高等測量平差-6

1、高等測量平差孫海燕武漢大學(xué)測繪學(xué)院第六章 非線性模型平差第一節(jié) 問題的提出 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕經(jīng)典平差（最小二乘平差）具有最優(yōu)性的條件： 函數(shù)模型為線性模型；觀測誤差為服從正態(tài)分布偶然誤差。 測量問題中大量的數(shù)學(xué)模型是非線性模型（線性化） 若 （模型誤差），破壞了系統(tǒng)誤差為零的假設(shè)，導(dǎo)致： 1）最小二乘解為有偏估計 2）最優(yōu)性值得懷疑非線性平差研究的問題： 1）非線性強度（評價 的大?。?2）非線性問題的解算)()()()(00 xRxxfxfyf0)(xR)(xR第六章 非線性模型平差第二節(jié) 非線性模型平差原理 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕一、非線性誤差方程22()()kjhjiikjhj

2、ihjhjSiyyyyarctgarctgxxxxSxxyy角度與邊長的觀測方程GPS偽距觀測方程222()()()jjjjjkkkkkxxyyzzc t非線性觀測方程()Lf X非線性誤差方程LXfV)(非線性模型臺勞級數(shù)臺勞級數(shù)線性近似模型誤差觀測誤差第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕二、非線性模型平差平差準(zhǔn)則：LXfV)(對非線性模型必要觀測數(shù)、多余觀測數(shù)與線性模型的概念相同min)()(LXfPLXfPVVTT非線性模型平差問題仍為條件極值問題，約束條件與目標(biāo)函數(shù)均為非線性函數(shù)（計算復(fù)雜度大大增加）第六章 非線性模型平差第三節(jié) 非線性模型平差的算法 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海

3、燕一、非線性方程的解法舉例1、對分區(qū)間法ab2ba)(xfy 設(shè) ， 0)( af0)( bf若 ，令 0)2(baf21baa若 ，令 ，類似，得 0)2(baf21bab),(,),(),(),(2211nnbabababa方程 的解，0)( xf2*nnbax，解的誤差小于12nab原理：構(gòu)造包含解的區(qū)間套),(),(),(),(2211nnbabababannnnbaxlimlim*第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕2、迭代法求 ，的解，令 ， 0)( xf取初值 ，作迭代 ，得序列 若該序列收斂，則，注：1）初值的選取解，2）迭代格式收斂性的判斷實際計算：當(dāng) 時)(xx

4、)()(xfxx)(1nnxx0 xnxnnxxlim*|1nnxx1*nxx第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕3、牛頓法考慮作近似方程構(gòu)造迭代格式即! 2)()()()()()(020000 xfxxxfxxxfxf0)()()(000 xfxxxf)(/ )(0001xfxfxx)(/ )(1nnnnxfxfxx當(dāng) ，|1nnxx1*nxx)(/ )(000 xfxfxx第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕二、非線性最小二乘估計的近似解對非線性方程 線性化,得 LXfV)(令誤差方程為:)()(00XfLXXXfVXX000000000)()()()()()()(

5、)()(212221212111XXtnXXnXXnXXtXXXXXXtXXXXxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfxXfB)(0XfLllXBV參數(shù)的解為:PlBPBBXTT1)(XXX0例1：已知非線性模型為 。其中參數(shù) 和 的真值為： 。 的5個真值和相應(yīng)的5個同精度獨立觀測值列于下表：第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕觀測值的中誤差為TX25436189420136187. 521ixiexL i12345真值4.202834 3.258924 2.527006 1.959469 1.519394觀測值4.203.252.521.951.511x2xiLTX3

6、 . 04 . 50將誤差方程線性化，得取參數(shù)近似值007833. 00第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕權(quán)陣取單位陣，法方程的解為：TXXX250246213. 0394141979. 503051. 03236. 03245. 02864. 01996. 00245. 62231. 05058. 63012. 05864. 64066. 09272. 55488. 00004. 47408. 021xxlXBVTX049953787.0005858021.0TXXX004315680. 0025994200. 0807. 1/ |11xx670. 3/ |22xx例2：已知非

7、線性模型為 。其中參數(shù) 和 的真值仍為： 。 的5個真值和相應(yīng)的5個同精度獨立觀測值列于下表：第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕（觀測值的中誤差為 ）TX25436189420136187. 5i12345真值29.123514.43469.53837.09015.6212觀測值29.1214.439.537.095.621x2xiLTX3 . 04 . 50取參數(shù)近似值004540. 00221/xixLi088. 010. 011. 015. 026. 0116. 217 . 216 . 314 . 518 .10dXlBdXV198. 0/ |11xx717. 0/ |22

8、xx理解例1、例2的差別：第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕 例1 和例2 的觀測精度基本相同，參數(shù)的真值和其相應(yīng)的近似值也相同，但例1中參數(shù)估值的精度卻遠遠低于例2 中參數(shù)估值的精度。其原因主要是例1 線性近似時引起了較大的模型誤差。而例2 線性近似時引起的模型誤差較小，可忽略不計。 為什么不同的非線性模型線性近似時會引起不同的模型誤差呢？這是因為不同的非線性模型的“非線性”程度不一樣?！胺蔷€性”程度越強，線性近似時產(chǎn)生的模型誤差就越大。非線性模型的“非線性”程度，稱為非線性強度(non-linearity)。顯然，非線性強度越強，線性近似時產(chǎn)生的模型誤差就越大。因此，一個非線

