魏宗舒版《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》課后習題解答_-_副本

1、第一章 事件與概率1.3 一個工人生產(chǎn)了個零件，以事件表示他生產(chǎn)的第個零件是合格品。用表示以下事件：(1)沒有一個零件是不合格品；(2)至少有一個零件是不合格品；(3)僅僅只有一個零件是不合格品；(4)至少有兩個零件是不合格品。解 (1) ; (2) ; (3) ;(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品，可表示為；1.4 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個數(shù)字組成一個分數(shù)，求所得分數(shù)為既約分數(shù)的概率。解 樣本點總數(shù)為。所得分數(shù)為既約分數(shù)必須分子分母或為7、11、13中的兩個，或為2、4、6、8、12中的一個和7、11、13中的一個組合，所以事件“

2、所得分數(shù)為既約分數(shù)包含個樣本點。于是。1.5 一個小孩用13個字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機的等可能的，問“恰好組成“MATHEMATICIAN一詞的概率為多大？解 顯然樣本點總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN包含個樣本點。所以1.6 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點總數(shù)為。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開相當于“從9層中任取7層，各有一位乘客

3、離開電梯。所以包含個樣本點，于是。1.7 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號碼中有數(shù)字8的概率為多大？解 用表示“牌照號碼中有數(shù)字8，顯然，所以-1.10 任取一個正數(shù)，求以下事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解 (1) 答案為。(2)當該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個樣本點。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1，那么該數(shù)的最

4、后一位數(shù)字必須是1，設最后第二位數(shù)字為，那么該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個位數(shù)，要使3的個位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點只有71這一點，于是。1.11 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請另一個人把6個頭兩兩相接，6個尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個環(huán)的概率。并把上述結果推廣到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一個頭，它可以與其它的5個頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個之一相接，最后將剩下的兩個頭相接，故對頭而言有種接法，同樣對尾也有種接法，所以樣本點總數(shù)為。用表示“6根草恰好連成一個環(huán)，這種連接，對頭而言仍有種連接法，而對尾而言，任

5、取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點數(shù)為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得上任取三點，求：(1) 位于之間的概率。(2) 能構成一個三角形的概率。解 (1) (2) 1.15己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長度為1的線段內隨機投點。那么事件“該點命中的中點的概率等于零，但不是不可能事件。、為兩個隨機事件，證明：(1) ;(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個不

6、等式，由概率的單調性和半可加性分別得第二、三個不等式。1.17 對于任意的隨機事件、，證明：證明 個學生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到， 。要求。，所以1.22 從階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為，當且僅當?shù)呐帕兄写嬖谑箷r這一項包含主對角線元素。用表示事件“排列中即第個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。那么 ，所以1.23 一個家庭中有三個小孩，且其中一個是女孩，求至少有一個男孩的概率假設一個小孩是男孩或是女孩

7、是等可能的。解 用分別表示男孩和女孩。那么樣本空間為：其中樣本點依年齡大小的性別排列。表示“有女孩， 表示“有男孩，那么件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解1設表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品， 表示“所取產(chǎn)品都是不合格品，那么 (2)設表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品， 表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品。那么 1.28 個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)前個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；(2)第個人摸到的

8、概率。解 設表示“第個人摸到， 。(1) (2) 1.30 一個母雞生個蛋的概率為，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個母雞恰有個下一代即小雞的概率為。解 用表示“母雞生個蛋， 表示“母雞恰有個下一代，那么 1.31 某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手一人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一組內任選一名射手，該射手能通過選拔進入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級， ，表示“任選一名射手能進入決賽，那么1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，4

9、0%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn) 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn) 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品。那么由貝葉斯公式： 1.32某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時間內需要修理的概率之比為1:2:3:1。當有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少？解 那么 ， ，由貝時葉斯公式得 1.35證明：假設三個事件、獨立，那么、及都與獨立。證明 1= 2 3=1.38 試舉例說明由

10、不能推出一定成立。解 設， ， 那么 ， 但是1.37 事件相互獨立且互不相容，求注：表示中小的一個數(shù)。解 一方面，另一方面，即中至少有一個等于0，所以1.40 一個人的血型為型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03，現(xiàn)在任意挑選五個人，求以下事件的概率(1)兩個人為型，其它三個人分別為其它三種血型；(2)三個人為型，兩個人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 1.43 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為，求在成功次之

