魏宗舒版《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》課后習(xí)題解答_-_副本

1、第一章 事件與概率1.3 一個(gè)工人生產(chǎn)了個(gè)零件，以事件表示他生產(chǎn)的第個(gè)零件是合格品。用表示以下事件：(1)沒有一個(gè)零件是不合格品；(2)至少有一個(gè)零件是不合格品；(3)僅僅只有一個(gè)零件是不合格品；(4)至少有兩個(gè)零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有兩個(gè)零件是合格品，可表示為；1.4 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?、11、13中的兩個(gè)，或?yàn)?、4、6、8、12中的一個(gè)和7、11、13中的一個(gè)組合，所以事件“

2、所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)包含個(gè)樣本點(diǎn)。于是。1.5 一個(gè)小孩用13個(gè)字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機(jī)的等可能的，問“恰好組成“MATHEMATICIAN一詞的概率為多大？解 顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN包含個(gè)樣本點(diǎn)。所以1.6 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客

3、離開電梯。所以包含個(gè)樣本點(diǎn)，于是。1.7 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號(hào)從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8的概率為多大？解 用表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8，顯然，所以-1.10 任取一個(gè)正數(shù)，求以下事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解 (1) 答案為。(2)當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時(shí)，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1，那么該數(shù)的最

4、后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為，那么該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個(gè)位數(shù)，要使3的個(gè)位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，于是。1.11 一個(gè)人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，6個(gè)尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個(gè)環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一個(gè)頭，它可以與其它的5個(gè)頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個(gè)之一相接，最后將剩下的兩個(gè)頭相接，故對(duì)頭而言有種接法，同樣對(duì)尾也有種接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。用表示“6根草恰好連成一個(gè)環(huán)，這種連接，對(duì)頭而言仍有種連接法，而對(duì)尾而言，任

5、取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得上任取三點(diǎn)，求：(1) 位于之間的概率。(2) 能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解 (1) (2) 1.15己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)。那么事件“該點(diǎn)命中的中點(diǎn)的概率等于零，但不是不可能事件。、為兩個(gè)隨機(jī)事件，證明：(1) ;(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個(gè)不

6、等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個(gè)不等式。1.17 對(duì)于任意的隨機(jī)事件、，證明：證明 個(gè)學(xué)生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到， 。要求。，所以1.22 從階行列式的一般展開式中任取一項(xiàng)，問這項(xiàng)包含主對(duì)角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項(xiàng)略去符號(hào)不計(jì)都可表示為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)呐帕兄写嬖谑箷r(shí)這一項(xiàng)包含主對(duì)角線元素。用表示事件“排列中即第個(gè)主對(duì)角線元素出現(xiàn)于展開式的某項(xiàng)中。那么 ，所以1.23 一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率假設(shè)一個(gè)小孩是男孩或是女孩

7、是等可能的。解 用分別表示男孩和女孩。那么樣本空間為：其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列。表示“有女孩， 表示“有男孩，那么件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解1設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品， 表示“所取產(chǎn)品都是不合格品，那么 (2)設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品， 表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品。那么 1.28 個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)前個(gè)人都沒摸到，求第個(gè)人摸到的概率；(2)第個(gè)人摸到的

8、概率。解 設(shè)表示“第個(gè)人摸到， 。(1) (2) 1.30 一個(gè)母雞生個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個(gè)母雞恰有個(gè)下一代即小雞的概率為。解 用表示“母雞生個(gè)蛋， 表示“母雞恰有個(gè)下一代，那么 1.31 某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手一人，一、二、三、四級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級(jí)， ，表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽，那么1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，4

9、0%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn) 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn) 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品。那么由貝葉斯公式： 1.32某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，問這臺(tái)機(jī)床是車床的概率是多少？解 那么 ， ，由貝時(shí)葉斯公式得 1.35證明：假設(shè)三個(gè)事件、獨(dú)立，那么、及都與獨(dú)立。證明 1= 2 3=1.38 試舉例說明由

10、不能推出一定成立。解 設(shè)， ， 那么 ， 但是1.37 事件相互獨(dú)立且互不相容，求注：表示中小的一個(gè)數(shù)。解 一方面，另一方面，即中至少有一個(gè)等于0，所以1.40 一個(gè)人的血型為型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現(xiàn)在任意挑選五個(gè)人，求以下事件的概率(1)兩個(gè)人為型，其它三個(gè)人分別為其它三種血型；(2)三個(gè)人為型，兩個(gè)人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個(gè)人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 1.43 做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中成功的概率為，求在成功次之

