學(xué)案導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、1.1.了解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景了解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景, ,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義, ,熟記導(dǎo)熟記導(dǎo) 數(shù)基本公式數(shù)基本公式, ,掌握導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算掌握導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算. .2.2.能利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性能利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性, ,求單調(diào)區(qū)間求單調(diào)區(qū)間, ,求函數(shù)的求函數(shù)的 極值和最值極值和最值. .3.3.能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題. .4.4.了解定積分基本定理的含義了解定積分基本定理的含義, ,會(huì)求簡(jiǎn)單的定積分會(huì)求簡(jiǎn)單的定積分. . 學(xué)案學(xué)案9 9 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=()=(x x-3)e-3)ex x的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)

2、遞增區(qū)間是 ( )( ) A.(-,2) B.(0,3) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) C.(1,4) D.(2,+)解析解析 f f(x x)=()=(x x-3)e-3)ex x+(+(x x-3)(e-3)(ex x) =( =(x x-2)e-2)ex x, ,令令f f(x x) )0,0,解得解得x x2. 2. D D2.2.設(shè)設(shè)a ab b, ,函數(shù)函數(shù)y y=(=(x x- -a a) )2 2( (x x- -b b) )的圖象可能是的圖象可能是 （ ）解析解析 y y=(=(x x- -a a)(3)(3x x-2-2b b- -a a)

3、,),由由y y=0,=0, 得得x x= =a a或或 當(dāng)當(dāng)x x= =a a時(shí)，時(shí)，y y取極大值取極大值0 0， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,y y取極小值且極小值為負(fù)取極小值且極小值為負(fù). . 或當(dāng)或當(dāng)x xb b時(shí)時(shí), ,y y0,0,當(dāng)當(dāng)x xb b時(shí)時(shí)，y y0. 0. ,32abx32abxC C3.(20093.(2009江西江西) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=g g( (x x)+)+x x2 2, ,曲線曲線y y= =g g( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn) (1,(1,g g(1)(1)處的切線方程為處的切線方程為y y=2=2x x+1,+1,則曲線則曲線y y= =f f

4、( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn) (1,(1,f f(1)(1)處切線的斜率為處切線的斜率為 ( )( ) A.4 B. C.2 D. A.4 B. C.2 D.解析解析 由已知由已知g g(1)=2,(1)=2,而而f f(x x)=)=g g(x x)+2)+2x x, , 所以所以f f(1)=(1)=g g(1)+2(1)+21=4. 1=4. 4121A A4.4.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f f(x x),),f f(0)(0) 0,0,對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x x, ,都有都有f f( (x x)0,)0

5、,則則 的最小值的最小值 為為 ( )( ) A.3 B. C.2 D. A.3 B. C.2 D.解析解析 因?yàn)橐驗(yàn)閒 f(x x)=2)=2axax+ +b b, , 依題意依題意, ,有有 可得可得c c0,0,)0( ) 1 (ff2523,04002acbab.2142121)0( ) 1 (2acacbacbcbabcbaffC C題型一題型一 曲線的切線與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題曲線的切線與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題【例【例1 1】(2009(2009全國(guó)全國(guó))已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x4 4-3-3x x2 2+6.+6. (1) (1)討論討論f f( (x x) )

6、的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P在曲線在曲線y y= =f f( (x x) )上上, ,若該曲線在點(diǎn)若該曲線在點(diǎn)P P處的切線處的切線l l 通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求l l的方程的方程. .解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3-6-6x x=4=4x x( (x x+ )(+ )(x x- )- ) 當(dāng)當(dāng)x x(-, )(-, )和和x x(0, )(0, )時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0;0; 當(dāng)當(dāng)x x( ,0)( ,0)和和x x( ,+)( ,+)時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0.0. 因此因此, ,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(

7、-, )(-, )和和(0, )(0, )上是減函數(shù)上是減函數(shù), , f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( ,0)( ,0)和和( ,+)( ,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù). .26262626262626262626(2)(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x x0 0, ,f f( (x x0 0),),由由l l過原點(diǎn)知，過原點(diǎn)知， l l的方程為的方程為y y= =f f(x x0 0) )x x， 因此因此f f( (x x0 0)=)=x x0 0f f(x x0 0) )， 因此切線因此切線l l的方程為的方程為. 22,0)2)(1(.0)64(63002020030020

