控制工程基礎(chǔ) 王積偉第六章

1、5/9/20221第六章 線性離散系統(tǒng)與z z變換二、采樣過程與采樣定理三、Z變換與Z反變換四、脈沖傳遞函數(shù)五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析六、數(shù)字控制器與離散PID控制一一、概述七、小結(jié)5/9/20222第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換一一、概述l 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 連續(xù)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中各部分傳遞的信號為隨時間連續(xù)變化的信號。連續(xù)控制系統(tǒng)通常采用微分方程描述。 離散控制系統(tǒng)系統(tǒng)中某一處或多處的信號為脈沖序列或數(shù)字量傳遞的系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)通常采用差分方程描述。 5/9/20223第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的分類離散控制系統(tǒng)的分類 采樣控制系統(tǒng)間斷地對系統(tǒng)中某些變量進行

2、測量和控制。sa 受某一信號控制，使其短暫接通后立即斷開。采樣開關(guān)接通的時間間隔可以相等，亦可不等，相等時稱為均勻采樣。圖中，sa為采樣開關(guān)或采樣器。G(s)H(s)xi(t)xo(t)sa (t)*p(t)5/9/20224第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換連續(xù)信號 (t)經(jīng)采樣開關(guān)后成為離散信號*p(t)。該過程稱為采樣，相應(yīng)離散控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)。t (t)0t0*p(t)采樣控制系統(tǒng)的特點：采樣開關(guān)閉合時，系統(tǒng)處于閉環(huán)工作狀態(tài)，斷開時處于開環(huán)狀態(tài)。5/9/20225第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換采樣控制最早出現(xiàn)于某些大慣性或具有較大滯后特性的對象控制中。例如，工業(yè)爐溫度控制系統(tǒng)。工業(yè)爐可

3、以視為具有延遲時間 的慣性環(huán)節(jié)，其延遲時間可長達數(shù)秒甚至數(shù)十秒，慣性時間常數(shù)也相當(dāng)大，采用常規(guī)控制無法解決控制精度與動態(tài)性能之間的矛盾，而采用采樣控制將取得良好的控制效果：可以取較大的開環(huán)增益保證穩(wěn)態(tài)精度，又可抑制系統(tǒng)調(diào)節(jié)過頭產(chǎn)生大幅振蕩。5/9/20226第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 數(shù)字控制系統(tǒng)系統(tǒng)中含有數(shù)字計算機或數(shù)字編碼元件。圖中，A/D：模擬信號至數(shù)字信號轉(zhuǎn)換器； D/A：數(shù)字信號至模擬信號轉(zhuǎn)換器。被控對象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)A/D計算機D/A5/9/20227第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q A/D轉(zhuǎn)換采樣x(t)模擬信號取樣信號s(t)0ts(t)xs(t)

4、量化編碼數(shù)字信號x(n)0tx(t)0tx(nt)tt0qx(n)000001010011nx(nt)5/9/20228第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 D/A轉(zhuǎn)換D/A轉(zhuǎn)換器低通濾波器nx(n)tx(t)tx(t)x(n)x(t)x(t)5/9/20229第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換被控對象H(s)xi(t)xo(t) (t)*(t)計算機保持器sam*(t)sbm(t)圖中，sa 與sb同步開關(guān)。 保持器：實現(xiàn)信號復(fù)現(xiàn)。將離散信號恢 復(fù)為模擬信號。5/9/202210第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換t (t)0t0*(t)t0m*(t)t0m(t)5/9/202211第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l

5、 離散控制系統(tǒng)的特點離散控制系統(tǒng)的特點 采樣信號特別是數(shù)字信號可以有效抑制噪聲， 從而提高系統(tǒng)抗干擾能力； 由計算機構(gòu)成的數(shù)字控制器，控制規(guī)律由軟 件實現(xiàn)，易于改變，控制靈活，且效果優(yōu)于 連續(xù)式控制。 允許采用高靈敏度控制元件，提高控制精度。 可實現(xiàn)分時控制若干系統(tǒng)，提高設(shè)備利用率。 對大延遲系統(tǒng)可以引入采樣方式穩(wěn)定。 可以實現(xiàn)各種先進控制方式。5/9/202212第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散控制系統(tǒng)的研究方法離散控制系統(tǒng)的研究方法 差分方程 z變換經(jīng)過 z 變換處理后的離散系統(tǒng)，可以將連續(xù)系統(tǒng)的分析方法經(jīng)過適當(dāng)改變應(yīng)用于離散系統(tǒng)的分析和設(shè)計。 狀態(tài)空間雖然采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)的

