矢量分析與場(chǎng)論講義

1、1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念（Field）一一、場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 場(chǎng)是用空間位置函數(shù)來表征的。場(chǎng)是用空間位置函數(shù)來表征的。若對(duì)全空間或其中若對(duì)全空間或其中某一區(qū)域某一區(qū)域 V 中每一點(diǎn)中每一點(diǎn) M, 都有一都有一 個(gè)個(gè)數(shù)量數(shù)量 (或或矢量矢量) 與與之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng), 則稱在則稱在 V 上確定了一個(gè)上確定了一個(gè) 數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng) (或或矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)). 場(chǎng)都是矢量場(chǎng)。場(chǎng)都是矢量場(chǎng)。 例如例如: 溫度場(chǎng)和密度場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng)溫度場(chǎng)和密度場(chǎng)都是數(shù)量場(chǎng), 重力場(chǎng)和速度重力場(chǎng)和速度若場(chǎng)中物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值不隨時(shí)間變化，若場(chǎng)中物理量在各點(diǎn)處的對(duì)應(yīng)值不隨時(shí)間變化，就稱為就稱為穩(wěn)定場(chǎng)穩(wěn)定場(chǎng)，否則，稱為，否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng)不

2、穩(wěn)定場(chǎng)。 注注 引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來 進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì). 2.2.場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性場(chǎng)的性質(zhì)是它本身的屬性, , 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān)和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān). . 1.1.場(chǎng)的特點(diǎn)：場(chǎng)的特點(diǎn)：分布于整個(gè)空間，看不見，摸不著，只能借助儀器分布于整個(gè)空間，看不見，摸不著，只能借助儀器 進(jìn)行觀察測(cè)量，靠人腦去想像其分布情況；進(jìn)行觀察測(cè)量，靠人腦去想像其分布情況；具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動(dòng)量和能量。具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動(dòng)量和能量。3、描述方法、描述方法 函數(shù)表示法：借助一定坐標(biāo)系下的函數(shù)來

3、表示場(chǎng)的分函數(shù)表示法：借助一定坐標(biāo)系下的函數(shù)來表示場(chǎng)的分布。對(duì)矢量場(chǎng)，用布。對(duì)矢量場(chǎng)，用 ；數(shù)量場(chǎng)常用；數(shù)量場(chǎng)常用 表述。表述。A x y z( , , ) u x y z( , , )幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場(chǎng)性質(zhì)和分布的幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場(chǎng)性質(zhì)和分布的一族曲線或曲面表示場(chǎng)的分布特征，分別稱為矢量線一族曲線或曲面表示場(chǎng)的分布特征，分別稱為矢量線（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。二、數(shù)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的描述方法二、數(shù)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的描述方法 以下討論中總是設(shè)它對(duì)每以下討論中總是設(shè)它對(duì)每個(gè)變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。個(gè)

4、變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就等于給定了一個(gè)數(shù)性函數(shù)因此給定了某個(gè)數(shù)量場(chǎng)就等于給定了一個(gè)數(shù)性函數(shù) ( , , ),uu x y z 在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后, 點(diǎn)點(diǎn) M 的的位置可由坐標(biāo)確定。位置可由坐標(biāo)確定。同理同理,每每個(gè)矢量場(chǎng)都與某個(gè)矢性函數(shù)個(gè)矢量場(chǎng)都與某個(gè)矢性函數(shù) ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kxyzA x y zAx y zAx y zA x y z 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng). 這里這里 為所定義區(qū)域上的數(shù)性函數(shù)為所定義區(qū)域上的數(shù)性函數(shù), ,xyzAAA數(shù)量場(chǎng)的等值面（數(shù)量

5、場(chǎng)的等值面（線線）：）： 是由場(chǎng)中使是由場(chǎng)中使u u取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面。取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面。 （c c值不同對(duì)應(yīng)不同等值面）值不同對(duì)應(yīng)不同等值面）( , , )()u x y zc c 為為常常數(shù)數(shù) 等值等值面面3c 1c 2c 其方程為其方程為(,)u x yc 等值線等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快在某一高度上沿什么方向高度變化最快？直觀表示數(shù)量直觀表示數(shù)量u u在場(chǎng)中的分布。在場(chǎng)中的分布。以溫度場(chǎng)為例：以溫度場(chǎng)為例：熱源熱源等溫面等溫面等值面舉例等值面舉例可以看出：可以看出：數(shù)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面數(shù)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。是互不相交的

6、。 矢量場(chǎng)的矢量線：矢量場(chǎng)的矢量線： 矢量線上每一點(diǎn)處曲線與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量相切。矢量線上每一點(diǎn)處曲線與對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量相切。 直觀描述矢量在場(chǎng)中的分布情況。直觀描述矢量在場(chǎng)中的分布情況。2. 矢量線連續(xù)分矢量線連續(xù)分布，一般互不相交。布，一般互不相交。圖圖2 矢量線矢量線ArMxyzol觀察：觀察：1.1.在曲線上的每一點(diǎn)在曲線上的每一點(diǎn)M處，處， 場(chǎng)的場(chǎng)的矢量矢量都位于該點(diǎn)處的都位于該點(diǎn)處的切線切線上（如圖所示），稱其為上（如圖所示），稱其為矢量線矢量線。例：靜電場(chǎng)電力。例：靜電場(chǎng)電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等。線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線等。MA ( r )drrO 矢量線的

