高三數(shù)學(xué)二輪-函數(shù)性質(zhì)與圖象教案

1、第四講函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題要點：1.函數(shù)的圖象：1函數(shù)圖象的畫法，2函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，3函數(shù)圖象的應(yīng)用。2.函數(shù)的性質(zhì)：1函數(shù)的單調(diào)性，2函數(shù)的奇偶性，3函數(shù)的周期性。命題趨勢：1.函數(shù)的圖象及其性質(zhì)是高考命題的一個核心內(nèi)容，高考一般從以下幾個方面進(jìn)行考查：1對根本初等函數(shù)圖象的考查，包括對二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù) 圖象的考查；2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系；3函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，即以函數(shù)的圖象為背景求函數(shù)零點的個數(shù)或那么判斷函數(shù)零點所在的區(qū) 間等。2.近幾年高考對函數(shù)的性質(zhì)的考查主要集中在單調(diào)性、奇偶性、周期性，其考查更具有綜合性，常常以三

2、個性質(zhì)綜合考查或那么以其中兩個性質(zhì)進(jìn)行綜合考查。解決此類綜合問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用根底知識， 熟練判斷函數(shù)奇偶性常用的方法、判斷函數(shù)單調(diào)性常用方法，牢記函數(shù)周期性的表達(dá)式以及半周期形式。命題規(guī)律：1根本初等函數(shù)的圖象是高考中的重要考查點之一，是用來研究其他圖象的根底，且是研究韓式性質(zhì)的重要工具，該類題多以選擇、填空為主，難度為中低檔題。2.函數(shù)的根本性質(zhì)主要從兩個方面進(jìn)行考查：1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及其周期的應(yīng)用，如應(yīng)用單調(diào)求值域、比擬大小、解證明不等式等，運(yùn)用定義或?qū)?shù)判斷或那么證明函數(shù)的單調(diào) 性等，多以簡答題的形式出現(xiàn)；2函數(shù)的奇偶性、周期性常和函數(shù)的單調(diào)性綜合，奇偶性和單調(diào)性相結(jié)合的題目常通過畫

3、示意圖解決，周期性與三角函數(shù)相結(jié)合，以客觀題為主，一般為容易題，對綜合性簡答題，常通過研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性等全面了解函數(shù)圖象的變化趨勢，畫出示意圖，從而研究函數(shù)的最值、 極值、單調(diào)區(qū)間等，是解決函數(shù)最值， 不等式恒成立問題的根本思路，一般以客觀題為主，難度為中高檔題。題型分析：類型一函數(shù)及其表示1. 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法那么.2同一函數(shù)：函數(shù)的三要素完全相同時，才表示同一函數(shù).例12022年高考江西卷以下函數(shù)中，與函數(shù)A. y -1sin xln xB . y -xC. y xexDsin x.yx解析利用正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及分式型函數(shù)定義域確實定方法求解.

4、1函數(shù)y= 二的定義域為x|xm 0，選項A中由sin x豐0? xm k , k Z,故A不對；選項 幼xB中x>0,故B不對；選項C中x R,故C不對；選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義 域確定方法可知定義域為 x| xm 0，應(yīng)選D.答案D1*函數(shù)的解析式求解函數(shù)的定義域.要注意解析式的結(jié)構(gòu)特征，保證毎一局部都有意義.1 2.晶數(shù)值域最常見的求法i(D二次型國數(shù)注意配方法的使用辛：(2)崖本不等式型注意臉證成立條件；:單調(diào)性法"B"n n- '! vNa! v ' v ' cB! ' '*! < v V <

5、rB n * '' >= i跟蹤訓(xùn)練1, x 01. (2022年高考福建卷)設(shè)f(x)=0, x 0,1, x 0g(x)=1, X為有理數(shù)，那么0, X為無理數(shù)那么)的值為()A. 1BC. 1D解析：根據(jù)題設(shè)條件，：n是無理數(shù),-f(g( n ) = f(0) = 0.答案：B0g( n ) = 0,2.設(shè)函數(shù)g(x) = x2 2( x R),f(x)=g(x)x 4,x g(x),那么f (x)的值域是(g(x)x, xg(x)A.-,0 U (1 ,+s )B.0 ,+ 8 )4.-C.-,+)D,0 U(2 , +8 )44解析：令 x<g(x)，即