8、40 xxxxxxxxx或解得整理得即.2222xyxy或【探究拓展探究拓展】一般地】一般地, ,涉及到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求曲涉及到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求曲 線在某點(diǎn)處的切線問題線在某點(diǎn)處的切線問題, ,往往借助于導(dǎo)數(shù)這一重要工往往借助于導(dǎo)數(shù)這一重要工 具求解具求解, ,通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào), ,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間間, ,通過求出函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值通過求出函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值, ,確定曲線在確定曲線在 此點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程此點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 (20091 (2009安徽安徽) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f

9、( (x x)=)=x x- +- +a a(2-(2- ln ln x x),),a a0,0,討論討論f f( (x x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .解解f f( (x x) )的定義域是的定義域是(0,+),(0,+), 設(shè)設(shè)g g( (x x)=)=x x2 2- -axax+2,+2,二次方程二次方程g g( (x x)=0)=0的判別式的判別式=a a2 2-8. -8. 當(dāng)當(dāng)=a a2 2-8-80,0,即即0 0a a 時(shí)，時(shí)， 對(duì)一切對(duì)一切x x0 0都有都有f f(x x) )0,0,此時(shí)此時(shí)f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是上是 增函數(shù)增函數(shù). . 當(dāng)當(dāng)=

10、a a2 2-8=0,-8=0,即即a a= = 時(shí)，時(shí)， 僅對(duì)僅對(duì)x x = = 有有f f(x x)=0)=0， 對(duì)其余的對(duì)其余的x x0 0都有都有f f(x x) )0 0， 此時(shí)此時(shí)f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上也是增函數(shù)上也是增函數(shù). . .221)( 222xaxxxaxxf22222當(dāng)當(dāng)=a a2 2-8-80,0,即即a a時(shí)，時(shí)，方程方程g g( (x x)=0)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根有兩個(gè)不同的實(shí)根此時(shí)此時(shí)f f( (x x）在）在(0, )(0, )上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，在在( )( )上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，在在( ,+)( ,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)

11、遞增. . 22.0 ,28,28212221xxaaxaaxx x(0,(0,x x1 1) ) x x1 1( (x x1 1, ,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2,+),+)f f( (x x) ) + +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )單調(diào)遞單調(diào)遞增增極極大大單調(diào)遞單調(diào)遞減減極小極小單調(diào)遞增單調(diào)遞增282aa28,2822aaaa282aa題型二題型二 函數(shù)的極值與最值問題函數(shù)的極值與最值問題【例【例2 2】(2009(2009山東山東) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)= )= axax3 3+ +bxbx2 2+ +x x+3,+3,其其 中中

12、a a0.0. (1) (1)當(dāng)當(dāng)a a, ,b b滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí), ,f f( (x x) )取得極值？取得極值？ (2)(2)已知已知a a0,0,且且f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,1(0,1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,試用試用a a 表示出表示出b b的取值范圍的取值范圍. .解解 (1)(1)由已知得由已知得f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+1,+1, 令令f f(x x)=0,)=0,得得axax2 2+2+2bxbx+1=0,+1=0, f f( (x x) )要取得極值要取得極值, ,方程方程axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=

13、0必須有解，必須有解， 所以所以=4=4b b2 2-4-4a a0,0,即即b b2 2a a, , 此時(shí)方程此時(shí)方程axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=0的根為的根為31所以所以f f(x x)=)=a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2).).當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí), ,f f( (x x),),f f(x x) )隨隨x x的變化情況如下表：的變化情況如下表：所以所以f f( (x x) )在在x x1 1, ,x x2 2處分別取得極大值和極小值處分別取得極大值和極小值. . ,2442,2442222221aabbaabbxaabbaabbxx

14、x(-,(-,x x1 1) )x x1 1( (x x1 1, ,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2,+),+)f f(x x) )+ +0 0- -0 0+ +f f( (x x) )增函數(shù)增函數(shù)極大值極大值減函數(shù)減函數(shù)極小值極小值增函數(shù)增函數(shù)當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)時(shí)，f f( (x x),),f f(x x) )隨隨x x的變化情況如下表：的變化情況如下表：所以所以f f( (x x) )在在x x1 1, ,x x2 2處分別取得極大值和極小值處分別取得極大值和極小值. .綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)a a, ,b b滿足滿足b b2 2 a a時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )取得極值取

15、得極值. . x x(-,(-,x x2 2) )x x2 2( (x x2 2, ,x x1 1) )x x1 1( (x x1 1,+),+)f f(x x) )- -0 0+ +0 0- -f f( (x x) )減函數(shù)減函數(shù)極小值極小值增函數(shù)增函數(shù)極大值極大值減函數(shù)減函數(shù)(2)(2)要使要使f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,1(0,1上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，需使需使f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+10+10在在(0,1(0,1上恒成立上恒成立. . , 110 ,1),(11, 0)( ,2)1(212)( ,212)()212(, 1 , 0(,2122

