“楊輝三角中的一些秘密”教學設計

1、 摘要:楊輝三角蘊含了豐富的數(shù)字規(guī)律和數(shù)學思想.本節(jié)課通過從不同角度研究楊輝三角,得到楊輝三角的性質,總結出一般數(shù)陣的研究方法.提高了學生運用聯(lián)系及類比的觀點看待問題,解決問題的能力.使學生養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題,探究、構建新知的學習習慣.最后,對本節(jié)探究課進行反思.關鍵詞:楊輝三角;組合數(shù);教學設計;教學思考教學內(nèi)容解析本課題來自人教A 版選修23第一章后的“探究與發(fā)現(xiàn)”.楊輝三角蘊涵了豐富的數(shù)字規(guī)律和數(shù)學思想方法,所以它是一個很有價值的探究性課題.楊輝三角是一個特殊的數(shù)陣.探究楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律,有利于鞏固學習二項式系數(shù)的性質,并對進一步認識組合數(shù),進行組合數(shù)的計算和變形有重要的作用.對楊輝三角的

2、研究,可以讓學生通過總結,得到研究一般數(shù)陣的方法.同時,通過欣賞分形及斐波那契數(shù)列等有趣的數(shù)學內(nèi)容,學生可以由此發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美,產(chǎn)生對數(shù)學的學習興趣.另外,通過組織不同形式的探究,可以讓學生學會觀察與歸納等探究方法,體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,培養(yǎng)創(chuàng)新精神,也有利于學生理解數(shù)學知識,培養(yǎng)數(shù)學應用意識.教學目標設置(1了解數(shù)陣概念,會用組合數(shù)表示楊輝三角中的數(shù);(2了解楊輝三角中所蘊含的規(guī)律,提高觀察和分析問題,運用聯(lián)系及類比的觀點看待問題,從而解決問題的能力;(3歸納出楊輝三角及一般數(shù)陣的研究方法,養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、探究知識、建構知識的學習習慣.學生學情分析知識結構:學生已經(jīng)學習過組合數(shù)的定義和性質以

3、及二項式系數(shù)的性質,并對楊輝三角有一定的了解.能力結構:學生已經(jīng)具備了一定的綜合分析問題的能力,利用適時地問題引導就能建立起知識之間的相互聯(lián)系,解決相關問題.但是,他們對于規(guī)律的歸納還有一定的困難,需要適當?shù)匾龑?教學策略分析因為發(fā)現(xiàn)楊輝三角中的部分數(shù)字規(guī)律有一定的難度,本節(jié)課采用的是以學生自主探究為主,教師引導探究為輔的探究課類型.為了讓學生感受數(shù)學的趣味性,本節(jié)課具體采用的是自主探究與合作交流相結合的探究方式.探究時采用個人獨立思考后小組合作互動的方式,重點在于發(fā)現(xiàn)數(shù)陣中的規(guī)律,使學生通過思維碰撞,擦出智慧的火花,達到共同完成建構知識的目的.同時也使不同層次的學生都學有所獲,讓學生體會發(fā)現(xiàn)

4、和創(chuàng)造的成就感,發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.多媒體輔助教學的應用,可節(jié)省時間,增大信息量,增強直觀形象性.提倡學習方式的多樣化,本節(jié)課從“情境引入發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律利用組合數(shù)表述結論證明結論”,始終堅持讓學生主動參與,親身實踐.在學生合作、師生互動中,學生真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者和研究者.在這樣的課堂中,不僅學生對本節(jié)課的知識結構有一個清晰的認識,而且對所用到的數(shù)學方法和涉及到的數(shù)學思想得以領會.教學重點:通過從不同的角度研究楊輝三角,得到楊輝三角的性質,并最終總結出一般數(shù)陣的研究收稿日期:20150211作者簡介:陳碧文(1985,男,中學二級教師,主要從事數(shù)學探究課堂教學及數(shù)學文化滲透研究援 特別報道TE

5、BIEBAODAO48方法.教學難點:將楊輝三角的規(guī)律用組合數(shù)來進行總結.教學過程1.引經(jīng)據(jù)典,步入新課今天這節(jié)課,我們從一幅圖畫開始,大家認識這兩個圖案嗎(如圖1,圖2?這是我們?nèi)A夏傳說中的河圖和洛書.“河出圖,洛出書,圣人則之”,伏羲根據(jù)河圖演繹了八卦,大禹依據(jù)洛書劃分了九州.可以說河圖和洛書是我們?nèi)A夏文化的起源.可大家知道嗎,河圖和洛書其實也是世界上最古老的數(shù)陣 .圖1圖2什么是數(shù)陣呢?將數(shù)字按照一定順序組合成圖形就是數(shù)陣.今天這節(jié)課,我們就一起來研究一下數(shù)陣.當然,對于一個新的內(nèi)容,我們需要一個研究的載體.所以,我們從一個特殊的三角數(shù)陣開始.大家認識這個數(shù)陣(如圖3嗎?在古代,我們稱它

