1.2拉氏變換定義,性質(zhì)ppt課件

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系第四章第四章 拉氏變換與拉氏變換與S域分析域分析 拉氏變換定義；拉氏變換性質(zhì)拉氏變換定義；拉氏變換性質(zhì) 拉氏逆變換；拉氏逆變換；S域分析域分析 系統(tǒng)函數(shù)零極點系統(tǒng)函數(shù)零極點時域特性和穩(wěn)定性時域特性和穩(wěn)定性 系統(tǒng)函數(shù)零極點系統(tǒng)函數(shù)零極點頻響特性；拉氏變換頻響特性；拉氏變換傅傅里葉變換里葉變換哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系iv)卷積卷積 相乘，建立系統(tǒng)函數(shù)的概念相乘，建立系統(tǒng)函數(shù)的概念ii)微積分微積分 乘除法，微分方程乘除法，微分方程 代數(shù)方程代數(shù)方程4.1 拉氏變換定義、拉氏變換性質(zhì)拉氏變換定義、

2、拉氏變換性質(zhì)一、拉氏變換一、拉氏變換1引言引言iii)指數(shù)、超越指數(shù)、超越 初等函數(shù)初等函數(shù)i)同時給出特解和齊次解，初始條件自動包含在變換式中同時給出特解和齊次解，初始條件自動包含在變換式中v)零極點零極點 時域、頻響、穩(wěn)定性，零、極點分析的概念時域、頻響、穩(wěn)定性，零、極點分析的概念赫維賽德赫維賽德 19世紀(jì)末算子法，依據(jù)拉普拉斯著作，重新定義世紀(jì)末算子法，依據(jù)拉普拉斯著作，重新定義適用：連續(xù)線性時不變系統(tǒng)適用：連續(xù)線性時不變系統(tǒng)作用：簡便變換線性時不變系統(tǒng)時域模型作用：簡便變換線性時不變系統(tǒng)時域模型分析步驟：時域分析步驟：時域-復(fù)頻域復(fù)頻域-時域時域哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工

3、業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系deFtfdtetfFtjtj)(21)()()()(dttf2傅里葉變換傅里葉變換 拉氏變換拉氏變換i) 通常為因果信號通常為因果信號 )(tf( )0 (0)f tt)()()(tutftfdeFtfdtetfFtjtj)(21)()()(0假設(shè)假設(shè) , 那么那么哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系111( )( )( )22sjjtj tstjdsjdf te FedF s e dsj )(tf( )tf t eii) 不絕對可積，但不絕對可積，但 容易滿足絕對可積條件容易滿足絕對可積條件0)()(dtetfsFst定義定義11( )(

4、 )2tj tf t eFed另一方面另一方面 100( ) ( )( )( ) ()ttj tstFf t ef t eedtf t edtsjF哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(tfF)()(tfsF, ttsss傅立葉變換與拉氏變換基本區(qū)別傅立葉變換與拉氏變換基本區(qū)別不僅能描述振蕩頻率，也能反不僅能描述振蕩頻率，也能反映振蕩幅度的衰減或增長速率映振蕩幅度的衰減或增長速率只能描述振蕩重復(fù)頻率只能描述振蕩重復(fù)頻率復(fù)頻域復(fù)頻域 時域時域頻域頻域 時域時域為復(fù)頻率為復(fù)頻率為頻率為頻率為實數(shù)，為實數(shù)， 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)為實數(shù)為實數(shù)iii) 0( )( )1 ( )(

5、)2stjstjF sf t edtf tF s e dsj 為單邊拉氏變換對為單邊拉氏變換對象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系雙邊拉氏變換：雙邊拉氏變換：( )( )1( )( )2stBjstBjF sf t edtf tF s e dsj 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系3收斂問題收斂問題定義定義tetf)(0)(limttetf為何值，為何值， 收斂：收斂：00)(limttetfi) 的取值范圍對應(yīng)的平面區(qū)域稱為收斂域的取值范圍對應(yīng)的平面區(qū)域稱為收斂域通常當(dāng)通常當(dāng) 時，時，0s0ii)稱稱 為收斂坐