16、22maxaaaxaxxgxxaaxaxgxaxxgxaxbxxaxb時(shí)當(dāng)舍去或得令設(shè)所以恒成立即,21) 1 (,)(,1, 1 , 0(212)(, 1 , 0(0)( , 11,10.)1(,)(,1,212)(, 0)( , 1 ,1(;212)(, 0)( ,)1, 0(agxgxxaxxgxgaaabaagxgaxxaxxgxgaxxaxxgxgax最大值為最大時(shí)當(dāng)上單調(diào)遞增在區(qū)間所以恒成立在區(qū)間此時(shí)時(shí)當(dāng)所以最大值為取得最大時(shí)所以當(dāng)單調(diào)減函數(shù)時(shí)當(dāng)單調(diào)增函數(shù)時(shí)當(dāng)【探究拓展探究拓展】求解函數(shù)的極值與最值問題常常利用求】求解函數(shù)的極值與最值問題常常利用求 導(dǎo)的方法來解決導(dǎo)的方法來解決,

17、,解決這類問題的一般方法是解決這類問題的一般方法是:(1):(1)分分 析得出函數(shù)的定義域；析得出函數(shù)的定義域；(2)(2)判斷函數(shù)是否可導(dǎo)，如可判斷函數(shù)是否可導(dǎo)，如可 導(dǎo)，則利用導(dǎo)函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解導(dǎo)，則利用導(dǎo)函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解, ,否則利用否則利用 函數(shù)性質(zhì)求解；函數(shù)性質(zhì)求解；(3)(3)如果一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一如果一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一 個(gè)極值點(diǎn)，那么它也是相應(yīng)的最值點(diǎn)個(gè)極值點(diǎn)，那么它也是相應(yīng)的最值點(diǎn). . .21,10;,1,21abaabaab時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)綜上所以變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于x x的方程的方程2 2x x2 2- -axax-2=0-2=0的兩根

18、分別為的兩根分別為 (1)(1)證明證明: :f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上是增函數(shù)；上是增函數(shù)； (2)(2)當(dāng)當(dāng)a a為何值時(shí)為何值時(shí), ,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值與最上的最大值與最 小值之差最小小值之差最小. . (1) (1)證明證明 由方程由方程2 2x x2 2- -axax-2=0-2=0的兩根分別為的兩根分別為 知知x x 時(shí)時(shí),2,2x x2 2- -axax-2-20,0,所以此時(shí)所以此時(shí)f f(x x) )0,0, 所以所以f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù). . .14)(),(2xaxxf、函數(shù)),(,.) 1

19、()22(2)( 222xaxxxf)(、),(),(2)(2)解解 由由(1)(1)知在知在 上上, ,f f( (x x) )是增函數(shù)是增函數(shù). .則則f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 的最小值為的最小值為 最大值為最大值為所以當(dāng)所以當(dāng)a a=0=0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值與最小值之上的最大值與最小值之差最小，最小值為差最小，最小值為4. 4. ),(, )(f, )(f,161241)442(44)()(,44, 1,212)(44)()(1414)()(2222222222aaaaffaaaaaff可求得題型三題型三 導(dǎo)數(shù)與不等式導(dǎo)數(shù)與不等式【例【

20、例3 3】設(shè)函數(shù)】設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=x x4 4+ +axax3 3+2+2x x2 2+ +b b( (x xR R),),其中其中a a、 b bR.R. (1) (1)當(dāng)當(dāng)a a= = 時(shí)，討論函數(shù)時(shí)，討論函數(shù)f f( (x x) )的單調(diào)性；的單調(diào)性； (2)(2)若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )僅在僅在x x=0=0處有極值處有極值, ,求求a a的取值范的取值范 圍；圍； (3)(3)若對(duì)于任意的若對(duì)于任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f( (x x)1)1在在 -1,1-1,1上恒成立上恒成立, ,求求b b的取值范圍的取值范圍. .310【解題示

21、范解題示范】解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3+3+3axax2 2+4+4x x= =x x(4(4x x2 2+3+3axax+4). +4). f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2-10-10 x x+4)=2+4)=2x x(2(2x x-1)(-1)(x x-2).-2). 令令f f(x x)=0,)=0,解得解得 x x1 1=0, =0, x x2 2= ,= ,x x3 3=2.=2.當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)，變化時(shí)，f f(x x),),f f( (x x) )的變化情況如下表：的變化情況如下表：所以所以f f( (x x) )在在(0, ),(2

