數(shù)字圖像變換技術(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)2

1、3.3.4 沃爾什函數(shù)的性質(zhì)沃爾什函數(shù)的性質(zhì) 沃爾什函數(shù)有如下一些主要性質(zhì)：沃爾什函數(shù)有如下一些主要性質(zhì)： （）（） 在區(qū)間在區(qū)間0,1內(nèi)有下式成立內(nèi)有下式成立 1), 0(10dttwal(4119)2 , 1 0),(10idttiwal(4120)3 ,2, 1 ,0 1),(2itiwal(4121)walt( , )0（）（） 在區(qū)間在區(qū)間0,1的第一小段時(shí)間內(nèi)（通常稱的第一小段時(shí)間內(nèi)（通常稱為時(shí)隙）沃爾什函數(shù)總是取。為時(shí)隙）沃爾什函數(shù)總是取。（）（） 沃爾什函數(shù)有如下乘法定理沃爾什函數(shù)有如下乘法定理 wal i twalj twal ij t( , )( , )(, )(4122)

2、 并且，該定理服從結(jié)合律并且，該定理服從結(jié)合律( , )( , )( , )( , ) ( , )( , ), , ,()wal i twal j twal k twal i twal j twal k ti j kp 0 1 221(4123) hKhKjgigpkjgpkigpktkRtkRtkRtjwaltiwal)()(10)(10)(10), 1(), 1(), 1(),(),( 證明：由定義式證明：由定義式 但是但是10100101011211),1(),1(),1(),1(1),1(),1(1),1(),1(0,1)( ,)(tkRtkRtkRtkRtkRtkRtkRtkRjgi

3、gkk),(), 1(), 1(),(),()()(10)()(10tjiwaltkRtkRtjwaltiwalkkkkjgigpkjgigpk因此因此以上便是乘法定理的證明。以上便是乘法定理的證明。（）（） 沃爾什函數(shù)有歸一化正交性沃爾什函數(shù)有歸一化正交性 i 1 i 0),(),(10jjdttjwaltiwal(4124) 證明：由乘法定理有證明：由乘法定理有dttlwaldttjiwaldttjwaltiwal),(),(),(),(101010其中 ijl 由于由于 ,3 ,2, 1 0),(1),0(1010idttiwaldttwal所以當(dāng)所以當(dāng)l=0，即，即i=j時(shí)，則時(shí)，則1

4、),(),(10dttjwaltiwal而當(dāng)而當(dāng) ，即，即 時(shí)，則時(shí)，則l 0ij0),(),(10dttjwaltiwal正交性得證。正交性得證。 3.3.5 沃爾什變換沃爾什變換 離散沃爾什變換可由下二式表達(dá)離散沃爾什變換可由下二式表達(dá)10),()(1)(NttiwaltfNiW (4127)10( )( )( , )Nif tW iwal i t (4128)離散沃爾什變換解析式寫成矩陣式可得到沃爾什變換離散沃爾什變換解析式寫成矩陣式可得到沃爾什變換矩陣式矩陣式)1()1 ()0()()1()1 ()0(NWWWNwalNfff WWW NNwal NfffN( )( )()()( )(

5、 )()0111011 (4130)式中)(NWal代表N階沃爾什矩陣。另外，沃爾什函數(shù)可寫成如下形式1011)()1(),(phkkkpiittiwal式中 因此，可得到指數(shù)形式的沃爾什變換式二進(jìn))(01221tttttttkpp二進(jìn))(01221tttiiiikppNp 2 (4133)以上是離散沃爾什變換的三種定義，其中矩陣式最以上是離散沃爾什變換的三種定義，其中矩陣式最為簡(jiǎn)潔。為簡(jiǎn)潔。11101()0( )( )( 1)ppkkkkNittif tW i 10)(1011) 1()(1)(NtiitpkkkhptfNiW (4132) 3.3.6 離散沃爾什離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪

6、變換 由沃爾什函數(shù)的定義可知，按哈達(dá)瑪排列的沃爾什由沃爾什函數(shù)的定義可知，按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)與按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)相比較只是排列函數(shù)與按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)相比較只是排列順序不同，其本質(zhì)并沒有什么不同。但是哈達(dá)瑪矩順序不同，其本質(zhì)并沒有什么不同。但是哈達(dá)瑪矩陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，也就是高階矩陣可用低階陣具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系，也就是高階矩陣可用低階矩陣的直積得到，這就使得沃爾什一哈達(dá)瑪變換有矩陣的直積得到，這就使得沃爾什一哈達(dá)瑪變換有許多方便之處。因此，用得較多的是沃爾什哈達(dá)許多方便之處。因此，用得較多的是沃爾什哈達(dá)瑪變換?，斪儞Q。 離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的定義可直接由沃爾什離散沃爾什哈