7、微分方程矢量線的微分方程： M點(diǎn)位置點(diǎn)位置矢量線矢量線l 微分微分 ijkxyzAAAA rijkxyz lrijkdddxdydz 場(chǎng)矢量場(chǎng)矢量l矢量線在這點(diǎn)的切線的方向余弦和矢量線上的矢量線在這點(diǎn)的切線的方向余弦和矢量線上的 成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程dzdydx,xyzdxdydzAAA 在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 不為零的條件下，由線性微分方程組的不為零的條件下，由線性微分方程組的理論可知所考慮的整個(gè)場(chǎng)被矢量線所填滿，而通過場(chǎng)理論可知所考慮的整個(gè)場(chǎng)被矢量線所填滿，而通過場(chǎng)中每一點(diǎn)有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的中每一點(diǎn)有一條且只有一條這樣的

8、曲線，且過不同的點(diǎn)的兩條矢量線沒有公共點(diǎn)。點(diǎn)的兩條矢量線沒有公共點(diǎn)。A 例例2 2 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)M(2, 1,1) 通通過過點(diǎn)點(diǎn)Axziyz jxyk22() 的的矢量線方程。矢量線方程。 【例1】 設(shè)點(diǎn)電荷設(shè)點(diǎn)電荷q q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間一點(diǎn)M( (x,y,z) )處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為 式中，式中，q、均為常數(shù)，均為常數(shù)， r=xi+yj+zk為為M點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置矢量。求矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖的矢量線方程并畫出矢量線圖。qErr34 整理求解作圖整理求解作圖矢量的直角矢量的直角坐標(biāo)系方程坐標(biāo)系方程矢量線的矢量線的微

9、分方程微分方程解題過程：解題過程：zyxyC x1 圖圖 點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線點(diǎn)電荷的電場(chǎng)矢量線 (P27)(P27)zC y2 2 2、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù)方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù) 在一點(diǎn)處沿任意方向在一點(diǎn)處沿任意方向 對(duì)距離的變化率，它的數(shù)值與所取對(duì)距離的變化率，它的數(shù)值與所取 的方向有關(guān)，的方向有關(guān)，一般來說，在不同的方向上一般來說，在不同的方向上 的值是不同的，但的值是不同的，但它并不是矢量。如圖所示它并不是矢量。如圖所示， 為場(chǎng)中的任意方向?yàn)閳?chǎng)中的任意方向，M0是這個(gè)方向線上給定的一點(diǎn)是這個(gè)方向線上給定的一點(diǎn)，M為同一線上鄰近為同一線上鄰近的一點(diǎn)。的一點(diǎn)。lu M()lMu

10、l0 lM0Mll 為為M0 0和和M之間的距離之間的距離，從從M0 0沿沿 到到M的增量為的增量為若下列極限若下列極限存在，則該極限值記作存在，則該極限值記作 ，稱之為數(shù)量場(chǎng)稱之為數(shù)量場(chǎng) 在在M0 0處沿處沿 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。luu Mu M0()() llu Mu Mull000()()limlim l u M()Mul0 l uuuulxyzcoscoscosl(cos,cos,cos ) 例題例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)M(1,0,1)在在點(diǎn)點(diǎn)處處沿沿uxyz222 方向的方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)。lijk22 例例3 3 設(shè)設(shè)M x y z( , , ) 為為點(diǎn)點(diǎn)處處的的矢矢徑徑

11、r r的的模模，rxyz222 試試證證：rgradrrr 例例4 4 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng)M(2, 1,1) 在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的梯梯度度uxyyz23 方向的方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)。lijk22及及在在矢矢量量3 3、梯度、梯度 由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，即數(shù)量場(chǎng)由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，即數(shù)量場(chǎng)沿某一確定方向取得沿某一確定方向取得 在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，在該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，則可引進(jìn)梯度概念。則可引進(jìn)梯度概念。u M()在一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有無窮多個(gè)，其中，若過一點(diǎn)在一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有無窮多個(gè)，其中，若過一點(diǎn) 梯度：梯度：（場(chǎng)在某點(diǎn)的梯度為一矢量）它的大小等（場(chǎng)在某點(diǎn)的梯度為一矢量）

12、它的大小等于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向?yàn)槿〉米畲笾涤谒蟹较驅(qū)?shù)的最大值，它的方向?yàn)槿〉米畲笾档姆较?。的方向。uuugraduijkuxyz 梯度梯度(Gradient)cos( , )uG lGG ll Gijkuuugraduxyz 梯度、方向?qū)?shù)與梯度、方向?qū)?shù)與等值面等值面ul Guc1 cc21 nl當(dāng)當(dāng) , ,即即 與與 (, )0G l lGcosicosj cos kl ul 方向一致時(shí)方向一致時(shí), , 為最大。為最大。u0,llu0,ll 沿沿 增增加加沿沿 降降低低ugradu lgradugradu llcos(, ) 方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： 是