22、(0, ),(2，+）內(nèi)是增函數(shù)，）內(nèi)是增函數(shù)，在（在（-,0),( ,2)-,0),( ,2)內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù). . 212121x x(-,(-,0 0)0 02 2(2,(2,+ +)f f(x x) )- -0 0+ +0 0- -0 0+ +f f(x x)極小極小值值極大極大值值極小極小值值，a時(shí)當(dāng)310)21, 0(21)2 ,21(（2 2）f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4),+4),顯然顯然x x=0=0不是方程不是方程 4 4x x2 2+3+3axax+4=0+4=0的根的根. . 為使為使f f( (x x) )僅在僅在x x=0

23、=0處有極值處有極值, ,必須有必須有4 4x x2 2+3+3axax+40+40恒成恒成 立，即有立，即有=9=9a a2 2-640. -640. 解此不等式，得解此不等式，得 這時(shí)，這時(shí)，f f(0)=(0)=b b是唯一極值是唯一極值. . 因此滿足條件的因此滿足條件的a a的取值范圍是的取值范圍是 . . 3838a38,38(3)(3)由條件由條件a a-2,2-2,2可知可知=9=9a a2 2-64-640,0,從而從而4 4x x2 2+3+3axax+4+40 0恒成立恒成立. .當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f f(x x) )0 0；當(dāng)；當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，f f(x x

24、) )0.0.因此函數(shù)因此函數(shù)f f( (x x) )在在-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是f f(1)(1)與與f f(-1)(-1)兩者兩者中的較大者中的較大者. . 為使對(duì)任意的為使對(duì)任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f( (x x)1)1在在-1,1-1,1上上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)所以所以b b-4, -4, 因此滿足條件的因此滿足條件的b b的取值范圍是（的取值范圍是（-，-4-4. . .2 , 2,22,1) 1(1) 1 (上恒成立在即aababff【探究拓展探究拓展】本小題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)】本小題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo) 數(shù)、極大數(shù)

25、、極大( (小小) )值及不等式恒成立問題值及不等式恒成立問題, ,在解答這類問在解答這類問 題時(shí)題時(shí), ,要注意利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性要注意利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性, ,切記切記, ,導(dǎo)導(dǎo) 函數(shù)的偶次重根不是極值點(diǎn)函數(shù)的偶次重根不是極值點(diǎn)，解答不等式恒成立問解答不等式恒成立問 題題, ,往往涉及函數(shù)的單調(diào)性，一定要判斷出函數(shù)在所往往涉及函數(shù)的單調(diào)性，一定要判斷出函數(shù)在所 給區(qū)間上的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解題給區(qū)間上的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解題, ,能大大能大大 簡(jiǎn)化解題過程，使解答變得簡(jiǎn)單明了簡(jiǎn)化解題過程，使解答變得簡(jiǎn)單明了. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 已知函數(shù)已知函數(shù) ( (c

26、 c0 0且且c c1,1, k kR)R)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn). .其中一個(gè)其中一個(gè) 是是x x=-=-c c. . (1) (1)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的另一個(gè)極值點(diǎn)；的另一個(gè)極值點(diǎn)； (2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的極大值的極大值MM和極小值和極小值m m，并求，并求MM- -m m11 時(shí)時(shí)k k的取值范圍的取值范圍. .cxkxxf21)(解解 (1)(1) 由題意知由題意知f f(-(-c c)=0,)=0,即得即得c c2 2k k-2-2c c- -ckck=0.(=0.(* *) ) c c0,0,k k

27、0.0. 由由f f(x x)=0)=0得得- -kxkx2 2-2-2x x+ +ckck=0=0， 由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為x x=1=1 (2) (2)由由( (* *) )式得式得 當(dāng)當(dāng)c c1 1時(shí)時(shí), ,k k0;0;當(dāng)當(dāng)0 0c c1 1時(shí)時(shí), ,k k-2.-2. 當(dāng)當(dāng)k k0 0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )在在(-,-(-,-c c) )和和(1,+)(1,+)內(nèi)是減函數(shù)，內(nèi)是減函數(shù)， 在在(-(-c c,1),1)內(nèi)是增函數(shù)，內(nèi)是增函數(shù)，222)() 1(2)()( cxkxxcxkxf222)(2cxckxkx. )2(kcx或.21,1

