[理學(xué)]61 定積分的概念和性質(zhì)ppt課件

1、6.1 6.1 定積分的概念和性質(zhì)定積分的概念和性質(zhì) 6.1.1. 定積分問(wèn)題舉例定積分問(wèn)題舉例 6.1.2. 定積分的定義定積分的定義 6.1.3. 函數(shù)的可積性函數(shù)的可積性 6.1.4. 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)1. 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積求由延續(xù)曲線求由延續(xù)曲線及及0)( xfy所所圍圍成成0, ybxax和和直線直線.A的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積ab)(xfy Oxy? A6.1.1 6.1.1 定積分問(wèn)題舉例定積分問(wèn)題舉例思想：思想： 用矩形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積近似取代曲邊梯形面積梯形面積梯形面積五個(gè)小矩形五個(gè)小矩形十個(gè)小矩形十個(gè)小矩形顯然顯然,小矩形

2、越多小矩形越多, 矩形總面積越接近曲邊矩形總面積越接近曲邊OxyOxyab)(xfy 個(gè)個(gè)分成分成把區(qū)間把區(qū)間nba,1iixx 在在每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間采取以下四個(gè)步驟求面積：采取以下四個(gè)步驟求面積：(1) 分割分割任任意意用用分分點(diǎn)點(diǎn),1210bxxxxxann (2) 近似近似為為底底，以以,1iixx 的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)表表示示,1iiixxA ;1 iiixxx，小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為)(if 為高的小矩形的為高的小矩形的面積近似替代面積近似替代Oxyix1x1 ix1 nx，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i i iA nixfAAiiii, 2

3、, 1,)(, 有有 AiniixfA )(lim10 (3) 求和求和 這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積面積A的近似值的近似值.(4) 取極限取極限 為了得到為了得到A的準(zhǔn)確值的準(zhǔn)確值,時(shí)時(shí)，趨趨近近于于零零)0( 取極限取極限,形的面積形的面積:分割無(wú)限加細(xì)分割無(wú)限加細(xì),iniixf )(1 極限值就是曲邊梯極限值就是曲邊梯,max21nxxx 即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度2. 2. 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),知速度知速度)(tvv 是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔tTT上上,21的一個(gè)延續(xù)函數(shù)的一個(gè)延續(xù)函

4、數(shù), 0)( tv且且求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.思想：思想：把整段時(shí)間分割成假設(shè)干小把整段時(shí)間分割成假設(shè)干小段段,每小段上每小段上速度看作不變速度看作不變,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便便得到路程的近似值得到路程的近似值,最后經(jīng)過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限最后經(jīng)過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的準(zhǔn)確值細(xì)分過(guò)程求得路程的準(zhǔn)確值(1) 分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( (3) 求和求和iinitvs )(1 (4) 取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的準(zhǔn)確值路程的準(zhǔn)確值(2) 近似

5、近似is ), 2 , 1(ni 0 令令表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)走過(guò)的路程內(nèi)走過(guò)的路程.,1iitt 某時(shí)辰的速度某時(shí)辰的速度設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在a,b有定義有定義,在在a,b中恣意插入中恣意插入定義定義假設(shè)干個(gè)分假設(shè)干個(gè)分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把區(qū)間把區(qū)間a,b分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為各小區(qū)間長(zhǎng)度依次為), 2 , 1( ,1nixxxiii 在各小區(qū)間上任取在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)一點(diǎn)),(iiix 作乘積作乘積), 2 , 1()(nixfii 并作和并作和iinixfS )(1 記記,max21nxxx 假設(shè)不論對(duì)假設(shè)不論對(duì)(1)(2)(3)(

6、4),ba6.1.2 6.1.2 定積分的定義定積分的定義被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式記為記為積分和積分和怎樣的分法怎樣的分法, 也不論在小區(qū)間也不論在小區(qū)間,1iixx 上點(diǎn)上點(diǎn)i 怎樣的取法怎樣的取法, 只需當(dāng)只需當(dāng),0時(shí)時(shí) 和和S總趨于確定的總趨于確定的極限極限I, 稱這個(gè)極限稱這個(gè)極限I為函數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的定積分定積分. .iniibaxfIxxf )(limd)(10 積分下限積分下限積分上限積分上限積分變量積分變量a,b積分區(qū)間積分區(qū)間 baxxfd)( bafd)(,)()1(11iiiniixxbaxfS 的分法及在的分法及在是與是與 ,)(l

7、im110iiiniixxbaxfI 的分法及在的分法及在是與是與 (2) 的構(gòu)造和上、下限的構(gòu)造和上、下限, 定積分是一個(gè)數(shù)定積分是一個(gè)數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù)取取法法上上i 有關(guān)有關(guān); ;注注取取法法上上i 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). .而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān).tt bafd)(u u, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAxxfd)(曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的負(fù)值負(fù)值 baxxfd)(定積分的幾何意義定積分的幾何意義2A 1A 3A Oxyab)(xf1A2A3A幾何意義幾何意義 baxxfd)(各部