13、等值面是等值面 上上p p1 1點(diǎn)法線方向單位矢量。它指點(diǎn)法線方向單位矢量。它指向向 增長(zhǎng)的方向增長(zhǎng)的方向。 表示過表示過p p2 2 點(diǎn)的任一方向。點(diǎn)的任一方向。 易見，易見，nl uc1 up p , p p, p pp p .cos1210101200 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 所以所以即即p pPp ppu( p )u( p )ulimlp pu( p )u( p )coslimp pucosn1211012101201010 uucosln p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 該式表明：該式表明：即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是

14、梯度在該方向上的投即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。影。 梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場(chǎng)梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場(chǎng) 在空間各點(diǎn)沿不同方向變化快慢的程度。在空間各點(diǎn)沿不同方向變化快慢的程度。4、 算符（哈密頓算符）算符（哈密頓算符） 算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任在任意方向意方向 上移動(dòng)線元距離上移動(dòng)線元距離dl， 的增量的增量 稱為方向微稱為方向微uuucosn lgradu llnn u( M )ludu分，即分，即顯然，任意兩點(diǎn)顯然，任意兩點(diǎn) 值差為值差為ududlu dll BBAAuuu dl 總結(jié)：數(shù)量場(chǎng)梯度的

15、性質(zhì)總結(jié)：數(shù)量場(chǎng)梯度的性質(zhì)（1）數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在）數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。該方向的投影。（2）數(shù)量場(chǎng)在任一點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等）數(shù)量場(chǎng)在任一點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向場(chǎng)增大的一方。（注意：等值面值面，且指向場(chǎng)增大的一方。（注意：等值面的法向有兩個(gè)）的法向有兩個(gè)）（3）一個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度（一旦）確定，則該數(shù)）一個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度（一旦）確定，則該數(shù)量場(chǎng)也隨之確定，最多相差一個(gè)任意常數(shù)量場(chǎng)也隨之確定，最多相差一個(gè)任意常數(shù) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯

16、度在該方向的投影。數(shù)量場(chǎng)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。例例1 1 三維高度場(chǎng)的梯度三維高度場(chǎng)的梯度圖 三維高度場(chǎng)的梯度例例2 2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度圖 電位場(chǎng)的梯度 梯度、方向?qū)?shù)與梯度、方向?qū)?shù)與等值面等值面ul Guc1 cc21 nl高度場(chǎng)的梯度 與過該點(diǎn)的等位線垂直；與過該點(diǎn)的等位線垂直； 數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；補(bǔ)充：補(bǔ)充： 梯度的物理意義梯度的物理意義 數(shù)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量數(shù)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量, ,是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); ; 梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（

17、面）相垂直的方向，它即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向指向函數(shù)的增加方向. . 梯度的大小為該點(diǎn)數(shù)量函數(shù)梯度的大小為該點(diǎn)數(shù)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù); ;u例1 三維高度場(chǎng)的梯度 與過該點(diǎn)的等高線垂直；與過該點(diǎn)的等高線垂直； 數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率； 指向地勢(shì)升高的方向。指向地勢(shì)升高的方向。圖 三維高度場(chǎng)的梯度例2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。圖 電位場(chǎng)的梯度3 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1、通量通量 一個(gè)矢量場(chǎng)空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量一個(gè)矢

18、量場(chǎng)空間中，在單位時(shí)間內(nèi)，沿著矢量場(chǎng)場(chǎng) 方向通過方向通過 的流量是的流量是dQ，而而dQ是以是以ds為底為底，以以v cos為高的斜柱體的體積，即為高的斜柱體的體積，即稱為矢量稱為矢量 通過面元通過面元 的通量的通量。 對(duì)于有向曲面對(duì)于有向曲面s，總可以總可以將將s分成許多足夠小的面元分成許多足夠小的面元 ，于是于是v ds dQv cosdsv ds dsvnds ds v 通過曲面通過曲面s的通量的通量f f即為每一面元通量之和即為每一面元通量之和對(duì)于閉合曲面對(duì)于閉合曲面s，通量通量f f為為sv dsf f sv dsf f 向量場(chǎng)向量場(chǎng) 沿選定方向的曲面沿選定方向的曲面S的面積分的面積

19、分A定義定義()SSA dSPdydzQdzdxRdxdy 定定側(cè)側(cè)稱為稱為 向曲面指定一側(cè)穿過曲面向曲面指定一側(cè)穿過曲面S的的通量通量。A例題例例1 1 設(shè)由矢徑設(shè)由矢徑構(gòu)構(gòu)成成的的矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)中中，rxiyjzk 圓錐面圓錐面xyzzH H222(0)及及平平面面曲面曲面S。rSS 試試求求矢矢量量場(chǎng)場(chǎng) 從從 內(nèi)內(nèi)穿穿出出 的的通通量量。P55 3. 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)Axyziyxzjzxyk323 （） （） （+ +）所圍成的封閉所圍成的封閉的的散散度度。有一由有一由 如果曲面如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：