6、構(gòu)成及部件存在基本區(qū)別，但其分析和設(shè)計方法相同。5/9/202213第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換二、采樣過程與采樣定理l 采樣過程采樣過程sax(t)x*p(t)t0 x(t)t0t0T 2T 3T 4Tx*p(t)x*(t)設(shè) sa 每隔時間T接通一次，接通時間為 ，并滿足T 。 T 稱為采樣周期。其倒數(shù)稱為采樣頻率。由于T ，故可近似認為在 時間間隔內(nèi)，輸出維持不變。5/9/202214第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換從而：)2( 1)2( 1)2( )( 1)( 1)()( 1)( 1)0()(*TtTtTxTtTtTxttxtxp0)( 1)( 1)(nnTtnTtnTx0)( 1)( 1

7、 )(nnTtnTtnTx當(dāng) T，且遠遠小于離散系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)時，可近似認為 0。從而有：5/9/202215第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換00*)( 1)( 1 )(lim)(npnTtnTtnTxtx)( 1)( 1lim0nTtnTt1)( 1)( 1dtnTtnTt注意到：00*)()( )()()(nnpnTtnTxnTtnTxtx從而：5/9/202216第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換0)()(nTnTtt)()()()()()()(00*ttxnTttxnTtnTxtxTnn令：sax(t)x*p(t)x*(t)可見，采樣過程可理解為脈沖調(diào)制過程，即連續(xù)輸入信號 x(t) 對

8、周期的理想脈沖載波信號進行調(diào)制，調(diào)制后在nT 時刻的脈沖強度為x(nT)。)()(*txtxp注意到：因此，采樣開關(guān)結(jié)構(gòu)圖可表示為：5/9/202217第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換顯然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的時間響應(yīng)。但須注意，由于 x*(t) 只描述了 x(t) 在采樣瞬時的數(shù)值，故 X* (s)不能給出 x(t)在采樣間隔之間的信息。此外也不能認為x*(t) 在采樣間隔內(nèi)數(shù)值為0。上述分析過程中，假設(shè)了：x(t)=0，t 0，該條件對實際控制系統(tǒng)通常都是滿足的。0*)()()(nnTsenTxtxLsX對x*(t) = x(t)T(t)進行拉氏變換：5/9/202218第六章

9、 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣定理采樣定理x*(t)只給出了x(t)在時域的部分信息，為了能從x*(t)不失真地恢復(fù)出原始的連續(xù)信號x(t)，采樣間隔（采樣頻率）需要滿足一定的條件。時域采樣原始信號f = f0fs=8f0fs=4f0fs=2f05/9/202219第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換由上述時域采樣圖形分析可見： 對單個連續(xù)正弦信號進行采樣，采樣頻率不 能低于信號頻率的兩倍； 對多個正弦信號疊加組成的信號進行采樣， 采樣頻率不能低于信號中最高頻率的兩倍。sin2f0tsin14f0tsin2f0t+sin14f0t時域采樣：混疊fs= 8f05/9/202220第六章 線性離散系統(tǒng)與z

10、變換工程中的連續(xù)信號 x(t) 都可以通過傅立葉級數(shù)或傅立葉變換展開為多個或無窮個正弦信號分量的疊加，即信號的頻域描述(頻譜)。如對周期為T0的信號x(t)，其傅立葉級數(shù)展開1000sincos)(nnntnbtnaatx為信號角頻率。002Tn為正整數(shù)。 其中：5/9/202221第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2/2/0000)(1TTdttxTa2/2/0000cos)(2TTndttntxTa2/2/0000sin)(2TTndttntxTb如非周期信號x(t)，其傅立葉變換對為dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(5/9/202222第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換根據(jù)

11、前述時域采樣的分析，若連續(xù)信號 x(t) 不包含任何大于 max 的頻率分量(帶限信號)，則為了能從采樣信號x*(t)無失真地恢復(fù)出原始的連續(xù)信號x(t) ，采樣頻率s必須滿足： s 2max（或：fs 2fmax）此即為香農(nóng)采樣定理。實際采樣時，fs常取為信號最高頻率的34倍。 5/9/202223第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 信號恢復(fù)信號恢復(fù)x(t)t0X()0max-maxAT(t)t0T 2T 3T4T5T 6T|T()|0s-sx*(t)t0T 2T3T4T5T 6T|X*()|0s-sA/T)()()(*ttxtxT)()()(*TXX5/9/202224第六章 線性離散系統(tǒng)與z

12、變換由圖可見，采樣信號x*(t)的頻譜X*()是以采樣角頻率 s 為周期的無窮多個原連續(xù)信號x(t) 的頻譜 X() 幅值變化了1/T 倍，并沿頻率軸平移了ns后的和。n = 0處的頻譜稱為采樣信號頻譜的主分量， ns (n 0) 處的頻譜為采樣引起的高頻輔助分量。易見，若采樣信號x*(t) 滿足采樣定理，則通過截止頻率為s/2的理想低通濾波器可準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號x(t) 的頻譜 X()，即恢復(fù)出x(t)。5/9/202225第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換實際濾波器不可能具有理想的頻率截止特性，即理想濾波器是不存在的。工程中通常通過保持器（低通濾波器）來恢復(fù)連續(xù)信號x(t)。 保持器數(shù)學(xué)描述從

