高等數(shù)學(xué)課件暑期講課線性代數(shù)

1、一、行列式一、行列式二、矩陣二、矩陣三、三、n 維向量維向量四、線性方程組四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型六、二次型把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元個(gè)元素的全排列（或排列）素的全排列（或排列）nn個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 1.8.1 行列式行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆

2、序 nstiiiii21stii 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)序數(shù) nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212122221112111., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對(duì)表示對(duì)個(gè)排列的逆序數(shù)個(gè)排列的逆序數(shù)為這為這的一個(gè)排列的一個(gè)排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn 余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式.,)1(1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第

3、行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數(shù)等于用數(shù)一數(shù)一數(shù)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號(hào)行列式變號(hào)列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列行列式與它的轉(zhuǎn)置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對(duì)應(yīng)的元素上

4、去對(duì)應(yīng)的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數(shù)的各元素乘以同一數(shù)行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個(gè)行列此行列式等于兩個(gè)行列則則的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號(hào)的外面提到行列式符號(hào)的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數(shù)項(xiàng)換成常數(shù)項(xiàng)列列中第

5、中第）是把系數(shù)行列式）是把系數(shù)行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn ., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它沒有非零解那么它沒有非零解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系數(shù)行列式必為零它的系數(shù)行列式必為零組有非零解，則組有非零解，則如果上述齊次線性方程如果上述齊次線性方程定理定理定理定理4.行列式計(jì)算二階、三階行列式用

6、對(duì)角線法二階、三階行列式用對(duì)角線法利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用展開定理降階利用展開定理降階P54 例例1-49,1-50. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例2 2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性奇偶性. .217986354解解453689712544310010 t18 此排列為偶排列此排列為偶排列.54 0100134 例例33351110243152113 D03550100131111115 312

7、cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 1.8.2 1.8.2 矩陣矩陣1.矩陣的概念矩陣的概念mnmmnnaaaaaaaaa212222111211列的數(shù)表行成的排個(gè)數(shù)由定義nmnjmianmij), 2 , 1;, 2 , 1(mnmn稱為 行 列矩陣，簡稱矩陣,記作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡記為簡記為 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩陣矩陣nmA,.,簡簡稱稱為為元元的的元元素素個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為這這Anm 2 2）兩個(gè)矩陣）兩個(gè)矩陣 為同型矩陣為同型矩陣, ,并且并且對(duì)應(yīng)元

8、素相等對(duì)應(yīng)元素相等, ,即即 ijijbBaA與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱矩陣則稱矩陣 相等相等, ,記作記作BA與與.BA 同型矩陣與矩陣相等同型矩陣與矩陣相等1 1）兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等）兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為同型矩陣稱為同型矩陣. .2.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為行矩陣稱為行矩陣( (或行向量或行向量).).(1)(1)行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作,21 naaaB只有一列的矩陣只有一

9、列的矩陣稱為列矩陣稱為列矩陣( (或列向量或列向量).). 稱為對(duì)角稱為對(duì)角矩陣矩陣(或?qū)顷嚕┗驅(qū)顷嚕? n 00000021（3）形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0記作記作 .,21ndiagA （4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，）元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 .nm nmo o注意注意000000000,0,0,0 .00000000不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如例如(5)單位陣：對(duì)角線上全為單位陣：對(duì)角線上全為1的對(duì)角陣的對(duì)角陣 100010001nEE稱為單位矩陣（或單位陣）稱為單位矩陣（或單位陣）. .OO全為全

10、為1(6)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣定義定義設(shè)設(shè) 為為 階方陣，如果階方陣，如果A的元素滿足的元素滿足 那末那末 稱為對(duì)稱陣稱為對(duì)稱陣.An n,j , iaajiij21 A.A為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣?yán)缋?6010861612對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相 等等.說明說明定義定義行列式行列式 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 稱為矩陣稱為矩陣 的伴隨矩陣的伴隨矩陣.A(7）伴隨矩陣）伴隨矩陣 mnmnmmmmnnnnbababab

11、abababababaBA221122222221211112121111設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè) 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規(guī)定為，規(guī)定為nm ,bB,aAijij ABBA 3.矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .負(fù)矩陣負(fù)矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù), AAA ;1AA ;2AAA .3BABA矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來, ,統(tǒng)

12、稱為矩陣的線性運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算. . skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記并把此乘積記作作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè) 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣注意只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.例例4222263422142 C22 16 32 816?注：（注：（1 1

