材料力學(xué)(附錄))

1、 ; ; ; maxPtGIlTWTANI1 靜矩和形心靜矩和形心I2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑I3 慣性積慣性積I4 平行移軸公式平行移軸公式I5 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸附錄附錄I I 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)一、靜矩：一、靜矩：AxAySddAxyyx定義：稱為圖形對x 和y軸的靜矩。 （面積矩、一次矩）（面積矩、一次矩）yxSS 、AyAxSd I-1 I-1 靜矩和形心靜矩和形心二、形心：二、形心：yASxAAxxAdASyASx則：xyxyCAAyyAdxASydAyxAxAySd（1）簡單圖形的形心和靜矩：）簡單圖形的形心和靜矩：yASxASxy（2

2、）組合圖形的靜矩和形心：）組合圖形的靜矩和形心：ASxyASyxyxCyxyxCyxiAAydiiyAiiyiixxASyASyx123AxAiiAyAii（3）圖形有對稱軸時，形心在對稱軸上。）圖形有對稱軸時，形心在對稱軸上。（4）軸過形心。xSx 00yASx0yCxydAxyyxyCxAAxxii109011010451090510110109011010510906510110解 ： 組合圖形， 圖形分割及坐標(biāo)如圖901201010 xyC1C2例例I-2(P375) 試確定下圖的形心。試確定下圖的形心。AAyyii212121AAAxAx212121AAAyAy)mm(23)mm(3

3、8一、慣性矩：一、慣性矩： AxAyId2dAxyyx定義：Ix、Iy稱為圖形對稱為圖形對x軸、軸、y軸軸的慣性矩（量綱：的慣性矩（量綱：長度長度4）AyAxId2 I-2 慣性矩和慣性半徑慣性矩和慣性半徑例I-4計算矩形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算矩形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。yxChbdAydxdyAdAxAyId2解：解：Ayxydd222222dbbhhxdyy123bh123bhIx123hbIy計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算圓形對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。Cdxy例I-5ddAddd A解：AyxAyIId2sinyAxddI2)sin(ddd202

4、203)(sinddd2020322cos1644dIxCdxydAxyAPAId2APAyxI)d(22AAPAydAxId22xyPIIIxPII2yxII 極慣性矩：極慣性矩：計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。計算空心圓對于其對稱軸（形心軸）的慣性矩。例例DxyCdddIDdx202223)(sinddDd2022322cos1646444dDIx)1(6444DIx)(Dd三、慣性半徑：三、慣性半徑：AiIxx2AiIyy2ix和iy分別稱為圖形對于x軸和y軸的慣性半徑。, AIixxAIiyy圓截面：AIixx4d46424dd四、組合圖形的慣性矩：四、組合圖形的慣性矩：Cx

5、yixICxy1213AxAyId2iAAy d2iyyIIixxIII3 慣性積慣性積dAxyyxAxyAxyIdIxy稱為圖形對稱為圖形對x、y軸的慣性積。軸的慣性積。如果如果 x 軸（或軸（或 y軸）軸） 是對稱軸，則慣性積是對稱軸，則慣性積Ixy =0yyyxx-xAxyAxyIdyxChbCdxyIxy =0Ixy =0dACxCyCyCxC一、平行移軸公式一、平行移軸公式：, ccccyxyxIII0CcxyASAxAyId2I-4 平行移軸公式平行移軸公式已知：ayybxxCCxayb, xI求：AayACd)( 2解：AaayyCACd)2( 22AACACAaAyaAydd2

6、d 22AaaSIccxx22 AaIIcxx2ba ,yIxyI注意: C點必須為形心AbIIcyy2abAIIcycxxyAaIIcxx2dAxyabCxCyCyCxC同理：例例計算圖示圖形對其形心軸x軸和y軸的慣性矩。Cxy15104020單位：cm解：yx112AyAyii212211AAyAyA15402010201540452010cm)(25.26ixxII21xxII例例計算圖示圖形對其形心軸x軸和y軸的慣性矩。Cxy15104020單位：cm解：yx112AyAyii212211AAyAyA15402010201540452010cm)(25.26ixxII21xxII121