11、前已失敗了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失敗了次， 表示“在前次試驗(yàn)中失敗了次， 表示“第次試驗(yàn)成功那么 第二章 離散型隨機(jī)變量2. 2隨機(jī)變量只取正整數(shù)，且與成反比，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。個(gè)白球、個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，求的分布列。解 設(shè)“表示前次取出白球，第次取出黑球，那么的分布列為：2.6 設(shè)某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對(duì)該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第次為首次測到合格品，求的分布列。解 2.4 一個(gè)口袋中有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1、2、3、4、5，從中同時(shí)取出3只球，以

12、表示取出球的取大號(hào)碼，求的分布列。解 2.7拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)所需要的次數(shù)，求的分布列。解，其中。2.8兩名籃球隊(duì)員輪流投籃，直到某人投中時(shí)為止，如果第一名隊(duì)員投中的概率為0.4,第二名隊(duì)員投中的概率為0.6，求每名隊(duì)員投籃次數(shù)的分布列。解 設(shè)，表示第二名隊(duì)員的投籃次數(shù)，那么+；。2.9 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進(jìn)貨時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件此種商品，才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.999。解 設(shè)為該種商品當(dāng)月銷售數(shù)，為該種商品每月進(jìn)貨數(shù)，那么。查普哇松分布的數(shù)值表，得。2.10 如果在時(shí)間分鐘內(nèi)，通過某交叉路口的汽車

13、數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。在一分鐘內(nèi)沒有汽車通過的概率為0.2，求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解 設(shè)為時(shí)間內(nèi)通過交叉路口的汽車數(shù)，那么 時(shí)，所以；時(shí)，因而。2.11 一本500頁的書共有500個(gè)錯(cuò)誤，每個(gè)錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上每一頁的印刷符號(hào)超過500個(gè)。試求指定的一頁上至少有三個(gè)錯(cuò)誤的概率。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個(gè)錯(cuò)誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個(gè)錯(cuò)誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于212 某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，假設(shè)要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品，那么每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個(gè)產(chǎn)品，其

14、中有個(gè)次品，那么要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。2.13 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為： 求邊際分布列。解 。2.15 在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、，求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 ， ，； ，； ，。2.16 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。與獨(dú)立，且，又，定義，問取什么值時(shí)與獨(dú)立？解=而，由得 2.21 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，且，定義，證明兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。 證明因?yàn)樗韵?/p>

15、互獨(dú)立。同理與相互獨(dú)立。但是，因而不相互獨(dú)立。2.22 離散型隨機(jī)變量的分布列為，求的分布列。解 , , , 2.24 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為： ， ：，且相互獨(dú)立，求的分布列。解 2.25 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布：與，求的分布列。解 設(shè)為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)在每次試驗(yàn)中，為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)在每次試驗(yàn)中，而相互獨(dú)立，所以為重貝努里試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。2.26 設(shè)為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其分布列為 求的分布列。解2.27 設(shè)隨機(jī)變量具有分布：，求、及。解， +4+4=27229設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：，問是否有數(shù)學(xué)期望？解 ，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以沒

16、有數(shù)學(xué)期望。2.30對(duì)三架儀器進(jìn)行檢驗(yàn)，各儀器發(fā)生故障是獨(dú)立的，且概率分別為、。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學(xué)+。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，那么，所以+。2.31如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進(jìn)行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)，那么的分布列為，因而。設(shè)為查得的不合格品數(shù)，那么，所以。2.32 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個(gè)位置上，那么稱有一個(gè)匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)那么的分布列為：于是，設(shè)匹配數(shù)為，那么，因而。2.34 從數(shù)字0，1，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，求這兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)為所選兩個(gè)數(shù)字之差的絕對(duì)值，那么

17、，于是。2.35 設(shè)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，證明：(1) ;(2) 證明 (1)由于存在，所以該級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。從而。(2) 存在，所以級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，從而2.36 在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)停止，求平均試驗(yàn)次數(shù)。解 設(shè)成功與失敗均出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)為，那么，利用上題的結(jié)論，+=1+2.39 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個(gè)產(chǎn)品為不合格品的概率，當(dāng)生產(chǎn)出個(gè)不合格品時(shí)即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解 設(shè)第個(gè)不合格出現(xiàn)后到第個(gè)不合格品出現(xiàn)時(shí)的產(chǎn)品數(shù)為，又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，那么因獨(dú)立同分布，由此得：，。，。2.44 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，

