高中物理帶電粒子在電場中的“曲線運動”

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上帶電粒子在電場中的“曲線運動”（一）08備考綜合熱身輔導系列山東平原一中 魏德田 高中乃至于普通物理，所謂運動“曲線”，大都指 “二次曲線”，即橢圓、圓、拋物線和雙曲線等等，螺旋線、擺線及更復雜的曲線往往不多研究。筆者認為，討論“帶電粒子在電場中的曲線運動”這一至關(guān)重要的課題，宜按拋物線、圓或橢圓、雙曲線及其他曲線運動等順序進行。并且，體例編排，宜先均勻場后非均勻場；范題選擇，宜由簡而繁、自易入難；至于分析解答，從立意、選題、解析到點撥，更宜謹慎遵循深入淺出的基本原則。因此，雖幾經(jīng)周折，而勉力為之。不盡之處，請細心的讀者予以批評指正。 一、破解依據(jù)欲破解此類問題，大致

2、歸納為以下幾條依據(jù):若合力F（或合加速度a，下同）與初速度v0“不相共線”，則粒子的軌跡為曲線，且向合力一側(cè)彎曲；若“二者”成“銳角”，則為“加速”，為“鈍角“則“減速”。恒成“直角”則“勻速”。求解勻變速曲線運動的位移（路程）、速度（率）、加速度（率）等等，亦需要綜合運用牛頓定律、運動學公式，更重要的要把握運動合成與分解、平拋、圓周運動等概念和規(guī)律。 若“加速”（或減速），則合外力有正（或負）的沖量；由動量定理知“動量增加”（或減少）；速度不變，動量亦然。若“加速”（或減速），則合外力做功為“正”（或負）；由動能定理知“動能增加”（或減少）；速度不變，則動能亦然。重力、電場力做功為“正”（或

3、負），必然等于重力勢能、電勢能的“減少”（或增加）；而其他力做功則不一定如此。無論何力做功，包括機械能、電勢能等在內(nèi)的總能量是守恒的。除開涉及“電場力做功”的第條而外，皆已于力學中經(jīng)常應用。以下三條當屬于“靜電場”一章的基本內(nèi)容。場強、電勢、電勢差： 電場力及其功：, 電勢能及其變化，則用及由此可見，它與相應的直線運動的破解，“仿宋”體文字即表示兩者有許多相同之處。 二、解題示例帶電粒子在電場中的拋線運動“帶電粒子”（以下多稱“粒子”）在勻強電場（限本文）中的運動，可分為受單一電場力、或者等效重力作用兩種基本題型。無論哪種情形，粒子均受恒力作用，且均可證明，粒子必做勻變速運動（“勻速”是“勻變

4、速”的特例）。其運動軌跡，除開前文所列為直線而外，所余者皆為拋物線。若恒力與“初速度”兩者成“銳角”，則為“類斜下拋”；成“直角”則為“類平拋”；成“鈍角”為“類斜上拋”。下面，我們先來討論在單一勻強電場中帶電粒子的拋線運動。這里的帶電粒子，指電子、質(zhì)子、粒子和離子之類。應該強調(diào)，在解決問題的過程中，運動合成和分解的知識是必要的。帶電粒子在單一勻強電場中的拋線運動例題1（高考模擬） 兩個半徑均為R的圓形平板電極，平行正對放置，相距為d，極板間的電勢差為U，板間電場可以認為是均勻的。一個粒子從正極板邊緣以某一初速度垂直于電場方向射入兩極板之間，到達負極板時恰好落在極板中心。已知質(zhì)子電荷為e，質(zhì)子

5、和中子的質(zhì)量均視為m，忽略重力和空氣阻力的影響，求：粒子在極板間運動的加速度a；dRE圖1v0圖2vv0粒子的初速度v0。此過程中粒子的動量變化。解析 首先，作出示意圖1。顯然，兩圓形板極間場強為已知粒子電荷為2e，質(zhì)量為4m，由綜合“依據(jù)”（牛二定律）、電場力公式）可得由綜合“依據(jù)”，可知粒子只在電場力作用下，做“類平拋”運動。從而，可得聯(lián)立式，即可求出由圖2表示初、末速度和速度變化之間的關(guān)系。因與加速度方向均豎直向下，再聯(lián)系到式，從而應用“依據(jù)”可得 點撥此例屬于粒子在單一電場力作用下做“類平拋”運動的較簡單而基本的題型，與解決重力場中的平拋運動沒什么兩樣。但對于物理規(guī)律的應用和數(shù)學運算，