7、達(dá)瑪變換的定義可直接由沃爾什變換得到，只要用按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)去變換得到，只要用按哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)去代替沃爾什排列的沃爾什函數(shù)，就可以得其矩陣代替沃爾什排列的沃爾什函數(shù)，就可以得其矩陣式如下：式如下： (4-134)WWWNNHNfffN( )( )()()( )( )()0111011 式中，式中， 是沃爾什哈是沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)序列達(dá)瑪變換系數(shù)序列，是時(shí)間序列，是時(shí)間序列， ，p為正整數(shù)。式為正整數(shù)。式(3134)的逆的逆變換式如下變換式如下 ) 1(),2(),1 (),0(NWwWW )1(),2().1 (),0(NffffNP 2fff NH NWWW N( )( )

8、()()( )( )()011011 (4135) 例：將時(shí)間序列1 ,1 ,0,0,1 ,1 ,0,0做沃爾什哈達(dá)瑪變換及反變換。 0000021-021 11001100 1-1 1 1-1 1-1-11 1 1-1-1-1-1 11 1-1 1-1-1 1-11-1-1-1-1 1 1 11 1-1-1 1 1-1-11-1-1 1 1-1-1 11-1 1-1 1-1 1-11 1 1 1 1 1 1 181)7()6()5()4()3(2)1()0(WWWWWWWWffffffff( )( )( )( )( )( )( )01345671 11 11 1(2) 1 1 1 1 1 1

9、- 1-1 1-1 1-1 -1-1 1 1-1-11-1-1 1 1-1-1 11 1 1 1-1-1-1-11-1 1-1-1 1-1 11 1-1-1-1-1 1 11-1-1 1-1 1 1-1 -1 1 2020000000110011反變換為3.3.7 離散沃爾什變換的性質(zhì)離散沃爾什變換的性質(zhì) 離散沃爾什變換有許多性質(zhì)。下面把主要性質(zhì)列舉離散沃爾什變換有許多性質(zhì)。下面把主要性質(zhì)列舉于下。為敘述方便起見，用于下。為敘述方便起見，用 表示時(shí)間序表示時(shí)間序列，用列，用 表示變換系數(shù)序列，以表示變換系數(shù)序列，以 表示沃爾什變換對(duì)應(yīng)關(guān)系。表示沃爾什變換對(duì)應(yīng)關(guān)系。 )(tf)(nW)()(nW

10、tf (4136) ( )( )f tW n11( )( )ftW n22af tafta W na W n11221122 ( )( )( )( )（）線性（）線性 如果如果 則則 其中其中為常數(shù)為常數(shù)。21aa ，（）（） 模模2移位性質(zhì)移位性質(zhì) 將時(shí)間序列將時(shí)間序列 作作L位模位模2移位所得到的序列，移位所得到的序列，我們稱為模我們稱為模2移位序列。移位序列。)(tf模模2移位是這樣實(shí)現(xiàn)的：移位是這樣實(shí)現(xiàn)的： 設(shè)：設(shè)： 是周期長(zhǎng)度為是周期長(zhǎng)度為N的序列。作一個(gè)新的序列的序列。作一個(gè)新的序列)1(),2(),1 (),0()(Nfffftf () ( ), ( ), ( )()z mzzz

11、z Nl0121 (4137) 其中其中 。此時(shí)，稱。此時(shí)，稱 是序列是序列f(t)的位模的位模2移位序列。移位序列。)()(ltfmzlmz)( )7 (),6 (),5 (),4 (),3 (),2 (),1 (),0 ()(fffffffftf 例：例：8NL=2， 則：)27 (),26 (),25 (),24(),23 () 22(),21 (),20 ()(2ffffffffmz 由于B0) 1 (0=0) 1 (00) 0 0(20=(2)D B1) 1 (0=0) 1 (01) 0 0(21=(3)D B0) 0 (0=0) 1 (00) 1 0(22=(0)D B1) 0 (