13、采樣過程可知，在采樣時刻上，脈沖序列的脈沖強度等于連續(xù)信號的幅值，但在兩個相鄰的采樣時刻之間，連續(xù)信號的幅值未知，只能根據(jù)采樣時刻的脈沖強度進行插值或外推。5/9/202226第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換保持器就是實現(xiàn)外推功能的一種裝置。能夠物理實現(xiàn)的保持器只能根據(jù)現(xiàn)在時刻和過去時刻的采樣值完成外推，而不能根據(jù)將來時刻的采樣值完成外推。保持器的外推規(guī)律通常用多項式關(guān)系描述：mmtatataatnTx)()()(2210其中，0tT。系數(shù) a0am 由過去m+1個采樣值x*(n-m)T x*(nT)確定。 m稱為保持器的階次。5/9/202227第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 零階保持器零階保持器

14、的外推公式為：TtnTxnTxatnTx0),()()(*0即零階保持器按常值外推，將前一采樣時刻nT 的采樣值 x*(nT)一直保持到下一采樣時刻(n+1)T 到來之前，從而使離散采樣信號 x*(t)變成階梯連續(xù)信號xh(t)。5/9/202228第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換txh(t) x(t)0T2T 3T4T5T 6T 7Tx(t)xh(t)若將上述階梯信號xh(t)的中點連接起來，即可得到與連續(xù)信號 x(t)形狀一致但滯后半個采樣周期的響應(yīng)x(t -T/2)。注意到：0) 1(1)( 1)()(nhTntnTtnTxtx5/9/202229第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若考慮保持器串接

15、于采樣器之后，并考慮保持器的輸入為x*(t)，即將采樣器中的考慮到保持器中去：00)1()(1 )()()(nnTsTsnTsnnTshhenTxseseenTxtxLsXsax(t)x*p(t)x*(t)零階保持器xh(t)5/9/202230第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換從而由：0*)()(nnTsenTxsX0*)()()(nnTtnTxtx可得結(jié)合后零階保持器的傳遞函數(shù)：sesGTsh1)(因此，分析采樣控制系統(tǒng)時，若保持器的傳遞函數(shù)表示為上述形式，則采樣信號將直接表示為x*(t)，而不必考慮 的影響。5/9/202231第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換T0-22/T4/T6/T|Gh(j)

16、|Gh(j)零階保持器的頻率特性：2/2/2/2/2/)2/sin( 1)(TjTjTjTjTjheTTTjeeejejG5/9/202232第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換零階保持器的特點：q 非理想的低通濾波器。允許部分高頻分量 通過，導(dǎo)致恢復(fù)出的連續(xù)信號存在紋波。q 時間延遲特性。延遲時間為 T/2 ，使系統(tǒng) 相角滯后加大，對穩(wěn)定性不利。相位滯后是各階保持器的共性，與一階及高階保持器相比，零階保持器具有最小的相位滯后，且結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，因此，實際系統(tǒng)普遍采用零階保持器。5/9/202233第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l Z變換變換三、Z變換與Z反變換考慮連續(xù)信號x(t) (x(t)=0，

17、t0)的z變換。解解：111 1)(112210zeezzzezezezetxZaTaTaTaTaTnnanT根據(jù)定義求得的z變換為無窮級數(shù)形式，對于常用函數(shù)z變換的級數(shù)形式，都可以寫出其閉合形式。5/9/202238第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換z變換的無窮級數(shù)形式具有明顯的物理意義：z-n (n = 0, 1, 2, )的系數(shù)直接表示連續(xù)時間函數(shù)在各采樣時刻上的采樣值，而指數(shù)n表示從t = 0開始，以采樣周期T為間隔的各個采樣時刻nT。因此，z變換含有時間的概念，可由連續(xù)函數(shù)z變換的無窮級數(shù)形式清楚地看出其在各采樣時刻上的采樣序列的分布情況。5/9/202239第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q

18、 部分分式法步驟： 求已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)； 將X(s) 展開為部分分式形式，使每一部分 分式對應(yīng)簡單的時間函數(shù)，求得其相應(yīng)的 z 變換；將各部分的z 變換相加獲得x(t)的z變換。5/9/202240第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例4 已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換： 求相應(yīng)的z變換。)()(assasXaTaTaTaTatezezezezzzzeZtZtxZzX)1 ()1 ( 1)( 1 )()(2解解：assassasX11)()(atetx1)(5/9/202241第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例5 求 x(t) = sint 的z變換。解解：jsjsjssX1121)(2