18、且方差存在，那么有由此并可得證明 2.45在整數(shù)0到9中先后按以下兩種情況任取兩個(gè)數(shù)，記為和：(1)第一個(gè)數(shù)取后放回，再取第二個(gè)數(shù)；(2)第一個(gè)數(shù)取后不放回就取第二個(gè)數(shù)，求在的條件下的分布列。解 (1) .(2) , 次貝努里試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。解 。，相互獨(dú)立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量3.2 隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應(yīng)的密度函數(shù)。解：因?yàn)?所以因而。3.4 設(shè)隨機(jī)變數(shù)具有對(duì)稱的分布密度函數(shù)，即證明：對(duì)任意的有1； 2P； 3。 證：1 = = ； 2，由

19、1知1- 故上式右端=2； 3。 3.5 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個(gè)常數(shù)，且。證明也是一個(gè)分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因?yàn)榕c都是分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時(shí)顯然，與對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不是取有限個(gè)或可列個(gè)值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.3 隨機(jī)變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。解：3.7在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點(diǎn)P,求的分布函數(shù)。解：當(dāng)0時(shí)所以 3.8 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率即用電量除以一萬度，它具有分布密度為假設(shè)該城市每天的供電量僅有80萬度，求

20、供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，假設(shè)該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,假設(shè)每天的供電量為90萬度，那么供電量不夠需要的概率為。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從0，5上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。 解：當(dāng)且僅當(dāng) 1成立時(shí)，方程有實(shí)根。不等式1的解為：或。因此，該方程有實(shí)根的概率。3.14 證明：二元函數(shù) 對(duì)每個(gè)變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個(gè)分布函數(shù)。 證：1設(shè)，假設(shè)，由于，所以，假設(shè)，那么。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。所以 。 可見，對(duì)非降。同理，對(duì)非降。 2時(shí) =， 時(shí)， =， 所以對(duì)、左連續(xù)。 3，。 4， 所以不是一個(gè)分布函數(shù)。

21、3.15 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當(dāng)，時(shí)， =所以 3.16 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（3） 求。解：1，所以； 2時(shí)， =，所以 3 = =。317 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 所以，；3.18 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)的密度函數(shù)為求1。解：3.21 證明：假設(shè)隨機(jī)變數(shù)只取一個(gè)值，那么與任意的隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，故與相互獨(dú)立。3.22 證明：假設(shè)隨機(jī)變數(shù)與自己獨(dú)立，那么必有常數(shù)，使。證：由于，所以，。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得

22、故。3.23設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為問與是否獨(dú)立？是否不相關(guān)？解：。同理，。由于，所以與不相互獨(dú)立。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)3.26 隨機(jī)變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于例如正態(tài)分布等，其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因?yàn)樵谌我挥邢迏^(qū)間上的概率均大于，所以是嚴(yán)格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對(duì)任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。3.30 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：在時(shí)，。所以的分布密度。3.31 設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：的反函數(shù)。由服從分布，推得的分布密度為與獨(dú)立，服從相同的拉普拉斯分布，其密

23、度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以3.34 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。3.35 設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，分別具有密度函數(shù)其中，求+的分布密度。解：時(shí)，時(shí)，與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，據(jù)3.48(2)知，在時(shí)，的分布函數(shù)所以的分布密度為與獨(dú)立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，那么所以服從分布。與獨(dú)立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以的密度函數(shù)為與獨(dú)立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時(shí)，在時(shí)，。的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨(dú)立，但與

24、獨(dú)立。證：由于，所以與不獨(dú)立。由于所以對(duì)一切的，都有，故與相互獨(dú)立。3.46 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求。解：3.46 設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。3.63 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =，。3.64 隨機(jī)變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 3.66 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望與方差。解：。3.67 地下鐵道列車的運(yùn)行間隔時(shí)間為五分鐘，一個(gè)旅客在任意時(shí)刻進(jìn)入月臺(tái)，求候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望與方差。解：設(shè)旅客候車時(shí)間為秒，那么服從上的均勻分布，那么，。第四章 大數(shù)定律與中心極限定理4.1 設(shè)為退化分布：討論以下分布函