12、0=0) 1 (01) 1 0(23=(1)D B0) 1 (1=0) 1 (00) 0 1 (24=(6)D B1) 1 (1=0) 1 (01) 0 1 (25=(7)D B0) 0 (1=0) 1 (00) 1 1 (26=(4)D B1) 0 (1=0) 1 (01) 1 1 (27=(5)D所以 ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( )z mffffffff223016745同理 ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( )z mffffffff332107654用矩陣表示為 zMf11式中 ( ) (

13、)ff tz m z11M10 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0(4139) (4140) IMMT zMf22按照模按照模2和的性質(zhì)，可知和的性質(zhì)，可知這里這里I是么陣。是么陣。(4141) 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0

14、 0 00 0 0 0 0 1 0 02M模模2移位性質(zhì)是指下面的關(guān)系移位性質(zhì)是指下面的關(guān)系：如果如果 ，并且，并且 是是 的模的模2移位序列，移位序列，)()(nWtf1)( tz)(tf則則 ( )( )z tW nz1ltz )(式中：式中： ， 是矩陣是矩陣 中中的第的第n行第行第l列的元素；列的元素； n=0，1，2，(N-1)；t=0，1，2，(N-1)； ，p是正整數(shù)。是正整數(shù)。)(),()(nWlnwalnWz),( lnWalPwal2Np 2此定理可證明如下：此定理可證明如下： 令 為 的元素， 是 的模2移位序列，則)(tzltz )(ltz)()( tf1010),()

15、(1 ),()(1)(NtNtztnwalltfNtnwaltzNnW令令 ，則有，則有 ，并且當(dāng)，并且當(dāng) t 取值由取值由0到到N-1時(shí)，時(shí)，r 也取同樣的值，只不過(guò)取值的順序不也取同樣的值，只不過(guò)取值的順序不同而已。于是可寫成如下形式：同而已。于是可寫成如下形式：rtl trl )(),(),()(1),(),()(1),(),(),()(1 ),()(1)(10101010nWlnwaltnwaltfNlnwalrnwalrfNlnwallnwalrnwalrfNlrnwalrfNnWNtNrNrNrz所以，證明所以，證明 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，這說(shuō)，這說(shuō)明明 與與l無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，模無(wú)關(guān)。也

16、就是說(shuō)，模2移位后的序列，作移位后的序列，作沃爾什變換后，所得到的第沃爾什變換后，所得到的第n個(gè)系數(shù)的平方個(gè)系數(shù)的平方 與與模模2移位的移位位數(shù)無(wú)關(guān)。移位的移位位數(shù)無(wú)關(guān)。 仍然等于仍然等于 。)()(nWtzzl2222z)n(W)n(W)l ,n(wal)n(W2)(nWz2)(nWz2)(nWz2)(nW 因此，模2移位定理（或稱為并元移位定理）又可表達(dá)為輸入序列 模2移位后的功率譜是不變的。)(tf 例如：設(shè)輸入序列 ，對(duì)此序列作l=3的模2移位，得1 1, 0, 0, 1, 1, 0, , 0)(tf ( )() , , , , , , , z tf t3311 0 0 11 0 0作

17、沃爾什變換得0 0, 0, 0, ,0, -0, 21,21)(nW根據(jù))(),()(nWlnwalnWz 可得0 0, 0, 0, ,0, 0, 21,21)()3,()(),()(nWnwalnWlnwalnWz41)21()0(22W41)21()3(22W41)21()0(22zW可見n相同時(shí)，功率也相同，也就是說(shuō)功率列率譜是不變的。41)21()3(22zW（） 模2移位卷積定理（時(shí)間） 在討論下面的定理之前，首先說(shuō)明一下模2移位卷積與模2移位相關(guān)的概念。 令 和 是兩個(gè)長(zhǎng)度相同的周期性序列。用下式來(lái)定義兩個(gè)序列的模2移位卷積：)(1tf)(2tf)()(1)()(1)(210121

18、0112ltflfNltflfNtCNlNl (4143) )()(1)(210112ltflfNtKNl(4144) )(12tC式中 為模2卷積， 為模2減運(yùn)算符，它的運(yùn)算結(jié)果與模2加一樣。 模2移位相關(guān)的定義式如式(3144)所示其中其中 表示模表示模2移位相關(guān)，移位相關(guān)， 是是 的模的模2移移位序列。位序列。 )(12tK)(2ltf)(2tf由式由式(4143)和和(4144)可見，模可見，模2移位卷積和模移位卷積和模2移位移位相關(guān)具有相同的結(jié)果相關(guān)具有相同的結(jié)果,即：即： )()(1)()(21011212ltflfNtCtKNl如果用如果用W 代表作沃爾什變換，則：代表作沃爾什變

