1.2講：數(shù)列的極限ppt課件

1、數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)語言描述: :r一一 、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義引例引例. .設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為 r r 的圓的圓, ,nA逼近圓面積逼近圓面積 S . S .n如下圖如下圖 , , 可知可知 nAnnnr coscossinsin2) ), , , ,( (543 n當(dāng)當(dāng)n n無限增大時無限增大時, , nA無限逼近無限逼近 S ( S (劉徽割圓術(shù)劉徽割圓術(shù)) , ) , , ,0 , ,N正正整整數(shù)數(shù) 當(dāng)當(dāng)n N n N 時時, , SAn用其內(nèi)接正用其內(nèi)接正 n n 邊形的面積邊形的面積總有總有定義定義: :自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列, , 記作記

2、作) )( (nfxn 或或 . .nxnx稱為通項稱為通項( (一般項一般項).).若數(shù)列若數(shù)列 nx及常數(shù)及常數(shù) a a 有下列關(guān)系有下列關(guān)系 : :, ,0 , ,N正正數(shù)數(shù) 當(dāng)當(dāng) n N n N 時時, , 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列收斂此時也稱數(shù)列收斂, ,否則稱數(shù)列發(fā)散否則稱數(shù)列發(fā)散 . .幾何解釋幾何解釋: :a a a)( axan) )( (Nn 即即) ), ,( ( axn ) )( (Nn axnn limlim或或) )( ( naxn1 Nx2 Nx axn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為a,a,例如例如, , , , , , ,1433221 nn1 n

3、nxn) )( ( n1, ,) )( (, , , , , ,nnn 114334212 nnxnn11 ) )( ()(1n, , , , , ,n2842nnx2 ) )( ( n, ,) )( (, , , , ,11111 n11 nnx) )( (趨勢不定趨勢不定收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散例例1. 1. 知知, ,) )( (nnxnn1 證明數(shù)列證明數(shù)列nx的極限為的極限為1.1. 證證: : 1nx11 nnn) )( (n1 , ,0 欲使欲使, , 1nx即即, , n1只要只要 1 n因而因而, ,取取, , 1 N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時時, , 就有就有 11nnn) )( (故故

4、11 nnxnnnn) )( (limlimlimlim例例2. 2. 知知, ,) )( () )( (211 nxnn證明證明. .limlim0 nnx證證: : 0nx0112 ) )( () )( (nn211) )( ( n11 n, ,) ), ,( ( 10 欲使欲使, , 0nx只要只要, , 11n即即 n取取, , 11 N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時時, ,就有就有, , 0nx故故0112 ) )( () )( (l li im ml li im mnxnnnn, ,nnnx1110 故也可取故也可取 1 N也可由也可由2110) )( ( nnx. .11 N 與與 有關(guān)有關(guān),

5、但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N . N .說明說明: : 取取 11 N例例3.3.設(shè)設(shè), ,1 q證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列, , , , , ,121 nqqq證證: :0 nx01 nq, ,) ), ,( ( 10 欲使欲使, , 0nx只要只要, , 1nq即即, ,lnlnlnln) )( ( qn1亦即亦即因而因而, ,取取 qNlnlnlnln 1, ,則當(dāng)則當(dāng)n N n N 時時, ,就有就有 01nq故故01 nnqlimlim. .l ln nl ln nqn 1的極限為的極限為0 . 0 . 1 nq23ba22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂

6、數(shù)列的性質(zhì)證證: :用反證法用反證法. .axnn limlim及及, ,limlimbxnn 且且. .ba 取取, ,2ab 因因, ,limlimaxnn 故存在故存在 N1 , N1 , , ,2abnax 從而從而2banx 同理同理, ,因因, ,limlimbxnn 故存在故存在N2 , N2 , 使當(dāng)使當(dāng)n N2 n N2 時時, ,有有2banx1. 1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一. .使當(dāng)使當(dāng)n N1 n N1 時時, , 假設(shè)假設(shè)22abnabbxnbax223ab, ,2abnbx 從而從而2banx 矛盾矛盾. .因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限

7、必唯一. .則當(dāng)則當(dāng)n N n N 時時, , , , ,m ma ax x21NNN 取取故假設(shè)不真故假設(shè)不真! !nx滿足的不等式滿足的不等式例例4. 4. 證明數(shù)列證明數(shù)列) ), , ,( () )( (2111 nxnn是發(fā)散的是發(fā)散的. . 證證: : 用反證法用反證法. .假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列 nx收斂收斂, , 則有唯一極限則有唯一極限 a a 存在存在 . .取取, ,21 則存在則存在N ,N ,2121 axan但因但因nx交替取值交替取值 1 1 與與1, 1, ) ), ,( (2121 aa內(nèi)內(nèi), ,而此二數(shù)不可能同時落在而此二數(shù)不可能同時落在21 a21 aa長度為長