19、2jsjsjZzX1121)(TjTjezzezzj211cos2sin1)()(2122TzzTzeezzeezjTjTjTjTj5/9/202242第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 留數(shù)計算法nrpssMsXiiirii)()()(若已知：ipssTrirriipssTiiiiiezzsXpsdsdrezzsXreszX)()()!1(1 )()(11則：5/9/202243第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例6 求單位速度函數(shù)x(t) = t (t 0)的z變換。解解：21)(ssXp1 = 0，r1 = 2nipssTrirriiiiiezzsXpsdsdrzX111)()()!1(1)(02

20、21)!12(1ssTezzssdsd202) 1()(zTzezTzessTsT5/9/202244第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 其它方法例7 求 x(t) = cost 的z變換。解解：tjtjeet21cosTjTjtjtjezzezzeZeZzX2121)(1cos2)cos(2TzzTzz5/9/202245第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例8 求單位階躍函數(shù)的z變換。解解：由于)0(lim)( 10tetata1lim lim)( 100zzezzeZtZaTaata5/9/202246第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 z變換的性質(zhì)q 線性性 Zax1(t)+bx2(t) = aZx1(

21、t)+bZx2(t) 其中a、b為常數(shù)。q 時域位移定理)()(zXzkTtxZk10)()()(knnkznTxzXzkTtxZ其中k為正整數(shù)。滯后定理超前定理5/9/202247第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()(證明證明：)(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk)()(zXzk當(dāng)m0時，x(mT)=0mmkzmTxz0)(5/9/202248第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換nnzkTnTxkTtxZ0)()()(0)(knnkzTknxzknmzmTxzmkmk)(mkmmmkzmTxzmTxz100)()(10)()(knnkznTxzXz5/9/

22、202249第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 復(fù)域位移定理)()(zeXtxeZaTatq 初值定理00)()(lim)0(tiftxzXxzq 終值定理)() 1(lim)(lim)(1zXznTxxzn若x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值，則：x(nT) (n = 0, 1, 2, ) 均為有限值也可表述為：(z-1)X(z)的全部極點位于z平面的單位圓內(nèi)。5/9/202250第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換證明證明：0)() 1()()(nnznTxTnxtxTtxZ)0()() 1()()(zxzXztxTtxZ又由時域位移定理：即：0)() 1()0()() 1(nnz

23、nTxTnxzxzXz因此：00111)() 1()() 1(lim)0()() 1(lim)0()() 1(limnnnzzznTxTnxznTxTnxxzXzzxzXz5/9/202251第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換NnNnnTxTnxnTxTnx00)() 1(lim)() 1(注意到：所以：存在若)(lim)() 1(lim)(lim)(1txzXztxxtzt)0()(lim)0() 1(limxtxxTNxtN5/9/202252第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 卷積定理x(nT)與y(nT)離散卷積定義為：00)()( )()()()(kkkTyTknxTknykTxnTynTx則

24、：)()()()(zYzXnTynTxZ5/9/202253第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換證明證明：00)()()()(nnkkznTyzYzkTxzX000)()( )()()()(knnkkzTknykTxzYzkTxzYzX時域位移定理00)()(nnkzTknykTx)()()()(0nTynTxZznTynTxnn5/9/202254第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l Z反反變換變換x(nT) = Z-1X(z)Z反變換的信號序列仍是單邊的，即當(dāng)n0后，該極點消失。5 . 0)2)(1(1)(001zznzzzzzXres當(dāng)n=0時：5/9/202266第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換322)

25、 1( )() 1()(111111znznznzzzzzXzzzXresnznznznzzzzzXzzzXres)2(311) 1( )()2()(2121215/9/202267第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換所以：6131325 . 0)0(x, 3, 2, 1)2(3132)(nnTxn01*)()2(3132)(5 . 0 )()2(3132)(61)(nnnnnTttnTtttx5/9/202268第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 Z變換及反變換只反映X(z)與x*(t)間的關(guān)系；l 關(guān)于Z變換與反變換的說明對于連續(xù)時間函數(shù)而言，Z變換及Z 反變換都不是唯一的。 為了全面描述 Z 反變換后

26、x*(t)的函數(shù)特性， 可以令采樣周期T0。5/9/202269第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T5/9/202270第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分二階前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二階后向差分： 2x(n) = x(n) =

27、x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)5/9/202271第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z(z - 1)x(0) - zx(0)101)0() 1()() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變換中因子(z - 1)與拉氏變換中

28、s的作用相同。5/9/202272第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk5/9/202273第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程 微分與差分tx(t)0t t+dtdx(t)nx(n)0n-1 n n+1x(n)x(n)微分：dx(t) = x (t)dt一階前向差分：x(n) = x(n+1) - x(n)一階后向差分：x(n) = x(n) - x(n-1)省略采樣周期T5/9/202274第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 高階差分