19、換，則：( )( )( )CtW nW n1212則(4145) ( )( )( )( )ftWnftWn1122 下面討論模下面討論模2移位卷積定理移位卷積定理 如果如果)()(),()()(),()()(),()()(),()()(),()()(nWnWlnwallfNnWlnwalnWlfNtnwalltfNlfNtnwalltflfNNtnwaltCNtCNlNlNlNtNtNlNt12101210211010211010211012121 1 11 11 1W所以證明( )( )( )CtW nW n1212 （）（） 模模2移位列率卷積定理移位列率卷積定理模2移位列率卷積由下式來(lái)表

20、示1121201120( )( )( )()( )()NrNrW nW nW rW r nW rW rn(4146) 依照模2時(shí)間卷積定理，模2移位列率卷積定理如下 如果 ( )( )( )( )ftWnftWn1122( )( )( )( )W nW nftft1212(4147) 仿照模2移位時(shí)間卷積定理的證明方法可得到證明。則（）（） 模模2移位自相關(guān)定理移位自相關(guān)定理 從模從模2 移位時(shí)間卷積移位時(shí)間卷積(相關(guān)相關(guān))定理可以得到模定理可以得到模2移位移位自相關(guān)定理。只要把定理中的自相關(guān)定理。只要把定理中的 和和 換成換成 和和 便立即可以得到模便立即可以得到模2移位移位自相關(guān)定理。自相

21、關(guān)定理。)(2tf)(2nW)(1tf)(1nW() () KtWn1 112(4148) 其證明方法也與模其證明方法也與模2移位時(shí)間卷積定理的證明一樣。移位時(shí)間卷積定理的證明一樣。 從式從式(4148)可以建立一個(gè)重要概念：可以建立一個(gè)重要概念：模模2移位自相關(guān)序列的沃爾什變換等于序列的功移位自相關(guān)序列的沃爾什變換等于序列的功率譜。率譜。也就是說(shuō)，模也就是說(shuō)，模2移位下的自相關(guān)序列的移位下的自相關(guān)序列的沃爾什變換正好與序列的功率譜相符合。沃爾什變換正好與序列的功率譜相符合。與傅與傅里葉變換相比較，模里葉變換相比較，模2 2移位下的自相關(guān)與沃爾移位下的自相關(guān)與沃爾什譜的關(guān)系相當(dāng)于線性移位下的自

22、相關(guān)序列的什譜的關(guān)系相當(dāng)于線性移位下的自相關(guān)序列的離散傅里葉變換與其功率譜的關(guān)系。離散傅里葉變換與其功率譜的關(guān)系。 （）帕斯維爾定理（）帕斯維爾定理 如果 )()(11nWtf則 10211021)()(1NnNtnWtfN(4149) 證明：設(shè) )()(11nWtK)()(2111nWtK因?yàn)橐驗(yàn)槭亲韵嚓P(guān)函數(shù)，所以是自相關(guān)函數(shù)，所以)(11tK10211011),()(),()()(NnNntnwalnWtnwalnWtK 則 又由于又由于 )()(1)(111011ltflfNtKNl所以所以),()()()(110211110tnwalnWltflfNNlNl 如果令如果令t=0，則11

23、2011201NflWnlNnN( )()10211021)()(1NnNtnWtfN由于由于 l 僅是求和運(yùn)算的變量，因此將僅是求和運(yùn)算的變量，因此將 l 換成換成 t ，即可得：即可得：（）循環(huán)移位定理（）循環(huán)移位定理 把序列把序列 循環(huán)地向左移若干位，例如移循環(huán)地向左移若干位，例如移l位，位，l=1，2，N-1，這樣得到的序列叫循環(huán)移位，這樣得到的序列叫循環(huán)移位序列。如果用序列。如果用 來(lái)表示循環(huán)移位序列，來(lái)表示循環(huán)移位序列，)( tf)(ltz1 , 2, , 1 )1(),2(),1( ),()(Nllflflflftzl(4150) ( ) ( ), ( ), ( ),() ( )