8、度為1 1的開區(qū)間的開區(qū)間 使當(dāng)使當(dāng)n N n N 時時, ,有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散. .2. 2. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界. .證證: : 設(shè)設(shè), ,limlimaxnn 取取, ,1 , ,N 那么那么當(dāng)當(dāng)Nn 時時, , 從而有從而有nxaaxn a 1取取 21, , , , ,maxmaxNxxxM a1則有則有. .) ), , ,( (21 nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界. .說明說明: : 此性質(zhì)反過來不一定成立此性質(zhì)反過來不一定成立 . .例如例如, , 11 n) )( (雖有界但不收斂雖有界但不收斂 . .aaxn ) )( (,

9、 ,1 axn有有數(shù)列數(shù)列3. 3. 收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性. .假設(shè)假設(shè), ,limlimaxnn 且且0 a, ,N N N則則Nn 當(dāng)當(dāng)時時, ,有有0 nx, ,) )( ( 0 . .) )( ( 0 證證: :對對a 0,a 0, 取取, ,2a , ,N N N則則, ,時時當(dāng)當(dāng)Nn axn2a nx02 aaax2a2a推論推論: :若數(shù)列從某項起若數(shù)列從某項起0 nx, ,l li im maxnn 且且0 a則則) )( ( 0 . .) )( ( 0 ( (用反證法證明用反證法證明) )三、極限存在準(zhǔn)則三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知, , 若數(shù)列有兩個

10、子數(shù)列收斂于不若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不例如，例如， ) ), , ,( () )( (2111 nxnn; ;l li im m112 kkx12 kkxlimlim發(fā)散發(fā)散! !夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; ; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則. .說明說明: : 4. 4. 收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限. .同的極限同的極限, ,則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散. . 考慮：若數(shù)列有兩考慮：若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于同的極限個子數(shù)列收斂于同的極限, ,則原數(shù)列怎樣？則原數(shù)列怎樣？azynnnn l li im ml li im m) )( (21. 1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼

11、準(zhǔn)則 ( (準(zhǔn)則準(zhǔn)則1) (P49)1) (P49) ), , ,( () )( (211 nzxynnnaxnn limlim證證: : 由條件由條件 (2), (2), ,0 , ,1N 當(dāng)當(dāng)1Nn 時時, , ayn當(dāng)當(dāng)2Nn 時時, , azn令令 , , ,maxmax21NNN 則當(dāng)則當(dāng)Nn 時時, , 有有, , ayan, , azan由條件由條件 (1) (1)nnnzxy a a即即, , axn故故 . .limlimaxnn , ,2N例例5.5.證明證明11211222 nnnnnnl li im m證證: : 利用夾逼準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則. .由于由于 nnnnn222

12、1211 nnn22 22nn且且 nnnn 22limlimnn 11limlim1 22nnnlimlim211nn limlim1 nn limlim nnnn22212111 2. 2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( ( 準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 ) ( P52 ) 2 ) ( P52 ) Mxxxxnn 121mxxxxnn 121) )( (l li im mMaxnn ) )( (l li im mmbxnn nx1nxM1x2xxmnx1 nx1x2xx( 證明略 )ab例例6.6.設(shè)設(shè), ,) ), , ,( () )( (2111 nxnnn證明數(shù)列證明數(shù)列 nx極限存在

13、極限存在 . (P52 . (P52P54)P54)證證: : 利用二項式公式利用二項式公式 , , 有有nnnx) )( (11 1nn 11! !2121nnn! !) )( ( 31321nnnn! !) ) )( ( ( nnnnnnn111! !) )( () )( ( 11) )( (! !nn11 1 ) )( (n2 1 ) )( (nn 1 1 ) )( (! !n1211 ) )( (! !n1311 ) )( (n21 11nx) )( (! !nn11 1 ) )( (n2 1 ) )( (nn 1 1 ) )( (! !n1211 ) )( (! !n1311 ) )

14、( (n21 111nx) )( (! !11211 n) ) )( ( (! !12113111 nn ) )( () )()( (! !) )( (1121111111 nnnnn大大 大大 正正) ), , ,( (211 nxxnn 1111nnnx) )( (! !21! !31 ! !n1 又又比較可知比較可知根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)則 2 2可知數(shù)列可知數(shù)列 nx記此極限為記此極限為 e , e ,ennn ) )( (limlim11 e e 為無理數(shù)為無理數(shù), ,其值為其值為5904571828182842. . e即即有極限有極限. . 1111nnnx) )( (!21! !31

15、! !n1 1121221 121 n又又3 2121111 n1213 n內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ N N ” 定義及應(yīng)用定義及應(yīng)用2. 2. 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :唯一性唯一性; ; 有界性有界性; ; 保號性保號性; ;任一子數(shù)列收斂于同一極限任一子數(shù)列收斂于同一極限3. 3. 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則: :夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; ;單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則. .思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 1. 如何判斷極限不存在如何判斷極限不存在? ?方法方法1. 1. 找一個趨于找一個趨于的子數(shù)列的子數(shù)列; ;方法方法2. 2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列. .2.2.知知) ), , ,( (, ,2121111 nxxxnn, ,求求nnx limlim時時, ,下述作法是否正確下述作法是否正確? ? 說明理由說明理由. .設(shè)設(shè), ,limlimaxnn 由遞推式兩邊取極限得由遞推式兩邊取極限得aa21 1 a不對不對! ! 此處此處 nnxlimlim故極限