分DAF，故AG1也是DF邊上的中線，G1是DF的中點.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOFM圖10GHD1設(shè)AD與y軸交于點D1，DF與y軸相交于點G2，易知，| DD1| OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2| DG2 | FG2|，則G2也是DF的中點.G1與G2重合設(shè)為點G，則AM、DF、y軸三線共點，同

13、理BM、CF、y軸也三線共點.【證法二】AM的直線方程為yy1(*)，令*0得AM與y軸交于點G1(0，)，又DF的直線方程為y(*)，令*0得DF與y軸交于點G2(0，)AM、DF與y軸的相交同一點G(0，)，則AM、DF、y軸三線共點，同理BM、CF、y軸也三線共點H由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形.CDB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF圖11*A、O、C三點共線，B、O、D三點共線【證法一】如圖11，kOA，kOCkOAkOC，則A、O、C三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法二】設(shè)AC與*軸交于點O¢，ADRFBC，又| AD | AF |，| BC | B

14、F |，| RO¢ | O¢F|，則O¢與O重合，即C、O、A三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法三】設(shè)AC與*軸交于點O¢，RFBC，| O¢F|【見證】O¢與O重合，則即C、O、A三點共線，同理D、O、B三點也共線.【證法四】(，y2)，(*1，y1)，·y1*1 y2·y1y20，且都以O(shè)為端點A、O、C三點共線，同理B、O、D三點共線.【推廣】過定點P(m，0)的直線與拋物線y22p*p0相交于點A、B，過A、B兩點分別作直線l：*m的垂線，垂足分別為M、N，則A、O、N三點共線，B、O、M三點也共線

15、，如下列圖：【例5】2001年高考設(shè)拋物線y22p*p0的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC*軸. 證明直線AC經(jīng)過原點O.CB(*2，y2)RA(*1，y1)*yOF圖12【證法一】因為拋物線y22p*p0的焦點為F(，0)，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為*my；代入拋物線方程得y22pmyp20設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根，y1y2p2因為BC*軸，且點C在準(zhǔn)線*上，故C(，y2)，CDB(*2，y2)EA(*1，y1)*yOF圖13N直線CO的斜率為 kOCkOA.直線AC經(jīng)過原點O.【證法二】如圖13，過

16、A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點N，則，由拋物線的定義可知：|AF|AD|，|BF|BC|EN| NF |.即N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O.* 假設(shè)| AF |：| BF |m：n，點A在第一象限，q為直線AB的傾斜角. 則cos q；【證明】如圖14，過A、B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為D，C，過B作BEAD于E，設(shè)| AF |mt，| AF |nt，則CDBRA*yOqEF圖14l| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn)t在RtABE中，cosBAEcos qcosBAE.【例6】

17、設(shè)經(jīng)過拋物線y22p*的焦點F的直線與拋物線相交于兩點A、B，且| AF |：| BF |3：1，則直線AB的傾斜角的大小為.【答案】60°或120°.* 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.【說明】如圖15，設(shè)E是AF的中點，CDBRA*yOF圖15lMNE則E的坐標(biāo)為(，)，則點E到y(tǒng)軸的距離為d| AF |故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑的圓與y軸相切.【說明】如圖15，設(shè)M是AB的中點，作MN準(zhǔn)線l于N，則| MN |(| AD | BC |)(| AF | BF |)| AB |圖16則圓心M到l的距離

18、| MN | AB |，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.*MN交拋物線于點Q，則Q是MN的中點.【證明】設(shè)A(，y1)，B(，y1)，則C(，y2)，D(，y1)，M(，)，N(，)，設(shè)MN的中點為Q¢，則Q¢ (，)點Q¢ 在拋物線y22p*上，即Q是MN的中點.二、定點、定值、定直線問題共9個結(jié)論*平行于拋物線對稱軸的光線，被拋物面反射后會聚焦于拋物線的焦點，如圖17.圖17FAB*OTl【證明】如圖17，設(shè)拋物線方程為y22p*p0，直線AB*軸，點A的坐標(biāo)為(*0，y0)，則過A點的切線方程為y0yp(*0)，直線l的斜率為k0，設(shè)直線AB到l的角為a，則t