24、, ( ), ( ), ( )z tffffffff334567012 ( ) ( ), ( ), ( ),() ( ), ( ), ( ), ( )z tffffffff556701234 ( ) ( ), ( ), ( ),() ( ), ( ), ( ), ( )f tffffffff01234567 例如：有一個(gè)N=8的序列， 當(dāng)l=5，l=3 的循環(huán)移位序列分別為循環(huán)移位定理的內(nèi)容如下：循環(huán)移位定理的內(nèi)容如下： 如果如果 和它的循環(huán)移位序列和它的循環(huán)移位序列 的沃爾的沃爾什哈達(dá)瑪變換分別是什哈達(dá)瑪變換分別是 和和 ，則，則)(tf)(ltz)(nWf)(nWz1222122222)1

25、()1()()()0()0(rrrrnfnzfznWnWWW (4151) 式中 1,log, 2, 12 N,1,2,l Np p r 這個(gè)定理把序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)與循環(huán)這個(gè)定理把序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)與循環(huán)移位序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)聯(lián)系了起來(lái)。即移位序列的沃爾什哈達(dá)瑪變換系數(shù)聯(lián)系了起來(lái)。即某些之某些之 和和 與與 之和是相等的。所以這之和是相等的。所以這個(gè)定理又稱為個(gè)定理又稱為沃爾什哈達(dá)瑪變換的循環(huán)移位不變沃爾什哈達(dá)瑪變換的循環(huán)移位不變性性。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明本定理的意義。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明本定理的意義。)(2nWf)(2nWz 例如設(shè) ，經(jīng)沃爾什哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列

26、為 1 1, 0, 0, 1, 1, 0, , 0)(tf( ) ,W nf12 0, -12, 0, 0, 0, 0, 0現(xiàn)將 做l=3的循環(huán)移位，則 )(tf ( ) ,z t31 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1此序列經(jīng)沃爾什哈達(dá)瑪變換后的系數(shù)序列為0 0, 0, 0, ,0,21 0, ,21)(nWz0)1()(0)1()(2212222122)1()1(ffnzznWnWWnWrrrr當(dāng)r=1時(shí)，則： WWzf220014( )( )(nWf)(nWz21) 0 (,21) 0 (fzWW 所以 0) 1 () 1 (22fzWW當(dāng)2r時(shí)，則： 41)3()2()(41)3(

27、)2()(222122222122)1()1(fffnzzznWWnWWWnWrrrr所以 41)3()2()3()2(2222ffzzWWWW 0)7()6()5()4()(222122221fffnffWWWWnWrr0)7()6()5()4()(222122221zzznzzWWWWnWrr當(dāng)r=3時(shí)，則：所以：所以： )7() 6() 5 () 4()7() 6() 5 () 4(22222222ffffzzzzWWWWWWWW顯然，這些關(guān)系符合循環(huán)移位定理。顯然，這些關(guān)系符合循環(huán)移位定理。 需要特別指出的是這個(gè)定理只適用于沃爾什哈達(dá)需要特別指出的是這個(gè)定理只適用于沃爾什哈達(dá)瑪變換。此

28、定理的更加一般性的證明，請(qǐng)參閱有關(guān)書瑪變換。此定理的更加一般性的證明，請(qǐng)參閱有關(guān)書籍。籍。4.3.8 快速沃爾什變換快速沃爾什變換 離散付里哀變換有快速算法。同樣，離散沃爾什變離散付里哀變換有快速算法。同樣，離散沃爾什變換也有快速算法。利用快速算法，完成一次變換只換也有快速算法。利用快速算法，完成一次變換只須須 次加減法，運(yùn)算速度可大大提高。次加減法，運(yùn)算速度可大大提高。當(dāng)然快速算法只是一種運(yùn)算方法，就變換本身來(lái)說(shuō)當(dāng)然快速算法只是一種運(yùn)算方法，就變換本身來(lái)說(shuō)快速變換與非快速變換是沒有區(qū)別的?？焖僮儞Q與非快速變換是沒有區(qū)別的。NN2log 由于沃爾什哈達(dá)瑪變換有清晰的分解過(guò)程，而由于沃爾什哈達(dá)瑪