28、2kcck即當(dāng)當(dāng)k k-2-2時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )在在(-,-(-,-c c) )和和(1,+)(1,+)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù), ,在在(-(-c c,1),1)內(nèi)是減函數(shù)，內(nèi)是減函數(shù)，綜上可知綜上可知, ,所求所求k k的取值范圍為的取值范圍為(-,-2) ,+). (-,-2) ,+). .2, 01)2(22,0)2(21)(, 0211) 1 (222kkkkkmMkkcckccfmkckfM解得及由.121) 1(12)2(2, 02) 1 (,0)2(2)(222恒成立kkkkkmMkfmkkcfM2【例【例4 4】(2009(2009江蘇江蘇) )設(shè)設(shè)a a為實(shí)數(shù)為實(shí)

29、數(shù), ,函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=2)=2x x2 2+ + ( (x x- -a a)|)|x x- -a a|.|. (1) (1)若若f f(0)1,(0)1,求求a a的取值范圍；的取值范圍； (2)(2)求求f f( (x x) )的最小值；的最小值； (3)(3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)h h( (x x)=)=f f( (x x),),x x(a a,+),+),直接寫出直接寫出( (不需給不需給 出演算步驟出演算步驟) )不等式不等式h h( (x x)1)1的解集的解集. .解解 (1)(1)若若f f(0)1,(0)1,則則- -a a| |a a|1|1.1102aaa(2)(2

30、)記記f f( (x x) )的最小值為的最小值為g g( (a a),),則有則有f f( (x x)=2)=2x x2 2+(+(x x- -a a)|)|x x- -a a| | ()()當(dāng)當(dāng)a a00時(shí)時(shí), ,f f(-(-a a)=-2)=-2a a2 2, ,由由知知f f( (x x)-2)-2a a2 2, , 此時(shí)此時(shí)g g( (a a)=-2)=-2a a2 2. .()()當(dāng)當(dāng)a a0 0時(shí)，時(shí)， 若若x xa a, ,則由則由知知f f( (x x) 若若x xa a, ,由由x x+ +a a22a a0,0,由由知知f f( (x x)2)2a a2 2 此時(shí)此時(shí)g

31、 g( (a a)=)= 綜上，綜上，.,2)(,32)3(32222axaaxaxaax.32)3(2aaf.322a;322a.322a. 0,32, 0,2)(22aaaaag【探究拓展探究拓展】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖 象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí), ,考查靈活運(yùn)用數(shù)考查靈活運(yùn)用數(shù) 形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解 決問題的綜合能力決問題的綜合能力. . ).,323,)22,22);,323323,(,)22,26();,(,),2226,()3(22

32、2aaaaaaaaaaa解集為時(shí)當(dāng)解集為時(shí)當(dāng)解集為時(shí)當(dāng)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2- -a aln ln x x在在(1,2(1,2上是增函上是增函 數(shù)數(shù), ,g g( (x x)=)=x x- - 在在(0,1)(0,1)上是減函數(shù)上是減函數(shù). . (1) (1)求求f f( (x x) )、g g( (x x) )的表達(dá)式；的表達(dá)式； (2)(2)求證求證: :當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)時(shí), ,方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2)+2有唯一解；有唯一解； (3)(3)當(dāng)當(dāng)b b-1-1時(shí)時(shí), ,f f( (x x)2)2bx

33、bx- - 在在x x(0,1(0,1內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立, , 求求b b的取值范圍的取值范圍. .21xxa (1) (1)解解 f f(x x)=2)=2x x- - ， 依題意依題意f f(x x) )0,0,x x(1,2, (1,2, 即即a a2 2x x2 2, ,x x(1,2.(1,2. 上式恒成立，上式恒成立，a a2. 2. 又又g g(x x)=1- ,)=1- ,依題意依題意g g(x x) )0,0,x x(0,1),(0,1), 即即a a , ,x x(0,1).(0,1). 上式恒成立，上式恒成立，a a2. 2. 由由得得a a=2.=2. f f( (x x

34、)=)=x x2 2-2ln -2ln x x, ,g g( (x x)=)=x x- -xaxa2x2.2 x(2)(2)證明證明 由由(1)(1)可知可知, ,方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2,)+2, 令令h h(x x) )0,0,并由并由x x0 0，令令h h(x x) )0,0,由由x x0,0,解得解得0 0 x x1.1.列表分析：列表分析： .022ln22xxxx即,1122)( , 22ln2)(2xxxxhxxxxxh則設(shè).1, 0)222)(1(xxxxxx解得得x x(0,1)(0,1)1 1(1,+)(1,+)h h ( (x x) )

