安徽理工大學2005級《大學物理》補充

1、 安徽理工大學安徽理工大學 20052005級級大學物理大學物理補充補充物理教研室物理教研室 第十八章 量子物理基礎第三講量子力學應用初步本次課內容 19-8 19-8 量子力學簡介（量子力學簡介（2 2） 三三 薛定諤方程解一維勢阱問題薛定諤方程解一維勢阱問題 四四 對應原理對應原理 五五 一維方勢壘一維方勢壘 隧道效應隧道效應 19-9 19-9 氫原子的量子理論氫原子的量子理論19-10 19-10 多電子原子中的電子分布多電子原子中的電子分布課本課本 pp266pp266289289； 練習冊練習冊 第二十單元第二十單元19-8 19-8 量子力學簡介（量子力學簡介（2 2） 定態(tài)薛定

2、諤方程薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程)()()(2222xExxVdxdm)()()(222rErrVm 求解定態(tài)薛定諤方程，就是在已知勢函數(shù)的條件下，求出體系可能有的能量值和波函數(shù)。三三 薛定諤方程解一維勢阱問題薛定諤方程解一維勢阱問題 質量為質量為m m 的粒子在外場中作一維運的粒子在外場中作一維運動，動，勢能函數(shù)為勢能函數(shù)為 )0 x0 x()ax0(0)x(V或或88x = 0 x = aV (x )定態(tài)薛定諤方程為：定態(tài)薛定諤方程為：) 1 ()0(2222axEdxdm當當 x a 時，時， 0)x( 求解方程（求解方程（1）令令 代入上式得代入上式得：此方程的通解為：此方

3、程的通解為：由于由于阱壁阱壁無限高，所以無限高，所以)0(0)(2)(222axxmEdxxdkxBkxAxcossin)(2/2mEk )0(0)()(222axxkdxxd0)(0)0(a)2(0)cos()sin() 1 (0)0cos()0sin(kaBkaABA(1)(1)式可寫成式可寫成) 1 ()0(2222axEdxdm由式（由式（1 1）得）得 B = 0B = 0 ，波函數(shù)為：波函數(shù)為：由此得到粒子的能量由此得到粒子的能量EnkxAxsin)(), 3 , 2 , 1(,nanknka由式（由式（2 2）得）得 ，于是，于是0sinkaA即即:,/22anmEk, 3 ,

4、2 , 1,22222nnmaEnE En n 稱為本問題中能量稱為本問題中能量E 的本征值。的本征值。勢阱中的粒子勢阱中的粒子,其能量其能量是是量子化的量子化的。當當 n n = 1, = 1, n 叫作主量子數(shù)叫作主量子數(shù)22222182mahmaE12EnEn勢阱中粒子的能級圖勢阱中粒子的能級圖o a x1n2n4n3nE1E2E3E4EE E1 1即基態(tài)能級即基態(tài)能級22222nmaEn與 E 相對應的本征函數(shù)，即本問題的解為：式中常數(shù)可由歸一化條件求得。式中常數(shù)可由歸一化條件求得。最后得到薛定諤方程的解為：最后得到薛定諤方程的解為：)0()sin()(axxanAxn12)(sin)

5、(22022aAdxxanAdxxan得到得到aA/2)0()sin(2)(axxanaxn1 1 勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微觀世界特有的現(xiàn)象，能量是量子化的。能量量子化是微觀世界特有的現(xiàn)象，經(jīng)典粒子處在勢阱中能量可取連續(xù)的任意值。經(jīng)典粒子處在勢阱中能量可取連續(xù)的任意值。討論討論2 2 能量為能量為E En n的粒子在的粒子在 x-x+dxx-x+dx 內被發(fā)現(xiàn)的概率內被發(fā)現(xiàn)的概率: :xdxanadxxdWn 22sin2)( 電子電子(m=9.1(m=9.11010-31-31千克千克) )：

6、若勢阱寬若勢阱寬a=10a=10，則，則 E En n=0.75neV, =0.75neV, 量子化明顯；量子化明顯； 若若a=1cm,a=1cm,則則E En n=0.75=0.751010-14-14eV ,eV ,量子化不明顯。量子化不明顯。x0a) x( 0a2)x( 幾率密度分布幾率密度分布波函數(shù)波函數(shù)n=3n=2n=1n=4)sin(28112221xaamahE)2sin(28222222xaamahE)3sin(28332223xaamahE)4sin(28442224xaamahE例題：在阱寬為例題：在阱寬為a a 的無限深勢阱中的無限深勢阱中, ,一個粒子的狀態(tài)為一個粒子的