29、變換有清晰的分解過(guò)程，而且快速沃爾什變換可由沃爾什哈達(dá)瑪變換修改且快速沃爾什變換可由沃爾什哈達(dá)瑪變換修改得到，所以下面著重討論沃爾什哈達(dá)瑪快速變得到，所以下面著重討論沃爾什哈達(dá)瑪快速變換。換。式中式中 為正整數(shù)。為正整數(shù)。pNp,2W nNHf tH( ) ( )1 (4152) 由離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的定義可知由離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的定義可知 這里以這里以8階沃爾什哈達(dá)瑪變換為例，討論其分解階沃爾什哈達(dá)瑪變換為例，討論其分解過(guò)程及快速算法。由克羅內(nèi)克積可知過(guò)程及快速算法。由克羅內(nèi)克積可知： 210444422222222222244442222222244444444442480000000

30、000000000000000000000GGGIIIIII II IIIIH H H HIIIIHH HH HHHHIIIIHHHHHHHHH - - - - - - - 0 0 - (3153) 其中GHHHH02222000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4154) 222222221- 0 0 0 0 0 0 - 00 IIIIIIIIG(4155) GIIII24444 -(4156) 其中 均為么陣42 , II由上面的分解有WnGGGf tH( )( )18012 (4157) 令 ftGftftGftftGft12211302( )( )( )( )( )( ) 則 W

31、 nf tH( )( )183 下面是具體計(jì)算 的公式及流程圖。)( , )( , )(321tftftfftGft12( )( )fffffffffffff111111110123456710123( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 11 0 0 0 -1 0 0 00 1 0 0 0 -1 0 00 0 1 0 0 0 -1 00 0 0 1 0 0 0 -145670415263704152637)( )( )( )( )( )( )(

32、 )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )fffffffffffffffffff(4158) )7()5()6()4()7()5()6()4()3() 1 ()2()0()3() 1 ()2()0()7()6()5()4()3()2() 1 ()0( 1-0 1 0 0 0 0 00 1-0 1 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1-0 1 00 0 0 0 0 1-0 10 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 1)7()6()5()4()3()2() 1 ()0(11111111111

33、111111111111122222222ffffffffffffffffffffffffffffffffftGft211( )( )ftGft302( )( )fffffffffff33333333222012345671012( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 0 0 0 0 0 01-1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 0 1-1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 00 0 0 0 1-1 0 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1-1 fffffffffffffffffffff22222222222

34、2222222222345670101232345456767( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(4160) 圖圖 414 快速沃爾什快速沃爾什-哈達(dá)瑪變換信號(hào)流圖（哈達(dá)瑪變換信號(hào)流圖（N=8）離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的特點(diǎn)：離散沃爾什哈達(dá)瑪變換的特點(diǎn)： 1）、）、WHT只有加減運(yùn)算，沒有乘除運(yùn)算，運(yùn)只有加減運(yùn)算，沒有乘除運(yùn)算，運(yùn)算速度快；算速度快； 2）、）、H是對(duì)稱矩陣，是對(duì)稱矩陣，H=H ,所以，正所以，正反變換均用一樣的公式，一樣的運(yùn)算程序，甚反變換均用一樣的公式，一樣的運(yùn)算程序，甚至用一樣的硬件，

35、給工程帶來(lái)極大方便。至用一樣的硬件，給工程帶來(lái)極大方便。4.3.9 多維變換多維變換圖像處理多用二維變換，二維變換的定義圖像處理多用二維變換，二維變換的定義：H)v,u(WH)y .x(f H)y,x(fHN1)v,u(wH2H 二維沃爾什哈達(dá)瑪變換可用一維沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)計(jì)二維沃爾什哈達(dá)瑪變換可用一維沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)計(jì)算，其步驟如下：算，其步驟如下： (1)、以、以 ，對(duì)，對(duì) 中中 個(gè)列中的每一列做變換，個(gè)列中的每一列做變換，得到得到 ； (2)、以、以 對(duì)對(duì) 中中 行的每一行作變換，行的每一行作變換，即可得到二維變換系數(shù)即可得到二維變換系數(shù) 。根據(jù)這一步驟，便可以。根據(jù)這一步驟，便可以

