有限差分法解熱傳導問題

1、傅里葉定律：在導熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。導熱微分方程：定解條件：使微分方程獲得適合某一問題的的解的附加條件。邊界條件：NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2+x,ux,0=x*(1-x),u0,t=0,u1,t=0,u,x,0,1,t,0,0.3NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=Sinx*Sinx,Derivative1,

2、0u0,t=0,Derivative1,0uPi,t=0,u,x,0,Pi,t,0,1NDSolveDux,t,t=Dux,t,x,2,ux,0=-x*(1-x),Derivative1,0u0,t=0,Derivative1,0u1,t=3-u1,t,u,x,0,1,t,0,0.3建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂是否收斂解的分析解的分析改進初場是否x xy yxyn nmm(m,n)(m,n)MMN N泰勒級數(shù)展開法： 若若取上面式右邊的前三項，并取上面式右邊的前三項，并將兩式相加將兩式相加移項整理移項整理即即二二階

3、導數(shù)的中心差分：階導數(shù)的中心差分： 同樣同樣可得：可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm對于二維穩(wěn)態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱對于二維穩(wěn)態(tài)導熱問題，在直角坐標中，其導熱微分方程為：微分方程為：其節(jié)點方程為：其節(jié)點方程為：0ytt 2txtt 2tj , i ,v21j , ij , i1j , i2j , 1ij , ij , 1i0ytxtv2222熱平衡法基本思想：基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定而

4、獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和FourierFourier導熱定律即可。導熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱能量守恒：流入控制體的總熱流量控制體內(nèi)熱源生成熱 流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量流出控制體的總熱流量控制體內(nèi)能的增量內(nèi)部節(jié)點：01,1, 1, 1nmnmnmnm0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)0v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnm

5、nmnmnm042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4yx171.1.邊界節(jié)點離散方程的建立：邊界節(jié)點離散方程的建立：q qw wx xy yq qw w(1) (1) 平直邊界上的節(jié)點平直邊界上的節(jié)點2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx18(2) (2) 外部角點外部角點2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxx xy y

6、q qw w19(3) (3) 內(nèi)部角點內(nèi)部角點)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxx xy yq qw w寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：個代數(shù)方程式：nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111)(1)(1)(1)1(11 )1(11)1(2)(1)(323)1(

7、12122)1(21)(1)(21211)1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaax)(11)(11)1()1(inijkjijijkjijiikibxaxaax)()()1(1)1(bUxLxDxkkkbDUxDxLDIkk1)(1)1(1)(bDLDIUxDLDIxkk111)(111)1()()(bLDUxLDxkk1)(1)1()()(bLDfULDB11)( , )( 200100100Tf=0 k=1W/(m*K)h=10W/(m2* ) (qw=h*(Tw-Tf)t1t2t3t18t17t16Ax=bb=300,200,200

8、,300,100,0,0,100,100,0,0,100,100,0,0,100,0,0 x=t1,t2,t3,.t18Step 1 “Draw模式”繪制平面有界區(qū)域 ，通過公式把Matlab系統(tǒng)提供的實體模型：矩形、圓、橢圓和多邊形，組合起來，生成需要的平面區(qū)域.Step 2 “Boundary模式”定義邊界，聲明不同邊界段的邊界條件.Step 3 “PDE模式”定義偏微分方程，確定方程類型和方程系數(shù)c,a,f,d，根據(jù)具體情況，還可以在不同子區(qū)域聲明不同系數(shù).Step 4 “Mesh模式”網(wǎng)格化區(qū)域 ，可以控制自動生成網(wǎng)格的參數(shù)，對生成的網(wǎng)格進行多次細化，使網(wǎng)格分割更細更合理.Step 5 “Solve模式”解偏微分方程，對于橢圓型方程可以激活并控制非線性自適應解題器來處理非線性方程；對于拋物線型方程和雙曲型方程，設置初始邊界條件后可以求出給定時刻t的解；對于特征值問題，可以求出給定區(qū)