11、前已失敗了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失敗了次， 表示“在前次試驗中失敗了次， 表示“第次試驗成功那么 第二章 離散型隨機變量2. 2隨機變量只取正整數(shù)，且與成反比，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。個白球、個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時停止。設此時取出了個白球，求的分布列。解 設“表示前次取出白球，第次取出黑球，那么的分布列為：2.6 設某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對該批電子管進行測試，設第次為首次測到合格品，求的分布列。解 2.4 一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時取出3只球，以

12、表示取出球的取大號碼，求的分布列。解 2.7拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解，其中。2.8兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，如果第一名隊員投中的概率為0.4,第二名隊員投中的概率為0.6，求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。解 設，表示第二名隊員的投籃次數(shù)，那么+；。2.9 設某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進貨時應進多少件此種商品，才能保證當月不脫銷的概率為0.999。解 設為該種商品當月銷售數(shù)，為該種商品每月進貨數(shù)，那么。查普哇松分布的數(shù)值表，得。2.10 如果在時間分鐘內，通過某交叉路口的汽車

13、數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。在一分鐘內沒有汽車通過的概率為0.2，求在2分鐘內有多于一輛汽車通過的概率。解 設為時間內通過交叉路口的汽車數(shù)，那么 時，所以；時，因而。2.11 一本500頁的書共有500個錯誤，每個錯誤等可能地出現(xiàn)在每一頁上每一頁的印刷符號超過500個。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于212 某廠產(chǎn)品的不合格品率為0.03，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，假設要以不小于0.9的概率保證每箱中至少有100個合格品，那么每箱至少應裝多少個產(chǎn)品？解 設每箱至少裝個產(chǎn)品，其

14、中有個次品，那么要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當于，查普哇松分布數(shù)值表，得。2.13 設二維隨機變量的聯(lián)合分布列為： 求邊際分布列。解 。2.15 在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。從中任取4件，設一、二、三等品的件數(shù)分別為、，求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。解 ， ，； ，； ，。2.16 拋擲三次均勻的硬幣，以表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求的聯(lián)合分布列及邊際分布列。與獨立，且，又，定義，問取什么值時與獨立？解=而，由得 2.21 設隨機變量與獨立，且，定義，證明兩兩獨立，但不相互獨立。 證明因為所以相

15、互獨立。同理與相互獨立。但是，因而不相互獨立。2.22 離散型隨機變量的分布列為，求的分布列。解 , , , 2.24 設離散型隨機變量的分布列為： ， ：，且相互獨立，求的分布列。解 2.25 設獨立隨機變量分別服從二項分布：與，求的分布列。解 設為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)在每次試驗中，為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)在每次試驗中，而相互獨立，所以為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，因而。2.26 設為獨立同分布的離散型隨機變量，其分布列為 求的分布列。解2.27 設隨機變量具有分布：，求、及。解， +4+4=27229設離散型隨機變量的分布列為：，問是否有數(shù)學期望？解 ，因為級數(shù)發(fā)散，所以沒

16、有數(shù)學期望。2.30對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為、。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學+。證 令為發(fā)生故障的儀器數(shù)，那么，所以+。2.31如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學期望。解 設，那么的分布列為，因而。設為查得的不合格品數(shù)，那么，所以。2.32 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個位置上，那么稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學期望。解 設那么的分布列為：于是，設匹配數(shù)為，那么，因而。2.34 從數(shù)字0，1，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。解 設為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，那么

17、，于是。2.35 設為取非負整數(shù)值的隨機變量，證明：(1) ;(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數(shù)絕對收斂。從而。(2) 存在，所以級數(shù)也絕對收斂，從而2.36 在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為，試驗進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。解 設成功與失敗均出現(xiàn)時的試驗次數(shù)為，那么，利用上題的結論，+=1+2.39 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率，當生產(chǎn)出個不合格品時即停工檢修一次。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學期望與方差。解 設第個不合格出現(xiàn)后到第個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為，又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，那么因獨立同分布，由此得：，。，。2.44 設隨機變量與獨立，