35、- -0 0+ +h h( (x x) )遞減遞減0 0遞增遞增知知h h( (x x) )在在x x=1=1處有一個(gè)最小值處有一個(gè)最小值0,0,當(dāng)當(dāng)x x0 0且且x x11時(shí)時(shí), ,h h( (x x) )0 0，h h( (x x)=0)=0在在(0,+)(0,+)上只有一個(gè)解上只有一個(gè)解. .即當(dāng)即當(dāng)x x0 0時(shí)時(shí)，方程方程f f( (x x)=)=g g( (x x)+2)+2有唯一解有唯一解. .(3)(3)解解所以所以b b的取值范圍為的取值范圍為-1-1b b1.1. , 1, 0121) 1 ()(, 1 , 0()(,02222)( min3bbxxxbxxx又上為減函數(shù)

36、在則,12ln2)(22xbxxxx設(shè)【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009海南海南) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=()=(x x3 3+3+3x x2 2+ +axax+ +b b)e)e- -x x. . (1) (1)若若a a= =b b=-3,=-3,求求f f( (x x) )的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間； (2)(2)若若f f( (x x) )在在 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,在在 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,證明證明: :【解題示范解題示范】 (1)(1)解解 當(dāng)當(dāng)a a= =b b=-3=-3時(shí)時(shí), ,f f( (x x)=()=(x x3 3+3+3x x2 2-

37、3-3x x-3)e-3)e- -x x， 所以所以f f(x x)=-()=-(x x3 3+3+3x x2 2-3-3x x-3)e-3)e- -x x+(3+(3x x2 2+6+6x x-3)e-3)e- -x x =-e =-e- -x x( (x x3 3-9-9x x)=-)=-x x( (x x-3)(-3)(x x+3)e+3)e- -x x. . 2 2分分 當(dāng)當(dāng)x x-3-3或或0 0 x x3 3時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0 0；), 2(),(),(),2 ,(. 6當(dāng)當(dāng)-3-3x x0 0或或x x3 3時(shí)時(shí), ,f f(x x) )0. 30. 3分分從而從而

38、f f( (x x) )在在(-,-3),(0,3)(-,-3),(0,3)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增， 在在(-3,0),(3,+)(-3,0),(3,+)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. . 4 4分分(2)(2)證明證明 f f( (x x)=-()=-(x x3 3+3+3x x2 2+ +axax+ +b b)e)e- -x x+(3+(3x x2 2+6+6x x+ +a a)e)e- -x x=-e=-e- -x x x x3 3+(+(a a-6)-6)x x+ +b b- -a a.由條件得由條件得: :f f(2)=0,(2)=0,即即2 23 3+2(+2(a a-6)+-6)+b b

39、- -a a=0,=0,故故b b=4-=4-a a, , 6 6分分從而從而f f(x x)=-e)=-e- -x x x x3 3+(+(a a-6)-6)x x+4-2+4-2a a. . 分所以因?yàn)?.)()2()()(2(24)6(, 0)( )( 33xxxxxxaxaxff將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得， 分于是分由此可得分即又所以12.611. 610. 04)(2, 0)2)(2(.4124)(. 2, 22aaa1.1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是變化率的極限，其幾何意義是曲線在導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是變化率的極限，其幾何意義是曲線在 某點(diǎn)處切線的斜率某點(diǎn)處切線的斜率. .

40、2.2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來確定原函數(shù)的對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來確定原函數(shù)的 單調(diào)性并進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間單調(diào)性并進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間, ,在求函數(shù)式中某些參變?cè)谇蠛瘮?shù)式中某些參變 量的取值范圍時(shí)，要注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)加上等號(hào)量的取值范圍時(shí)，要注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)加上等號(hào). .3.3.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù), ,在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí), ,要注意極要注意極 值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零, ,而導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值而導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值 點(diǎn)點(diǎn), ,如如f f( (x x)=)=x x3 3, ,因?yàn)橐驗(yàn)閒 f(x x)=3)=3x x2 2, ,所以

41、所以f f(0)=0,(0)=0,而在而在 x x=0=0的左右兩側(cè)的左右兩側(cè)f f(x x)=3)=3x x2 20 0，則原函數(shù)遞增，所以，則原函數(shù)遞增，所以 x x=0=0不是原函數(shù)極值點(diǎn)不是原函數(shù)極值點(diǎn); ; 所所,331)(23xxxxf 以以f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2，則，則f f(1)=0(1)=0，而在，而在x x=1=1的左右兩側(cè)的左右兩側(cè) f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 20 0，則原函數(shù)遞增，則原函數(shù)遞增, ,所以所以x x=1=1不是原函不是原函 數(shù)的極值點(diǎn)數(shù)的極值點(diǎn). .由此可知導(dǎo)函數(shù)的偶次重根不是原函數(shù)由此可知導(dǎo)函數(shù)的偶次重根