20、曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是： n000SA dS A（）0 0 0 （）（）表示有凈的矢量表示有凈的矢量線流入，閉合面線流入，閉合面內(nèi)有吸收矢量線內(nèi)有吸收矢量線的的負(fù)源負(fù)源；表示有凈的矢量表示有凈的矢量線流出線流出，閉合面閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的的正源正源；表示流入和流出表示流入和流出閉合曲面的矢量閉合曲面的矢量線相等或沒有矢線相等或沒有矢量線流入、流出量線流入、流出閉合曲面閉合曲面閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系 若若S S 為閉合曲面，可根

21、據(jù)凈通量為閉合曲面，可根據(jù)凈通量 的的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)大小判斷閉合面中源的性質(zhì): :dSASf f 0 ( (有正源有正源) ) 0 ( (有負(fù)源有負(fù)源) ) = 0 ( (無源無源) )sA dsV V 2、散度、散度 設(shè)封閉曲面設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為所包圍的體積為 ，則，則 就是矢量場(chǎng)就是矢量場(chǎng) 在在 中單位體積的平均通量，或者中單位體積的平均通量，或者 平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍的體積及其所包圍的體積 向向 其內(nèi)某點(diǎn)其內(nèi)某點(diǎn) 收縮時(shí)，若平均發(fā)散量的極限值存在，收縮時(shí)，若平均發(fā)散量的極限值存在， 便記作便記作()A M MV V 0divlimsV

22、A dsAV 稱為矢量場(chǎng)稱為矢量場(chǎng) 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的散度散度( (div是是divergence的縮寫的縮寫) )。()A M 散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散度的重要性在于，可用表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)散的強(qiáng)弱程度，當(dāng)div ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量表示該點(diǎn)有散發(fā)通量0A 的正源；當(dāng)?shù)恼?；?dāng)div ，表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源；，表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)當(dāng)div ，表示該點(diǎn)為無源場(chǎng)。，表示該點(diǎn)為無源場(chǎng)。0A 0A kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 則則( , , )A x y z 設(shè)設(shè)矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)的散度為的散度為定理定理 zRyQxPAd

23、iv A 重重點(diǎn)點(diǎn)散度散度(Divergence)的表達(dá)式的表達(dá)式 直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場(chǎng)直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場(chǎng) 在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲 面所包含體積中矢量場(chǎng)散度的積分。面所包含體積中矢量場(chǎng)散度的積分。 上式稱為上式稱為矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的Gauss定理定理。 ssVA ddivAdV 積分的積分的Gauss定理定理注：它能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)注：它能把一個(gè)閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對(duì)該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。推論推論2 2 若處處散度為若處處散度為0 0，則通量為，則通量

24、為0.0.推論推論3 3 若某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有散度不為若某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有散度不為0 0或不或不存存 在，而在其他點(diǎn)上都有散度為在，而在其他點(diǎn)上都有散度為0 0，則穿出，則穿出包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。等，為一常數(shù)。電學(xué)上的高斯定理：電學(xué)上的高斯定理： 穿出任一封閉曲面穿出任一封閉曲面S S的電通量，的電通量，等于其內(nèi)各點(diǎn)電荷的代數(shù)和。等于其內(nèi)各點(diǎn)電荷的代數(shù)和。 高斯定理高斯定理sVA dsAdV 4 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度(Rotation)1. 1. 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的環(huán)環(huán)量量定義：定義：線矢量線矢

25、量l: 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A中的中的 一條一條封閉封閉的有向曲線的有向曲線 環(huán)量環(huán)量：（圖（圖2 2）性質(zhì)：性質(zhì)： 是標(biāo)量是標(biāo)量 0，l 內(nèi)有旋渦源內(nèi)有旋渦源 = =0，l 內(nèi)無旋渦源內(nèi)無旋渦源cosllA dlAdl 圖2 矢量場(chǎng)的環(huán)量矢量場(chǎng)的環(huán)量(P56(P56) zxyOldlAP定義定義線積分線積分向量場(chǎng)向量場(chǎng) 沿空間有向閉曲線沿空間有向閉曲線 l 的的AllA dlPdxQdyRdz 稱為稱為 沿閉曲線沿閉曲線l的環(huán)量的環(huán)量。A環(huán)量的表達(dá)式環(huán)量的表達(dá)式nPlS 圖圖3 閉合曲線方向與面元的閉合曲線方向與面元的 方向示意圖方向示意圖 (P59)(P59)定義定義：若：若 存在，則存在，則 稱

26、此極限為矢量場(chǎng)稱此極限為矢量場(chǎng) A沿沿l之正向的環(huán)量之正向的環(huán)量 在點(diǎn)在點(diǎn)P處沿處沿n方向方向的的 環(huán)量面密度。環(huán)量面密度。SPlimS 性質(zhì)：性質(zhì)：l圍成的面元法矢量圍成的面元法矢量 旋渦面的方向旋渦面的方向矢量矢量R在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密度度方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密度的值度的值 旋度的定義旋度的定義定義：固定矢量定義：固定矢量R為矢量為矢量A的旋度，記作的旋度，記作 ：rot A=R重合，最大重合，最大夾角，中間值夾角，中間值垂直，垂直， 0 0R旋度矢量旋度矢