18、且方差存在，那么有由此并可得證明 2.45在整數(shù)0到9中先后按以下兩種情況任取兩個數(shù)，記為和：(1)第一個數(shù)取后放回，再取第二個數(shù)；(2)第一個數(shù)取后不放回就取第二個數(shù)，求在的條件下的分布列。解 (1) .(2) , 次貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。解 。，相互獨立，分別服從參數(shù)為與的普哇松分布，試證： 證明 由普哇松分布的可加性知+服從參數(shù)為+的普哇松分布，所以 第三章 連續(xù)型隨機變量3.2 隨機變數(shù)的分布函數(shù)為，求常數(shù)與及相應的密度函數(shù)。解：因為 所以因而。3.4 設隨機變數(shù)具有對稱的分布密度函數(shù)，即證明：對任意的有1； 2P； 3。 證：1 = = ； 2，由

19、1知1- 故上式右端=2； 3。 3.5 設與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。證明也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為與都是分布函數(shù)，當時，于是又所以，也是分布函數(shù)。取，又令這時顯然，與對應的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。3.3 隨機變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應的分布函數(shù)；（2） 求。解：3.7在半徑為R,球心為O的球內任取一點P,求的分布函數(shù)。解：當0時所以 3.8 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率即用電量除以一萬度，它具有分布密度為假設該城市每天的供電量僅有80萬度，求

20、供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，假設該城市每天的供電量為80萬度，供電量不夠需要的概率為0.0272,假設每天的供電量為90萬度，那么供電量不夠需要的概率為。 設隨機變數(shù)服從0，5上的均勻分布，求方程有實根的概率。 解：當且僅當 1成立時，方程有實根。不等式1的解為：或。因此，該方程有實根的概率。3.14 證明：二元函數(shù) 對每個變元單調非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數(shù)。 證：1設，假設，由于，所以，假設，那么。當時，； 當時，。所以 。 可見，對非降。同理，對非降。 2時 =， 時， =， 所以對、左連續(xù)。 3，。 4， 所以不是一個分布函數(shù)。

21、3.15 設二維隨機變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解：當，時， =所以 3.16 設二維隨機變數(shù)的聯(lián)合密度為（1） 求常數(shù)；（2） 求相應的分布函數(shù)；（3） 求。解：1，所以； 2時， =，所以 3 = =。317 設二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 所以，；3.18 設二維隨機變數(shù)的密度函數(shù)為求1。解：3.21 證明：假設隨機變數(shù)只取一個值，那么與任意的隨機變數(shù)獨立。證：的分布函數(shù)為設的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。當時，。當時，。所以，對任意實數(shù)，都有，故與相互獨立。3.22 證明：假設隨機變數(shù)與自己獨立，那么必有常數(shù)，使。證：由于，所以，。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得

22、故。3.23設二維隨機變量的密度函數(shù)為問與是否獨立？是否不相關？解：。同理，。由于，所以與不相互獨立。又因關于或關于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關3.26 隨機變數(shù)在任一有限區(qū)間上的概率均大于例如正態(tài)分布等，其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因為在任一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。3.30 設隨機變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：在時，。所以的分布密度。3.31 設隨機變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：的反函數(shù)。由服從分布，推得的分布密度為與獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密

23、度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當時，當時，所以3.34 設隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。3.35 設隨機變量與獨立，分別具有密度函數(shù)其中，求+的分布密度。解：時，時，與獨立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，據(jù)3.48(2)知，在時，的分布函數(shù)所以的分布密度為與獨立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，那么所以服從分布。與獨立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當時，當時所以的密度函數(shù)為與獨立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時，在時，。的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨立，但與

24、獨立。證：由于，所以與不獨立。由于所以對一切的，都有，故與相互獨立。3.46 設隨機變量具有密度函數(shù)求。解：3.46 設隨機變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。3.63 設隨機變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =，。3.64 隨機變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 3.66 設隨機變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學期望與方差。解：。3.67 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學期望與方差。解：設旅客候車時間為秒，那么服從上的均勻分布，那么，。第四章 大數(shù)定律與中心極限定理4.1 設為退化分布：討論以下分布函

