衡水中學(xué)高中數(shù)學(xué)人教版必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、-第一章 集合與函數(shù)概念一：集合的含義與表示1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)整體。把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡(jiǎn)稱為集。2、集合的中元素的三個(gè)特性：1元素確實(shí)定性：集合確定，則一元素是否屬于這個(gè)集合是確定的：屬于或不屬于。2元素的互異性：一個(gè)給定集合中的元素是唯一的，不可重復(fù)的。3元素的無(wú)序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示： 1用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出

2、來(lái) a,b,cb、描述法：區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)表示集合。*ÎR| *-3>2 ,*| *-3>2語(yǔ)言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn圖:畫(huà)出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：1有限集：含有有限個(gè)元素的集合2無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合3空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關(guān)系：1元素在集合里，則元素屬于集合，即：aÎA 2元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：aAu 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集即自然數(shù)集 記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R6、集合間的根本關(guān)系1.“包

3、含關(guān)系1子集定義：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作：或B注意：有兩種可能1A是B的一局部；2A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“包含關(guān)系2真子集如果集合，但存在元素*ÎB且*A，則集合A是集合B的真子集如果AÍB,且A¹ B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)讀作A真含與B3“相等關(guān)系：A=B “元素一樣則兩集合相等如果AÍB 同時(shí) BÍA 則A=B4. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集

4、， 空集是任何非空集合的真子集。5集合的性質(zhì) 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AÍA如果 AÍB, BÍC ,則 AÍC 如果AB且BC，則AC有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集7、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交 集并 集補(bǔ) 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB讀作A交B，即AB=*|*A，且*B由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB讀作A并B，即AB =*|*A，或*B)全集：一般，假設(shè)一個(gè)集合漢語(yǔ)我們所研究問(wèn)題中這幾道的所有元素，我們就稱這個(gè)集合為全集，記作：U設(shè)S是一個(gè)集合，

5、A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集或余集記作，CSA=韋恩圖示SA性 質(zhì)A A=A A =A B=BAA BA A BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=二、函數(shù)的概念1 函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照*個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)*，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(*)和它對(duì)應(yīng)，則就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(*)，*A1其中，*叫做自變量，*的取值

6、圍A叫做函數(shù)的定義域；2與*的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(*)| *A 叫做函數(shù)的值域2 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則3 函數(shù)的表示方法：1解析法：明確函數(shù)的定義域2圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點(diǎn)等等。3列表法：選取的自變量要有代表性，可以反響定義域的特征。4、函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(*) , (*A)中的*為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(*，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(*),(* A)的圖象C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(*，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(*)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(*)的每一組

7、有序?qū)崝?shù)對(duì)*、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(*，y)，均在C上 . (2) 畫(huà)法A、描點(diǎn)法： B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對(duì)稱變換，即平移。 3函數(shù)圖像平移變換的特點(diǎn)： 1加左減右只對(duì)* 2上減下加只對(duì)y 3函數(shù)y=f(*) 關(guān)于*軸對(duì)稱得函數(shù)y=-f(*)4函數(shù)y=f(*) 關(guān)于Y軸對(duì)稱得函數(shù)y=f(-*)5函數(shù)y=f(*) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得函數(shù)y=-f(-*)6函數(shù)y=f(*) 將*軸下面圖像翻到*軸上面去，*軸上面圖像不動(dòng)得函數(shù)y=| f(*)|7函數(shù)y=f(*) 先作*0的圖像，然后作關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像得函數(shù)f(|*|)三、函數(shù)的根本性質(zhì)1、函數(shù)解析式子的求法1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法

8、，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.2、求函數(shù)的解析式的主要方法有： 1代入法：2待定系數(shù)法：3換元法：4)拼湊法：2定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)*的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零； (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.則，它的定義域是使各局部都有意義的*的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.3、

9、一樣函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式一樣與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)4、區(qū)間的概念：1區(qū)間的分類：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間2無(wú)窮區(qū)間3區(qū)間的數(shù)軸表示5、值域 先考慮其定義域1觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來(lái)求函數(shù)的值域； 2反表示法：針對(duì)分式的類型，把Y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式化成*關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由*的圍類似求Y的圍。(3)配方法：針對(duì)二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來(lái)確定函數(shù)的值域，注意定義域的圍。 (4)代換法換元法：作變量代換，針對(duì)根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。6.分段函數(shù) 1在定義域的不同局部上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。2各局部的自變量