6、為“開方作法本源圖”.而在現(xiàn)代,它還有另外一個名字楊輝三角 .圖3(1(2楊輝三角在整個數(shù)學史中扮演著重要的角色:北宋的賈憲用它手算高次方根;元朝的朱世杰用它研究高階等差級數(shù)(垛積術;牛頓用它算微積分;華羅庚思路更廣,差分方程,無窮級數(shù)都談到了.那么,我們又能從楊輝三角中探尋到哪些奧秘呢?讓我們一起來看一下.【設計意圖】新課標提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值.在教學中將歷史知識引入課堂,既可以讓學生了解一些數(shù)學史,激發(fā)學生的興趣,同時又可以培養(yǎng)學生的民族自豪感.通過數(shù)陣的概念引入本節(jié)課,能引發(fā)學生的思考,為后續(xù)探究其他數(shù)陣做好鋪墊.學生不是只為研究楊輝三角而研究楊輝三角,而是要能通過對楊輝三角的研究,總

7、結出一般數(shù)陣的研究方式.2援復習回顧,總結已知楊輝三角在我們學習二項式系數(shù)的性質時已經(jīng)有所接觸.那么,我們已經(jīng)學習過楊輝三角的哪些性質呢?(1賈憲在他的“開方作法本源圖”中寫道:“左衺乃積數(shù),右衺乃隅算,中藏者皆廉”,用今天的話來講,就是說楊輝三角中的每一個數(shù)都是二項式系數(shù),而二項式系數(shù)都可以寫成組合數(shù).從而我們就可以把楊輝三角寫成以下的形式,其中第n行第r個數(shù)可以寫成a n,r=C r-1n-1(如圖4.圖41C01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66C0n-1C1n-1C

8、2n-1C r-1n-1C r n-1C n-2n-1C n-1n-1C0n C1n C2nC r nC n-1n C n n(2楊輝三角每一行之和為2的n-1次冪,組合數(shù)表示為C0n+C1n+C2n+C r n+C n-1n+C n n=2n.(3楊輝三角中每一個數(shù)都是兩肩上數(shù)之和,用組合數(shù)表示就是C r-1n-1+C r n-1=C r n.這個結論最早是由南宋時期的楊輝所發(fā)現(xiàn)的,所以稱之為楊輝恒等式.(4楊輝三角是左右對稱的,即C r n=C n-r n.【設計意圖】通過教師提問,學生回答的方式,讓學生回顧前面所學楊輝三角的內(nèi)容,既起到承上的作用,又為接下來的研究做好鋪墊.其中,楊輝恒等

9、式特別報道TEBIEBAODAO49 能夠讓學生更容易發(fā)現(xiàn)和證明規(guī)律,而用組合數(shù)表示楊輝三角,能夠讓學生更容易總結出規(guī)律,是本節(jié)課研究的關鍵.3.小組合作,共探新知在研究之前,我們首先需要一起探討一下,該如何去研究楊輝三角呢?蘇軾有一句詩使筆者很受啟發(fā).“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”,這句詩告訴我們需要從不同的角度看待一項事物.我們研究楊輝三角時,是不是也可以從不同角度出發(fā)呢?下面,就讓我們四人一組,從不同角度出發(fā),用數(shù)字格式的楊輝三角觀察規(guī)律,用組合數(shù)格式的楊輝三角總結規(guī)律,并加以證明(如圖5.圖5(21C 01C 11C 02C 12C 22C 03C 13C 23C 33C 04C

10、14C 24C 34C 44C 05C 15C 25C 35C 45C 55C 06C 16C 26C 36C 46C 56C 66C 0n -1C 1n -1C 2n -1C r -1n -1C r n -1C n -2n -1C n -1n -1C 0n C 1n C 2n C r n C n -1n C n n(111112113311464115101051161520156117213535217118285670562881【設計意圖】導學案中已經(jīng)為學生準備了兩個楊輝三角,一個用數(shù)字表示,一個用組合數(shù)表示.筆者要求學生從數(shù)字表示的楊輝三角中尋找規(guī)律,從組合數(shù)表示的楊輝三角中總結規(guī)律