25、數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？解：12不是；3是。4.2 設分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。弱收斂于分布函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，那么在上一致收斂于。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因為在上一致連續(xù)，故可取它的分點：，使有，再令，那么有 1這時存在，使得當時有 2成立，對任意的，必存在某個，使得，由2知當時有 3 4由1，3，4可得，即有成立，結論得證。4.5 設隨機變量序列同時依概率收斂于隨機變量與，證明這時必有。證：對任意的有，故即對任意的有成立，于是有從而成立，結論得證。4.6 設隨機變量序列，分別依概率收斂于隨機變量與，證明：1；2。證：1因為故即成立。2先證明這時必有。

26、對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述1有故，結論成立。4.7 設隨機變量序列，是一個常數(shù)，且，證明。證：不妨設對任意的，當時有，因而。于是有 。結論成立。4.9 證明隨機變量序列依概率收斂于隨機變量的充要條件為：證：充分性，令，那么，故是的單調上升函數(shù)，因而，于是有 對任意的成立，充分性得證。必要性，對任給的，令，因為，故存在充分大的使得當時有，于是有 ，由的任意性知，結論為真。4.10 設隨機變量按分布收斂于隨機變量，又數(shù)列，證明也按分布收斂于。證：先證明按分布收斂于。時為顯然，不妨設時的修改為顯然，假設，的分布函數(shù)分別記作，與，

27、那么=，當是的連續(xù)點時，是的連續(xù)點，于是有，再由4.6(1)知按分布收斂于，結論得證。按分布收斂于隨機變量，隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，證明按分布收斂于。證：記的分布函數(shù)分別為，那么的分布函數(shù)為，設是的連續(xù)點，那么對任給的，存在，使當時有 1現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點，這時存在，當時有 2 3對取定的，存在，當時有 4于是當時，由1，2，4式有又因為于是由1，3，4式有 6由5，6兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結論得證。按分布收斂于，隨機變量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數(shù)分別為，對任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點且因為，故存在，當時有令，因為，故存在，當時有而其中，當時有因而，由

28、的任意性知，結論為真。4.13 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。證：對任意的，有故。4.14 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：對任意的，為顯然，這時有對任意的，有故成立，結論得證。4.15 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為令，證明。證：設的分布函數(shù)為，有這時有對任意的，有故成立，結論得證。為一列獨立同分布隨機變量，都服從上的均勻分布，假設，證明。證：這時也是獨立同分布隨機變量序列，且由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，那么結論成立。為一列獨立同分布隨機變量，每個隨機變量的期望為，且方差存在，證明。證：，記，令，那么對任給的，由契貝曉夫不等

29、式有故，結論得證。為一列獨立同分布隨機變量，且存在，數(shù)學期望為零，證明。證：這時仍獨立同分布，且，由辛欽大數(shù)定律知結論成立。4.21 設隨機變量序列按分布收斂于隨機變量，又隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，那么按分布收斂于。，而按分布收斂于按分布收斂于，結論成立。為獨立同分布的隨機變量序列，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：這時也為獨立同分布隨機變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當然弱收斂于按分布收斂于分布，結論得證。4.26 在貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令證明服從大數(shù)定律。證：為同分布隨機變量序列，且，因而，又當時，與服從大數(shù)定律，結論得證。為一列獨立同分布隨機變量，方差存在，又為

30、絕對收斂級數(shù)，令，那么服從大數(shù)定律。證：不妨設。否那么令，并討論即可。記，又。因為，故有服從大數(shù)定律，結論得證。為一列獨立同分布隨機變量，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。為一列獨立同分布隨機變量，共同分布為其中，問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。4.32 如果要估計拋擲一枚圖釘時尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應該做多少次試驗？解：令據(jù)題意選取試驗次數(shù)應滿足，因為比擬大，由中心極限定理有故應取，即，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有，因而，故可取。4.33 一本書共有一百萬個印刷符號，排版時每個符號被排錯的概率為0.0001，校對時每個排版錯誤被改正的概率為0.9，求在校對后錯誤不多于15個的概率。解：令因為排版與校對是兩個獨立的工序，因而是獨立同分布隨機變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對后錯誤不多于15個的概率。4.34 在一家保險公司里有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年里一個人死亡的概率為0。006，死亡時家屬可向保險公司領得1000