第三章 誤差的合成與分配 (全)

1、1第三章 誤差的合成與分配第一節(jié) 函數(shù)誤差第二節(jié) 隨機(jī)誤差的合成第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的合成第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第五節(jié) 誤差分配第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則第七節(jié) 最佳測量方案的確定2 任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。 正確分析與綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響。第一節(jié) 函數(shù)誤差 間接測量：通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其它量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計算出被測量。 間接測量誤差是各直接測量值誤差的函數(shù)，即函數(shù)誤差。 研究函數(shù)誤差的實(shí)質(zhì)就是研究誤差的傳遞性的問題。 對于這種有確定關(guān)系的誤差的計算稱為誤差合成。3在間

2、接測量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：12( ,.,)nyf x xx式中： 各個直接測量值；12,.,nx xxy間接測量值。 函數(shù)增量為：1212.nnfffdydxdxdxxxx 若已知各直接測量值的系統(tǒng)誤差 ，由于這些誤差較小，可用來代替上式中的微分量，得：12,.,nxxx1212.nnfffyxxxxxx（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）式中： 為各個直接測量值的誤差傳遞系數(shù)。(1,2,., )ifx in一. 函數(shù)系統(tǒng)誤差的計算4 有些情況下，函數(shù)公式較簡單，如： 則： ，誤差傳遞系數(shù) 為常數(shù)。 1 122.,nnya xa xa x1122.nnyaxaxaxia 在間接測量中，常遇

3、到角度測量，以等形式出現(xiàn)。sin ,cos ,tan ,cot 以正弦三角函數(shù) 為例：三角函數(shù)的系統(tǒng)誤差：12sin( ,.,)nf x xx1212sin.nnfffxxxxxx對正弦函數(shù)微分：sincosdd sincosdd以系統(tǒng)誤差代替微分量或sincos1212.nnfffyxxxxxx5代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：1211211(.)coscosnniiniffffxxxxxxxx同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式：對于 ，角度系統(tǒng)誤差為：12cos( ,.,)nf x xx11sinniiifxx 對于 ，角度系統(tǒng)誤差為：12tan( ,.,)nf x xx對于 ，

4、角度系統(tǒng)誤差為：12cot( ,.,)nf x xx21cosniiifxx21sinniiifxx P56-57：例3-1；3-26二. 函數(shù)隨機(jī)誤差計算 函數(shù)隨機(jī)誤差計算：就是研究函數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)差與各測量值 的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。y12,x x.,nx函數(shù)一般形式：12( ,.,)nyf x xx假設(shè)對各測量值皆進(jìn)行 N 次等精度測量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：對 ：對 ：對 ：1x2xnx11121,.,Nxxx21222,.,Nxxx12,.,nnnNxxx隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差取值的分散程度函數(shù)的隨機(jī)誤差取值的分散程度標(biāo)準(zhǔn)差以各測量值的隨機(jī)誤差x1, x2, . xn代替dx1,dx2,dxn只能得到

5、函數(shù)的隨機(jī)誤差y,得不到y(tǒng)711121112.nnfffyxxxxxx21222212.nnfffyxxxxxx1212.NNNnNnfffyxxxxxx則 的隨機(jī)誤差為：y將上式各方程平方后再相加得：222222212111211.(.)NNfyyyxxxx2222212222(.)Nfxxxx222212.(.)nnnNnfxxxx112()nNimjmijmijffxxxx 8將上式各項除以 N 得：1222222221112.2()nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN 定義：1NimjmmijxxKNijijijxxK 或ijijijxxK 可得：1222222

6、22112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 該式即為函數(shù)隨機(jī)誤差公式，其中 為第 個測量值和第 個 測量值之間的誤差相關(guān)系數(shù), 為各測量值的誤差傳遞系數(shù)。ijijifx9若各測量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時，有：0ij10NimjmmijxxKN則誤差公式變?yōu)椋?2222222212.nyxxxnfffxxx1222222212.nyxxxnfffxxx令iifax1122222222.nnyxxxaaa （較常使用）122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 10 當(dāng)各個測量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時，上式中

7、的標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式：12222222lim1lim2limlim.nyxxnxaaa 通常 ，且函數(shù)形式較簡單，即1ia 12.nyxxx則函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：12222.nyxxx函數(shù)的極限誤差為：12222limlimlimlim.nyxxx 極限誤差的定義：？1122222222.nnyxxxaaa 11 那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？ 假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ，各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差為12,.,nxxx可得相應(yīng)的角度標(biāo)準(zhǔn)差公式。（1）對于 有：12sin( ,.,),nf x xx12222222121.cosnxxxnfffxxx（2）對于 有：12cos( ,.,),n