6、標(biāo)，為收斂坐標(biāo)， 平面中平面中 部分為收斂域部分為收斂域)()(2tuetft2te)2(例如例如 ，只有取，只有取 ， 才使才使 變?yōu)樗p變?yōu)樗p0j0含義：含義： 滿足絕對可積的條件，即：滿足絕對可積的條件，即：tetf)(單邊拉氏變換，右邊單邊拉氏變換，右邊收斂坐標(biāo)，收斂軸，收斂域收斂坐標(biāo)，收斂軸，收斂域哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1t2tt)(tf0時間有限的有界信號，收斂坐標(biāo)位于時間有限的有界信號，收斂坐標(biāo)位于，收斂域整個，收斂域整個s 平面平面21( )( ), lim( )0tsttttF sf t edtf t e0)(limtft( ，與，

7、與 無關(guān)無關(guān))哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系lim( )0 (0)ttf t e有界非周期信號：有界非周期信號： 收斂域至少為收斂域至少為 s 右半平面右半平面t)(tf0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系有界周期函數(shù)：有界周期函數(shù)：lim( )0 (0)ttf t e，收斂域為 s 右半平面)(tft0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系0綜上：單邊拉氏變換收斂域形式為綜上：單邊拉氏變換收斂域形式為2)(tetf比指數(shù)函數(shù)增長還快的信號，無拉氏變換：如比指數(shù)函數(shù)增長還快的信號，無拉氏變換：如2,.,.

8、nt tt，收斂域為，收斂域為 s 右半平面右半平面 lim0 (0)nttt eatetf)(，指數(shù)信號：指數(shù)信號：()lim( )lim0 ()tatttf t eea哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系4積分限問題積分限問題 )(1tft0例：例：21 0( )1 0tetf ttt)(2tf00 0 )(222tttetft)(3tft023 0( )0 0tetf tt)(1tf)(2tf)(3tf)(tf0t與與 的的 部分函數(shù)值無關(guān)部分函數(shù)值無關(guān)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系00 與與 問題：問題：00( )( )st

9、F sf t edt（定義方式）定義方式） 0)()(dtetfsFst0(定義方式定義方式) 本書用本書用0，優(yōu)點是不必考慮跳變過程，優(yōu)點是不必考慮跳變過程利用拉氏變換解微分方程時，可以直接利用已利用拉氏變換解微分方程時，可以直接利用已知的起始狀態(tài)知的起始狀態(tài)(0 )f哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(t例例1：求：求 的單邊拉氏變換：的單邊拉氏變換：解：解：000 : ( )( )1stt edtt dt00 : ( )0stt edtt0( ) t哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)0()()(fssFtf1)(cos2ss

10、ttu11)(sin2sttu) )(costtu例例2：知：知 ，求，求)(0 11011)0( 111122222sssss解：解：2022(cos( ) (0 )11sstu tsfss 0：0202221(cos( ) (0 )1111sstu tsfsss ：) )(costtu)(sinttu)(t其實：其實：哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系二、拉氏變換性質(zhì)二、拉氏變換性質(zhì) 1線性線性)()()()(22112211sFksFktfktfk11( )( )f tF s)()(22sFtf，哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制

11、系( )ate u t例例3：求：求 的拉氏變換分的拉氏變換分 a 為實數(shù)和虛數(shù)兩種情況）為實數(shù)和虛數(shù)兩種情況）1 ( ) (0)u ts (0)EEs令令a = 0，那么，那么 ，解：解： i)當(dāng)當(dāng) a 為實數(shù)為實數(shù)()0011( ) ()atatsta s te u teedteaassa0ja ii)設(shè)設(shè) a 為虛數(shù)，即為虛數(shù)，即0000()0( )11 (0)jtjtstjs teu teedtejssj那么那么哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(sinttu)(costtu，的拉氏變換的拉氏變換例例3：求：求解：解：001( )jteu tsj)0(2