29、二階前向差分： 2x(n) = x(n) = x(n+1) - x(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)二階后向差分： 2x(n) = x(n) = x(n) - x(n-1) = x(n) - 2x(n-1) + x(n-2)k階前向差分： kx(n) = k-1x(n+1) - k-1x(n)k階后向差分： kx(n) = k-1x(n) - k-1x(n-1)5/9/202275第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 前向差分 差分的Z變換Zx(n) = Zx(n+1) - x(n) = (z - 1)X(z) - zx(0)Z2x(n) = (z - 1)2X(z) - z

30、(z - 1)x(0) - zx(0)101)0() 1()() 1()(nrrrnkkxzzzXznxZ)0()0(0 xx其中：Z變換中因子(z - 1)與拉氏變換中s的作用相同。5/9/202276第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 后向差分0 0)()(1)(tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(22tiftxzXzznxZ0 0)()(1)(tiftxzXzznxZkk5/9/202277第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程)()()(txtydttdy例：微分方程的離散化dtTTnTyTnydtndtydtndtydttydttydttdy)() 1( )()()()()()(

31、)()() 1(nTxnTyTnTyTny)()(1) 1(nTxTnTyTTny差分方程)()() 1(00nxbnyany5/9/202278第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換一般，n階離散系統(tǒng)的前向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkyakyankyankymmnn初始條件為：y(i) = yi (i = 0 n-1) x(i) = xi (i = 0 m-1)n階離散系統(tǒng)的后向差分方程為：)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkyankyakyakymmnn初始條件為： y(k)

32、 = x(k) = 0 (k0)。5/9/202279第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 差分方程的求解q 迭代法根據(jù)給定的初值，利用差分方程的遞推關(guān)系，迭代求出輸出序列。例1 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) (k05)。5/9/202280第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：y(k) x(k) + 5y(k-1) - 6y(k-2)y(0) x(0) + 5y(-1) - 6y(-2) = 1y(1) x(1) + 5y(0) - 6y(-1) = 6y(2) x(2) + 5y(1

33、) - 6y(0) = 25y(3) x(3) + 5y(2) - 6y(1) = 90y(4) x(4) + 5y(3) - 6y(2) = 301y(5) x(5) + 5y(4) - 6y(3) = 9665/9/202281第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q Z變換法對差分方程兩端取Z變換，利用時域位移定理，得到關(guān)于z 的代數(shù)方程，求得Y(z)后，通過Z反變換得到輸出序列y(k)。例2 已知差分方程 y(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = x(k)輸入序列x(k)1，初始條件為y(k) = 0 ( k 0)，求輸出y(k) 。5/9/202282第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：

34、對方程兩端進行Z變換：Zy(k) 5y(k-1) + 6y(k-2) = Zx(k)Y(z) 5z-1Y(z) + 6z-2Y(z) = X(z)(6511)(21zXzzzY)3)(2)(1(165322zzzzzzzzz35 . 42415 . 0zzzzzz. 2, 1, 0,)3(5 . 4)2(45 . 0)(kkykk5/9/202283第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例3 已知差分方程 y(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 0初始條件為y(0) = 0，y(1) = 1，求輸出y(k)。解解：對方程兩端進行Z變換：Zy(k+2) 5y(k +1) + 6y(k) = 0

35、0)(6)0(5)(5) 1 ()0()(22zYzyzzYzyyzzYzzzyyyzzYzz)0(5) 1 ()0()()65(223265)(2zzzzzzzzY, 2, 1, 0,32)(kkykk5/9/202284第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換四、脈沖傳遞函數(shù)l 脈沖傳遞函數(shù)的定義G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)s1和s2為同步采樣器。脈沖傳遞函數(shù)：零初始條件下，輸出采樣信號xo*(t)的z變換與輸入采樣信號xi*(t)的z變換之比。記為：00)()()()()(kkikkoiozkTxzkTxzXzXzG5/9/202285第六章 線性離散系統(tǒng)與z

36、變換零初始條件：xo(t) = xi(t) = 0 (t0) 或：xo(kT) = xi(kT) = 0 (k0)實際系統(tǒng)的輸出往往是連續(xù)信號，即采樣開關(guān)s2不存在，此時，可以在輸出端虛設(shè)一采樣開關(guān)，并使其與輸入采樣開關(guān)s1同步，以考察連續(xù)輸出在各采樣時刻的狀態(tài)。G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)5/9/202286第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 脈沖傳遞函數(shù)的意義前述已知，對線性連續(xù)系統(tǒng)，輸出y(t)與輸入x(t)之間滿足：ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當(dāng)t 0時，g(t) = x(t) = 0。 g(t)L-1G(s