42、不是原函數(shù) 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn). .導(dǎo)函數(shù)為零是函數(shù)取到極值的必要不充分導(dǎo)函數(shù)為零是函數(shù)取到極值的必要不充分 條件條件. .特別地，函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)特別地，函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)( (如尖點(diǎn)如尖點(diǎn)) )也可能是極值也可能是極值 點(diǎn)點(diǎn). .4.4.要準(zhǔn)確理解定積分概念，熟練利用定積分公式解答要準(zhǔn)確理解定積分概念，熟練利用定積分公式解答 有關(guān)問題有關(guān)問題, ,特別是被積函數(shù)上、下限的確定以及對(duì)誰特別是被積函數(shù)上、下限的確定以及對(duì)誰 進(jìn)行積分的選擇也要靈活確定進(jìn)行積分的選擇也要靈活確定. . 一、選擇題一、選擇題1.1.設(shè)設(shè)P P為曲線為曲線C C：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上的點(diǎn)上的點(diǎn), ,且

43、曲線且曲線C C在點(diǎn)在點(diǎn)P P處切處切 線傾斜角的取值范圍是線傾斜角的取值范圍是 則點(diǎn)則點(diǎn)P P橫坐標(biāo)的取值范橫坐標(biāo)的取值范 圍為圍為 ( )( ) A. B.-1,0 A. B.-1,0 C.0,1 D. C.0,1 D. 解析解析 y y= =x x2 2+2+2x x+3+3，y y=2=2x x+2.+2. 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P P( (x x0 0, ,y y0 0) )處切線傾斜角的取值范圍是處切線傾斜角的取值范圍是 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P P處的切線斜率處的切線斜率00k k1. 1. 02 02x x0 0+21,-1+21,-1x x0 0 . . , 4, 0, 4, 02121

44、, 1 1 ,21A A2.(20082.(2008全國(guó)全國(guó))設(shè)曲線設(shè)曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(3,2)(3,2)處的切線處的切線 與直線與直線axax+ +y y+1=0+1=0垂直垂直, ,則則a a等于等于 ( )( ) A.2 B. C. D.-2 A.2 B. C. D.-2解析解析 曲線曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(3,2)(3,2)處的切線處的切線 斜率為斜率為k k= =y y|x x=3=3= .= . 由題意知由題意知axax+ +y y+1=0+1=0的斜率為的斜率為k k=2,=2,a a=-2. =-2. 11xxy212111xxy,12112111xxxxxy,) 1(22xy21D D

45、3.3.若函數(shù)若函數(shù) 則則f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn) (0,(0,f f(0)(0)處切線的傾斜角為處切線的傾斜角為 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由題意可知由題意可知f f(x x)=)=x x2 2+ +f f(1)(1)x x- -f f(2),(2), 令令x x=0,=0,得得f f(0)=-(0)=-f f(2),(2), 令令x x=1,=1,得得f f(2)=1,(2)=1,所以所以f f(0)=-1(0)=-1， ,3)2( ) 1 ( 2131)(23xfxfxxf433243.43, 1tan即D D4.(20084.(20

46、08湖北湖北) )若若f f( (x x)= )= x x2 2+ +b bln(ln(x x+2)+2)在在(-1,+)(-1,+)上上 是減函數(shù)是減函數(shù), ,則則b b的取值范圍是的取值范圍是 ( )( ) A.-1,+) B.(-1,+) A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1 D.(-,-1) C.(-,-1 D.(-,-1)解析解析 由題意知由題意知 即即- -x x2 2-2-2x x+ +b b=-(=-(x x+1)+1)2 2+1+1+b b0.0. 1+ 1+b b0,0,b b-1. -1. 21, ), 1(, 02)( xxbxxf,022)( 2xbxxx

47、f即C C5.(20095.(2009安徽安徽) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x) )在在R R上滿足上滿足f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x) ) - -x x2 2+8+8x x-8-8，則曲線，則曲線y y= =f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn)(1,(1,f f(1)(1)處的切線方程處的切線方程 是是 ( )( ) A. A.y y=2=2x x-1 B.-1 B.y y= =x x C. C.y y=3=3x x-2 D.-2 D.y y=-2=-2x x+3+3解析解析 由由f f( (x x)=2)=2f f(2-(2-x x)-)-x x2 2+8+8