27、量PlnrotA旋 渦 面圖圖4 旋度及其投影旋度及其投影 旋度矢量旋度矢量R在在n方向的投影方向的投影:lnSPA dllimrot AS 渦量（或環(huán)量面密度）0limlSA dlS PnAa稱為矢量場(chǎng) 在某點(diǎn) 繞方向的渦量旋度 xyzxyzrotAAxyzAAA ()nrotA a 定義定義 向量場(chǎng)向量場(chǎng)的旋度定義為的旋度定義為A( x,y,z) AArot RQPzyxkji 旋度旋度( (Rotation or Curl) )kyPxQjxRzPizQyR)()()( 簡(jiǎn)單地說簡(jiǎn)單地說, ,旋度旋度是個(gè)矢量，它的物理意義是個(gè)矢量，它的物理意義是場(chǎng)在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強(qiáng)弱。是場(chǎng)在該矢量

28、方向上旋轉(zhuǎn)性的強(qiáng)弱。6l利用環(huán)量與旋度利用環(huán)量與旋度( (它可以從整體上描述場(chǎng)旋它可以從整體上描述場(chǎng)旋ldlA轉(zhuǎn)的強(qiáng)度轉(zhuǎn)的強(qiáng)度) )，我們可以用向量的形式重寫，我們可以用向量的形式重寫Stokes公式公式。 SdSA SdSArot8小結(jié)小結(jié)1、散度散度（流出的量）（流出的量） 發(fā)散源發(fā)散源 通量即該矢量通量即該矢量(的垂直平面分量的垂直平面分量)穿過平面的大小穿過平面的大小 一般點(diǎn)的散度為一般點(diǎn)的散度為0 ，散度不為，散度不為0的點(diǎn)表示該點(diǎn)有提供源的點(diǎn)表示該點(diǎn)有提供源 (source) 散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從Gauss公公式理解式理解

29、 散度為零，說明是無源場(chǎng)；散度不為零時(shí)，則說明是有散度為零，說明是無源場(chǎng)；散度不為零時(shí)，則說明是有源場(chǎng)（有正源或負(fù)源）源場(chǎng)（有正源或負(fù)源）矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)2、旋度（旋度（沒有流出的量）沒有流出的量） 旋渦源旋渦源 旋度即該矢量旋度即該矢量( (的平行平面分量的平行平面分量) )沿平面的大小密度沿平面的大小密度( (即即大小大小/ /面積面積) ) 旋度不為旋度不為0 0表示有量在該平面表示有量在該平面“逗留逗留” 旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從StokesStokes公公式里理解式里理解 旋度為零，說明是無旋場(chǎng)；旋度不為零時(shí)，則說明是有旋度為零，說

30、明是無旋場(chǎng)；旋度不為零時(shí)，則說明是有旋場(chǎng)旋場(chǎng) 一、無旋場(chǎng)一、無旋場(chǎng)0VAAAV 定定義義：若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，矢矢量量場(chǎng)場(chǎng) 的的旋旋度度處處處處為為零零（即即），則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的無無旋旋場(chǎng)場(chǎng)。0lA dlAV 沿沿任任意意閉閉合合回回路路的的環(huán)環(huán)量量為為零零（即即 ）則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的保保守守場(chǎng)場(chǎng)。AAuAV 若若 可可表表示示為為 ，則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的有有勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)。幾種重要的矢量場(chǎng)幾種重要的矢量場(chǎng)12V（ ）若若 為為線線單單連連通通（區(qū)區(qū)域域），有有勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)無無旋旋場(chǎng)場(chǎng)（ ）有有勢(shì)勢(shì)場(chǎng)場(chǎng)保保守守場(chǎng)場(chǎng)VllVS線線單單連連通通：對(duì)對(duì) 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉合

31、合曲曲線線 ，都都可可以以作作出出一一個(gè)個(gè)以以 為為邊邊界界，且且全全部部位位于于區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)的的曲曲面面 ，即即任任一一閉閉路路都都可可以以收收縮縮為為一一點(diǎn)點(diǎn)。無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)保守場(chǎng)保守場(chǎng)0lA dl 空心球體空心球體環(huán)面體環(huán)面體二、無源場(chǎng)二、無源場(chǎng)0VAAAV 定定義義：若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，矢矢量量場(chǎng)場(chǎng) 的的散散度度處處處處為為零零（即即），則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的無無源源場(chǎng)場(chǎng)或或管管形形場(chǎng)場(chǎng)。矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合）矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合）1S2S3S,VAABA 定定理理2 2 若若 為為面面單單連連域域 若若矢矢量量場(chǎng)場(chǎng)

32、 可可表表示示為為 為為管管形形場(chǎng)場(chǎng):VSVV面面單單連連通通內(nèi)內(nèi)任任一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉合合曲曲面面 所所包包圍圍的的全全部部點(diǎn)點(diǎn)都都在在 內(nèi)內(nèi), ,即即 內(nèi)內(nèi)沒沒有有 洞洞矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的Helmholtz定理定理 空間區(qū)域空間區(qū)域V上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋上的任意矢量場(chǎng)，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并度和邊界條件為已知，則該矢量場(chǎng)唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場(chǎng)和一無源矢量場(chǎng)的疊且可以表示為一無旋矢量場(chǎng)和一無源矢量場(chǎng)的疊加，即加，即：isAAA:0,0,iiisssAAAAAA其其中中滿滿足足代代表表單單獨(dú)獨(dú)由由發(fā)發(fā)散散源源確確定定的的場(chǎng)場(chǎng)滿滿足足代代