11、,并加以證明.這體現(xiàn)了“觀察歸納猜想證明”的數(shù)學研究理念,并且通過小組合作的方式,既能降低探究的難度,也能培養(yǎng)學生的合作意識,提高學生的學習興趣.4.小組展示,分享所得楊輝三角的性質.角度1:(1楊輝三角中每一行數(shù)的平方和都是楊輝三角中的數(shù).(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2=C n 2n .思路:既然楊輝三角每一行的和存在規(guī)律,那么每一行的平方和是不是也有規(guī)律呢?證明:二項展開式,因為(1+x n ×(x +1n =(1+x 2n ,所以(C 0n +C 1n x +C r n x r +C n n x n (C 0n x n+C 1n xn-1+C r n x n

12、-r +C n n =C 02n +C 12n x +C r 2n x r +C 2n 2n x 2n.取其中的x n 項,等式左邊=(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2·x n ,等式右邊=C n 2n x n .由于等式兩邊相等,所以x n 項的系數(shù)也相等,即(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2=C n 2n .(2楊輝三角每一行數(shù)字錯一位疊加就得到11的若干次冪.證明:由二項展開式(1+x n =C 0n +C 1n x +C 2n x 2+C r n x r +C n -1n x n -1+C n n x n ,賦值x =10,得(1+10n =11n

13、 =C 0n +C 1n ×10+C 2n ×102+C r n ×10r +C n -1n ×10n -1+C n n ×10n.因此115=1×100000+5×10000+10×1000+10×100+5×10+1.在楊輝三角中,把第n 行中的數(shù)字錯位排列相加,其和就是11n -1(如圖6.1510105+1161051115=161051161520156+11771561116=1771561圖6(1(2(3第1,2,4,8,16,行,這些行即2k (k 是自然數(shù)行的各個數(shù)字均為奇數(shù),

14、第2k +1行除兩端的1之外都是偶數(shù).(4第p +1(p 為素數(shù)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p 整除,其逆命題也成立,即對任意r 1,2,n -1,都有n C rn n 是素數(shù).角度2:每一斜行前n 個數(shù)加起來都是下面一行的第n 個數(shù),C r r +C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1n (n >r (用楊輝恒等式證明.特別報道TEBIEBAODAO50 思路1:這是從求和的角度來研究的,既然橫的一行相加存在規(guī)律,那么斜的一行相加是不是也可以得到一些結論呢?證明:C r r +C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1r +1

15、+C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1r +2+C r r +2+C rn -1=C r +1r +2+C r n -1=C r +1n .思路2:將楊輝三角的斜行加起來呢?思路3:將楊輝三角擺成直角三角形,45°角斜行相加呢?得到數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,(斐波那契數(shù)列.(1它是由一對兔子的繁衍問題而產(chǎn)生的.(2它的每一項都是前兩項之和.(3這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列,通項公式卻用含無理數(shù)的式子a n =555+12(n-52(n來表達.(4當n 趨向于無窮大時,后一項與前一項的比值越來越接近黃金分割0.618.

16、(5斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前.例如,松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數(shù)(如向日葵花瓣、蜂巢、蜻蜓翅膀等.楊輝三角中斜的第一行是一個常數(shù)數(shù)列,第二行是等差數(shù)列,第三行開始每一行都是高階等差數(shù)列.角度3:(1將楊輝三角中的奇數(shù)用線段連接起來,就構成了一個歇爾賓斯基三角.(22n 階楊輝三角中,共有3n 個奇數(shù),共有2n -1·(1+2n -3n 個偶數(shù)(n N +.角度4:(1梯形中5個數(shù)相加就是下面隔行的數(shù):C r n +C r +1n +C r n +1+C r +1n +1+C r +2n +1=C r +2n +3.思路:根據(jù)楊輝恒等式,楊輝三角每一

17、個數(shù)都是上面兩個數(shù)之和,那么是不是可以進一步將這兩個數(shù)向上推導?證明:根據(jù)楊輝恒等式,C r +2n +3=C r +1n +2+C r +2n +2=(C r n +1+C r +1n +1+(C r +1n +1+C r +2n +1=C r n +C r +1n +C r n +1+C r +1n +1+C r +2n +1.(2除了1之外,所有正整數(shù)都出現(xiàn)有限次.只有2出現(xiàn)剛好一次.6,20,70等出現(xiàn)三次.出現(xiàn)兩次和四次的數(shù)很多.還未能找到剛好出現(xiàn)五次的數(shù).120,210,1540等剛好出現(xiàn)六次.【設計意圖】每個小組發(fā)言,結合楊輝三角性質的特點,進行組合數(shù)的總結.在總結過程中,從特殊

