高等數(shù)學(xué)函數(shù)的最值及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上課題3函數(shù)的最大值、最小值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)研究中，常常要考慮在一定條件下，怎樣才能使效率最高，成本最低，用料最省等問(wèn)題。這些問(wèn)題反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。案例 易拉罐的設(shè)計(jì) 如果把易拉罐視為圓柱體，你是否注意到可口可樂(lè)、雪碧、健力寶等大飲料公司出售的易拉罐的半徑與高之比是多少？請(qǐng)你不妨去測(cè)量一下，為什么其半徑與高之比約為1：2？一、函數(shù)的最值若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上一定有最大值和最小值。它們可能在該區(qū)間的內(nèi)部取得，也可能在該區(qū)間的端點(diǎn)處取得在前一種情況下，函數(shù)的最大(小)值必然是函數(shù)的極大(小)值因此，在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最大(小)值只能在區(qū)

2、間端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)處取得，而極值點(diǎn)又只能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在點(diǎn)處，所以，求最大值和最小值的步驟：(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值, 哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值。例 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。 解 令 ，解得駐點(diǎn)為， ， ， ， 所以 函數(shù)的最大值是，最小值為說(shuō)明 (1)若函數(shù)是上的連續(xù)單調(diào)增加(減少)函數(shù)，則必為 在上的最小(大)值,必為在上的最大(小)值 f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y(2)若是在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限, 開(kāi)或閉)內(nèi)唯一的極值點(diǎn)，則當(dāng)為極大

3、(小)點(diǎn)時(shí)，必為在上的最大(小)值。二、最值應(yīng)用舉例例 鐵路上AB段的距離為100,工廠C距離A處20,AC垂直于AB(圖)。為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D，向工廠修筑一條公路。已知鐵路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5，為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？解 設(shè)AD=（），則DB=（），CD=（），設(shè)鐵路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為3,則公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)為5(為正常數(shù))。設(shè)貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C需要的總運(yùn)費(fèi)為，則即 =·+ 0100 令,即，化簡(jiǎn)得。因0,故（）,由于,所以當(dāng)，即點(diǎn)D選在距A點(diǎn)右方處運(yùn)費(fèi)最省。例 容器的設(shè)計(jì)要設(shè)計(jì)一個(gè)

4、容積為500ml的圓柱形容器，其底面半徑與高之比為多少時(shí)容器所耗材料最少？解：設(shè)其底面半徑為r，高為h，其表面積為 由，得因?yàn)榇藛?wèn)題的最小值一定存在，駐點(diǎn)唯一，故此駐點(diǎn)即為最小值點(diǎn)，將代入，得即例 抗彎截面模量的最大值問(wèn)題例：對(duì)于一根截面為矩形的橫梁，當(dāng)截面矩形的高和寬分別為h和b它的抗彎截面模量為現(xiàn)在要求在一根截面圓半徑為R的圓木上截出一個(gè)抗彎截面模量最大的矩形橫梁，試確定其高和寬的尺寸解：根據(jù)勾股定理有由此可得目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)得令可得目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義可知，目標(biāo)函數(shù)(即橫梁抗彎截面模量)在定義域內(nèi)的最大值是一定存在的，而且目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，駐點(diǎn)唯一，所以這唯一

5、的駐點(diǎn)就是目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值點(diǎn)也就是說(shuō)，為使抗彎截面模量最大，截面矩形的寬度應(yīng)取為這時(shí)截面矩形對(duì)應(yīng)的高度為練習(xí)1 發(fā)動(dòng)機(jī)的效率一汽車(chē)廠家正在測(cè)試新開(kāi)發(fā)的汽車(chē)的發(fā)動(dòng)機(jī)的效率，發(fā)動(dòng)機(jī)的效率P（%）與汽車(chē)的速度v (單位：km/h) 之間的關(guān)系為問(wèn)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大效率是多少？（v=80,p=41%）練習(xí)2用邊長(zhǎng)為48 cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒, 在鐵皮的四周各截去面積相等的小正方形，然后把四周折起, 焊成鐵盒. 問(wèn)在四周截去多大的正方形, 才能使所做的鐵盒容積最大?（截去正方形邊長(zhǎng)為8厘米）練習(xí)3 某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？解 設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套 每月總收入為 ， （唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.最大收入為實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意: (1)建立目標(biāo)函數(shù); (2