33、表表單單獨(dú)獨(dú)由由漩漩渦渦源源確確定定的的場(chǎng)場(chǎng)三、管形場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng)三、管形場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng) 式知道式知道, 此時(shí)沿任何封閉此時(shí)沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零曲面的曲面積分都等于零. 中作一矢量管中作一矢量管 (圖圖2), 即由矢量線圍成的管狀的即由矢量線圍成的管狀的 若一個(gè)矢量場(chǎng)若一個(gè)矢量場(chǎng) 的散度恒的散度恒 A為零為零, 即即 我們?cè)覀冊(cè)?div0,A 稱稱 為無源場(chǎng)為無源場(chǎng). 從高斯公從高斯公 A我們又把我們又把 稱作稱作管形場(chǎng)管形場(chǎng). 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 若在矢量場(chǎng)若在矢量場(chǎng) AA3S2S2圖圖1SA12,SS3S曲面曲面. 用斷面用斷面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管 的

34、表面的表面, 這這就得到了由就得到了由123,SSS所圍成的封閉曲面所圍成的封閉曲面 S. 于是由于是由(1)式得出式得出123dddd0.SSSSASASASAS 外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)而矢量線與曲面而矢量線與曲面3S的法線正交的法線正交, 所以所以3d0,SAS 外側(cè)外側(cè)12dd0,SSASAS 外側(cè)外側(cè)外側(cè)外側(cè)這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是 間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于 12dd . SSASAS內(nèi)側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)外側(cè)相同的相同的, 所以把場(chǎng)所以把場(chǎng) 稱為稱為管形場(chǎng)管形場(chǎng).

35、A若一個(gè)矢量場(chǎng)若一個(gè)矢量場(chǎng) 的旋度恒為零的旋度恒為零, 即即 我們?cè)谖覀冊(cè)?Arot0,A 前面稱前面稱 為無旋場(chǎng)為無旋場(chǎng). 從斯托克斯公式知道從斯托克斯公式知道, 這時(shí)在空這時(shí)在空 A零零, 這種場(chǎng)也稱為這種場(chǎng)也稱為有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng). 這是因?yàn)楫?dāng)這是因?yàn)楫?dāng) rot0A 時(shí)時(shí), 由定理由定理1推得空間曲線積分與路線無關(guān)推得空間曲線積分與路線無關(guān), 且存在且存在某函數(shù)某函數(shù)( , , )u x y z, 使得使得dddd ,uP xQ yR z即即 grad( ,).uP Q R則必存在某個(gè)勢(shì)函數(shù)則必存在某個(gè)勢(shì)函數(shù) v, 使得使得-grad.vA這也是一這也是一 個(gè)矢量場(chǎng)是某個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)的充要條

36、件個(gè)矢量場(chǎng)是某個(gè)數(shù)量場(chǎng)的梯度場(chǎng)的充要條件. 通常稱通常稱v= -u 為為勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù). 因此若某矢量場(chǎng)因此若某矢量場(chǎng) 的旋度為零的旋度為零, A若一個(gè)矢量場(chǎng)既是管量場(chǎng)若一個(gè)矢量場(chǎng)既是管量場(chǎng), 又是有勢(shì)場(chǎng)又是有勢(shì)場(chǎng), 則稱這個(gè)矢則稱這個(gè)矢 量場(chǎng)為量場(chǎng)為調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng). 若若 是一個(gè)調(diào)和場(chǎng)是一個(gè)調(diào)和場(chǎng), 則必有則必有 A20,uuu 即必有即必有u 滿足滿足 2222220.uuuxyz 這時(shí)稱函數(shù)這時(shí)稱函數(shù) u 為為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).也有也有v= -u 為調(diào)和函數(shù)。為調(diào)和函數(shù)。 0,.AuA 且且顯然顯然(1)若線積分若線積分 的值在的值在G內(nèi)與路徑無關(guān)，內(nèi)與路徑無關(guān)，dsAAB )()(其中其中

37、A, B 為為G 內(nèi)任意兩點(diǎn)；內(nèi)任意兩點(diǎn)；則稱則稱 為為保守場(chǎng)保守場(chǎng), ,A(2)若在若在G內(nèi)恒有內(nèi)恒有 , ,則稱則稱 為為OAArot A無旋場(chǎng)無旋場(chǎng); ;有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)，并稱，并稱 為為 的勢(shì)函數(shù)的勢(shì)函數(shù). .uA定義定義6 6設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng)31),(),(RGGCzyxA (3)若存在若存在G上的函數(shù)上的函數(shù) ，使，使 , ,則稱則稱 為為uuA A12定理定理4),()(1GCMA 設(shè)設(shè)G 是單連域，是單連域，3R 則以下四個(gè)命題則以下四個(gè)命題等價(jià)等價(jià)： 是無旋場(chǎng)，即是無旋場(chǎng)，即;OAArot A 沿沿G內(nèi)任意簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)任意簡(jiǎn)單閉曲線 C 的環(huán)量的環(huán)量 ccRdzQdyPdxdsA