37、)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。5/9/202287第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換對圖示采樣系統(tǒng)，直接作用于系統(tǒng)連續(xù)部分的信號為：G(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)0*)()()(niinTtnTxtx從而：)()()(*txtgtxio5/9/202288第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換因此，輸出量在采樣時刻的值為：tniodnTnTxtgtx00)()()()(即：00)()()(ntidnTtgnTx0)()(ninTtgnTxkninioTnkgnTxnTkTgnTxkTx00)()()()()()()(kTgkTxig(t)=0, if t05/9/202289第

38、六章 線性離散系統(tǒng)與z變換即脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列g(shù)(kT)的z變換。通常簡記為：從而：)()()(zGzXzXio0)()()()()(kkiozkTgkTgzzXzXzGG(z) = Zg(t) = ZL-1G(s) = ZG(s)需注意：zssGzG)()(zTssGzGln1)()(5/9/202290第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)() 1() 1()()() 1() 1()(11011mkxbmkxbkxbkxbnkxankxakxakximimiiononoo若系統(tǒng)差分方程為：則當(dāng)y(k)=x(k)=0 (k0)時，兩端進行z變換可得：knioTnkgnTxkTx0)(

39、)()(由于：即xo(kT)為不同時刻的輸入脈沖通過g(k-n)T加權(quán)后的和，因此，g(kT)通常稱為加權(quán)序列。niininmjjnjniiimjjjiozazzbzazbzXzXzG10101)()()(5/9/202291第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換若系統(tǒng)差分方程為：niininmjjmjiozazzbzXzXzG10)()()()() 1() 1()()() 1() 1()(11011kxbkxbmkxbmkxbkxakxankxankximimiiononoo當(dāng)y(0) = y(1) = = y(n-1) = 0， x(0) = x(1) = = x(m-1) = 0時，兩端進行z變換

40、可得：5/9/202292第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)中環(huán)節(jié)相互串聯(lián)時，由于采樣開關(guān)的位置和數(shù)目不同，求得的等效脈沖傳遞函數(shù)也不相同。 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。5/9/202293第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)()()()(1121sGZzXzXzG)()()()(222sGZzXzXzGo因此：)()()()()()()()()(212121zGzGzXzXzXzXzXzXzGoo即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間存在采樣開關(guān)時，等效脈沖傳遞函數(shù)

41、等于兩環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。同理： n 個環(huán)節(jié)相串聯(lián)時，若相鄰環(huán)節(jié)間均存在同步采樣器，則等效脈沖傳遞函數(shù)等于 n 個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。5/9/202294第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器G1(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G2(s)s1、s2為同步采樣器。)()()()()()(2121zGGsGsGZzXzXzGio與G1(z)G2(z)相區(qū)別即當(dāng)兩環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時，等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘后相應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的z變換。5/9/202295第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換G1(s)x1(t)x1*(t)xo(t)xo*

42、(t)s1s3G(z)G2(s)s2x2(t)x2*(t)s1、s2、s3為同步采樣器。例1 已知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：1101)(1ssG151)(2ssG比較有s2與無s2時，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。5/9/202296第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：1）有s2時)()()()()(2121sGZsGZzGzGzG1511101sZsZTTezzezz2 . 01 . 02 . 01 . 0)(02. 02 . 01 . 02TTezezz5/9/202297第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2）無s2時)()()()(2121sGsGZzGGzG1511101ssZTTezzezz2 . 0

43、1 . 02 . 0)()(2 . 02 . 01 . 02 . 01 . 0TTTTezezeez顯然，G1(z)G2(z) G1G2(z)。盡管如此，易見采樣開關(guān)只影響脈沖傳遞函數(shù)的零點。5/9/202298第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例2 已知采樣系統(tǒng)方框圖如下：其中：sesGsTh1)()()(1assasG求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。Gh(s)xi(t)xi*(t)xo(t)xo*(t)s1s2G(z)G1(s)s1、s2為同步采樣器。5/9/202299第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：此系統(tǒng)為有零階保持器的系統(tǒng)。)()()()(11sGsGZzGGzGhh )(11sGseZsTssG

44、essGZsT)()(11ssGeZssGZsT)()(11由于e-sT為延遲一個采樣周期的延遲環(huán)節(jié)，因此，e-sTG1(s)/s對應(yīng)的時域輸出比 G1(s)/s 對應(yīng)的時域輸出延遲了一個采樣周期。5/9/2022100第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換)(121assaZzasasasZz11111121aTezzazzazTzz111) 1(121)() 1()1 (1) 1(2aTaTaTezzaeaTzaTessGZzzG)(1)(11根據(jù)z變換的時域滯后定理，有：5/9/2022101第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由于采樣器位置可變，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)沒有唯一的結(jié)構(gòu)圖