6、則絲毫不能含糊。v0MBA圖3Ld例題2如圖3所示，在厚鉛版A表面中心放置一很小的放射源，可向各個方向放射出速率為v0的粒子（質(zhì)量為m、電量q），在金屬網(wǎng)B與A間加有豎直向上的勻強電場，場強為E。A與B間距離為d，B上方有一很大的熒光屏M，M與B距離為L，當有粒子打在熒光屏上時就能夠使熒光屏產(chǎn)生一閃光點。整個裝置放在真空中，不計重力的影響，試分析：打在熒光屏上的粒子的動能有多大？熒光屏上閃光點的范圍有多大？在實際應用中，往往是放射源射出的粒子的速率未知，請設(shè)計一個方案，用本設(shè)置來測定粒子的速率。解析 分析可知，粒子自射出而到達熒光屏的過程中只有電場力做功。由“依據(jù)”（動能定理）可得 如圖4所示

7、，欲求粒子的“題設(shè)范圍”，則只要求出熒光屏上閃光圓的半徑R即可。顯見，該半徑為沿鉛板邊緣垂直于電場的粒子，做“類平拋”復加“勻速”運動的水平位移。從而，先求類平拋的水平位移x（即側(cè)移）。設(shè)“粒子”在電場、真空中運動的時間分別為t1、t2.由“綜合依據(jù)”和靜電場“依據(jù)”可得 因粒子離開電場在豎直方向以分速度vy做勻速運動，設(shè)到達熒光屏的時間t2為,則v0MBA圖4LdR 考慮到，粒子在水平方向一直做勻速運動。從而由式可求出 實際測定粒子的速率時，由上述公式可得。因此，只要測出相關(guān)物理量的數(shù)據(jù)，代入此式計算就可以了。點撥此例求粒子打在“熒光屏上閃光點的范圍”(圖示中閃光圓的半徑R) ，亦即粒子在水

8、平方向發(fā)生的位移，而該位移由勻強電場和真空等產(chǎn)生的兩部分位移構(gòu)成。求此位移時，應牢牢把握粒子在水平方向總做勻速運動這一點，只要細心求出運動的總時間就行了。帶電粒子在等效重力場中的拋線運動 所謂“等效重力場”，指由勻強電場、重力場而成的復合場。所謂“等效重力”或亦可稱為“視重”，是由恒定電場力、重力矢量合成的。而該場中的“帶電粒子”，則往往為帶電小球、顆粒、液滴之類。例題3一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球從距地面高h處以一定的初速度水平拋出。在距拋出點水平距離為l處，有一根管口比小球直徑略大的豎直細管，管的上口距地面h/2。為使小球能無碰撞的通過管子，可在管子上方的整個區(qū)域里加一個場強方向水平向左

9、的勻強電場，如圖5所示。試求：小球的初速度v； 電場強度E的大??；小球落地時的動能。解析 首先，分析可知小球在重力、電場力的共同作用下做初速度為v0的“類斜上拋”運動，如圖6所示。此可分解為豎直自由落體運動，水平勻減速運動。從而，可使小球到達管口處水平速度為零。由運動的等時性，可得小球運動至管口的時間 然后，由“依據(jù)”（電場力公式）、（牛二定律、勻變速直線運動規(guī)律），可得圖5h/2lhv0圖6lh/2mgqEFv0O 聯(lián)立式，即可求出 小題的結(jié)果，即式表示。最后，由“依據(jù)”（動能定理），可得不難求出小球落地時的動能點撥“帶電物體”在等效重力場內(nèi)做拋線運動規(guī)律，與在重力場內(nèi)情形沒有實質(zhì)性的差別。

