第2章 21微分方程的建立

1、2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.2 拉普拉斯變換2.3傳遞函數(shù)2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5信號(hào)流圖及梅遜公式概述概述1、 實(shí)施恰當(dāng)?shù)目刂?，首先要?duì)受控對(duì)象了如指掌，才能隨心所欲。對(duì)分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)而言，只是定性地了解系統(tǒng)的工作原理和大致的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。分析了解受控對(duì)象和控制系統(tǒng)的定量的工具和平臺(tái)就是數(shù)學(xué)模型。2、 控制系統(tǒng)的輸入和輸出之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式即為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。 3、模型的近似性與合理性 實(shí)際控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯绊戄^小的因素來(lái)簡(jiǎn)化，但這就出現(xiàn)了一對(duì)矛盾，簡(jiǎn)化與準(zhǔn)確性。不能過(guò)于簡(jiǎn)化，而使數(shù)學(xué)模型變

2、得不準(zhǔn)確，也不能過(guò)分追求準(zhǔn)確性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過(guò)于復(fù)雜，這帶來(lái)另一對(duì)矛盾，復(fù)雜與可操作性。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實(shí)際系統(tǒng)實(shí)際系統(tǒng)近似近似尋求概述概述 嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際物理系統(tǒng)都存在非線性，從模型的準(zhǔn)確性的角度考慮，應(yīng)該用非線性方程來(lái)描述系統(tǒng)。這又增加了模型的復(fù)雜性，因此，建模中的一個(gè)重要問(wèn)題是模型的線性化。 這門課只討論線性定常（時(shí)不變）模型。概述概述4、模型建立方法 a.分析計(jì)算法（機(jī)理建模法） 根據(jù)支配系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，推導(dǎo)出輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型-這適用于簡(jiǎn)單的系統(tǒng)。 例如，牛頓定律等概述概述 b.工程實(shí)驗(yàn)法 利用典型的輸入激勵(lì)，通過(guò)系統(tǒng)實(shí)際的輸

3、入-輸出信號(hào)來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。通常，在對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部一無(wú)所知（黑箱）的情況下，采用這種建模方法。 實(shí)際上，我們對(duì)有些系統(tǒng)能有部分的了解。這時(shí)稱為灰箱，可以綜合運(yùn)用分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。黑箱黑箱輸入輸入輸出輸出概述概述控制控制對(duì)象對(duì)象微分方程微分方程建模建模求解求解微分方微分方程的解程的解分析分析5、系統(tǒng)分析的基本流程概述2.1 微分方程的建立微分方程的建立建立步驟：2.要根據(jù)各個(gè)元件的物理規(guī)律，列寫各個(gè)元件的微分方程，得到一個(gè)微分方程組。3.消去中間變量，得到控制系統(tǒng)總的輸入和輸出的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)式（輸出寫在方程的左邊輸入寫在方程右邊，而且微分的次數(shù)由高到低排列）

4、。1.確定輸入變量和輸出變量。)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn例2.1.1 RC濾波電路（低通濾波器）( )( )Cduti tCdturiucRC)()()(tututRirC時(shí)間常數(shù)一階微分方程一階系統(tǒng)舉例舉例2.1微分方程的建立)()()(tututuRCrCC電氣系統(tǒng)三元件電氣系統(tǒng)三元件電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。舉例舉例2.1微分方程的建立 mkF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧例2.1.2圖中所示是由質(zhì)量物體-彈簧-阻尼器所組成的機(jī)械系統(tǒng)。其中k為

5、彈性系數(shù)，m為物體質(zhì)量，f為阻尼系數(shù)。 舉例舉例2.1微分方程的建立首先確定：輸入F(t), 輸出x(t)其次列微分方程組：)(1tkxF 舉例舉例2.1微分方程的建立)(2tx fF maFmF1 彈簧的拉力彈簧的拉力F(t) 外外力力F2 阻尼器的阻力阻尼器的阻力1.虎克定律: 彈簧彈力等于彈性系數(shù)與相對(duì)變形位移的乘積：3.牛頓第二定律: 物體所受的外力合等于物體質(zhì)量與加速度的乘積:2. 粘性摩擦定律: 粘性摩擦力等于摩擦系數(shù)與相對(duì)速度的乘積:于是，質(zhì)量-彈簧-阻尼器的微分方程模型為：)()()()(tFtkxtx ftxm 整理成標(biāo)準(zhǔn)型：)(txa maFFtF21)(舉例舉例2.1微分

6、方程的建立)()()()(txmtx ftkxtF 例2.1.3 RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)的作用下，電容上的電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)圖圖2.8 RLC電路電路 舉例舉例2.1微分方程的建立電氣系統(tǒng)三元件電氣系統(tǒng)三元件電學(xué)：歐姆定理、基爾霍夫定律。舉例舉例2.1微分方程的建立 dttduCtiC)()()()()()(22tudttudLCdttduRCtuCCCrRLCur(t)uc(t)i(t)舉例舉例2.1微分方程的建立)()()()(tudttdiLtRituCr)()()()(tututuRCtuLCrCCC 這兩個(gè)式子很相似。這也證明了，看似完全不同的系統(tǒng)，卻具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以用相同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述。 整理成規(guī)范形式，得到被稱為相似系統(tǒng)，是工程上的系統(tǒng)仿真方法之一！舉例舉例2.1微分方程的建立)()()()(tFtkxtx ftxm