19、ana，設(shè)直線AF的斜率為k1，則k1 ，設(shè)直線l到AF的角為b，則tanb.tanatanb，又a、b0，p)，則ab，也就是說平行于拋物線對稱軸的光線，被拋物面反射后會聚焦于拋物線的焦點.圖18FPM*OQNyM¢【例7】2004年省質(zhì)檢如圖18，從點M(*0，2)發(fā)出的光線沿平行于拋物線y24*的軸的方向射向拋物線的點P，反射后經(jīng)焦點F又射向直線l：*2y70上的點N，再反射后又設(shè)回點M，則*0.【解】PM* 軸，點P在拋物線上，得P的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)過F(1，0)點后反射在Q點，則Q的坐標(biāo)為(1，2)，經(jīng)Q反射后點N的坐標(biāo)為(3，2)，設(shè)M關(guān)于l對稱的點為M¢，

20、依題意，Q、N、M ¢共線.故可設(shè)M ¢(*1，2)，由此得 ，解得*06.【另解】假設(shè)設(shè)Q關(guān)于直線l的對稱點為Q¢，設(shè)Q¢ (a，b)，由于Q、Q¢關(guān)于直線l對稱，由此得，解得則Q¢的坐標(biāo)為(，)，又M、N、Q¢三點共線，kMNkNQ¢，即，*06.*yOA(，s)圖19B(，t)C(*0，y0)*假設(shè)C(*0，y0)是拋物線y22p*p0上的任一點，過C引兩條互相垂直的直線交拋物線于A、B，則直線AB過定點(2p*0，y0).【證明】設(shè)A(，s)、B(，t)s，t，y0互不相等則，由ACBC得kAC·

21、kBC· ·14p2(y0s)(y0t)st4p2(st)y0又直線AB的方程為，整理得，y把代入得 yy0(*2p*0)y0令*2p*00，即*2p*0，得yy0.故直線AB過定點(2p*0，y0).特別地，當(dāng)C是拋物線的頂點時，定點P的坐標(biāo)為(2p，0).【拓展】C(*0，y0)是拋物線y22p*p0上的一定點，直線AB與拋物線相交于A、B兩點都異于C，假設(shè)直線CA、CB的斜率kCA、kCB的乘積為定值m，則，直線AB過定點(*0，y0).*yOA(*A，yA)圖20B(*B，yB)MP【例8】2000京皖春季高考如圖20，設(shè)點A和B為拋物線y24p*p0上原點以外的兩

22、個動點，OAOB，OMAB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【解法一】點A，B在拋物線y24p*上，設(shè)A(，yA)，B(，yB)，OA、OB的斜率分別為kOA、kOBkOA，kOA，kAB.由OAOB，得kOA·kOB1直線AB方程為，yyA(*)，即(yAyB)(yyA)4p(*) 由OMAB，得直線OM方程y設(shè)點M(*，y)，則*，y滿足、兩式，將式兩邊同時乘以，并利用式整理得，yA2yyA(*2y2)0圖21*yOA(*A，yA)B(*B，yB)MP由、兩式得yByA(*2y2)0，由式知，yAyB16p2，所以*2y24p*0因為A、B是原點以外的兩點，所以*0所以點M

23、的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點【解法二】由性質(zhì)(2)易知AB經(jīng)過定點P(4p，0)，由于OMAB，則，M的軌跡以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點其軌跡方程為*2y24p*0*0.*拋物線y22p*p0的弦AB的中點D恰好在定直線l：*mm0上，則線段AB的垂直平分線過定點M(mp，0).圖22【證明】如圖22，設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，D(m，y0)，則得2p(*1*2)直線AB的斜率kAB直線DM的斜率kDMDM的直線方程為yy0(*m)令y0，得*mp直線AB的垂直平分線恒過定點(mp，0).【例9】2021理科高考假設(shè)A、B是拋

24、物線y24*上的不同兩點，弦AB不平行于y軸的垂直平分線與*軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關(guān)弦.當(dāng)*2時，點P(*，0)存在無窮多條“相關(guān)弦給定*02證明：點P(*0，0)的所有“相關(guān)弦的中點的橫坐標(biāo)一樣；略【說明】應(yīng)用性質(zhì)，由得p2，由定點P(*0，0)得mp*0，故m*02“相關(guān)弦的中點的橫坐標(biāo)為*02.*設(shè)直線l與拋物線y22p*p0相交于點A(*1，y1)、B(*2，y2)，則假設(shè)直線l過拋物線對稱軸的定點M(a，0)，則y1y22ap，*1*2a2；反之假設(shè)y1y2k定值，則直線l恒過定點N (，0).假設(shè)直線l與y軸相交于點(0，y3)，則.【證明】設(shè)過點M(a，0)的直