13、）矩陣乘法一般不滿足交換律；）矩陣乘法一般不滿足交換律；. 00, 0,)2(BAABBA或不能得出滿足若矩陣 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數(shù)）為數(shù)）; ;4AEAAE 若若A是是 階方陣，則階方陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個(gè)個(gè)kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數(shù)數(shù)k,m（注：單位矩陣（注：單位矩陣E在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1）注：一般來說kkkBAAB)(定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫

14、做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . AAA例例,854221 A;825241 TA,6,18B.618 TB轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 注：若A為對(duì)稱陣，則TAA5）方陣的行列式）方陣的行列式定義定義 由由 階方陣階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 的行列式，記作的行列式，記作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A則則. 2 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 定義定義 對(duì)于對(duì)于 階方陣階方陣 ，如果有一個(gè)，如果有一個(gè) 階方陣階

15、方陣 則說方陣則說方陣 是可逆的，并把方陣是可逆的，并把方陣 稱為稱為 的逆矩陣的逆矩陣.nAB,EBAAB BAnA使得使得.1 AA的逆矩陣記作的逆矩陣記作定理定理1 1 方陣方陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且且 ,11 AAAA0 A.的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為矩矩陣陣其其中中AA 二階矩陣的逆矩陣用該公式求，三階及以上矩陣二階矩陣的逆矩陣用該公式求，三階及以上矩陣的逆矩陣用初等變換求。的逆矩陣用初等變換求。 且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆則則為同階方陣且均可逆為同階方陣且均可逆若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA 逆矩陣的運(yùn)算性

16、質(zhì)逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若 .,0,10kkAAEAA 定義定義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)另外另外 為正整數(shù)為正整數(shù)k .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆則則可逆可逆若若TT1 1 有有為整數(shù)時(shí)為整數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng), 0 A, AAA . AA .AA,A115 則有則有可逆可逆若若AAAA32, 1,.51且為三階矩陣設(shè)例解：11*AAAA33115155*32AAAAP57 例例1-51定義定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；）；記作記作兩行兩行對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)對(duì)調(diào)兩行（對(duì)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有

17、有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記作記作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定義定義2 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類且變換類型相同型相同 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是所用記號(hào)是把把“r”換成換成“c”)jirr kri 逆變換逆變換;jirr 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jik

18、rr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或初等變換的作用初等變換的作用1)求逆矩陣求逆矩陣2)求矩陣和向量組的秩求矩陣和向量組的秩3)解線性方程組解線性方程組等等價(jià)價(jià)，記記作作與與就就稱稱矩矩陣陣，矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換變變成成如如果果矩矩陣陣BABABA., 12階階子子式式的的稱稱為為矩矩陣陣階階行行列列式式，的的中中所所處處的的位位置置次次序序而而得得變變它它們們?cè)谠诓徊桓母脑厮靥幪幍牡膫€(gè)個(gè)），位位于于這這些些行行列列交交叉叉列列（行行中中任任取取矩矩陣陣在在定定義義kAkAknkmkkkAnm .)( 子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)中中不不等等于于零零的的是

19、是的的秩秩矩矩陣陣AARAnm 求矩陣秩的方法：求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例6的秩求矩陣設(shè)AA,41461351021632305023 階階梯梯形形矩矩陣陣：作作初初等等行行變變換換，變變成成行行對(duì)對(duì)A解解 41461351021632305023 A 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 A 050233510211340414614241rrrr 128121601179120113404

20、1461 41461351021632305023 A4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR233rr 244rr 34rr . , 21個(gè)分量稱為第數(shù)個(gè)個(gè)分量，第個(gè)數(shù)稱為該向量的維向量，這為所組成的數(shù)組稱個(gè)有次序的數(shù)iainnnaaanin1.8.3 n 1.8.3 n 維向量維向量 若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組的集合叫做向量組1. 向量及向量組的概念向量及

21、向量組的概念mmb 22112.向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性1) 線性組合線性組合2) 一個(gè)向量能由一個(gè)向量組線性表示一個(gè)向量能由一個(gè)向量組線性表示3) 兩個(gè)向量組等價(jià)兩個(gè)向量組等價(jià).),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向量量bBAAbmm 定理定理1 1其中線性表示能否由向量組：判別向量例,7Ab;102,324,171321 ：A,3140 b解：考慮解：考慮 8329001152002413131140270241)(bAB3)()( BRAR.線性表示能由向量組向量Ab0 ,:

22、22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A由定義可得：由定義可得：1、任一向量組不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)。、任一向量組不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)。2、含零向量的向量組一定線性相關(guān)。3、單個(gè)非零向量一定是線性無關(guān)。、單個(gè)非零向量一定是線性無關(guān)。4、兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量、兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。成比例。.)(; ),( , 2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充

23、分分于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理2 2維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階階單單位位矩矩陣陣是是的的矩矩陣陣維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組構(gòu)構(gòu)成成neeeEnn .)(01 nERE ，知，知由由.2)(向量組是線性無關(guān)的向量組是線性無關(guān)的知此知此，故由定理，故由定理等于向量組中向量個(gè)數(shù)等于向量組中向量個(gè)數(shù)即即ER例例8定理定理 （

24、1）部分相關(guān)整體相關(guān)。）部分相關(guān)整體相關(guān)。 （2）線性無關(guān)的向量組，將分量）線性無關(guān)的向量組，將分量 延長后仍然線性無關(guān)。延長后仍然線性無關(guān)。 （3）m 個(gè)個(gè)n 維向量，當(dāng)維數(shù)維向量，當(dāng)維數(shù)n 小小 于向量個(gè)數(shù)于向量個(gè)數(shù)m 時(shí)一定線性相關(guān)。時(shí)一定線性相關(guān)。.,:,: (4) 121且且表表示示式式是是唯唯一一的的線線性性表表示示必必能能由由向向量量組組向向量量則則線線性性相相關(guān)關(guān)組組而而向向量量線線性性無無關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)向向量量組組AbbBAmm ，滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量中中能能選選出出，如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組rrAA , 21定義定義線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（rA ,:1 210關(guān)

25、關(guān)，個(gè)個(gè)向向量量的的話話）都都線線性性相相中中有有個(gè)個(gè)向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量組組（112 rArA0AA那么稱向量組是向量組 的一個(gè)最大線性無關(guān)組（簡稱最大無關(guān)組）最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r稱為向量組A的秩，注：只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩注：只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為為0. 它的行向量組的秩量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向. 的秩的秩不大于向量組量組線性表示，則向能由向量組設(shè)向量組ABAB. 等價(jià)的向量組的秩相等等價(jià)的向量組的秩相等推論推論1 1).()(),()( BRCRARCRBACnssmnm ，則則設(shè)設(shè)推論推論2 2. 3的的

26、一一個(gè)個(gè)最最大大無無關(guān)關(guān)組組是是向向量量組組則則向向量量組組線線性性表表示示，能能由由向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，且且向向量量組組組組的的部部分分組組，若若向向量量是是向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組推推論論ABBABAB .01nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理 .,2的的秩秩陣陣的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有解解元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理bABAbxAnnm 的基礎(chǔ)解系。稱為齊次線性方程組則0 ,21Axt.,0)2(21線性表示

27、的任一解都可由tAx基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義; 0,) 1 (21的解的一組線性無關(guān)是Axt的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常數(shù)其中tkkk滿足：若向量組t,21.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm的維數(shù)為解空間時(shí)當(dāng)系數(shù)矩陣的秩是一個(gè)向量空間集合的全體解所構(gòu)成的元齊次線性方程組);0,(,)( 維維向向量量空空間間為為向向量量此此時(shí)時(shí)解解空空間間只只含含一一個(gè)個(gè)零零系系故故沒沒有有基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解方方程程組組只只有有零零解解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nAR .,)(1111

28、221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解解空空間間可可表表示示為為為為任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)其其中中方方程程組組的的解解可可表表示示為為此此時(shí)時(shí)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系個(gè)個(gè)向向量量的的方方程程組組必必有有含含時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).11 rnrnkkx其中其中 為對(duì)應(yīng)齊次線性方程為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解解.rnrnkk 11 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=b的通解為的通解為齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩

29、陣，便可寫出其通解；便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；簡形矩陣，便可寫出其通解；3. 線性方程組的解法線性方程組的解法例例9 9 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx解解 341122121221A 463046301221施行初等行變換：施行初等行變換：對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 A13122rrrr 0000342101221)3(223 rrr212rr 00003421035201即得與原方程組同解的方程組即得與原方程組同解的方程組 , 0342, 0352432431xxxxxx ,342,3522413212211cxcxccxccx).,(43可任意取值可任意取值xx由此即得由此即得 ,342,352432431xxxxxx形式形式，把它寫成通常的參數(shù)，把它寫成通常的參數(shù)令令2413,cxcx .103435012