12、2)11(21)(cosssjsjsttu)0(22)11(21)(sinsjsjsjttu)0(0t01( )jeu tsj(0)哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系例例3：求：求 的拉氏變換的拉氏變換sinh() ( ), cosh() ( )at u tat u t解：解： 221sinh() ()2111() (|)2atatateeaasasasa221cosh() ()2111() (|)2atatateesasasasa哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系2時域微分時域微分)()(Ftf( )(f tj Fi) 對比對比 )

13、0(fii) 注意：本書采用注意：本書采用 )()(sFtf)0()()(fssFdttdf11( )0( )( )(0)nnnn rrnrd f ts F ssfdt 2( )( )(0)(0)( )(0)(0)fts sF sffs F ssff哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系( )( )( )(0 )LLLLLdiv tLV sLsIsLidt例例4：電感的：電感的 s 域模型：域模型：(0 )0( )( )LLLLLiV ssLIsvj LI假設(shè)假設(shè))(sVL)0(LLisL+-( )LIs哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系

14、( 1)00(0)(tstffdedts 證明：證明：( 1)0= (0) (tffd3時域積分時域積分()(Ftf(0)tFfdFj 比較比較 (tdf)(0df(0tdf)()(sFtfsfssFdft)0()()1(哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系000001( )(|( )stttststeF sfdedtfdf t edtsss ( 1)( )(0)( )(0)( )F sgF sfG ssssssfssFdft)0()()1(故：故：tdftg()(或令：或令： 那么：那么：)()(tgtf)(sF)0()()(gsGstf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與

15、控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系1( )(tccv tidC( 1)( )(0)( )(0)( )cccccIsiIsvV ssCCssCs例例5：電容的：電容的S域模型域模型)(sVcsvc)0(+-( )CIs1sC哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系00( )( )( )( )ststF sf t edtF stf t edt4頻域微分頻域微分證明：證明：( )( )tf tF s故：故：)()(sFtf( )( )dtf tF sds()(Ftf)()(Ftjtf對比：對比： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系nt例例6：

16、求：求 的拉氏變換的拉氏變換(n為正整數(shù)為正整數(shù))21st 3221sdssdtt232 tssin, costt tt求求 的拉氏變換的拉氏變換解：解：211 1sdssdts1 1 1! nnnts.哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系2222 cos()sdssttdss 2cossts2222 sin()dssttdss 2sinst哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系5頻域積分頻域積分00000( )( )( )( )|( )0( )utssututssststF u duf t edt duef tedu dtf tdttee

17、f tdtf t dttt證明：證明：)()(sFtfsduuFttf)()()(Ftf( )(0) ( )()f tftFdjt對比對比 )(ttf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系tatsin例例7：求：求 的拉氏變換的拉氏變換2arctanarctan1ssaadvsvvasduauatat22sinsduaua1)(12解：解：22sinaatsaP181，表，表4-1，常用函數(shù)拉氏變換，常用函數(shù)拉氏變換 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系6. 時移時移)()(sFtf0000 ()( ) (0)stf tt u tteF s

18、t ()(FtfdteFttftj00()(對比對比 證明：證明： 00000000000 () ()() ()()( )stt tststststf tt u ttf tt u tt edtf tt edtfeedeF s 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(0ttf0tt0t)()(00ttuttf0t0)(tft0t)()(tutf00()f tt與與00() ()f tt u tt的拉氏變換不相等的拉氏變換不相等!哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)()()(0ttEutEutf)()()(tutuEtf例例8：求拉氏變換：