25、線方程為*mya，代入拋物線方程y22p*得*yOA(*1，y1)圖23B(*2，y2)y22pmy2pa0，因此y1y22ap，*1*2·a2.設(shè)直線l方程為*myb，代入拋物線方程y22p*得y22pmy2pb0，即方程的根y1、y2是P、Q兩點的縱坐標(biāo)y1y22pb，又y1y2k.2pbk，即b，則直線l方程為*my令y0，得*，則直線l恒過定點N(，0).由l的方程*mya中，令*0得y3，y1y22pm.N(*2，y2)M(*1，y1)*yOa圖24b【例10】2005年春季高考理科如圖24，O為坐標(biāo)原點，直線l在*軸和y軸上的截距分別為a和ba0，b0，且交拋物線y22p

26、*p0于M(*1，y1)、N(*2，y2)兩點.寫出直線l的截距式方程；證明：.【解】直線l的截距式方程為1.由上面性質(zhì)證明可得.*過拋物線y22p*p0的焦點F作直線l與拋物線交于A、B兩點，且與準(zhǔn)線交于點M，設(shè)l，m，則lm0.B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖25M【證法一】設(shè)過點F(，0)的直線方程為*my，代入拋物線方程y22p*得y22pmyp20，因此y1y2p2，y1y22pm令*，得yM由l得(*1，y1)l (*1，y1)y1l y1，l1，同理，m1lm222220.B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖26MA1B1【證法二】由l，m，得l·m0則

27、過點A，B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：由得，即lm0.Oy*11lF圖27【例11】2007年理科高考如圖27，點F(1，0)，直線l：*1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且··求動點P的軌跡C的方程；過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，l1，l2，求l1l2的值；【略解】動點P的軌跡C的方程為：y24*；l1l20.*定長為l的弦AB的兩個端點在拋物線y22p*上，M是AB的中點，M到y(tǒng)軸的距離為d，則，M的軌跡方程為：4(y2p2)(2p*y2)p2l2，且B(*2，y2)A(*1，y1)*yOF圖28M(*0，y0

28、)當(dāng)0l2p時，d的最小值為，此時，ABy軸；當(dāng)l2p時，d的最小值為，此時，弦AB過焦點F.【解】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，弦AB的中點M的坐標(biāo)為(*0，y0)，AB的直線方程為*myb，代入拋物線方程y22p*得y22pmy2pb0.y1y22pm，y1y22pb.又AB的中點為M(*0，y0)，且點M在直線AB上，y0pm，*0my0b，m，b*0my0*0.| AB |2l2(*1*2)2(y1y2)2(my1bmy2b)2(y1y2)2(1m2)(y1y2)2(1m2)(y1y2)24y1y2(1)48pb(1)48p(*0)整理得，4(p2)(2p*0)p2l2. 故中

29、點M的軌跡方程為：4(y2p2)(2p*y2)p2l2.由上可知d*，令ty2p2p2，即y2tp2，則d*tp2.令，得t.當(dāng)0l2p時，p2，d在tp2，)上是增函數(shù)，當(dāng)tp2，即y0時，dmin，此時，m0，即ABy軸.當(dāng)l2p時，p2，d2. 當(dāng)且僅當(dāng)，即tp2時取等號，故d的最小值為.BA*yOF圖29MA¢M¢B¢【證法二】當(dāng)l2p時，過A、B、M作準(zhǔn)線*的垂線，垂足為A¢、B¢、M¢，則| MM¢|d(| AA¢| BB¢|)(| AF | BF |)| AB |l.上式當(dāng)且僅當(dāng)| AF |

30、 BF | AB |，即弦AB過拋物線的焦點M時取等號，則d的最小值為l.【說明】經(jīng)過焦點F的最短弦是通經(jīng)2p，因此當(dāng)弦AB的長l2p時，不能用證法二證明d的最小值為.BA*yO圖30CF【例12】長度為a的線段AB的兩個端點在拋物線*22pya2p0上運動，以AB的中點C為圓心作圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求圓C的最小半徑.【解】依題意，問題轉(zhuǎn)化為定長的弦的兩個端點在拋物線上，弦的中點C到y(tǒng)軸的距離的最值問題，由上面的性質(zhì)可知當(dāng)弦AB經(jīng)過焦點F時，點C到準(zhǔn)線的距離為最小值. 如圖30.圓C的最小半徑為r.*過拋物線y22p*p0的對稱軸上的定點M(m，0)m0，作直線AB與拋物線相交于A，B兩點點