25、數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？解：12不是；3是。4.2 設(shè)分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。弱收斂于分布函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，那么在上一致收斂于。證：對(duì)任意的，取充分大，使有對(duì)上述取定的，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，故可取它的分點(diǎn)：，使有，再令，那么有 1這時(shí)存在，使得當(dāng)時(shí)有 2成立，對(duì)任意的，必存在某個(gè)，使得，由2知當(dāng)時(shí)有 3 4由1，3，4可得，即有成立，結(jié)論得證。4.5 設(shè)隨機(jī)變量序列同時(shí)依概率收斂于隨機(jī)變量與，證明這時(shí)必有。證：對(duì)任意的有，故即對(duì)任意的有成立，于是有從而成立，結(jié)論得證。4.6 設(shè)隨機(jī)變量序列，分別依概率收斂于隨機(jī)變量與，證明：1；2。證：1因?yàn)楣始闯闪ⅰ?先證明這時(shí)必有。

26、對(duì)任給的取足夠大，使有成立，對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有成立這時(shí)有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述1有故，結(jié)論成立。4.7 設(shè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)常數(shù)，且，證明。證：不妨設(shè)對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)有，因而。于是有 。結(jié)論成立。4.9 證明隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量的充要條件為：證：充分性，令，那么，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有 對(duì)任意的成立，充分性得證。必要性，對(duì)任給的，令，因?yàn)?，故存在充分大的使得?dāng)時(shí)有，于是有 ，由的任意性知，結(jié)論為真。4.10 設(shè)隨機(jī)變量按分布收斂于隨機(jī)變量，又?jǐn)?shù)列，證明也按分布收斂于。證：先證明按分布收斂于。時(shí)為顯然，不妨設(shè)時(shí)的修改為顯然，假設(shè)，的分布函數(shù)分別記作，與，

27、那么=，當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，是的連續(xù)點(diǎn)，于是有，再由4.6(1)知按分布收斂于，結(jié)論得證。按分布收斂于隨機(jī)變量，隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，證明按分布收斂于。證：記的分布函數(shù)分別為，那么的分布函數(shù)為，設(shè)是的連續(xù)點(diǎn)，那么對(duì)任給的，存在，使當(dāng)時(shí)有 1現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點(diǎn)，這時(shí)存在，當(dāng)時(shí)有 2 3對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有 4于是當(dāng)時(shí)，由1，2，4式有又因?yàn)橛谑怯?，3，4式有 6由5，6兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結(jié)論得證。按分布收斂于，隨機(jī)變量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數(shù)分別為，對(duì)任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點(diǎn)且因?yàn)?，故存在，?dāng)時(shí)有令，因?yàn)?，故存在，?dāng)時(shí)有而其中，當(dāng)時(shí)有因而，由

28、的任意性知，結(jié)論為真。4.13 設(shè)隨機(jī)變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。證：對(duì)任意的，有故。4.14 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：對(duì)任意的，為顯然，這時(shí)有對(duì)任意的，有故成立，結(jié)論得證。4.15 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令，證明。證：設(shè)的分布函數(shù)為，有這時(shí)有對(duì)任意的，有故成立，結(jié)論得證。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，都服從上的均勻分布，假設(shè)，證明。證：這時(shí)也是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，那么結(jié)論成立。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量的期望為，且方差存在，證明。證：，記，令，那么對(duì)任給的，由契貝曉夫不等

29、式有故，結(jié)論得證。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明。證：這時(shí)仍獨(dú)立同分布，且，由辛欽大數(shù)定律知結(jié)論成立。4.21 設(shè)隨機(jī)變量序列按分布收斂于隨機(jī)變量，又隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，那么按分布收斂于。，而按分布收斂于按分布收斂于，結(jié)論成立。為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：這時(shí)也為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當(dāng)然弱收斂于按分布收斂于分布，結(jié)論得證。4.26 在貝努里試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為，令證明服從大數(shù)定律。證：為同分布隨機(jī)變量序列，且，因而，又當(dāng)時(shí)，與服從大數(shù)定律，結(jié)論得證。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，方差存在，又為

30、絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，令，那么服從大數(shù)定律。證：不妨設(shè)。否那么令，并討論即可。記，又。因?yàn)椋视蟹拇髷?shù)定律，結(jié)論得證。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖?，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，共同分布為其中，問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖?，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。4.32 如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時(shí)尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？解：令據(jù)題意選取試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足，因?yàn)楸葦M大，由中心極限定理有故應(yīng)取，即，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有，因而，故可取。4.33 一本書共有一百萬個(gè)印刷符號(hào)，排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為0.0001，校對(duì)時(shí)每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.9，求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。解：令因?yàn)榕虐媾c校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序，因而是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。4.34 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年里一個(gè)人死亡的概率為0。006，死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000