6、x2 x 2>0,解得 x< 1 或 x>2;令 x>g(x)，即 x2 x 2w 0,解得一1 wxw 2.x 2, x1 或 x2x 2,1 x 2函數(shù) f (x)>( 1)2+ ( 1) + 2= 2;1當(dāng)一1 w x w 2 時，函數(shù) f() w f (x) w f ( 1),29即w f (x) w 0.49故函數(shù)f (x)的值域是,0 U (2 ,+s ).x故函數(shù)f (x) =2x當(dāng)x< 1或x>2時答案：D3. (2022 天津耀華中學(xué)月考)(1)f(x)的定義域為11 2 1J, 2 ，求函數(shù) y= f x x 2 的定義域； 函數(shù)f

7、(3 2x)的定義域為1,2，求f(x)的定義域.2 1解令x x 2= t,知f(t)的定義域為t 1<t< 1 ,1 2 1 1 W x x_w_,2 2 2'2 ,x 0或x1x x > 0,整理得 2x x1W0? 1-5x21+. 52所求函數(shù)的定義域為1 ，5, 0 u21，2(2)用換元思想，令3 -2x= t ,f (t)的定義域即為f(x)的定義域，/1 = 3 2x(x 1,2)， 1W t W5, 故f(x)的定義域為1,5.方法總結(jié)：.解決函數(shù)問題，必須優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.(2) .用換元法解題時，應(yīng)注意換元前后的等價性3求復(fù)合.函數(shù).y=f

8、.( .t) , t. = q(x).的定義域的方法:.假設(shè)y = f (t)的定義域為(a, b)，那么解不等式得 avq(x) v b即可求出y= f (q(x)的定義 域；假設(shè)y = f (g(x)的定義域為(a, b)，那么求出g(x)的值域即為f (t)的定義域.類型二函數(shù)的圖象1. 圖象的作法(1) 描點法.(2) 圖象變換法：平移變換、伸縮變換、對稱變換.2. 假設(shè)函數(shù)y= f (x)關(guān)于x= a對稱，那么f(x + a) = f (a x).例2 (2022年高考湖北卷)定義在區(qū)間0 , 2上的函數(shù)y= f (x)的圖象如下列圖，貝U y=f (2 x)的圖象為()1/0-11

9、 2%解析解法由y= f (x)的圖象知f (x)=x (0 x 1)1(1 x 2)當(dāng) x 0 , 2時，2-x 0 , 2,所以 f(2 - x) = 1(0 x2 x (11)x 2)故 y=-f(2 - x) =1(0 x 1)圖象應(yīng)為 B.x 2 (1 x 2)解法二 利用特殊點確定圖象.當(dāng) x= 0 時，一f(2 x) =- f (2) =- 1; 當(dāng) x= 1 時，一f(2 x) =- f (1) =- 1. 觀察各選項，可知應(yīng)選 B.答案By <°yi1J*012x01/2x-i- -1/AB11-B1.c1 k0/2耳0 I2加-1/-1-CD由y= f(x)

10、的圖象寫出f (x)的解析式.割斷函數(shù)圖氯常從以下幾個方面進(jìn)行=(1) 定義域、值域琴(2) 奇偶性；(R單調(diào)性：(4)特殊點(與Xi y軸的交點*彘高 '最低點.S 鼠上標(biāo)注的特殊點等人跟蹤訓(xùn)練1.(2022年高考課標(biāo)全國卷)函數(shù)f(x)=1ln(x 1)一，那么y = f (x)的圖象大致為(x解析：結(jié)合函數(shù)的圖象，利用特殊函數(shù)值用排除法求解.當(dāng)x= 1時，y=<0,排除A;當(dāng)x= 0時，y不存在，排除 D;當(dāng)In 2 1近0時，y趨向于一3排除 C,選B.x從負(fù)方向無限趨答案：B2. (2022 山東)函數(shù)y= 2x- x2的圖象大致是().解析 當(dāng)x> 0時，2 =

11、 x有兩根x = 2,4 ;當(dāng)x v 0時，根據(jù)圖象法易得到y(tǒng)= 2與y= x有一個交點，那么y = 2x-x2在R上有3個零點，故排除 B、C;當(dāng)xs時，2xx2T + s,故y=2x x2< 0，應(yīng)選 A.答案 A3. (2022 湖北)假設(shè)直線y= x+ b與曲線y= 3 ：4x x2有公共點，貝U b的取值范圍是( )A. 1,1 + 2 .''2C. 1 2 ：2, 3B 1 2，；2, 1 + 2 .' 2D 1 ：2 3解析在同一坐標(biāo)系下畫出曲線Q2,3為圓心、2為半徑的圓不在直線 y=3上方的局部)與直線y = x的圖象，平移該直線，結(jié)合圖形分析可