10、解題的關(guān)鍵，在于如何先求出等效重力，弄清其大小和方向，然后應用運動的矢量作圖、運算的方法，作為勻變速直線運動處理。此例在上述基礎(chǔ)上，又進行功能分析，應用了動能定理。例題4（05北京）真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強電場。在電場中，若將一個質(zhì)量為m、帶正電的小球由靜止釋放，運動中小球的速度與豎直方向夾角為37（?。，F(xiàn)將該小球從電場中某點以初速度豎直向上拋出。求OFqEmg圖7運動過程中 小球受到的電場力的大小及方向； 小球從拋出點至最高點的電勢能變化量；小球的最小動量的大小及方向。解析首先，分析可知帶電小球在該等效重力場中做“類斜上拋”運動，此可分解為水平“勻加速”和豎直“勻減速”運

11、動。如圖7所示。應用“綜合依據(jù)”、題設(shè)條件，得電場力大小為電場力的方向水平向右。然后，按運動的分解理論，小球的運動可分解為水平的勻加速運動和豎直的勻減速運動。依題意，欲求“小球從拋出點至最高點的電勢能變化量”，必須明確到最高點時豎直末速度為零，先求出相應的水平位移，再運用電場力做功與電勢能的關(guān)系才行。Av0axgO圖8CBVmin如圖8所示，先設(shè)小球沿水平即電場方向的位移、豎直速度分別為sx、vy，相應時間為t。由“綜合依據(jù)”（牛二定律、運動學公式、運動的等時性），可得 再，小球上升到最高點，末速度vy為零。由式可得聯(lián)立式，即可求出 由“依據(jù)”可知，電場力做正功等于電勢能的減少，再代入式解得由

12、此可見，小球上升到最高點時，電勢能比原來減少。接下來，欲求小球的最小動量，必須先求其最小速度。由“綜合依據(jù)”（運動學知識、運動分解規(guī)律）可知，小球的水平速度，豎直速度和合速度為。從而，由以上各式可得 又，由數(shù)學可知，當時，速度有極小值。最后，我們求出小球動量的最小值為 此時最小速度的各個分量、其與水平方向的夾角分別為，。亦即最小動量與電場成37角斜向上方。 點撥解決此例的關(guān)鍵，在于弄清實際運動可分解為如上兩個分運動，而欲求電勢能變化，則必須求出水平位移。進而，應用牛頓定律、運動學公式、矢量運算和電場力、電場力做功跟電勢能的關(guān)系等重要規(guī)律來實現(xiàn)。最后，應用一元二次方程求根公式等，判斷并求出速度的

13、極小值，“最小動量”隨之求出。例題5（04北京） 下圖是某種靜電分選器的原理示意圖。兩個豎直放置的平行金屬板帶有等量異號電荷，形成勻強電場。分選器漏斗的出口與兩板上端處于同一高度，到兩板距離相等?；旌显谝黄鸬腶、b兩種顆粒從漏斗出口下落時，a種顆粒帶上正電，b種顆粒帶上負電。經(jīng)分選電場后，a、b兩種顆粒分別落到水平傳送帶A、B上。 已知兩板間距，板的長度，電場僅局限在平行板之間；各顆粒所帶電量大小與其質(zhì)量之比均為。設(shè)顆粒進入電場時的初速度為零，分選過程中顆粒大小及顆粒間的相互作用力不計。要求兩種顆粒離開電場區(qū)域時，不接觸到極板但有最大偏轉(zhuǎn)量。重力加速度g取。 左右兩板各帶何種電荷？兩極板間的電

14、壓多大？ 若兩帶電平行板的下端距傳送帶A、B的高度，顆粒落至傳送帶時的速度大小是多少？ 設(shè)顆粒每次與傳送帶碰撞反彈時，沿豎直方向的速度大小為碰撞前豎直方向速度大小的一半。寫出顆粒第n次碰撞反彈高度的表達式。并求出經(jīng)過多少次碰撞，顆粒反彈的高度小于0.01m。“ 解析 首先，應用“依據(jù)”分析，可知正、負顆粒分別受方向不同的靜電場力作用，在勻強電場中均做類平拋運動。顯然，左板帶負電荷，右板帶正電荷。與上類似，應用“綜合依據(jù)”，可得顆粒在平行板間的豎直方向有 圖9 又，在水平方向有 聯(lián)立兩式，可解得 然后，應用“依據(jù)”（動能定理），可知當顆粒落到水平傳送帶上時，滿足下式 此即題設(shè)待求的末速度。 最后，由于顆粒在豎直方向做自由落體運動，它