7、狀態(tài)為axaxxf 2sinsin)( 多次測量其能量。問多次測量其能量。問每次可能測到的值和相應概率？每次可能測到的值和相應概率？能量的平均值？能量的平均值？解：已知無限深勢阱中粒子的波函數(shù)和能量為解：已知無限深勢阱中粒子的波函數(shù)和能量為 , 3 , 2 , 1,sin2)(nxanaxn , 3 , 2 , 1,22222nnmaEn 則則多次測量能量多次測量能量( (可能測到的值可能測到的值) )2222112maE 2222222,maE axaaxaxCfx2sin2sin221)()(能量的平均值能量的平均值222212252121maEEE 概率各占概率各占1/21/2( (x

8、x) )2 21 1( (x x) )2 21 12 21 1aC1取19-9 19-9 氫原子的量子理論氫原子的量子理論一一 氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解 氫原子由一個質子和一個電子組成，電子受質子庫侖電場作用而繞核運氫原子由一個質子和一個電子組成，電子受質子庫侖電場作用而繞核運動（質子靜止）。電子的狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足動（質子靜止）。電子的狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程：rereVS22041這里這里 ，（，（1）式可寫成)2(02222reEms) 1 ()()()(222rErrVmxzy 2222222dzddyddxd?采用

9、球坐標：采用球坐標：xzy ,cossin rx,sinsin ry,cosrz 22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr球坐標下球坐標下：（2 2）式則為）式則為：分離變量分離變量，令令),()(),( YrRr ) 3(0)(2sin1)(sinsin1)(1222222222reEmrrrrrrs代入方程（代入方程（3 3）可得：）可得：2222222sin1sinsin112)(1YYYreEmrdrdrdrdRS)4(02)(122222RrreEmdrdRrdrdrS分離變量得分離變量得和和)5(sin1sinsin1222YYY令 ，（5）再分離變量式為：)(

10、)(),(Y22221sinsinsin1lmdddddd即即)5(0sinsinsin122amddddl)5(0222bmddl和和（5b ）的解是）的解是 的單值性要求的單值性要求,limAe)2()(, 2, 1, 0lm（5a ）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使0和和 時，時， 為有限，必須限定為有限，必須限定lmllll, 2 , 1 , 0),1(（4 4）是徑向方程，可寫為：）是徑向方程，可寫為：ERRremrlldrdrdrdmr 412) 1()(22022222 徑向方程用級數(shù)法求解徑向方程用級數(shù)法求解。若若E0,E0,能

11、量連續(xù)分布，自由電子情形；能量連續(xù)分布，自由電子情形；但但E0, E0, （束縛態(tài)），波函數(shù)標準條件要求（束縛態(tài)），波函數(shù)標準條件要求) 1, 3 , 2 , 1(6 .138222204lnneVnJhnmeE且量子數(shù)的意義：量子數(shù)的意義：1 1 主量子數(shù)主量子數(shù)n n 主量子數(shù)決定著氫原子的能量，主量子數(shù)決定著氫原子的能量，E E 與與n n 的依賴關系與波爾理的依賴關系與波爾理論相同。論相同。2 2 角量子數(shù)角量子數(shù)l l角動量有確定值，為角動量有確定值，為) 1( , 2 , 1 , 0,) 1(nlllL角動量是量子化的，叫角動量是量子化的，叫軌道角動量軌道角動量。習慣用小寫字母表示

12、電子。習慣用小寫字母表示電子具有某一軌道角動量的量子態(tài)，具有某一軌道角動量的量子態(tài)，.,6,5,4,3,2,1 ,0l.,ihgfdps記號 氫原子只能處在一些分立的狀態(tài)，用主量子數(shù)，氫原子只能處在一些分立的狀態(tài)，用主量子數(shù)，角量子數(shù)，磁量子數(shù)來描述角量子數(shù)，磁量子數(shù)來描述, , 取值如下取值如下) 1, 3 , 2 , 1(6 .138222204lnneVnJhnmeE且3 3 磁量子數(shù)磁量子數(shù)m ml l 由波函數(shù)由波函數(shù) R Rnlnl(r)Y(r)Ylmlm( ( , , ) ) 描寫的定態(tài)，不但具有描寫的定態(tài)，不但具有確定的能量和角動量的大小，而且具有確定的確定的能量和角動量的大小