45、形式?？紤]常見的偏差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)xo*(t)s1s3(z)G(s)s1s4為同步采樣器H(s)b(t)xi*(t)b*(t)s2s4xi(t)5/9/2022102第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換由圖可知：Xo(s) G(s)*(s)B(s) H(s)Xo(s)(s)Xi(s) - B(s) = Xi(s) - H(s)G(s)*(s)兩邊取z變換：(z)Xi(z) - HG(z)(z)G(s)*(s)* = G*(s)*(s)因此：)()(11)(zXzGHzi)()(1)()()()(zXzGHzGzzGzXio5/9/2022103第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換輸

46、入作用下的偏差脈沖傳遞函數(shù)為：)(11)()()(zGHzXzzie與連續(xù)系統(tǒng)類似，閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程定義為：D(z) 1 + GH(z) = 0其中， GH(z) 為該閉環(huán)離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。所以，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：)(1)()()()(zGHzGzXzXzio5/9/2022104第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換需注意：)()(),()(sZzsZzee采用上述類似分析方法，可求得采樣器位于其它位置時系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。但只要偏差信號 (t) 處無采樣開關(guān)，則輸入信號xi*(t) (包括虛構(gòu)的xi*(t) )便無法獲得，從而不可能獲得閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，盡管如

47、此，仍有可能求出輸出采樣信號的 z 變換Xo(z)。5/9/2022105第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例如 考慮如下閉環(huán)離散系統(tǒng)：Xo(s) G(s)(s)，(s)Xi(s) - H(s)Xo*(s)(t)xo(t)xo*(t)s3G(s)H(s)xi(t)s1xo*(t)Xo(s) G(s)Xi(s) - G(s)H(s)Xo*(s)Xo(z)XiG(z) - GH(z)Xo(z)(1)()(zGHzGXzXio5/9/2022106第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的過渡過程分析基本方法：z反變換法求輸出序列xo*(t)。 單位階躍響應(yīng)例1：求圖示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，其中采樣周期T

48、= 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)ses1) 1(1ss5/9/2022107第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：)(1)()(1)()()()(zGzGzGHzGzXzXzio)1(1)1 ()1(11)(21ssZzssseZzGsT)368. 0)(1(264. 0368. 0)(1()1 (1) 1(zzzezzeTzTeTTT1632. 0264. 0368. 0)()()(2zzzzzzXzzXio632. 0264. 0368. 0)(2zzzz5/9/2022108第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換32121632. 0632. 121264. 0368. 0zzzzz8

49、7654321868. 0802. 0895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0zzzzzzzz按照采樣點估算的近似性能指標(biāo)：tr2stp4sts12sMp40%t (sec)xo*(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151600.20.40.60.811.21.41.65/9/2022109第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 采樣器與保持器對動態(tài)性能的影響考慮上例，若無采樣器與保持器，則系統(tǒng)為連續(xù)二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：11)(2sss若無采樣器，只有保持器，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：sTsTesses11)(235/9/2022110第六章 線性離散系統(tǒng)與z變

50、換若只有采樣器，無保持器，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：)368. 0)(1(632. 0) 1(1)(zzzssZzG368. 0736. 0632. 0)(1)()(2zzzzGzGz5/9/2022111第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo(t), xo*(t)連續(xù)系統(tǒng)無采樣器無保持器采樣保持 采樣器使系 統(tǒng)快速性提 高，穩(wěn)定性 降低；但對 大延遲系統(tǒng)， 適當(dāng)選擇采 樣周期可提 高穩(wěn)定性。 保持器使系統(tǒng)快速性和穩(wěn)定性均降低。5/9/2022112第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 采樣周期對動態(tài)性能

51、的影響Step Responset (sec)01234567891000.20.40.60.811.21.41.6xo*(t)T = 1sT = 0.5sT = 0.1s連續(xù)系統(tǒng)采樣周期越大，快速性改善越好，但超調(diào)越大。5/9/2022113第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)，給不出統(tǒng)一的誤差脈沖傳遞函數(shù)形式，因而，其穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)進行求取。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常利用 z 變換的終值定理進行求解，所獲得的誤差是離散系統(tǒng)在采樣瞬時的誤差。離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差除與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入形式有關(guān)外，還與采樣周期 T 有關(guān)。5/9/202

52、2114第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換例1： 求圖示系統(tǒng)在單位階躍、單位速度以及單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，其中采樣周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)ses1) 1(1ss5/9/2022115第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：圖示系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，誤差信號等于偏差信號，從而，可求得輸入作用下的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：)(11)(11)()()()()(zGzGHzXzzXzEziie)368.0)(1(264.0368.0)1(11)(zzzssseZzGsT632. 0368. 0368. 1)()()(22zzzzzXzEzie5/9/2022116第六章 線性離散系統(tǒng)