8、f x xx12222222121.sinnxxxnfffxxx1212222222212cos.nxxxnfffxxx12222222212sin.nxxxnfffxxx（4）對于 有：12cot( ,.,),nf x xx（3）對于 有：12tan( ,.,),nf x xx13三. 誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系即線性依賴關(guān)系，有強(qiáng)弱之分。2.相關(guān)系數(shù) 當(dāng)兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來反映，所以在誤差合成時，先求得相關(guān)系數(shù)再計算出相關(guān)項大小。由相關(guān)系數(shù)定義知：D 式中： 誤差間的協(xié)方差； 兩誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。D,14由概率論知：11 01當(dāng) 時，正相關(guān)；1

9、0 當(dāng) 時，負(fù)相關(guān)；當(dāng) 時，完全正相關(guān)；1 當(dāng) 時，完全負(fù)相關(guān)；1當(dāng) 時，線性無關(guān)。0 注意： 只能表示兩誤差間的線性關(guān)系的密切程度，當(dāng) 很小甚至等于0時，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示不存在其他函數(shù)關(guān)系。3.確定 的幾種方法（1）直接判斷法；根據(jù)誤差可能有無聯(lián)系、或聯(lián)系強(qiáng)弱確定D 15 用多組測量的對應(yīng)值 作圖，并與圖33（標(biāo)準(zhǔn)圖）相比較，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。( ,)ii （3）簡單計算法： 將多組測量的對應(yīng)值 在平面坐標(biāo)上作圖。 ( ,)ii 1341cos()iinnn （2）觀察法：16（5）理論計算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求的。（4）直接計算法：

10、根據(jù)定義22()()()()iiii 22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx17第二節(jié) 隨機(jī)誤差的合成 隨機(jī)誤差的合成：常采用標(biāo)準(zhǔn)差方和根的方法，同時要考慮各誤差的傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。一. 標(biāo)準(zhǔn)差的合成 設(shè)有q個單項隨機(jī)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ，其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為 。根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為：12,.,q 12,.,qa aa211()2qqiiijijijiijaa a 優(yōu)點(diǎn)：簡單方便，且不考慮各單項隨機(jī)誤差的概率分布。 隨機(jī)誤差具有隨機(jī)性，其取值不可預(yù)知，用測量的標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差表征其取值的分散程度。18方和根法

11、合成的總極限誤差為：211()2qqiiijijijiijaa a 式中： 各極限誤差傳遞系數(shù)； 任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)。iaij 但一般情況下，各單項極限誤差的置信概率可能不相同，不能按上式進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項誤差的分布情況引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。二. 極限誤差的合成 若已知各單項極限誤差為 ，且置信概率相同，則按12,.,q 19單項極限誤差為：iiit 1,2,.,iq式中： 個單項誤差的標(biāo)準(zhǔn)差； 各單項極限誤差的置信系數(shù)。iit總的極限誤差為：t 將總標(biāo)準(zhǔn)差公式代入上式得：211()2qqiiijijijiijtaa a 211()2qqjiii

12、ijijiijiijata att t iiit 上式即為一般的極限誤差合成公式。優(yōu)點(diǎn)：具有明確的概率意義。 注意：公式中的各個置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)。20 當(dāng)各個單項隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時，公式中的各置信系數(shù)完全相同，即： ，則公式變?yōu)椋?2.qtttt211()2qqiiijijijiijaa a 一般情況下， ，則極限誤差合成公式變?yōu)椋?ij21()qiiia （較常使用）211()2qqjiiiijijiijiijata att t 21第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差的大小是評定測量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。 系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律。 已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)

13、誤差。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差期望值期望值 均值均值 某次測得值某次測得值 奇異值奇異值 f x ( )_33+22一. 已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。對于已定系統(tǒng)誤差常按代數(shù)和代數(shù)和 的方法計算其合成誤差。 若在測量過程中，有r個單項已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為 ，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為 ，則按代數(shù)和法合成的總的已定系統(tǒng)誤差為：1,2,.,r12,.,ra aa 在實(shí)際測量中，已定系統(tǒng)誤差應(yīng)用修正值去消除。若由于某種原因未被消除，則應(yīng)用代數(shù)和法合成。一般情況下，最后測量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差。1riiia23二. 未定系統(tǒng)誤差定義： 未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握

14、，而未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，而只能或只需估計出其不致超過某一極限范圍只能或只需估計出其不致超過某一極限范圍 的系統(tǒng)誤差。的系統(tǒng)誤差。ie1. 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定 未定系統(tǒng)誤差在測量條件不變時有一恒定值，多次重復(fù)測量時其值固定不變，因而不具有抵償性。所以利用算術(shù)平均值法不能減少它對測量結(jié)果的影響。這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。 但當(dāng)測量條件改變時，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并服從一定的概率分布，這與隨機(jī)誤差相似，所以也可采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。24 對于某一單項未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源變