12、知，當(dāng)直線沿y軸正方向平移到點(0,3)的過程中的任何位置相應(yīng)的直線與曲線y = 34x x2都有公共點；注意到與 y = x平行且過點(0,3)的直線的方程是 y= x+ 3;當(dāng)直線 y= x + b與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時(圓不在直線 y = 3上方的局部)，有|2 3+ b|2, b= 1 2 2.結(jié)合圖形可知，滿足題意的只有C選項.答案 C方法總結(jié)：明確函數(shù)圖象形狀和位置的方法大致有以下三種途徑.(1).圖象變換:平移變換、.伸縮變換、對稱變換.(2).函數(shù)解析式的等價變換(3) 研究函數(shù)的性質(zhì).類型三函數(shù)的性質(zhì)1 .單調(diào)性與奇偶性的關(guān)系奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上

13、假設(shè)有單調(diào)性，那么其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性，那么其單調(diào)性恰恰相反.2假設(shè)奇函數(shù)的定義域有0,那么必有f(0) = 0,但f(0) = 0是f(x)為奇函數(shù)的必要不充分條件.3. 周期性的幾個常用結(jié)論(1) 假設(shè)f(x+ a) = f(x)( a>0)，貝U f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期；假設(shè)f(x+ a) = - (a>0)，那么f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期; f (x)13假設(shè)f(x+ a)=廠一，貝U f(x)是周期函數(shù)且2a是它的一個周期f x假設(shè)f(x)是偶函數(shù)且關(guān)于 x= a(a>0)對稱，那么f (x)是周期函

14、數(shù)且2a是它的一個周期.例3(2022年高考山東卷)定義在R上的函數(shù)f (x)滿足f(x + 6) = f (x)，當(dāng)一3< x< 1時，f(x) = (x+ 2)2;當(dāng)一1< x<3 時，f (x) = x.那么 f (1) + f(2) + f (3) + f (2 012)= ( )A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012解析利用函數(shù)的周期性和函數(shù)值的求法求解. f(x+ 6) = f(x) , T= 6.當(dāng)一3W x< 1 時，f(x) = (x + 2)2;當(dāng)一1< x<3 時，f(x) = x, f(1) = 1, f(2)

15、 = 2, f(3) = f( 3) = 1, f(4) = f( 2) = 0, f(5) = f( 1) = 1, f (6)=f(0) = 0, f (1) + f(2) + f(6) = 1, f(1) + f (2) + f(6) = f (7) + f(8) + f(12) = f(2 005) + f(2 006) + f (2010) = 1,-f (1) + f(2) + f(2 010) = 1 X 2022335.6而 f(2 011) + f (2 012) = f (1) + f(2) = 3, f(1) + f(2) + f(2 012) = 335 + 3 = 3

16、38.答案Bai>利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值方法如下：根!：播函數(shù)的奇偶性和周期性，把所求函數(shù)值轉(zhuǎn)代為給j：定范禺內(nèi)的圉數(shù)值，再和用所給范圍內(nèi)的函數(shù)解析!1式求出圈數(shù)值.|iI pF.>. . . . .<.8. B. v ."跟蹤訓(xùn)練1. (2022年高考江蘇卷)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1, 1上，f (x)ax 1,1 x 013=bx 2，其中 a, b R.假設(shè) f(-) = f(-)，貝y a+ 3b 的值為.,0x122x 111解析：由f(x)的周期為2，得f( ) = f()是關(guān)鍵.22因為f (x)的周期為2,3 31所以

17、f () = f ( 2) = f (),22211即f(丄)=f(-丄)22又因為f(2a + 1,f(?=bb+ 1 2b+ 41所以2a+ 1 =b+ 4丁.2整理，得a= 3(b+1).b+ 2 又因為 f( 1) = f(1)，所以一a+ 1 =2_即b= 2a.將代入，得a= 2, b= 4.所以 a+ 3b= 2+ 3x( 4) = 10.答案：10方法總結(jié)：1.判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法.：(1)定義法；(2).圖象法；.(3)_性質(zhì)法.2. 函數(shù)單調(diào)性的判斷.定義法-取值、作差、變形、.定號、.下結(jié)論.(2) .復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單週性相同時，為增函數(shù)，不.