53、與z變換)(632. 0368. 0368. 1)(22zXzzzzzEi1）單位階躍輸入時1632. 0368. 0368. 1)(22zzzzzzzE0632. 0368. 0368. 1lim )() 1(lim)(2211zzzzzzEzezz5/9/2022117第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換2）單位速度輸入時22211) 1(632. 0368. 0368. 1) 1(lim )() 1(lim)(zzzzzzzzEzezz22) 1() 1()(zzzTzzXi) 1)(632. 0()368. 0368. 1(lim221zzzzzzz1632. 143368. 0736. 23

54、lim221zzzzz5/9/2022118第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換3）單位加速度輸入時22211) 1(2) 1(632. 0368. 0368. 1lim )() 1(lim)(zzzzzzzzEzezz332) 1(2) 1() 1(2) 1()(zzzzzzTzXi2221) 1)(632. 0(2)368. 0368. 1)(1(limzzzzzzzz264. 2264. 794368. 02104. 14lim2123231zzzzzzz5/9/2022119第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換 離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)離散系統(tǒng)的型別按照開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所具有的 z1的極點數(shù)v 進

55、行劃分。與連續(xù)系統(tǒng)類似， v0，1，2，的系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型系統(tǒng)等?？紤]常見的偏差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)：(t)*(t)xo(t)s1G(s)H(s)xi(t)5/9/2022120第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)1)(zzzXi)(1lim1)(1lim 1)(11) 1(lim)(111zGHzGHzzzzGHzezzz)(1lim1zGHKzppKe1)(5/9/2022121第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)2) 1()(zTzzXi)() 1(lim)(1) 1(lim 1)(11lim)(111zGHzTzGHzTzzTzzGHezzz)() 1

56、(lim1zGHzKzvvKTe)(5/9/2022122第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換q 穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)32) 1(2) 1()(zzzTzXi)() 1(lim)(1) 1(2) 1(lim ) 1(2) 1()(11lim)(212221221zGHzTzGHzzzTzzzTzGHezzz)() 1(lim21zGHzKzaaKTe2)(5/9/2022123第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析l s平面到z平面的映射TjTTjsTeeeez)(TzezTarg,|顯然：01|01|01|zzz即z平面上的單位圓對應(yīng)s平面的虛軸，單位圓內(nèi)部對應(yīng)左半s平面，外部對應(yīng)右半s

57、平面。5/9/2022124第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換ReImsReImz00z1-/T/T3/T-3/T15/9/2022125第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換注意到argz = T，若 = 0，當(dāng)由-/T至/T變化時，z平面上的相應(yīng)點從-逆時針變換到 (逆時針轉(zhuǎn)一圈)。通常將-/T/T稱為主頻帶。當(dāng)由/T至3/T變化時， z平面上相應(yīng)點再次逆時針轉(zhuǎn)過一圈。因此， 由-至變化時，z平面上的相應(yīng)點沿單位圓轉(zhuǎn)過無窮圈。5/9/2022126第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換l 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的所有特征根 zi 1 (i = 1, 2, 3, , n)均

58、位于 z 平面的單位圓內(nèi)，即|zi| 1。l 應(yīng)用勞斯判據(jù)判別離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯判據(jù)只能用來判別復(fù)變量 s 的代數(shù)方程的根是否在虛軸的左面，不能判別特征根的模是否小于 1。5/9/2022127第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換考慮如下的雙線性變換（w變換）1111zzworwwz為此，需要對離散系統(tǒng)的特征方程進行坐標(biāo)變換，將 z 平面的單位圓映射為另一復(fù)平面的虛軸，單位圓內(nèi)部映射到該平面虛軸的左面。令z = x + jy，w = u + jv ，則：5/9/2022128第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換222222) 1(2) 1(1 11yxyjyxyxjyxjyxjvuw2222) 1(1yxy

59、xu顯然：1|101|101|10222222zyxifuzyxifuzyxifu注意到：5/9/2022129第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換ReImwReImz00z1即雙線性變換將 z 平面的單位圓映射到 w 平面的虛軸，單位圓內(nèi)部映射到 w 平面虛軸的左面。5/9/2022130第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換1111zzworwwz雙線性變換（w變換）也可采用：例1：分析圖示系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍，其中采樣周期T = 1s。Xi(s)*(s)Xo(s)s1(s)sesT1)2( ssK5/9/2022131第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換解解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖有：)(1)()(1)()()()(zG

60、zGzGHzGzXzXzio)2()1 ()(21ssKZzzG225. 025. 05 . 0)1 (21sssZzK TezzzzzTzzzK2225. 0125. 0) 1(5 . 01)(1(4)21 (1) 12(222TTTezzeTzTeK5/9/2022132第六章 線性離散系統(tǒng)與z變換系統(tǒng)特征方程為：1G(z) = 01353. 01353. 11485. 02838. 0)(2zzzKzG即：01353. 01485. 0)1353. 12838. 0(2KzKzT = 1s時，令：11wwz得：01353. 02706. 2)297. 07294. 1 (4323. 02