9、性模型，采用線性近似的方法進行參數(shù)估計時，參數(shù)估值的精度很大程度上取決于該模型的非線性強度。 越大，非線性強度越強非線性強度越強，線性化帶來的誤差越大。第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕關(guān)于非線性強度概念的理解的大小與曲線切方向（切線斜率）的變化率有關(guān))(xR非線性強度是與(曲面)曲線曲率相關(guān)的量。非線性強度舉例：22)()()()()(XfXfXXXBXfXfNXXXtnnnttxfxfxfxfxfxfxfxfxfXB212221212111)(xN 為線性近似后得到的參數(shù)估值。公式中分子為 的展開式中除去線性項以外的各項。分母包括了展開式的所有余項。顯然，若 是 的線性函數(shù)，

10、則分子為零，有 ，否則 。因此，由 可以判斷 是否為非線性函數(shù)，且 越大，非線性越強。第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕22)()()()()(XfXfXXXBXfXfNXX)()(XfXf)(XfX0 xN0 xN)(XfxN0 xN當(dāng) 大于觀測誤差時，不宜線性化。 )(xR第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕三、非線性最小二乘估計的迭代解 當(dāng)非線性模型的非線性強度很強時，線性近似可能產(chǎn)生大于觀測誤差的模型誤差，所以對于非線性模型，一般采用迭代的方法求解。求解非線性誤差方程最小二乘平差值，就是求參數(shù) 的估值，使()( ()( ()()()2()minTTTTTV P

11、V Xf XLP f XLfX Pf XfX PLL PL由于 是一常量，所以上式等價于目標(biāo)函數(shù)為()()()2()minTTR XfX Pf XfX PL的非線性無約束最優(yōu)化問題。 因為 是的非線性函數(shù)，所以對上式求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，一般得不到 的顯表達式。故求不出 的解析解。因此，我們只能設(shè)法尋找某一近似解 ，使)(*)(XRXRXTL PL)(Xf*XXX第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕一、牛頓法 設(shè) 的極小值 的一個近似值為 ，在 附近將 展為臺勞級數(shù)，取至二次項得：)(XRmin21)()(*)()()()()()()()(kkTkkkKKKdXGdXdXgXR

12、dXXRXR)(21)()(2)(1)()(ktktkkkXXxRxRxRgggg式中TkktttttkGXXxRxxRxxRxxRxRxxRxxRxxRxRG)(2222122222212212212212 是 在 處的梯度方向。)(kX)(kg由于 是 的一個已知的近似值，故上式只是 的函數(shù)，為了求得使式成立的對 求偏導(dǎo)，并令其為零，得：)(kX)( kdX)( kdX0)()(kTkkGdXgTkkkgdXG)()(TkkkgGdX)(1)( kX kX*X)(XR)(XR*X)( kdX第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕)()()1(kkkdXXX) 1(21) 1()

13、1(2) 1(1) 1()(ktktkkkXXxRxRxRgggg令) 1(22221222222122122122121ktttttkXXxRxxRxxRxxRxRxxRxxRxxRxRG依此類推，迭代至)()()()1(kkXRXR0)()(kTkkGdXgTkkkgdXG)()(TkkkgGdX)(1)(0)1(kg，計算或此時，令)1(*kXX第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕例1 已知非線性模型 設(shè) ，用牛頓法求非線性模型的最小二乘估計量。 TX30450.解：目標(biāo)函數(shù)21ixiexL 225112512122ixiiixiTTeLxexLXfXfXfXR)()()()

14、()(2)(22222512511151251121ixiiixiixiiixieiLiexxeLexxRxRg)2(2)2(2)2(2222222222512511151251151511251222122212212ixiiixiixiiixiixiiixiiixikeLiiexxeiLiexeiLeLxexRxxRxxRxRG將 代入計算 ， 后，按以上迭代程序迭代，結(jié)果列于下表。)( 0X)0(g0G迭代6次后，有 ，停止迭代，得 的非線性最小二乘解為第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕k123456g(k)-1.2050249080.3991833380.02889398

15、010.0001691624-3.949210-9 -2.401210-9 -17.15305037.0372427130.49484074240.00293801222.403910-7 -1.556910-7 X(k)5.3330132655.417198095.4227080035.4427445655.4227445935.422744582-0.253914522-0.25425733-02556634078-0.2556720853-0.255672087-0.255672086R(X(k)-40.21054702-40.5852468-40.63522342-40.6354927

16、8-40.63549281-40.63549281635492814056.)()(XRXR255672087. 0422744582. 5*X0029. 0001310197. 0002608395. 0*XXXX最小二乘近似解TXXX250246213. 0394141979. 50TXXX004315680. 0025994200. 0X假設(shè)非線性模型存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且參數(shù) 之間相互獨立，則在近似值 處線性化，得誤差方程：第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕二、高斯-牛頓法高斯-牛頓法的基本出發(fā)點就是在初值 處對非線性模型進行線性近似。并按傳統(tǒng)的平差方法求出一次近似值 ，

17、然后反復(fù)迭代，直至前后兩次 值相等。即 迭代步驟如下：(0)X(1)XTV PV( )(1)()()TkTkV PVV PVX(0)X(0)(0)()()VB XdXLf X根據(jù)最小二乘原理，有 求得 后，再以 為近似值迭代，其迭代公式為 終止迭代條件：(1)(0)(0)(0)1(0)(0)()()() ()TTXXBXPB XBXP Lf X(1)X(1)X(1)( )( )( )1( )( )()()() ()kkTkkTkkXXBXPB XBXP Lf X( )(1)()()TkTkV PVV PV第六章 非線性模型平差 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 孫海燕例:設(shè) ，用高斯-牛頓法求解例1中非線性模型的最小二乘估計量。k12345X(k)5.39414135.422299005.42274455.42274465.4227446-0.250050-0.255618-0.25567