18、同時為減函數(shù);(3) .導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù).的單調(diào)性.(4) .圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性. 經(jīng)典作業(yè)：1.(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x) = log 2(3x + 1)的值域為().B. 0，+m)D. 1 ,+s)A. (0 ,+)C. (1 ,+)解析/ 3x + 1> 1,x/ f (x) = log 2(3 + 1) > log 21 = 0.答案 A2. (2022 江西)假設(shè) f (x)=i log 22x+ 1，那么f (x)的定義域為(D. (0，+m)1C. 2，+m1解析 由 log 22 x+ 1 > 0,即卩 0v 2x + 1v

19、1,解得2< xv 0.答案 A3. 2022 陜西某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y =x x表示不大于x的最大整數(shù)可以表示為.xx+ 3A y = 10B- y=百x+ 5解析 根據(jù)規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，即余數(shù)分別為 7、8、9時可增選一名代表因此利用取整函數(shù)可表示為x+ 3應(yīng)選B.答案 Bx 12e ,x<2,4. (2022 廣東茂名一模)設(shè)f(x) =2log 3 x 1, x?2,那么

20、ff2的值為A. 0C. 2B. 1D. 3答案C2 0解析 f (2) = log 3(2 1) = 1,又 f(1) = 2 e = 2, a f f (2) = 2.x2 +1, x<1,5. (2022 陜西理)函數(shù)f(x) =2假設(shè)f(f(0) = 4a,那么實數(shù)a等于x + ax, x > 1,A.B.-C. 2D. 9答案C解析f (0) = 2°+ 1 = 2, f (2) = 4+ 2a= 4a,A a= 2.6.人教A版教材習(xí)題改編為了得到函數(shù)x+ 3y = Igy的圖象，只需把函數(shù)y= lg x的圖象上所有的點.A.向左平移3個單位長度,再向上平移個

21、單位長度B.向右平移3個單位長度,再向上平移個單位長度C.向左平移3個單位長度,再向下平移個單位長度D.向右平移3個單位長度,再向下平移個單位長度解析 y= lgx+ 3市=lg( x+3) - 1可由y = lg x的圖象向左平移 3個單位長度，向下平移個單位長度而得到.答案 C7.2022 安徽假設(shè)點a, b在y= lg x圖象上,1,那么以下點也在此圖象上的是A.1a，bB.(10a, 1 b)C.10亍b+ 1D.2(a'2b)x = a2 3 時，y = lg解析此題主要考查對數(shù)運(yùn)算法那么及對數(shù)函數(shù)圖象，屬于簡單題當(dāng)2 2lg a= 2b,所以點a, 2b在函數(shù)y = lg

22、x圖象上.答案 D18. 2022 陜西函數(shù)y = X3的圖象是.3TA1Bc11 1 D解析 該題考查幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決此類問題首先是考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是奇偶性 和單調(diào)性，再與函數(shù) y= x比擬即可.0v xV 1 時，E>x，當(dāng) x> 1 時，£V x,知只有B選項符合.答案 B(2022 湖南)函數(shù)f (x) = ex 1,29.g(x) = x + 4xf(a) = g(b)，貝U b 的取值范圍為A.2 一2, 2 + . 2B. (2 2, 2+ 2)c. 1,3D. (1,3)解析 函數(shù)f (x)的值域是(1 ,+s)，要使得f (a) = g(b)

23、，必須使得x2 + 4xx2 4x + 2v 0，解得 2 2 v x v 2+ 2.答案 B110. (2022 保定一中質(zhì)檢)f (x)為R上的減函數(shù)，貝U滿足f -<f (1)的實數(shù)x的取值x范圍是().A. ( 1,1)B. (0,1)C. ( 1,0) U (0,1)D. ( a, 1) U (1 ,+a)解析由條件：1| x|<1 ,->1，不等式等價于解得1<x<1,且XM0x工 0,答案 C11. (2022 江蘇)函數(shù)f (x) = log 5(2x+ 1)的單調(diào)增區(qū)間是 .1解析 要使 y = log 5(2x + 1)有意義，那么 2x+ 1