13、，而且具有確定的L Lz z( (角動角動量在軸方向的分量量在軸方向的分量) )lmmLllz , 2, 1, 0,角動量的分量也只能取分立值。角動量的分量也只能取分立值。000.0Lzh=mll=0 l=1 l=2 l=32) 1(llLz2zL6) 1(llLz12) 1(llLz3, 2, 1, 0lm2, 1, 0lm1, 0 lm0lm22223二二 氫原子中電子的徑向幾率分布氫原子中電子的徑向幾率分布20|nr1s2s3s4s)(rnl 21|nr2p3p4p)(rnl 22|nr3d4d)(rnl 氫原子中電子的角向幾率分布氫原子中電子的角向幾率分布zy00 mlzy11 mlz

14、y01 ml 1921年，施忒恩年，施忒恩（O.Stern）和蓋拉赫和蓋拉赫（W.Gerlach）發(fā)現(xiàn)一些處于發(fā)現(xiàn)一些處于S 態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場中一束分態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場中一束分為兩束。為兩束。NS磁磁 鐵鐵斯特恩斯特恩- -蓋拉赫實驗蓋拉赫實驗 1925年，烏侖貝克年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出電子自旋假說。提出電子自旋假說。由自旋產(chǎn)生的角動由自旋產(chǎn)生的角動量量 的大小的大小是量子化的，其值為是量子化的，其值為S) 1( ssSs s 是自旋量子數(shù)，是自旋量子數(shù)，只能取只能取1/21/2。 還假定自旋角動

15、量的空間取向也是量子化的，即還假定自旋角動量的空間取向也是量子化的，即 s s 在在Z Z方向的分量為：方向的分量為：21sszmmSsmslmmln,完全描述電子的運動狀態(tài)，需要四個量子數(shù)：完全描述電子的運動狀態(tài)，需要四個量子數(shù)：19-10 19-10 多電子原子中的電子分布多電子原子中的電子分布23 S2z23) 121(21) 1(ssSszmS23S2121S原子的殼層結構原子的殼層結構 在多電子的原子中，電子的分布是分層次的，電子在多電子的原子中，電子的分布是分層次的，電子的分布層次叫的分布層次叫電子殼層。電子殼層。n=n=1,2,3,4,1,2,3,4, ,的殼層依次叫的殼層依次叫

16、K,L,M,N,K,L,M,N,殼層。每一殼層上，對應殼層。每一殼層上，對應l=l=0 0, ,1,2,3,1,2,3,可分可分成成s,p,d,fs,p,d,f分殼層。電子在殼層中的分布遵從下面兩條分殼層。電子在殼層中的分布遵從下面兩條基本規(guī)律：基本規(guī)律：1 1 泡利泡利(W.Pauli(W.Pauli) )不相容原理不相容原理 原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子處于完全原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子處于完全相同的狀態(tài)（原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子相同的狀態(tài)（原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子具有四個相同的量子數(shù)）。具有四個相同的量子數(shù)）。例：基態(tài)氦原子核外兩電子都處

17、于例：基態(tài)氦原子核外兩電子都處于1s1s態(tài)，其量子態(tài)態(tài)，其量子態(tài)( (n ,l ,mn ,l ,ml ,l ,m,ms s) )分別為分別為( ( 1,0,0,1,0,0,1/21/2 ) )利用泡利不相容原理可計算各殼層所可能有的最多電子數(shù)利用泡利不相容原理可計算各殼層所可能有的最多電子數(shù): :當當n n給定，給定，l l的可取值為的可取值為0,1,2,0,1,2,n,n-1-1共共n n個個; ;當當l l給定，給定，m ml l的可取值為的可取值為0,0,1,1,2,2, ,l l共共2 2l l+1+1個個; ;當當( (n,l,mn,l,ml l) )給定，給定，m ml l的可取值

18、為的可取值為1/21/2共共2 2個個. .在同一主量子數(shù)為在同一主量子數(shù)為n n的殼層上，可能有的最多電子數(shù)為：的殼層上，可能有的最多電子數(shù)為：21022) 12(22) 12(2nnnlZnln 由此可推得多電子的原子中各殼層所可能有的最由此可推得多電子的原子中各殼層所可能有的最多電子數(shù)（見下表）。多電子數(shù)（見下表）。原子殼層和分殼層中最多可能容納的電子數(shù)原子殼層和分殼層中最多可能容納的電子數(shù) l n 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 iZn1K 2(1s) 22L2(2s) 6(2p) 83M 2(3s) 6(3p) 10(3d)184N 2(4s) 6(4p) 10(4d) 14(4f)325O 2(5s) 6(5p) 10(5d) 14