38、0與路徑無關(guān)；與路徑無關(guān)； 是一保守場(chǎng)，即在是一保守場(chǎng)，即在G內(nèi)線積分內(nèi)線積分A )()(BAdsA13.RdzQdyPdxdu 使使 是一有勢(shì)場(chǎng)，即在是一有勢(shì)場(chǎng)，即在G內(nèi)存在內(nèi)存在 ，Au作證明作證明.它可以看作是它可以看作是 Green 公式的推論公式的推論.4 以下我們只對(duì)定理以下我們只對(duì)定理4的的2D空間的情況空間的情況定理定理4 定理定理設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域),(,12 CjQiPAR 則以下四個(gè)命題等價(jià)：則以下四個(gè)命題等價(jià)： 在在 內(nèi)內(nèi),處處成立處處成立 ;yPxQ 14 定理定理4( (及定理及定理 ) )的重要性在于：的重要性在于：4 給出場(chǎng)論中的一個(gè)具有實(shí)際意義及數(shù)學(xué)意給出場(chǎng)論中的一

39、個(gè)具有實(shí)際意義及數(shù)學(xué)意 義的重要結(jié)論，即：義的重要結(jié)論，即：無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)保守場(chǎng)保守場(chǎng)0 dsAC 給出了數(shù)學(xué)上判定保守場(chǎng)的多種方法；給出了數(shù)學(xué)上判定保守場(chǎng)的多種方法； 特別還給出了求特別還給出了求勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)的方法：相當(dāng)于的方法：相當(dāng)于求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時(shí)求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時(shí)為解為解全微分方程全微分方程提供了一種有效的方法。提供了一種有效的方法。例例1驗(yàn)證矢量場(chǎng)驗(yàn)證矢量場(chǎng)22222(cos )2Axyz ix zy jx yzk 是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù).解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xy

40、Q 所以，所以， 為有勢(shì)場(chǎng)。為有勢(shì)場(chǎng)。A 以下介紹兩種求以下介紹兩種求勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)方法。方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢(shì)函數(shù)法特殊路徑，用線積分求勢(shì)函數(shù)法.方法方法1 1例例4驗(yàn)證向量場(chǎng)驗(yàn)證向量場(chǎng)jxyixyxA)33()63(222 是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù).解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xyQ 所以，所以， 為有勢(shì)場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)。A 以下介紹兩種求以下介紹兩種求勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)方法方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢(shì)函數(shù)法特殊路徑，用

41、線積分求勢(shì)函數(shù)法.方法方法1 1dyxydxxyxyx)33()63(22),()0 , 0(2 此例選積分路徑由此例選積分路徑由, ),()0 ,()0 , 0(0yxMxMO ),()0,0(),(yxQdyPdxyxuyxo)0,(0 xM),(yxM xOMdxx0023沿沿yxyx2333 yMMdyxy0022)33(沿沿即：即：yxyxyxu2333),( 是是 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) ( 力函數(shù)力函數(shù) )。QdyPdx 0, 0 ydyxxdx , 0勢(shì)函數(shù)一般表達(dá)式為：勢(shì)函數(shù)一般表達(dá)式為：332( , )(3).v x yxyx yC 用用偏積分偏積分求勢(shì)函數(shù)求勢(shì)函數(shù).要求

42、函數(shù)要求函數(shù), ),(yxu,QdyPdxdu 使使即即dyxydxxyxdu)33()63(222 xyxxu632 )(a)(b2233xyyu 亦即亦即先對(duì)先對(duì) 式，視式，視 為定數(shù)，兩邊對(duì)為定數(shù)，兩邊對(duì) 積分：積分：)(ayx)(323yyxxu )(c方法方法2這個(gè)積分這個(gè)積分“常數(shù)常數(shù)”當(dāng)然可能是當(dāng)然可能是 y 的函數(shù)，的函數(shù)，故記作故記作,)(y 將將(c)式兩端對(duì)式兩端對(duì) y求導(dǎo)求導(dǎo), 并與并與(b)式比較，得：式比較，得：22233)(3xyyxyu ,3)(2yy 3231323( , )3.( , )(3).u x yxx yyCv x yxx yyC 代入代入 (c)

43、式式Cyy 3)( ()slA dSA dl0lsA n sA dl 方向相反方向相反大小相等大小相等結(jié)果抵消結(jié)果抵消 0-3 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理Rotation of Vector Field, Stokes Theorem1、矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 的環(huán)流的環(huán)流 在數(shù)學(xué)上，將矢量場(chǎng) 沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分稱為 沿該曲線L的循環(huán)量或流量。2 2、旋度旋度 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點(diǎn)附近，那么)(xALl dAcA以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉

44、合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常L的正方向與 規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義nSLl dAsl dALs0limnnsl dAAALslimrot0稱為矢量場(chǎng) 的旋度（rot是rotation縮寫）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點(diǎn)附近各方向上環(huán)流強(qiáng)弱的程度，如果場(chǎng)中處處rot稱為無旋場(chǎng)。3、斯托克斯定理（斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把對(duì)任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。)(xA0AsLsdAl dA)(0-4 0-4 正交曲線坐標(biāo)系中正交曲線坐標(biāo)系中 運(yùn)算運(yùn)算的表達(dá)式的表達(dá)式Expres

45、sion of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System1、度量系數(shù)度量系數(shù) 設(shè)x,y,z是某點(diǎn)的笛卡兒坐標(biāo)，x1, x2, x3是這點(diǎn)的正交曲線坐標(biāo)，長(zhǎng)度元的平方表示為其中2323222221212222dxhdxhdxhdzdydxdl)3 , 2 , 1( )()()(222ixzxyxxhiiii稱度量系數(shù)度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標(biāo)系完全由三個(gè)拉梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。2、哈密頓算符哈密頓算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符符 在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式在正交曲線坐標(biāo)

46、系下的一般表達(dá)式2)()()(1111111312321321321321333222111333222111AhhxAhhxAhhxhhhAxhexhexhexhexhexhe )()()()()()(1112221213331113312223332321332211221332211321AhxAhxhheAhxAhxhheAhxAhxhheAhAhAhxxxehehehhhhA其中 為正交曲線坐標(biāo)系的基矢； 是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)； 是一個(gè)矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標(biāo)系中， ，在其它正交坐標(biāo)系中)()()(13321322132113213212xhhhxxhhhxxhhhxhhh321,eee

47、),(321xxx332211321),(eAeAeAxxxAA1122)(eAAiiAA22)(332222)()(eAeA3、不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式 a) 笛卡兒坐標(biāo) x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1xyzZ為常數(shù)平面y為常數(shù)平面x為常數(shù)平面(x,y,z)pyezexezeyexezyx zzyyxxzyxzyxzyxzyxeAeAeAAzyxAAAzyxeeeAzAyAxAAzeyexe)()()(22222222222 b) 圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量: x1= r x2= x3= z與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系： x=rcos y=rsin z=

48、 z拉梅系數(shù): h1=1 h2=r h3=1zxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面fezererzererezrff fffffffffferAzAezAArArAAzrereerAzAArrArrAzueurerueuzrrzzrzrzrzr)()1(111)(11將 應(yīng)用于圓柱坐標(biāo)可得：zzrrzreAeAeAAzuurrurrrueArrArr)()()(1)(11)(12222222222fffff)()(2AAAffffffrrrrArrAAAArrAAA222222222)(2)( c) 球坐標(biāo)系z(mì)zAA22)(zry(r,)erefex為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面坐標(biāo)變量：

49、與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系：拉梅系數(shù)：f321 , , xxrxffcos , sinsin , cossinrzryrxsin , , 1321rhrhhffffffArArArrrAureurerueurerererrrsin1)(sinsin1)(1sin11sin1122 ffffffffeArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr )(1)(sin11)(sinsin1sin1sin1sin12其中fffeAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222ffAAArAArrrsin1)(sinsin12)(222

50、 )sin2ctg(sin2)()sincossin2(2)(22222222fffffffAAArAAAAArAArr0-5 0-5 二階微分算符二階微分算符 格林定理格林定理Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem1、一階微分運(yùn)算一階微分運(yùn)算 將算符 直接作用于標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，即分別得到梯度、散度和旋度，即 這些都叫一階微分運(yùn)算。舉例： a)設(shè) 為源點(diǎn) 與場(chǎng) 之間的距離，r 的方向規(guī)定為源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)，試分別對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)求r 的梯度。AA , , 222)()()(zzyyxxrxx 第一步：源點(diǎn)固定，r 是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)

51、求梯度用 r表示，則有而場(chǎng)點(diǎn)（觀察點(diǎn)）場(chǎng)源點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222同理可得：故得到： )( , )(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyx)()()(1)()()(第二步：場(chǎng)點(diǎn)固定，r是源點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)源點(diǎn)求梯度用 表示。而同理可得：rzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)() 1()(2)()()(2121222rzzzrryyyr)( , )(所以得到： b) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明rrrrrzzeryyerxx

52、ezreyrexrerzyxzyx)()()(ududfuf)(證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有證畢 )()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyx c) 設(shè)求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrxrrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故有 . 1zryrzy那么這里同理可得故有 . 3111zryrxrrzyx zryrxrrzyx1)(xxxxrx . 1zryrzy

53、 . 3111zryrxrrzyx由此可見： d) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：rrduAduuA)(. )()()()()()()()()(證畢duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyx e) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(2、二階微分運(yùn)算二階微分運(yùn)算 將算符 作用于梯度、散度和旋度，則稱為二階微分運(yùn)算，設(shè) 為標(biāo)量場(chǎng)， 為矢量場(chǎng)。 . )()()()()()(證畢duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x, )(xg)(xf并假設(shè) 的分量具有所需要的階的連續(xù)微商，則不難得到： （1）標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無旋場(chǎng) （2）矢量場(chǎng)的旋度必為無