24、 >0，即 x> ，而 y= log 5U 為(0 ,+)上1 1的增函數(shù)，當(dāng)x>時，u = 2x + 1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是一.1答案 2，+m512. (2022 全國)設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OW x wi時，f(x) = 2x(1 x)，那么f ?=( ).1 1 1 1A. - 2B. 4C. 4D. 25511解析 因為f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f 2= f 2= f 2= 2.應(yīng)選A.答案 A一 113. (2022 福州一中月考)f(x) = - x的圖象關(guān)于().xA. y軸對稱B.直線y = x對稱C.坐標(biāo)原點對稱D.直線y =

25、 x對稱11解析f (x)的定義域為(一a, 0) U (0 ,+s)，又 f ( x) = ( x) = 一一x = f (x),那么f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.答案 C14. (2022 廣東)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，那么以下結(jié)論恒成立的是()A. f(x) + | g(x)| 是偶函數(shù)B f(x) - | g(x)| 是奇函數(shù)C. |f(x)| + g(x)是偶函數(shù)D . |f(x)| g(x)是奇函數(shù)解析由題意知f(x)與| g(x)|均為偶函數(shù)，A項：偶+偶=偶；B項：偶一偶=偶，B錯；C 項與D項：分別為偶+奇=偶，偶奇=奇均不恒成立，應(yīng)選A.答

26、案 A15. (2022 福建)對于函數(shù) f (x)= asinx+ bx+ c(其中，a,bR,c Z)，選取a,b,c的一組值計算f (1)和f ( 1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是().A. 4 和 6B. 3 和 1C. 2 和 4D. 1 和 2解析 f(1) = asin 1 + b+ c, f ( 1) = asin 1 b+ c 且 c Z,. f (1) + f ( 1) = 2c 是 偶數(shù)，只有D項中兩數(shù)和為奇數(shù)，故不可能是D.答案 D16. (2022 浙江)假設(shè)函數(shù)f (x) = x2|x+ a|為偶函數(shù)，那么實數(shù) a=.解析 法一 f ( x) = f (x)對于x

27、 R恒成立，/. | x+ a| = |x + a|對于x R恒成立，兩 邊平方整理得 ax = 0對于x R恒成立，故 a= 0.17. (此題總分值12分)(2022 沈陽模擬)設(shè)f (x)是(s,+s )上的奇函數(shù)，f(x+ 2)= f(x)，當(dāng) 0< XW1 時，f(x) = x.(1)求f ( n )的值； 當(dāng)一4W x<4時，求f (x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； 寫出(8,+ )內(nèi)函數(shù)f (x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間.燈第(1)問先求函數(shù)f(x)的周期，再求f( n )；第(2)問，推斷函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求

28、面積；第(3)問，由圖象觀察寫出.解答示范(1)由f(x+ 2) = f (x)得，f(x + 4) = f( x + 2) + 2 = f(x+ 2) = f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， I f( n ) = f ( 1 X 4+n ) = f ( n 4) = f (4 n)=(4 n ) = n 4.由 f(x)是奇函數(shù)與 f(x + 2) = f(x)，得:f( x 1) + 2 = f(x 1) = f (x 1), 即 f(1 + x) = f(1 x).故知函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱.又OW x<1時，f (x) = X,且f (x)的圖

29、象關(guān)于原點成中心對稱，那么 f (x)的圖象如下列圖.當(dāng)4< x<4時，f (x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,貝U1S= 4&oab= 4X 2 X 2X1 = 4(3) 函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4 k 1,4k+ 1( k Z)，單調(diào)遞減區(qū)間4 k + 1,4k+ 3( k Z).世-亠»關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的問題.2 a18. (2022 廣東聯(lián)考)函數(shù)f(x) = x + x(x豐0,常數(shù)a R).x(1) 討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2) 假設(shè)函數(shù)f (x)在x 2，+)上為增函數(shù)，求 a的取值范圍.2 2 解析 當(dāng) a= 0 時，f(x) = x，對任意 x ( g，0) U (0，+s)，f( x) = ( x)=x = f (x)，二 f (x)為偶函數(shù).2 a當(dāng) a0 時，f (x) = x + 一(a0， x豐0).x取 x =± 1,得 f( 1) + f(1) = 2工0，f( 1) f (1) = 2a0. f( 1)豐一f(1)