36、利用一維快速沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)完成二維沃爾什哈利用一維快速沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)完成二維沃爾什哈達(dá)瑪變換的計(jì)算。達(dá)瑪變換的計(jì)算。xNN),(yxfyN),(yuWxyNN),(yuWxxN),(vuWxy另外一種計(jì)算方法是將二維沃爾什哈達(dá)瑪變換當(dāng)做另外一種計(jì)算方法是將二維沃爾什哈達(dá)瑪變換當(dāng)做一維來(lái)計(jì)算。這種方法是將數(shù)據(jù)矩陣的各列依次順序一維來(lái)計(jì)算。這種方法是將數(shù)據(jù)矩陣的各列依次順序排列，這樣就形成由排列，這樣就形成由 個(gè)元素的列矩陣。然后再個(gè)元素的列矩陣。然后再按照一維沃爾什哈達(dá)瑪變換方法來(lái)計(jì)算。下面用實(shí)按照一維沃爾什哈達(dá)瑪變換方法來(lái)計(jì)算。下面用實(shí)例說(shuō)明一下兩種計(jì)算方法。例說(shuō)明一下兩種計(jì)算方法。y

37、xNN 例：設(shè)數(shù)據(jù)矩陣如下例：設(shè)數(shù)據(jù)矩陣如下 (,)fxy 1 3 12 1 2 21),(yxf),(yxf求求 的二維沃爾什哈達(dá)瑪變換的二維沃爾什哈達(dá)瑪變換。 W uHx( , ) 01212121121232 11-1 -1首先對(duì)首先對(duì) 的每一列作變換：的每一列作變換： 第一列 Wux( ,) 11-1 2121321251第三列第三列 W ux( , ) 1121111220 11-1 第二列第二列 第四列第四列 Wux( ,) 11-1 -1312112123( , )W u yx123 2 5 3-1 0 1-1 所以所以 Wux( , )014121325318133 1 1 1

38、1-1 1-11 1-1-11-1-1 1 -3-1第一行第一行 對(duì)對(duì) 每一行作變換每一行作變換 ),(yuWx第二行第二行 W ux( , ) 11412118 1 1 11-1 1-11 1-1-11-1-1 1 -1 0 1-1-1 1-1-3最后得到二維變換系數(shù)矩陣最后得到二維變換系數(shù)矩陣 3- 1- 1 1-1- 3- 3 1381),(vuWxy以上是采用第一種算法得到的結(jié)果。以上是采用第一種算法得到的結(jié)果。 第二種算法如下：第二種算法如下： 將將 改寫成列矩陣改寫成列矩陣Y，即，即 ),(yxf21231121 Y對(duì)對(duì) Y做一維變換做一維變換 WWWWWWWWYyyyyyyy(

39、)( )()( )()( )( )()01234567181 1 1 1 1 1 1 11 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 11 1 - 1 - 1 1 1 - 1 - 11 - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 11 1 1 1 - 1 - 1 - 1 - 11 - 1 1 - 1 - 1 1 - 1 11 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 11 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 -1 3 1-3-1-1-3121132121813然后重排一下然后重排一下3- 1- 1 1-1- 3- 3 1381),(vuWxy 顯然，與第一種算法得到的結(jié)果一致。顯然，與第一種算

40、法得到的結(jié)果一致。 哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換函數(shù)函數(shù)哈達(dá)瑪變換矩陣函數(shù)哈達(dá)瑪變換矩陣函數(shù) H=hadamard(n)返回返回nxn矩陣矩陣hadamard變換矩陣，變換矩陣， H*H=n*I Hadmard變換的應(yīng)用變換的應(yīng)用 sig=imread(lena.bmp); sig=double(sig)/255; subplot(121);imshow(sig) m_sig,n_sig=size(sig); sizi=8; snum=64; T=hadamard(sizi); hdcoe=blkproc(sig,sizi sizi,P1*x*P2,T,T); coe=im2col(hdcoe,siz

41、i sizi,distinct); coe_temp=coe; Y,Ind=sort(coe); m,n=size(coe); snum=m-snum; for i=1:n coe_temp(Ind(1:snum),i)=0; end re_hdcoe=col2im(coe_temp,sizi sizi,m_sig,n_sig,distinct); re_sig=blkproc(re_hdcoe,sizi sizi,P1*x*P2,T,T); subplot(122);imshow(re_sig,)( , )f x y dxy在 上的投影；Radon變換變換Radon變換是計(jì)算圖象在某一指定角度射線上投影變換是計(jì)算圖象在某一指定角度射線上投影的變換的變換f(x,y)在某方向上的投影在該方向上的線積分：在某方向上的投影在該方向上的線積分：( , )f x y dyx在 上的投影；cossinsincosxxyy Radon變換變換f(x,y)在某方向上的投影在該方向上的線積分：在某方向上的