2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(吉林賽區(qū))預(yù)賽題及答案

1、2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（吉林賽區(qū)）預(yù)賽暨2015年吉林省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及參考答案一、選擇題(T x t (- x? 1 用=4 4logq X* M 尤1 .十：El ),r1.已知二,則"(1，二()A .2B . -21I4D. 12. “實(shí)數(shù)那員cS依次成等差數(shù)列”是“一+，="<”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件3.若方程外2=0在（，陽內(nèi)有解，則D.既不充分也不必要條件>'=* '）的圖象可能是（）4 .已知向量“區(qū)的夾角為6。，且：一'一""，則"卜（）A. 

2、9; 'B.5 .已知我村,若對(duì)任意的“有口十十5恒成立，則實(shí)數(shù)，口的取值 范圍是（）A.一）B .21j 口.（-3. 26 .函數(shù)A'）=4”'門在C）上存在最大值，則實(shí)數(shù)總的取值范圍是（ ）5551（1）（1（T）A.2B. 之C.22d.7 .四棱錐$一4火。的底面是邊長為2的正方形，SDL ThiABCD ,且 5口 AB,則四棱錐5一的外接球的表面積為.8 .設(shè)數(shù)列 U的前門項(xiàng)和為與，且邑L?，).則數(shù)列%的通項(xiàng)公 式為 .1) - sin(rt + -.r+ - (o > 0)用 9 .已知函數(shù)工 4的最小正周期為霜,則”")在區(qū)間r0 &

3、lt;11*，上的值域?yàn)?0 .如圖，在四棱錐中，底面工比。為正方形，AE1平面已知百F= DE = 3 ,產(chǎn)為線段DE上的一點(diǎn)，二面角E-BC-F 與二面角F-0U-。的大小相等，則"F的長為.11 .從°3“用中選出三個(gè)不同數(shù)字組成四位數(shù)(其中的一個(gè)數(shù)字用兩次)，如則這樣的四位數(shù)共有 個(gè).ar- 2-十 0 - 0,(5*尸)m-尸 - I 5。12,非空集合2I，”,當(dāng)r力且時(shí)，目標(biāo)函數(shù)"，-''既存在最大值，又存在最小值，則實(shí)數(shù)門的取佰范圍是.三、解答題13 .在中，內(nèi)角4昂對(duì)邊的邊長分別是小8 J已知。=?, 亍.(I)求，的周長的最大值

4、；(H)若九+門-in J求</?的面積.JC ,(j、$ y = |14 .已知橢圓. 4 ',直線,交橢圓門于人內(nèi)兩點(diǎn)，且1川+2 ,判斷直線i 與圓上'=1的位置關(guān)系，并給出證明.E 常一三。15 .已知不等式t對(duì)任意的*："均成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.16 .已知12'加",設(shè)實(shí)數(shù)冊(cè)向"二禺'知若滿足:(1)、3房問口一血”且不全為0 ；(2)、小;(3)、若【工則一 i (13).如果所有形如和兒網(wǎng)人'"看的數(shù)均不是 加14的倍數(shù)，則稱&為“好 集”.求“好集”川所含元素個(gè)數(shù)的最大值.、選擇

5、題1. B2 . A3 . D4 .D5. B提示：顯然 相口，且一M« |，£引，又川，川為增函數(shù)且為奇函數(shù)，故13 M'費(fèi) Al . JtH - jQ 中,ilt6. B提示：考慮到mi一，的唯一極大值點(diǎn)為，一，且個(gè)3'=k人，故1 . .與 一 v -一工時(shí)4 2w 1-<(/<-2 ,解得2.二、填空題7. 1之笨% -廣8. 32+氏口19. 410. 花仁11. 招HK提示：分三類：不含 0的有入>/=*3個(gè)；含0且0只用一次的有* h 4= MX個(gè)；含0且0用兩次的有于是共有16梵能個(gè)12. 工 5 提示：當(dāng)中一時(shí)，區(qū)域?yàn)槿?/p>