7、02031xI)cm(102 . 744a2)25.2645(1020Cxy15104020單位：cmyx11212401532xI)cm(103 .104421xxxIII)cm(105 .1710)3 .102 . 7(444a2)2025.26(4015Cxy15104020單位：cmyx112iyyII21yyII12201031yI)cm(1067. 044)cm(108 . 110)13. 167. 0(44421yyyIII12154032yI)cm(1013. 144 1216123xI)cm(10656. 243例例計算圖示圖形對其形心軸x軸的慣性矩。xCy28612單位：c

8、m68解：1212103sincossincos11xyyyxx一、一、 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式dAxy yxx1y1x1y1 I-5 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸, xyyxIII已知：1111, yxyxIII求：解：AxAyId211AxAxyId)sincos(21AAxyxyd)cossin2sincos(2222xAAAAxydAxdAydcossin2sincos2222AxAxyId)sincos(21AAxyxyd)cossin2sincos(2222cossin2sincos22xyyxIII2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIII

9、22cos1sin ; 22cos1cos222sin2cos2 21xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIII同理：2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIIIyxyxIIII11二、主慣性軸和主慣性矩二、主慣性軸和主慣性矩0)2cos2sin2(200 xyyxIII2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIIIxyx1y1x1令0dd 1xI求Ix1極值:yxxyIII22tan0)2(tan2110yxxyIII2000 x0y0與 0 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸為x0 、y0 軸，22minmax)2(2 xyyxyxIIIIIII xy0 x0y0平面圖形對x

10、0 、y0軸慣性矩 為00 yxII、000)2cos2sin2(xyyxyxIIII00yxI平面圖形對x0 、y0 軸的慣性積 為)2cos2sin2(00 xyyxIII0 xy0 x0y0平面圖形對x0 、y0軸的慣性積 為零，00yxI00yxII和稱x0 、y0 軸為主軸主軸，稱 為主慣性矩為主慣性矩。 使慣性積為零的坐標(biāo)軸稱為主軸主軸。平面圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩主慣性矩。 主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩。ccccyxyxIII22tan0三、圖形的形心主慣性軸和形心主慣性矩三、圖形的形心主慣性軸和形心主慣性矩yC0 xC0yC0

11、 xCC求圖形形心主慣性矩的方法：(1)建立坐標(biāo)系(2)計算面積和面積矩(3)求形心位置(4)建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IxC ， IxCyC(5)求形心主軸方向 0 :(6)求形心主慣性矩AAyASyAAxASxiixiiy22minmax)2(2 CCCCCCyxyxyxIIIIIIIccccyxyxIII22tan0如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。如果圖形有對稱軸，則對稱軸就是形心主慣性軸。ycxc0ccyxIcccccyxyxIII2 2tan00圖形有對稱軸圖形有對稱軸00 xc和和yc軸是形心主慣性軸軸是形心主慣性軸例例

12、確定圖示圖形的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣確定圖示圖形的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。性矩。Cxy180403601802040解：由反對稱性可知形心在反對稱點18040180124018021240020233xI)mm(10751. 54810040180121804021220400233yI)mm(10832. 148180100401802xyI180-100)mm(10592. 248Cxy180403601802040yxxyIII22tan03226. 1832. 1751. 5)592. 2(2 , 9 .522045.2600yoxo)mm(1004. 748)

13、mm(105425. 048=)mm(1004. 744xoI)mm(105425. 044yoI maxI )2(222xyyxyxIIIII minI如圖所示圖形，求形心主慣性矩Ixc。解： （2）求形心位置。（3）求：IxC 0 xAAyyii)cm(5.62 例例33 （1）建立坐標(biāo)系如圖。604545208050yyx1xcC4506090208045450456090100208022（3）求：IxC 604545208050y5.62yx1xcC231)5 .62100(2080122080 xI)cm(103 . 246232)455 .62(9060129060 xI2243)455 .62(4506450 xI)cm(1029. 546)cm(109 . 046321xxxxcIIII)cm(1069. 646在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求形心主慣性矩。(b=1.5d)解： （1）建立坐標(biāo)系如圖。（2）求形心位置。（3）建立形心坐標(biāo)系；求：IxC ，IyC ，I xCyC 0 xdb2dxOyC4342332222ddddddAAyyiid823.0 xCy例例4 CCCCxxxIII圓矩)823. 05 . 1 (