18、情形出發(fā),推導出楊輝三角性質的一般表示,體現(xiàn)從特殊到一般的思想.通過學生歸納猜想,引導學生驗證猜想結論是否正確.同時為了突破利用科學探究的思想指導學生研究未知數(shù)陣這一難點,引導學生從模型化的角度出發(fā),多角度地分析問題、探究問題、解決問題,將學生思維推向高潮.這既加深學生對前后知識內(nèi)在聯(lián)系的理解,又從深度和廣度上讓學生感受到了數(shù)學知識的串聯(lián)和呼應.5.教師補充,再得新知(1將楊輝三角中的奇數(shù)用線段連接起來,就可以得到一個有趣的三角形,即歇爾賓斯基三角.(2對歇爾賓斯基三角進行拓展:謝爾賓斯基塔(三棱錐謝爾賓斯基地毯(正方形謝爾賓斯基海綿(正方體分形數(shù)學.(3介紹分形之美.(4通過斜行相加,得到斐

19、波那契數(shù)列,展示斐波那契數(shù)列的優(yōu)美視頻.【設計意圖】對楊輝三角中部分學生沒有發(fā)現(xiàn)的性質,教師做簡單補充,既讓學生了解到楊輝三角中更多的秘密,又讓學生學會從不同的角度看待問題.同時,圖片及視頻形式的資料直觀地展現(xiàn)數(shù)學之美,增加學生對數(shù)學的熱愛之情.6.探究小結,盤點新知本節(jié)課的收獲如下.(1楊輝三角的秘密,同時也是二項式系數(shù)的性質.(2通過對楊輝三角的研究,學生得到對于一般數(shù)陣的研究方法.【設計意圖】本環(huán)節(jié)通過教師的引導,讓學生總結本節(jié)課的收獲,并由教師進行必要補充.將收獲分為兩層境界.首先,是知識上的收獲,即楊輝三角的秘密;其次,是方法上的收獲,通過對楊輝三角的研究,得到了對一般數(shù)陣的研究思路

20、,從觀察橫行、斜行、特別報道TEBIEBAODAO51豎行、折線,局部,整體等角度進行研究.作業(yè):(1查找資料,并閱讀華羅庚的從楊輝三角說起,看看楊輝三角中還有哪些我們沒發(fā)現(xiàn)的秘密.(2用我們今天所學的探究方法,研究萊布尼茨三角,你能從這個數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)哪些秘密呢?思考與感悟本節(jié)課是知識拓展類選修課程“數(shù)學欣賞”中的一課,是對教材中閱讀與思考、探究與發(fā)現(xiàn)這兩個欄目中的閱讀材料的二次挖掘.探究與發(fā)現(xiàn)是為了改變以學生單純地接受教師傳授知識為主的學習方式,實行以學生的自主探究、合作交流為主的研究活動,意在培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力.作為一節(jié)探究課,教師教什么?怎么教?它能讓學生在知識、思維、能力上有什

21、么收獲?這些問題值得我們思考.接下來,筆者就從以下幾個方面來談一談對本節(jié)課的思考與感悟.1.深入課題,明確定位本節(jié)課的課題是“楊輝三角中的一些秘密”.事實上,有許多知名的數(shù)學家都研究過楊輝三角,華羅庚先生更是出版過一本從楊輝三角談起,他們發(fā)現(xiàn)了許多楊輝三角的秘密,而教材呈現(xiàn)給我們的卻只是楊輝三角秘密當中的冰山一角.因此,在教學內(nèi)容的選取上,筆者將本節(jié)課立足于對數(shù)陣的探究,以楊輝三角為載體,結合最近發(fā)展區(qū)理論,從二項式系數(shù)出發(fā),從組合數(shù)的角度去探究楊輝三角,同時利用數(shù)陣與數(shù)列概念的相似性,從通項、遞推、求和等角度輔助楊輝三角的探究,最終去發(fā)現(xiàn)楊輝三角的秘密,并歸納出一般數(shù)陣的研究方法,使本節(jié)課的探究得到升華.2.契合主題,合作探究自新課改以來,自主、合作、交流這三個詞就是課標倡導的一種比較重要的學習方式,這節(jié)課既然選自“探究與發(fā)現(xiàn)”,在課堂模式上選擇的自然是探究式教學.那么,什么是探究,學生該如何探究,又該如何避免表面上熱熱鬧鬧的假探究呢?課標中有明確解釋,數(shù)學探究是指學生圍繞某個數(shù)學問題,自主探究及學習的過程.探究包含了探究的內(nèi)容、探究的形式、探究的分工.這節(jié)課當中,筆者采用的是教師引導下的學生自主探究與合