31、N是定直線l：*m上的任一點，則直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.ABNM(m，0)(m，n)*mO*y圖31【證明】設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，N(m，n)，由性質(zhì)有y1y22pm，則直線AN、BN的斜率為kAN，kBNkANkBN又直線MN的斜率為kMN.kANkBN2kMN直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列.*拋物線的一組平行弦的中點共線，且所在直線平行于對稱軸或與對稱軸重合. AiBiMi*yO圖33【證明】設(shè)斜率為kk為常數(shù)的一組平行線與拋物線y22p*p0交于點Ai、Bii1，2，弦AiBi的中點為Mi，即M1，M2，Mn，且AiBi的直線方程為yk*bibi為直線

32、AiBi在y軸上的截距，Ai(*1，y1)，Bi(*2，y2)，Mi(*i，yi).聯(lián)立方程組，消去*得y2ybi0y1y2，又Mi是AiBi的中點yi，則M1，M2，Mn在平行于*軸的直線y上.當(dāng)直線AiBi與*軸垂直即直線AiBi的斜率不存在時，易知M1，M2，Mn在*軸上.*Ay112MNBO圖34【例13】2021年卷理20文21拋物線C：y2*2，直線yk*2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作*軸的垂線交C于點N證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；【證明】如圖34，設(shè)A(*1，2)，B(*1，2)，把yk*2代入y2*2得2*2k*20，由韋達(dá)定理得*1*2，*1*21

33、，*N*M，即N點的坐標(biāo)為(，)設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為ym(*)，將y2*2代入上式得2*2m*0，直線l與拋物線C相切，Dm28()0，解得mk，即lAB.【說明】其實，也就是與AB平行的弦，它們的中點在過AB中點且與對稱軸*軸平行的直線上，它與C的交點N，此時的切點就是這些弦的縮點，故過N點的拋物線C的切線與AB平行.*過定點P(*0，y0)作任一直線l與拋物線y22p*p0相交于A、B兩點，過A、B兩點作拋物線的切線l1、l2，設(shè)l1，l2相交于點Q，則點Q在定直線p*y0yp*00上.PABQO*y圖35【證明】設(shè)A(*1，y1)、B(*2，y2)，因為過點P與*軸平行的直線

34、與拋物線只有一個交點，所以直線AB與*軸不平行，故可設(shè)AB的方程為*0m(yy0).聯(lián)立方程組，消去*得y2mymy0*00y1y22p(my0*0)又過A、B兩點的拋物線的切線方程為y1yp(*1)和y2yp(*2)，聯(lián)立方程組解得*Qmy0*0 yQp·pm由得m 代入得*Q y0*0，點Q在直線p*y0yp*00上.AnA2A1BnB1B2FO*y圖36【例14】2007年文科高考題如圖36，對每個正整數(shù)n，An(*n，yn)是拋物線*24y上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點Bn(sn，tn).試證：*nsn4n1；取*n2n，并記為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩

35、條切線的交點.試證：| FC1 | FC2 | F|2n2n11.【說明】此題第小題就是拋物線的焦點弦的性質(zhì)y1y2=p2.第小題兩條切線的交點就是上面拋物線的性質(zhì)，即點必在直線y1上.y*BAOM2p圖37【例15】2021年理科高考如圖，設(shè)拋物線方程為*22pyp0，M為直線y2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.求證：A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；略.【證明】由題意設(shè)A(*1，)，B(*2，)，*1*2，M(*0，2p)由*22py得y，y¢所以，kMA，kMB，因此直線MA的方程為y2p(*0)，直線MB的方程為y2p(*0)，所以，2p(*1*0)，2p(*2*0)，得，*1*2*0，即2*0*1*2所以A，M，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.*過拋物線y22p*p0的焦點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交*軸于點M，則2.【證明】設(shè)過焦點F(，0)的直線AB的方程為*mym0，且A(*1，y1)、B(*2