48、x x-8,-8, 得得f f(2-(2-x x)=2)=2f f( (x x)-(2-)-(2-x x) )2 2+8(2-+8(2-x x)-8,)-8, 即即2 2f f( (x x)-)-f f(2-(2-x x)=)=x x2 2+4+4x x-4,-4, f f( (x x)=)=x x2 2，f f(x x)=2)=2x x, , 切線方程為切線方程為y y-1=2(-1=2(x x-1),-1),即即2 2x x- -y y-1=0. -1=0. A A6.6.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=axax3 3+ +bxbx2 2+ +cxcx+ +d d的圖象如圖的圖象

49、如圖, ,且且| |x x1 1| | | |x x2 2|,|,則有則有 ( )( ) A. A.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 B. B.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 C. C.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 D. D.a a0,0,b b0,0,c c0,0,d d0 0 解析解析 因因f f(x x)=3)=3axax2 2+2+2bxbx+ +c c, ,由題由題 意可知導(dǎo)函數(shù)意可知導(dǎo)函數(shù)f f(x x) )的圖象如圖的圖象如圖, , 所以所以a a0,0,c c0,0, 則則b b0,0,由原函數(shù)圖象可知由原

50、函數(shù)圖象可知d d0.0., 032abC C二、填空題二、填空題7.7.若曲線若曲線f f( (x x)=)=axax3 3+ln +ln x x存在垂直于存在垂直于y y軸的切線軸的切線，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a a的取值范圍是的取值范圍是_._.解析解析 由題意可知由題意可知 又因?yàn)榇嬖诖怪庇谟忠驗(yàn)榇嬖诖怪庇趛 y軸的切線，軸的切線，8.(20088.(2008江蘇江蘇) )直線直線 是曲線是曲線y y=ln =ln x x( (x x0)0)的的 一條切線一條切線, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)b b=_.=_.解析解析 (ln (ln x x)= ,)= ,令令 , ,得得x x=2,=2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為故

51、切點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,ln 2),(2,ln 2),將其代入直線方程將其代入直線方程, ,得得ln 2= ln 2= 2+2+b b, ,所以所以 b b=ln 2-1.=ln 2-1.(-,0)(-,0),12)( 2xaxxf. )0 ,()0(2101232axxaxax所以ln 2-1ln 2-1x1211x21bxy219.9.函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=)=axax3 3-2-2axax2 2+(+(a a+1)+1)x x-log-log2 2( (a a2 2-1)-1)不存在極值不存在極值 點(diǎn)，則實(shí)數(shù)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.解析解析 a a2 2-1-1

52、0,0,a a1 1或或a a-1;-1; 又函數(shù)又函數(shù)f f( (x x) )不存在極值點(diǎn)，不存在極值點(diǎn)， 令令f f(x x)=3)=3axax2 2-4-4axax+ +a a+1=0, +1=0, 則則=16=16a a2 2-4-43 3a a( (a a+1)=4+1)=4a a( (a a-3)0,-3)0, 所以所以00a a3,3,綜上可知綜上可知:1:1a a3.3. 1 1a a3310.10.數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 的值為的值為 _._.解析解析 原式原式)1312111(limnnnnnnln 2ln 2. 2ln01)1ln(d11011111131121111111

53、limlimxxxninnnnnnnninn三、解答題三、解答題11.11.設(shè)設(shè)MM是由滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)是由滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)f f( (x x) )構(gòu)成的集構(gòu)成的集 合合: : 定義定義f f( (x x)-)-x x=0=0有實(shí)根；有實(shí)根； 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)f f(x x) )滿足滿足0 0f f(x x) )1.1. (1) (1)若若 判斷方程判斷方程f f( (x x)-)-x x=0=0的根的個(gè)數(shù)的根的個(gè)數(shù); ; (2) (2)判斷判斷(1)(1)中的函數(shù)中的函數(shù)f f( (x x) )是否為集合是否為集合MM的元素；的元素； (3)(3)對(duì)于

54、對(duì)于MM中的任意函數(shù)中的任意函數(shù)f f( (x x),),設(shè)設(shè)x x1 1是方程是方程f f( (x x)-)-x x=0=0的的 實(shí)根實(shí)根, ,求證求證: :對(duì)于對(duì)于f f( (x x) )定義域中任意的定義域中任意的x x2 2, ,x x3 3, ,當(dāng)當(dāng) | |x x2 2- -x x1 1| |1,|1,|x x3 3- -x x1 1| |1 1時(shí)時(shí), ,有有| |f f( (x x3 3)-)-f f( (x x2 2)|)|2. 2. ,4sin2)(xxxf(1)(1)解解 令令F F( (x x)=)=f f( (x x)-)-x x, ,即即-1cos -1cos x x1,1,F F(x x) )0.0.