19、求拉氏變換 ( )sssEEf teEEeessss 解：解：0)(stesEsEsF00tEt( )f t220Et( )f t哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系)(tftTT20例例9：周期信號的拉氏變換：周期信號的拉氏變換000( )(), ( )( ) ( )()nf tf tnTf tf t u tu tT)()(00sFtf)(sF設(shè)設(shè)，求，求解：解：2000000( )( )( ).1( )( ) (0)1sTsTsnTsTnF sF seF s eF seF se)()(0TtuTtf)(sF)(0tf.)2()2(0TtuTtf哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動

20、化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系7S域平移域平移)()(sFtf)()(asFetfat()(Ftf)()(Fetftj對比對比 證明：證明：0()0 ( )( )( )()atatsta s tef tef t edtef t dtF as哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系sin, cos, , , sin, cosatatatnatatatet et tet etet tet例例10：求：求的拉氏變換的拉氏變換2cossst 2)(cosasasteat21st 2)(1asteat1!nnsnt 1)(!natnasnet解：解： 2)(sin

21、asteatstsin哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系2sin ts 222 sin()stts222 ()sin()atsatetsa2cossts 222 cos()stts222()cos ()atsatetsa哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系8 8尺度變換尺度變換)(1)(asFaatf)()(sFtf(0)a ，那么，那么證明：證明：0001 ()()( )1( )uu atsstaaf atf at edtf u eduasFaa()(Ftf1 ()()f atFaa對比對比 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)

22、大學(xué)自動化測試與控制系0, 0,ab)()(batubatf例例11：解：解：1 () ()( )bsabbsf a tu a tFeaaaa1 () ()( )sf at u atFaa ( )( )f tF s先尺度，后時移先尺度，后時移先時移，后尺度先時移，后尺度哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系9初值定理初值定理證明：證明：)0()()(fssFdttdf)(dttdf)(tf 假設(shè)假設(shè) ， 存在，且存在，且F(s)為真分式為真分式)(lim)0()(lim0ssFftfst那么那么00000( )( )( )( ) ( )(0 )(0 )stststst

23、df tdf tdf tdf tedtedtedtdtdtdtdtdf tffedtdt哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系 ，其中F1(s)為真分式，)()()(1sPsFsF若若F(s)為假分式，令為假分式，令01lim( )(0 )lim( )tsf tfsF sP(s)為多項式，那么為多項式，那么0)(lim)(0tkt)()(tskk因為因為 ，0)()(lim0)(lim001010ttuttfessFtsts0ste若若F(s)中含延時因子中含延時因子 ，初值定理仍然成立，初值定理仍然成立)()()(00110ttuttfesFst，那么因為因為0(

24、)lim( )(0 )lim (0 )(0 )lim( )(0 )(0 )(0 )sstssdf tsF sfffedtdtffsF sf0哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系例例12：求初值：求初值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1()(ssssF1)(limssFs1)0(f，即，即)3)(2(1)(ssssF解：解：1)(limssFs1)0(f，即，即146lim( )lim4(2)(3)ssssF ssss (1)46( )1(2)(3)(2)(3)s ssF sssss 哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系0000

25、0( )lim( )(0 )lim( )lim (0 )(0 )(0 )(0 )( )(0 )stssstsdf tsF sfedtdtdf tffedtdtffff )(lim)()(lim0tffssFts10終值定理終值定理證明：證明：條件：條件：F(s)在在s平面虛軸和右半平面解析無極點），平面虛軸和右半平面解析無極點）， 在原點處只允許一階極點在原點處只允許一階極點)(limtft)(tf)(dttdf假設(shè)假設(shè) 存在，存在， ， 存在，存在，0lim ( )lim( )tsf tsF s那么那么哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系哈爾濱工業(yè)大學(xué)自動化測試與控制系例例13：求終值：求終值)3)(2() 1()(sssssF)2)(1(1)(ssssF)3(1)(ssssF)3(1)(2ssssF) 1)(1(2)(2ssssF解：解：0)