10、的取值情況3分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集4常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號(hào)函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù)7映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按*一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素*，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f對(duì)應(yīng)關(guān)系：A原象B象對(duì)于映射f：AB來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。注意：映射是針對(duì)自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對(duì)

11、數(shù)字來(lái)說(shuō)的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值1、增減函數(shù)1設(shè)函數(shù)y=f(*)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I的*個(gè)區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量*1，*2，當(dāng)*1<*2時(shí)，都有f(*1)<f(*2)，則就說(shuō)f(*)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(*)的單調(diào)增區(qū)間.2如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值*1，*2，當(dāng)*1<*2 時(shí)，都有f(*1)f(*2)，則就說(shuō)f(*)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(*)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種2、 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(*)在*個(gè)區(qū)

12、間是增函數(shù)或減函數(shù)，則說(shuō)函數(shù)y=f(*)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取*1，*2D，且*1<*2； 作差f(*1)f(*2)； 變形通常是因式分解和配方； 定號(hào)即判斷差f(*1)f(*2)的正負(fù)； 下結(jié)論指出函數(shù)f(*)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)：如果y=f(u)(uM),u=g(*)(*A),則 y=fg(*)=F(*)(*A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)fg(*)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(

13、*)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性一樣的區(qū)間和在一起寫成其并集. 9：函數(shù)的奇偶性整體性質(zhì)1、偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(*)的定義域的任意一個(gè)*，都有f(*)=f(*)，則f(*)就叫做偶函數(shù)2、奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(*)的定義域的任意一個(gè)*，都有f(*)=f(*)，則f(*)就叫做奇函數(shù)3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：a、首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；假設(shè)是不對(duì)稱，則是非奇非偶的函數(shù)；假設(shè)對(duì)稱，則進(jìn)展下面判斷；b、

14、確定f(*)與f(*)的關(guān)系；c、作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)f(*) = f(*) 或 f(*)f(*) = 0，則f(*)是偶函數(shù)；假設(shè)f(*) =f(*) 或 f(*)f(*) = 0，則f(*)是奇函數(shù)4利用奇偶函數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的奇偶性 a、在公共定義域，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)； 奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù)； a、復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇。注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).假設(shè)對(duì)稱，(1)再根據(jù)

15、定義判定;(2)由 f(-*)±f(*)=0或f(*)f(-*)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應(yīng)用1、函數(shù)的最值a 利用二次函數(shù)的性質(zhì)配方法求函數(shù)的最大小值b 利用圖象求函數(shù)的最大小值c 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大小值：如果函數(shù)y=f(*)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(*)在*=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(*)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(*)在*=b處有最小值f(b)；2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有一樣的單調(diào)性； 偶函數(shù)在關(guān)于

16、原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。3、判斷模糊單調(diào)性時(shí)也可以用作商法，過(guò)程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比擬，作商法是與1作比擬。4、絕對(duì)值函數(shù)求最值，先分段，再通過(guò)各段的單調(diào)性，或圖像求最值。5、在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)候，假設(shè)是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0。第二章 根本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)一指數(shù)1、 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算：復(fù)習(xí)初中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：am*an=am+n(am)n=amn(a*b)n=anbn2、根式的概念：一般地，假設(shè)，則叫做的次方根，其中>1，且*當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正

17、數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。此時(shí)，a的n次方根用符號(hào) 表示。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。此時(shí)正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào) 表示，負(fù)的n的次方根用符號(hào) 表示。正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并成 a>0。注意：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，式子 叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)。 3、 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義4、 有理數(shù)指數(shù)米的運(yùn)算性質(zhì)1·；2；35、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般的，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aaa>0,a是無(wú)理數(shù)是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算

18、性質(zhì)同樣使用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。二、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點(diǎn)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中*是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1為什么.2、 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域 R定義域 R值域y0值域y0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)0，1函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)0，1注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：1在a，b上，值域是或；2假設(shè)，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；3對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；4當(dāng)a>1時(shí)，假設(shè)*1<*2 ,則有f(*1)<f(*2)。二、對(duì)數(shù)函數(shù)一對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，則數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作： 底數(shù)， 真數(shù)， 對(duì)數(shù)式說(shuō)明： 注意底數(shù)的限制，且； 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫格式：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)； 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)二對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，且，則：·；注意：換底公式 ，且；，且；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論1；2二對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是0，+注意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，