6、形，顯然滿足；當(dāng) ”之時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 公4”分別在 邊界hr " 口和工"2十'二。上取得最小值和最大值 三、解答題13. (I)由余弦定理及已知條件得，十.一(3十by 4十33小£ 4十3箕 于是，4 ，得"-4 ,所以業(yè) 的周長的最大值為6,當(dāng)Aa改 為等邊三角形時(shí)取到.(R)由 1 -1z0 sin(ff+ A) t sin(S A) = 4sin leas A行，sin /Jeos A - 2 5i口 ,4cos Aft 短 4y/i 2fiR =- 右= D =當(dāng)c抽百=0時(shí)， 2,6,3 ,3 ,當(dāng)coe/U0時(shí)，得卬14=24n4,

7、由正弦定理得8=2門，& * * - ；1bi2行 工3聯(lián)立方程組2m 解得 ,3 .會(huì)1.c 20S - -3«xin (_ =所以二.4叱的面積 23 .14.當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí)，由）丹卜2知點(diǎn)4門的坐標(biāo)分別為I直線的方程為-。，此時(shí)直線/與圓一/ 相交。當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，的方程為產(chǎn)j，= kx + nr. + JT1I 1/IT+-由 1 4 '得（I-* M*Mw"-4 = 0.設(shè)人打兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為以小叢），則&於774- 4% 7 當(dāng)8-r1+41-1* 4k'， ，、 (K£/ri|" 4HA7

8、 +- 4) 14(41' 4 Im:，射所以|啟= &l+/）氣土受一 三,16(4始 *1-療(1+涼二）.絲芷從而圓,、爐=I的半徑=,其圓心到直線/的距離I,3時(shí)，直線/與圓'2時(shí)，直線'與圓一相切，當(dāng) 綜上，直線/與圓',爐L相切或相交。15 .由已知，小“心八"對(duì)任意的01均成立.記=），其中由。當(dāng)，時(shí)【，口 =m丫 + 1-Q。，。-小。（其中ci）故正在""）上單調(diào)增，故”心卬卜。,符合題設(shè)；上單調(diào)減，故當(dāng)內(nèi)時(shí)，若,則""'，故"'在"* "&

9、quot;心口，不符合題設(shè).16 . (1)構(gòu)造一個(gè)5伯元“好集”月.設(shè)4=1凡5。咐.若小小小均不為口 ,則4% +/*% 飛7 +三"nw<12),即上百人4九工為奇 數(shù)，一定不是式3的倍數(shù).若F人.九中有。，不妨設(shè)s = ° ,則由(1)知44中至少有一個(gè)不為。由條件 (3)知匕瑪爐"°。又4, t, * > 1, £ | < -E | .1 | + *. £ 1- 21»14,因此 yJ也一定不是2。14的倍數(shù).顯然3為奇數(shù)，一定不是工。2的倍數(shù).綜上，,=(35產(chǎn),/0網(wǎng)為旬3元“好集”.(2)設(shè)

10、S為一個(gè)“好集”，下面證明I，下503 .設(shè)&的最小元 素為d ,則5中任意兩元 素的差不為".否則設(shè)叫, V = J,得%7d = 0為23的倍數(shù)，矛盾.將口上工訕伙中大于W的元素從大到小每2d個(gè)分為一組，設(shè)可分成組，余 下的個(gè)數(shù)(小W/Cd)為"必2r,顯然2d”才即,二組中的每一 組至多有d個(gè)數(shù)在導(dǎo)中.由“好集”的定義知， 94,1。3,且1t和刈4-工不同在'中.我們不妨設(shè)5二【BJl.M機(jī),否則只需將-中大于的元素?fù)Q成加4A , 理由是若，出+區(qū)尾+又遇中有某個(gè)則將其中的丸變?yōu)門，將近變?yōu)?201 4-后得到的數(shù)與 r* /儲(chǔ)*工洛對(duì)md2014不改變.下面對(duì)工分情況討論：若公Cd,則