8、分面積的代數(shù)和各部分面積的代數(shù)和.取負(fù)號(hào)取負(fù)號(hào).它是介于它是介于x軸、函數(shù)軸、函數(shù) f (x) 的圖形及兩條的圖形及兩條直線直線 x =a, x = b之間的之間的在在 x 軸上方的面積取正號(hào)軸上方的面積取正號(hào);在在 x 軸下方的面積軸下方的面積Oxyab)(xf 例例xx d1102 求求解解4 21xy oxy11 xx d1102當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)上上在區(qū)間在區(qū)間,)(baxf的定積分存在時(shí)的定積分存在時(shí),上上在區(qū)間在區(qū)間稱稱,)(baxf可積可積. .6.1.3 6.1.3 函數(shù)的可積性函數(shù)的可積性定理定理 可積的必要條件可積的必要條件若若函函數(shù)數(shù)在在上上可可積積 則則在在上上有有界界( )

9、 , ,( ) , .f xa bf xa b定理定理1 1,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf上上在在則則,)(baxf可積可積. . 定理定理2 2,)(上上有有界界在在設(shè)設(shè)baxf且只需有限個(gè)間且只需有限個(gè)間上上在在則則,)(baxf可積可積. .斷點(diǎn)斷點(diǎn), ,充分條件充分條件定理定理3 3,)(上單調(diào)在設(shè)baxf上上在在則則,)(baxf可積可積. .解解iinixf )(1 iinix 21 iniixx 12例例 用定積分定義計(jì)算用定積分定義計(jì)算由由,2xy ,等分等分n,nixi 分分點(diǎn)點(diǎn)為為分分成成將將1 , 0和和x軸所圍成的曲邊梯形面積軸所圍成的曲邊梯形面積.直線直線1 xn

10、i2 , 1 小區(qū)間小區(qū)間,1iixx 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度,1nxi ni2 , 1 取取,iix ni2 , 1 nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOxnnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn nn1211610 xx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 n對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定,)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)(0,)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba baxxfd)( abxxfd)(6.1.4 6.1.4 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)證證 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf

11、)(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(此性質(zhì)可以推行到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況此性質(zhì)可以推行到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況)性質(zhì)性質(zhì)1 1 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(證證 baxxkfd)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為線性性質(zhì)線性性質(zhì). . baxxkfd)( baxxfkd)()( 為常數(shù)為常數(shù)k例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bcc

12、axxfxxfd)(d)(定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性那那么么性質(zhì)性質(zhì)3 3 cbxxfd)( cbxxfd)(假設(shè)假設(shè)bca baxxfd)( axxfd)( bxxfd)(cccba,的相對(duì)位置如何的相對(duì)位置如何,上式總成立上式總成立.不論不論證證0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix0)(1 iinixf ,max21nxxx iinixf )(lim10 baxxf0d)(性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5 baxd1 baxdab 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間上上,ba, 0)( xf那那么么 baxxf0d)()(ba 推論推論1(1(保序性保序性)

13、)證證)()(xgxf 0)()( xfxg0d )()( xxfxgba0d)(d)( babaxxfxxg假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間上上,ba),()(xgxf 那那么么 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)()(ba 證證| )(|)(| )(|xfxfxf 推論推論2(2(定積分的絕對(duì)值不等式定積分的絕對(duì)值不等式) ) babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfxxfd| )(|d)( baxd baxd baxd解解 令令xexfx )(0, 2 x0)( xf0d)(02 xxexxexd02 xxd02 于是于是xexd20 x

14、xd20 比較積分值比較積分值xexd20 和和xxd20 的大小的大小.例例證證Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba 此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍性質(zhì)性質(zhì)6(6(有界性有界性) )mM和和設(shè)設(shè)分別是函數(shù)分別是函數(shù)上上的的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 那那么么解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx估計(jì)積分估計(jì)積分.dsin3103的值的值xx 例

15、例解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 0 2,4 x估計(jì)積分估計(jì)積分.dsin24的的值值xxx 例例上上在在 2,4)( xf,22)4( fM,2)2( fm dxxx24sin 422 42 22 21性質(zhì)性質(zhì)7 7積分中值定理積分中值定理) )假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間上上,ba延續(xù)延續(xù), , 那么在積分區(qū)那么在積分區(qū)間間上上,ba至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) , 使下式成立使下式成立:)(d)(abfxxfba ).(ba 積分中值公式積分中值公式例例0dsinlim xxxannn求求證證證證 由積分中值定理有由積分中值定理有 xxxanndsin annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a為常數(shù)為常數(shù))nn sin)(nan 思索題思索題,d226 xxxyyxx20, 2, 6 及及由由解解由定積分幾何意義可知由定積分幾何意義可知的的面面積積就就等等于于