15、化時所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。 現(xiàn)在對未定系統(tǒng)誤差的概率分布均根據(jù)測量實(shí)際情況的分析和判斷來確定的，并采用兩種假設(shè)：一是按正態(tài)分布處理，一是按均勻分布處理。 對某一單項未定系統(tǒng)誤差的極限范圍是根據(jù)誤差源具體情況的分析與判斷而作出估計的。1. 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定表示符號：表示符號： 極限誤差：極限誤差：e 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：u252. 未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成 設(shè)測量過程中有s個單項未定系統(tǒng)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為 其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為 ，合成后未定系統(tǒng)誤差的的總標(biāo)準(zhǔn)差為：12,.,u u,su12,.,sa aa211()2ssiiijijijiijuaua a uu 當(dāng) 時，有

16、：0ij21()siiiuau26（2）極限誤差的合成各單項未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：iiietu 1,2,.,is總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：etu 可得：211()2ssiiijijijiijetaua a uu 或211()2ssji iiijijiijiijeaeeeta att t 當(dāng)各單項未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且 時，上式可簡化為：0ij21()si iieae 27第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測量過程中存在著不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差將兩種誤差進(jìn)行合成綜合，用極限誤差和標(biāo)準(zhǔn)差來表示一、按極限誤差合成設(shè)有r個單項已定系統(tǒng)誤差 s個單項未定系統(tǒng)誤差 q個單項隨機(jī)誤差12

17、,r 12,se ee12,q 22111qrsiiiiiiiietRtt 總ia假設(shè)誤差傳遞系數(shù) 均為1，則總極限誤差為：各個誤差間協(xié)方差之和28當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，各個誤差間互不關(guān)聯(lián)， R=012itttt22111qrsiiiiiie 總對已定系統(tǒng)誤差修正后 ：2211qsiiiie總對多次測量: 隨機(jī)誤差 抵償性 系統(tǒng)誤差 固定不變22111qsiiiien 總292按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差q個單項隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差12,su uu12,q 誤差傳遞系數(shù)均為1，且各個誤差間協(xié)方差之和R為02211qsiiiiu對于多次重復(fù)測量：22111qsiiiiun只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨

18、機(jī)誤差合成問題302按標(biāo)準(zhǔn)差合成312按標(biāo)準(zhǔn)差合成322按標(biāo)準(zhǔn)差合成332按標(biāo)準(zhǔn)差合成342按標(biāo)準(zhǔn)差合成352按標(biāo)準(zhǔn)差合成362按標(biāo)準(zhǔn)差合成37第五節(jié) 誤差分配單項誤差 總誤差總誤差的允差 各個單項誤差綜合如： 弓高弦長法測大直徑D給定直徑測量允許極限誤差 ，求弓高h(yuǎn)和弦長s的測量極限誤差D,hs 已定系統(tǒng)誤差通過修正方法消除，則只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，且這兩種誤差分配時可同等看待，分配方法完全相同。38設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：2222221212222222112222212ynnnnnfffxxxaaaDDDiiiiifDax函數(shù)的部分誤差iD22212ynDDD使得給定

19、 ，則需確定yiD39一 按等作用原則分配誤差12niDDDD22()yiiinDn a1yiian用極限誤差表示為1iian22212ynDDD使得給定 ，則需確定yiD402 各個部分誤差一定，相應(yīng)測量值誤差與傳遞系數(shù)成反比， 盡管各個部分誤差相等，因傳遞系數(shù)不同而相應(yīng)測量值誤差并不等。二 按可能性調(diào)整誤差因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整 1 對難以實(shí)現(xiàn)測量的誤差項，適當(dāng)擴(kuò)大 2 對容易實(shí)現(xiàn)測量的誤差項，盡可能減小 3 其余誤差項，不予調(diào)整1 有的測量值的測量誤差不超出允許范圍，難以滿足要求，要保證測量精度，要用昂貴的高精度儀器，或者付出較大勞動。2222221212ynnfffxxx41二

20、按可能性調(diào)整誤差42二 按可能性調(diào)整誤差43二 按可能性調(diào)整誤差44二 按可能性調(diào)整誤差45第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差：測量過程包含多種誤差，有的誤差對測量結(jié)果總誤差影響較小，小到一定程度，計算測量結(jié)果總誤差可不予考慮。2222221211ykkknDDDDDD取出部分誤差kD222221211ykknDDDDD若 ， 則 稱為微小誤差，可從總誤差中舍去yykD已知測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為：46若舍去后滿足 則對測量結(jié)果沒影響 解得 (0.10.05)yyy(0.40.3)kyD取 13kyD對精密測量，取兩位有效數(shù)字(0.01 0.005)yyy有110kyD原則：1.對于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，被舍去的誤差必須小于或等于 測量結(jié)果的1/10-1/32.對